四川省成都市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

課堂練習(xí)九年級數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，答案涂在答題卡上）

1.下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）

,11

A.（x+1）=2（X+1）B.—H----2=0C.ax2+bx+c—0D.%2+2%=%2—1

x~x

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐項判斷解答即可.

【詳解】解：A、將方程（％+1『=2（%+1）整理，得f_i=o,是一元二次方程，故本選項符合題意；

B、方程二+工-2=0不是整式方程，故本選項不符合題意；

XX

C、若。=0,則方程依2+法+C=0就不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

D、將方程爐+2%=爐—1，整理得2x+l=0,是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合

題意;

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵.即一元二次方程有四個特點:

（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）是整式方程；（4）二次項系數(shù)不為0.

2.如圖，已知直線?！?〃c,直線機、〃與。、b、c分別交于點A、C、E和8、。、F,

AC=4,CE=6,BD=3,DF=（）

A.7B,7.5C.8D.4.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可.

【詳解】Va//b//c

AC_BD

CE~DF

43

即：一=—

6DF

DF=4.5

故選：D

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，掌握定理的內(nèi)容并能正確的列出比例式是關(guān)鍵.

3.如圖，△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6.將△A3C沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三

角形不相似的是（）

B.

C.

【答案】C

【解析】

【詳解】A、陰影部分三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意,

B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意,

C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意,

D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意,

故選：C.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，兩組角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相

等，兩個三角形相似；三組邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.

4.如圖，已知四邊形A3CD是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是（）

A.當(dāng)46=8。時，它菱形B.當(dāng)AC」3D時，它是菱形

C.當(dāng)NA5C=90°時，它是矩形D.當(dāng)時，它是正方形

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)矩形、菱形及正方形判定可進(jìn)行求解.

【詳解】解：A、由四邊形A3CD是平行四邊形，AB=BC,可知該四邊形是菱形，故不符合題意；

B、由四邊形A3CD是平行四邊形，AC1BD,可知該四邊形是菱形，故不符合題意；

C、由四邊形A3CD是平行四邊形，NA5c=90。，可知該四邊形是矩形，故不符合題意；

D、由四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD,可知該四邊形是矩形，故符合題意；

故選D.

【點睛】本題主要考查矩形、菱形及正方形的判定，熟練掌握它們的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.兩個不透明盒子里分別裝有3個標(biāo)有數(shù)字3,4,5的小球，它們除數(shù)字不同外其他均相同，小華從兩個

盒子里各隨機摸1個球，摸到的兩個球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是（）

1245

A.-B.-C.-D.一

3399

【答案】C

【解析】

【分析】畫出樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果，甲、乙二人摸到球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有4種，然

后由概率公式求解即可.

【詳解】解:如圖：

開始

由樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙二人摸到球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有4種，

4

...摸到球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為一.

9

故選：C.

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適

合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放

回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

6.關(guān)于尤的一元二次方程依2+2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k＞-1B.k＞-1C.厚0D.左＜1且好0

【答案】D

【解析】

【分析】在判斷一元二次方程根的情況的問題中，必須滿足下列條件：(1)二次項系數(shù)不為零；(2)在有

不相等的實數(shù)根時，必須滿足△=抉-4團(tuán)＞0

【詳解】依題意列方程組

22-4左＞0

?0'

解得左＜1且存0.

故選：D.

7.組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，

每天安排4場比賽.設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，則x滿足的關(guān)系式為()

A.x(x+l)=28B.—1)=28C.1)=28D,gx(x+l)=28

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)球隊總數(shù)X每支球隊需賽的場數(shù)+2=4x7,就

可列出方程.

【詳解】解：每支球隊都需要與其他球隊賽(x-1)場，但2隊之間只有1場比賽，

.??方程為—1)=28

故答案為：B.

8.如圖，在口ABCD中，E是AB的中點，EC交BD于點F,則ABEF與ADCB的面積比為()

D.

