九年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圖形的相似（解析版）

專題04圖形的相似

【思維導(dǎo)圖】

◎考點(diǎn)題型1比例的基本性質(zhì)

比例的基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積.即若包=￡,則泡=兒。解決此類問題通常利用設(shè)k法即

bd

可有效解決，注意方程思想以及分類討論思想的靈活運(yùn)用.

V3

例.（2022?山東煙臺?八年級期末）若一=：，則下列式子不正確的是（）

夕4

x+y7x+33yxv

A.--=-B.-=-C.二-=4D.-=-

y4y+474x-y34

【答案】C

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)可得4x=3y,然后把每一個選項(xiàng)轉(zhuǎn)化成等積式，即可解答.

X3

【詳解】解：??一=：，；化=3乃

f4

x+y7

??.4x+4y=7y,

.?.4x=3y,故該選項(xiàng)不符合題意;

.?-x-+--3——3

B、?f

y+4A4A

???4x+12=3y+12,

.?.4x=3y,故該選項(xiàng)不符合題意;

C、?.?^^二4,

%—?

-'-y=4x-4y,

-Ax=5y,故該選項(xiàng)符合題意;

.?.4x=3y,故該選項(xiàng)不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?江蘇淮安?八年級期末）若/=則，：的值為（）

b3a+b

1143

A."B.—C.—D.一

2434

【答案】B

【分析】根據(jù):=:得出b=3a,再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

b3

【詳解】解：?《=:，

b3

1.b=3a,

aa1

a+ba+3a4

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積.

變式2.(2022?河北?石家莊二十三中八年級階段練習(xí))若告=1一=—匕=k,則左的值為()

a+bb+ca+c

A.1B.：或1C.-1D.?；?1

【答案】D

【分析】根據(jù)條件‘7=~^~=—=k,分為a+b+c=0和a+b+c/O,即可得出發(fā)的值.

【詳解】當(dāng)a+b+c=O時(shí)，c=-(a+b),所以后=三=①3=一1；

a+ba+b

,,,c+a+ba+b+c1

當(dāng)a+b+cwO時(shí)，k=-—~~~~=~~~=~；

(Q+b)+(b+c)+(Q+c)2(Q+b+C)2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?全國?九年級課時(shí)練習(xí)）已知線段d是線段。、b、。的第四比例項(xiàng)，其中〃=2cm,b=

4cm,c=5cm,則d等于()

5

A.1cmB.10cmC.—cmD.—cm

25

【答案】B

【分析】根據(jù)第四比例項(xiàng)的概念，得a：b=c：d,再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求得第四比例項(xiàng).

【詳解】解：???線段”是線段。、6、c的第四比例項(xiàng)，

：b='c：d

7be

d——

a

???q=2cm,b=4cm,c=5cm,

,be4'51A

：.d-——=----=l0cm

a2

???線段b,c的第四比例項(xiàng)d是10cm.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，熟悉第四比例項(xiàng)的概念，寫比例式的時(shí)候一定要注意順序.再根

據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解是關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型2比例線段

1.比例線段：如果四條線段a,b,c,d中，a與b的比等于c與d的比.即@=§那么這四條線段叫做成比

ba

例線段，簡稱比例線段.

ah

2.等比中項(xiàng)：如果三個數(shù)a,ac滿足比例式巴='(或a:b=b:c),則6叫做a,c的比例中項(xiàng).

bc

例.(2022?全國?九年級專題練習(xí))若點(diǎn)C是線段48的黃金分割點(diǎn)，/B=8cm,AOBC,則NC等于

()

A.——-cmB.2(0-1)cmC.4(道-1)cmD.6(^5-1)cm

2

【答案】C

【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫

做黃金分割，他們的比值(程)叫做黃金比.

【詳解】解：根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念得：AC=^-AB=4(45

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查了黃金分割點(diǎn)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握黃金比的值.

變式1.（2022?山東煙臺?八年級期中）下列各組中的四條線段能組成比例的是（)

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.2cm,4cm,6cm,8cm

C.1cm,41cm>V3cm,2cmD.2cm,3cm,4cm,6cm

【答案】D

【分析】根據(jù)成比例線段的定義逐項(xiàng)分析即可，若。，b,c,1是成比例線段，則a:6=c:d.

【詳解】解：A.?.?1：2^3:4,故A選項(xiàng)不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；

B.1?12:4=1:2^6:8=3:4,故B選項(xiàng)不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；

C.???1:72^73:2,故C選項(xiàng)不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；

D.?.23=4:6,故D選項(xiàng)能構(gòu)成比例線段，符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段，根據(jù)有關(guān)性質(zhì)把四條線段分別計(jì)算比值并進(jìn)行比較可以得到解答.

變式2.（2022?湖南衡陽?中考真題）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的

高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕

像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（）（結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù)：VI?1.414,百al.732,

V5-2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【答案】B

【分析】設(shè)雕像的下部高為xm,由黃金分割的定義得二=必二士求解即可.

22

【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為xm,則上部長為（2-x）m,

???雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比,

雷鋒雕像為2m,

,x_V5-1

"2一~~，

x—s/5-1?1.24,

即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?山東煙臺?八年級期末）在比例尺為1：2000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是

30cm,則兩地的實(shí)際距離為（）

A.600000kmB.6000kmC.600kmD.60km

【答案】C

【分析】首先設(shè)相距30cm的兩地實(shí)際距離為xcm,根據(jù)題意可得方程1：2000000=30：x,解此方程即可

求得答案，注意統(tǒng)一單位.

【詳解】解:設(shè)相距30cm的兩地實(shí)際距離為xcm,

根據(jù)題意得：1：2000000=30：x,

解得：x=60000000,

,?160000000cm=600km,

相距30cm的兩地實(shí)際距離為600km.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例尺的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意理解題意，根據(jù)題意列方程，注意統(tǒng)一單位.

◎考點(diǎn)題型3平行線分線段成比例

平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線（不少于三條）所截，截得的對應(yīng)線段成比例。

例.（2022?山東煙臺?八年級期末）如圖,已知AB//CD//EF,那么下列結(jié)論正確的是（)

DFBCADBEADBC

B.-C-----=-----D.-----=-----

CBDFADCE?AFBCDFCE

【答案】D

【分析】根據(jù)“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例,

???8C和對應(yīng)，CE和。咒對應(yīng)，8E和/尸對應(yīng)，

CEDFADBC

CB~AD'AF~BE

故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，確定出對應(yīng)線段是解題的關(guān)

鍵.

變式1.（2022?山西?九年級專題練習(xí)）一根均勻的木棒CM所受重力G=10N,小亮以木棒的一端。為支

點(diǎn)，豎直向上將木棒的另一端/緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動，此時(shí)拉力為尸，若點(diǎn)8為O/的中

點(diǎn)，AC,AD分別垂直地面于點(diǎn)C,D,則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力廠的大小為（）

A.5NB.IONC.15ND.20N

【答案】A

【分析】依據(jù)2是/。的中點(diǎn)，即可得到。是OC的中點(diǎn)，再根據(jù)杠桿平