6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,AB〃CD,根據(jù)相似三角形的判定得出△BEFs^DCF,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角形面積公式求出即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，E為AB的中點，

；.AB=DC=2BE,AB〃CD,

.?.ABEF^ADCF,

.BEBF_1

"DCDF"2'

.?.DF=2BF,=(1)2=-,

SRDCF24

.S&DCF_2

._1_3

??SABEF=SADCF,SADCB=SADCF?

42

SMX：B3q6

20ADCF

故選D.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定和平行四邊形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的

關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上)

a-2b2a

9.若=三，則丁=.

b3b

o

【答案】-

【解析】

O

【分析】由題意易得a=—6,然后代入求解即可.

3

【詳解】解：..?三竺=：,

b3

3(a-2b)=2b,

3a—6b=2b,

8

a--b7,

3

~b~~b~3

Q

故答案為一.

3

【點睛】本題主要考查比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.已知-1是方程2爐+必+5=0的一個根，則m=,另一根為.

【答案】①.7②.--

2

【解析】

【分析】先把占=-1代入方程，求得m的值，再設(shè)方程的另一個根為超，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求

解.

【詳解】把西=—1代入原方程得：2—加+5=0,得：m=7.

方程的另一個根為馬,

由根與系數(shù)的關(guān)系得：

b7

Xi+々=——=-->

a2

.5

??X。-f

22

故根=7,另一根x=—,

2

故答案為：7,――.

2

【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，注意：若尤1、々是方程以2+區(qū)+o=()

bc

(。。0)的兩根，則%+電=，玉=—.

aa

11.已知點M為線段AB的黃金分割點，且若AB=6cm,則AM=cm.

【答案】(3A/5-3)##(-3+375)

【解析】

【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知40是較長線段；則AM=蟲二A3,代入數(shù)據(jù)即可得出40的

2

長.

【詳解】解：：點M為線段AB的黃金分割點，且AB=6cm,

???AM=AB=x6=（3A/5—3）cm，

故答案為：（3A/5-3）.

【點睛】本題考查黃金分割的定義，解題的關(guān)鍵是熟知把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線

段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叵口叫做黃金比.

2

12.如圖，在中，ZACB=90°,CD,AB于點。，C￡>=痛，BD=2,則A￡>=.

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的判定得到△ACDS/M2B￡>,從而可根據(jù)

其相似比求得結(jié)論.

【詳解】解：：在Rt^ABC中，NACB=90。，CD±AB,

ZBDC=ACDA=90°,ZBCD+ZB=90°,ZA+ZB=90°，

ZA=ZBCD,

：.△ACDs.BD,

ADCDanADa

CDBD而2

AD=3.

故答案為：3.

13.如圖，ABIIGHIICD,點、H在BCEAC與8。交于點G,AB=2,CD=3,則G8的長為—.

D

二.4

BH

【答案】|-##1.2##11

【解析】

【分析】由AB〃G8,可得ACGHSACAB,從而得出絲=C"，同理可得"一g”,將兩個式子相

ABBCCDBC

加，即可求出G8的長.

【詳解】?：AB//GH,

:ACGHSKCAB,

.GHCH一嘿①，

"AB-BC

EGHBHnGHBH

同理=77=,即H----=②,

CDBC3BC

GHGHCHBHBC

①+②，得-----1--------T-----=----=1,

23BCBCBC

.GHGH

??-----1----=1,

23

解得G8=g.

故答案為—■

三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）

14.(1)計算:

（2）用配方法解方程：X2-4X-21=0.

【答案】（1）5+0；（2）苞=7,x2=-3

【解析】

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算和解一元二次方程，掌握實數(shù)運算的法則和解一元二次方程的方法是關(guān)

鍵.

（1）先計算負(fù)指數(shù)幕、立方根、絕對值、零指數(shù)塞，進(jìn)行加減運算;

(2)利用配方法解方程即可.

【詳解】⑴解:原式=2-(一3)+夜一1+1

=2+3+72-1+1

=5+0；

2

(2)解：X-4X-21=0

X2-4X=21

x2-4x+4=21+4

(x-2)2=25

.\x—2=±5

/.玉=7,x2=—3

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，鉆的頂點坐標(biāo)分別為0(0,0),4(2,1),5(1,-2).

(1)作出AQAB關(guān)于x軸的軸對稱圖形AOA瓦；

(2)以原點。為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出AOAB的一個位似△。42§2，使它與AOAB的相似比為

2:1,并分別寫出點A,8的對應(yīng)點為,層的坐標(biāo)；

(3)請直接寫出△。42生的面積為.

【答案】⑴見解析⑵見解析，4(4,2)B2(2,-4)

(3)10

【解析】

【分析】本題考查軸對稱變換，位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，再順次連接即可；

(2)直接利用位似比得出對應(yīng)點位置，再順次連接即可，最后根據(jù)所畫出圖形即得出其對應(yīng)坐標(biāo);

(3)用長方形減去周圍三個小直角三角形的面積即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示，AOAB］即為所求;

【小問2詳解】

解：如圖所示，△。餐坊即為所求;

由圖可知，4(4,2),與(2,-4)；

【小問3詳解】

△048的面積為=4x6——x2x4--x2x4--x2x6=10,

222

故答案為：10.

16.初三年級“黃金分割項目活動”展示，為了解全體初三年級同學(xué)的活動成績，抽取了部分參加活動的同

學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計后，分為“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“較差”四個等級，并根據(jù)成績繪制成如圖兩

幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，回答下列問題：

初三年級“黃金分割項目學(xué)初三年級“黃金分割項目學(xué)

習(xí)”展示成績條形統(tǒng)計圖習(xí)”展示成績扇形統(tǒng)計圖

（1）扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”所對應(yīng)扇形的圓心角為度，并將條形統(tǒng)計圖補充完整.

（2）如果學(xué)校初三年級共有340名學(xué)生，則參加“黃金分割項目活動”比賽成績良好的學(xué)生有

人.

（3）此次活動中有四名同學(xué)獲得滿分，分別是甲，乙，丙，丁，現(xiàn)從這四名同學(xué)中挑選網(wǎng)名同學(xué)參加校

外舉行的“黃金分割項目活動”展示，請用列表法或畫樹狀圖法，求出選中的兩名同學(xué)恰好是甲、丁的概

率.

【答案】（1）72,條形統(tǒng)計圖見解析

（2）136

⑶-

6

【解析】

【分析】（1）由周角乘以“優(yōu)秀”所對應(yīng)的扇形的百分?jǐn)?shù)，得出“優(yōu)秀”所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)；求出

全年級總?cè)藬?shù)，得出“良好”的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可；

（2）根據(jù)比賽成績良好的占比乘以340即可求解；

（3）畫出樹狀圖，由概率公式即可得出答案.

【小問1詳解】

解：360°x(l-40%-25%-15%)=72°;

故答案為：72；

全年級總?cè)藬?shù)為18+15%=120（人），

“良好”的人數(shù)為120x40%=48（人）,

將條形統(tǒng)計圖補充完整，如圖所示：

初三年級“黃金分割項目學(xué)

習(xí)”展示成績條形統(tǒng)計圖

參加“黃金分割項目活動”比賽成績良好的學(xué)生有：340x40%=136（人）,

故答案為：136；

【小問3詳解】

畫樹狀圖，如圖所示：

開始

甲乙丙

XK/TxXIX/Tx

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12個可能的結(jié)果，選中的兩名同學(xué)恰好是甲、丁的結(jié)果有2個，

.1.P（選中的兩名同學(xué)恰好是甲、?。?/=5.

126

【點睛】此題主要考查了列表法與樹狀圖法，以及扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，樣本估計總體，從統(tǒng)計

圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

17.某天小明和小亮去某影視基地游玩，當(dāng)小明給站在城樓上的小亮照相時發(fā)現(xiàn)他自己的眼睛、涼亭頂

端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖）.已知小明的跟晴離地面1.6米，涼亭頂端離地面1.9米，小

明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為38米，小亮身高為1.7米.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的

高度.

E

【答案】5.9米.

【解析】

【分析】如圖（見解析），過點A作AM1,石尸于點M,交CD于點、N,先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得

AN=2米，40=40米，DN=MF=16米,QV=0.3米，再根據(jù)相似三角形的判定可得

ANCN

△ACNfAEM,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得——=——，由此可得㈤欣的長，最后根據(jù)

AMEM

GF=EM+MF—EG即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點A作AM,石戶于點交CD于點N,

E

則四邊形A3DN和四邊形ABFM都是矩形,

MF^AB=DN,AN=BD,AM=BF,CD//EF,

由題意得：AB=1.6米，CD=1.9米，5￡>=2米，DE=38米，￡G=1.7米，

.?.3=2米，3=5￡）+。尸=40米，DN=MF=16米,CN=CD—DN=Q3米,

CD//EF,

:.&ACN~^AEM,

ANCN20.3

-----=------1即Hn—=----,

AMEM40EM

解得EM=6（米），

則城樓的高度為=EG=6+1.6—1.7=5.9（米），

答：城樓的高度為5.9米.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)

鍵.

18.己知，如圖所示的四邊形為菱形，AC,BD交于O,AFLBC于尸，交BD于點E.

（1）求證：&BFE?&DOC

1

（2）求證：AD29=-DEDB-

2

（3）過點E作石GAAF,若DE=2BE,交AB于點G,若菱形ABCD的面積為6君，求EG的長.

【答案】（1）見解析（2）見解析

(3)GE=^-

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等來證明兩個三角形相似即可；

AT）ED

（2）先由兩角對應(yīng)相等可證再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得一=——，再根據(jù)菱

ODAD

171

形的性質(zhì)知0D=gBD,最后可得AD?=-DEXBD；

22

i2

（3）先由菱形面積得71^x50=6百，再根據(jù)。￡=25石，得BE=gBD,AE=-AF,設(shè)

1L

BE=m,則。石=2m，BD=3m,再由9=一。石乂3。求得AD=J^m，在RtzMO。中，求出

2

AO=Bm，再由菱形的面積求出機，最后根據(jù)線段成比例列出GE的方程，解出方程即可.

2

【小問1詳解】

證明：：對頂角相等

；?ZBEF=ZAED

:菱形ABC。

AC13。且3D平分/ABC與/AOC（菱形兩對角線互相垂直平分）

?1,ZABC=ZADC

：.ZOBC=ZOOC

VAF1BC

，ZAFB=ZCOD=90°

：.ABFE~ADOC（兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似）

【小問2詳解】

由（1）得AC13。，BO=OD

：.ZCAE+ZAEC=90°

?.?菱形ABC。

/.ADUBC,BD=20D

AE，AD即/EAZ）=90。=NC4E+NOLO

ZAEO=ZOAD,ZAOE=ZAOD=90°

：.^AOD~^EAD（兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似）

.ADED

"OD~AD

AD2^ODxED

1

AD29=-DExBD.

2

【小問3詳解】

V菱形ABCD面積為6月，AFIBC

/.AFxBC=6&

:DE=2BE

：.BE=-BD

3

AE=-AF

3

設(shè)BE=m,則DE=2m,BD=3in

,1

由（2）得：AD2=-DExBD

2

AD-V3m

3

在中，AD=Cm，0D=—m

2

AO=^-m

2

此時S&ABCD=|AC-BD=1-x^/3mx3m=^m2=673

m2—4>n=+2（舍去負(fù)值）

則m=2

,：EGVAE,AD±AF

：.GE//AD

.GEBE

"AD~BD

.「口2A/3

3

【點睛】本題考查了相似三角形綜合題，菱形的性質(zhì)，菱形的面積，熟練掌握相似三角形的判定定理是解

題的關(guān)鍵.

一、填空題（本大題共5個小題，共20分，解答過程寫在答題卡上）

19.若實數(shù)，〃滿足根之―3m—1=0，則2m2—6"+5=.

【答案】7

【解析】

【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，由題意可得病-3加=1,將式子2m2一6m+5變形為

2（m2-3m）+5,整體代入進(jìn)行計算即可，采用整體代入的思想是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】M：?.1m2—3m—1=0>

m2-3m=1,

2m2—6m+5=2^m2—3根）+5=2x1+5=7,

故答案為：7.

20.對于任意實數(shù)a、b,定義：b=a2+ab+b2.若方程（x*2）-5=0的兩根記為機、n,則

m2+n2=.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)新定義可得出根、〃為方程N+2x-1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出根+〃=-2、

mn=-1,將其代入源+/=（m+n）2-2相〃中即可得出結(jié)論.

【詳解】解：:（x*2）-5=x2+2x+4-5,

.*.m>〃為方程N+2x-1=0的兩個根,

m+n=-2,mn=-1,

m2+n2=(m+n)2-2mn=6.

故答案為6.

hr

【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于--、兩根之積等于一是解題的關(guān)鍵.

aa

21.有7張正面分別標(biāo)有-3,-2,-1,0,1,2,3的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外，其余相同，現(xiàn)將

它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為機，則使關(guān)于x的分式方程

上當(dāng)+2=有正整數(shù)解的概率為______.

x-22-x

【答案】-

7

【解析】

【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率、分式方程的解的情況，先解分式方程得到x=°一,從而得

2-m

出“zwl,m不2,再分別計算出冽為一3,—2,-1,0,3,對應(yīng)的x的值，然后確定x的正整數(shù)的個

數(shù)，再利用概率公式計算即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：去分母得：1—m+2(x—2)=—1,

2

解得：x------

2-m

,/x-2^0,即xw2,

-^―W2,

2-m

解得：mwl.

?.?2—znwO,

%w2,

2

當(dāng)機=一3時,元=_,x不為正整數(shù),

5

當(dāng)機=—2時,x=-9X不為正整數(shù),

2

2

當(dāng)根=-1時,%=_,九不為正整數(shù),

3

當(dāng)根=0時,x=l,尤為正整數(shù),

當(dāng)租=3時,X=—2,X不為正整數(shù),

???滿足條件的用的值只有1個,

???使關(guān)于X的分式方程吐W+2=一一有正整數(shù)解的概率為

x-22-x7

故答案為：一.

7

22.如圖，在AABC中，AB=2,ZABC=6Q°,NAC3=30°,點。在直線上運動，連接AD,在

A。的右側(cè)作△ADES/VIBC,產(chǎn)為AC的中點，連接所，則所的最小值為.

【分析】本題考查相似三角形的知識，勾股定理；過點A作AHL3C于點作射線CE,設(shè)AC交

DE于點J,根據(jù)NABC=60°,ZAHB=9Q°,則N5AH=30。，推出皿=1，根據(jù)勾股定理，求出

AH；再根據(jù)NACH=30°,ZCAH=6Q°,推出AC=2AH,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，貝U

AADE^AABC,ZADE=ZABC=60°,ZAED=ZACB=30°,推出貝|

—,根據(jù)/￡7C=NA〃)，推出△E/CSAA/E),則NEC/=NAZ"=60°,當(dāng)跖，CE時，

EJCJ

所最小，根據(jù)勾股定理，求出EF,即可.

【詳解】過點A作于點H,作射線CE,設(shè)AC交DE于點/,

VZABC=60°,ZAHB=90°,

^BAH=3Q°,

VAB=2,

BH=1，

AH=ylAB--BH2=A/3>

在RECH,ZACH=30°,

ZCAH=60°,

???AC=2AH=2A/3，

:尸為AC的中點,

???AF=FC=6，

,：AADE^AABC,

ZADE=ZABC=60°,ZAED=ZACB=30°,

?：ZAJE=ZDJC,

AAJE^ADJC,

.AJDJ

,,面一方，

?：ZEJC=ZAID,

：.AEJCS^AJD，

ZECJ=ZADJ=60°,

,/點E的運動軌跡是射線CE的一部分，

:.當(dāng)EFLCE,斯最小，

...在RSECF中，ZFEC=90°,ZFCE=60°,

:.NEFC=30°,

???EC=-FC=—^

22

：.EF=YJFC2-CE2

2

3

故答案為：一.

23.在中，ZACB=90°,AC=12,BC=9,一動點。在線段CB上，以C4,為邊作矩

形ACDE,直線A3與直線CE,0E的交點分別為產(chǎn)，G,當(dāng)ADHG是等腰三角形時，該三角形的腰長

【答案】4

【解析】

【分析】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的定義，矩形的性質(zhì)等知識，根據(jù)矩形的性質(zhì)證得

D7Anr

ABDG^ABCA,AAEF^^BCF,,進(jìn)而設(shè)由）=3%,表示出相關(guān)線段的長度，再

BCBACA

由△AEFS^JBCF,得力=一，由此列出方程求解，是解決問題得關(guān)鍵.

BCBF

【詳解】解：在中，AC=12,BC=9,

則AB=VAC2+BC2=15,

點。在線段CB上時，NDGb為鈍角，則△。尸G是等腰三角形時，只有GE=GD,

?.?四邊形ACDE是矩形，

AC//DE,AE//CD,AE=CD,

:.△BDG^ABCA,貝I」即=變=生，即:BDBGDG

BCBACA9~15~~L2

設(shè)6D=3x,則ZX7=4x,BG^5x,CD=BC-BD=9-3x,

:.GF=GD=Ax,貝1|3尸=BG+G尸=9x,AF^AB-BF=15-9x,

?/AE//CD,

AZAEF=ZBCF,NEAF=NCBF,

：?AAEFS^BCF,

9—3x15—9x.

—,即:-----=-------,整理得z:x~—6x+5=0,

BCBF99x

解得：X1=l,馬=5（此時點。與點C重合，不符合題意，應(yīng)舍去）

x=1,

則腰長GF=GD=4x=4,

故答案為:4.

二、解答題（本大題共3個小題，共30分，解答過程寫在答題卡上）

24.成都大運會開幕式于2023年7月28日在成都東安湖體育公園舉行，大運會吉祥物為“蓉寶”，“蓉

寶”的樣子和形態(tài)，充分詮釋了成都的新時代特點和城市魅力，吸引了無數(shù)人們的目光，因而“蓉寶”手

辦特別惹人喜愛.

（1）據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年7月份共生產(chǎn)500個“蓉寶”手辦，為增大生產(chǎn)量，該工廠平均每月生

產(chǎn)量增長率相同，9月份該工廠生產(chǎn)了720個“蓉寶”手辦，求該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率是多少？

（2）已知某商店‘'蓉寶”手辦平均每天可銷售20個，每個盈利40元，在每個降價幅度不超過10元的情

況下，每下降2元，則每天可多售10件，如果每天要盈利1440元，則每個“蓉寶”手辦應(yīng)降價多少元？

【答案】（1）20%

（2）每個“蓉寶”應(yīng)降價4元.

【解析】

【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，涉及了銷售問題和增長率問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到

題中的等量關(guān)系，正確列出方程.

（1）設(shè)該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率為無，根據(jù)題意列出一元二次方程，求解即可；

（2）設(shè)每個“蓉寶”降價〉元，則每個盈利（40-y）元，根據(jù)題意列出方程，求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)該工廠平均每月生產(chǎn)量的增長率為無，

依題意得：500（1+x）2=720,

解得：石=0.2=20%,々=—2.2（不符合題意，舍去）.

答：該工廠平均每月生產(chǎn)量的增長率為20%.

【小問2詳解】

解：設(shè)每個“蓉寶”降價丁元，則每個盈利（40—y）元，平均每天可售出20+10x］=（20+5y）個，

依題意得：（40—y）（20+5y）=1440,

整理得：9—36y+128=0,

解得：％=4,%=32（不符合題意，舍去）.

答：每個“蓉寶”應(yīng)降價4元.

25.［基礎(chǔ)鞏固］

（1）如圖1,在四邊形A3CD中，對角線平分NABC,ZADB=ZDCB,求證：BD?=BABC；

［嘗試應(yīng)用］

（2）如圖2,四邊形A3CD為平行四邊形，尸在邊上，=，點￡在外延長線上，連接所、

BF、CF,若NEFB=ZDFC,BE=4,BF=5,求BC的長;

［拓展提高］

（3）如圖3,E是AABC內(nèi)部一點，尸為AC邊上一點，連接AE,BE,CE,EF,已知"EC=NCBE,

CE2AF

ZBEC=ZAEF,BE=18,EF=7,—=-,求——的值.

BC3FC

圖1圖2圖3

25AV7

【答案】(1)證明見解析；(2)BC=--,(3)——=-.

4FC5

【解析】

【分析】(1)只需要證明Y鉆。sVDBC,得到變=出，即可證明3。2=歷1.8。；

BCBD

BEBF

(2)證明得到一=一，然后代值計算即可得到答案；

BFBC

EMCE

(3)過點C作CN〃AE,交石廠的延長線于點M,證明△臺久64瓦加，得到——=——=—,求出

BEBC3

AFEF7

FM=5,再證明產(chǎn)即可得到——=——=-

FCFM5

【詳解】解：（1）平分/ABC,

ZABD=ZDBC,

■:ZADB=ZDCB,

：.NABD^NDBC,

,BDBA

??一,

BCBD

：?BD?=BA-BC；

（2）???四邊形A3CD為平行四邊形，

AD/7BC,

/.ZAFB=ZFBC,NDFC=NFCB,

AB=AF,

???ZAFB=ZABF,

ZABF=NFBC,

?:/EFB=ZDFC,

；?/EFB=/FCB,

工小EBFs八FBC，

.BE_BF

??一,

BFBC

VBE=4,BF=5,

??一，

5BC

：.BC=—；

4

(3)過點C作C河〃AE,交石廠的延長線于點M,

/.ZEMC=ZAEF,

,：ZBEC=ZAEF,

/.ZBEC=/EMC；

'：ZFEC=NCBE,

:?ABCES^ECM，

,EMCE2

;BE=18,EF=1,

...9=2x18=12,FM=EM-EF=12-1=5,

3

CM//AE,

AAEF^ACMF,

.AF_EF_7

"FC-FM-5,

圖3

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件

是解題的關(guān)鍵.

26.直角三角形Q43在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，OA,02的長是方程6%+8=0的兩個根

(Q4<OB).將AQAB繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AOCE>,點4,3的對應(yīng)點為。,。，連接加>.點、E

從點。出發(fā)，以每秒&個單位長度的速度沿著射線03運動，設(shè)點E運動的時間為/秒，過點E作竹_￡尤

軸于點尸，以上力為斜邊向左作等腰直角三角形E尸G,連接旅.

(1)求點A。的坐標(biāo)；

(2)設(shè)△BEF的面積為S,求S與才的關(guān)系式；

(3)在平面內(nèi)是否存在點H,使以C,D,G,H為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點H的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)A(2,0),￡>(4,0)

1,

--r+2r(0</<4)

(2)S=<

1,

5/—2/(7〉4)

(3)存在，點H的坐標(biāo)為(3,-3)或(2,4),理由見解析

【解析】

【分析】(1)求出方程分別得出。4,03的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出則結(jié)論可得;

(2)根據(jù)題意可得△OBD、△EFD均為等腰直角三角形，設(shè)點E運動的時間為r秒，

則。E=M，EF=FD=t,然后分0W/W4時；f〉4時；根據(jù)三角形面積公式得出關(guān)系是即可；

14

(3)先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出點G在射線y=-§x+§(x<4)上運動，然后分：當(dāng)以C,D,

G,X為頂點的正方形以CD為對角線時；當(dāng)以C,D,G,"為頂點的正方形以CD為邊時；兩種情況進(jìn)

行討論，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定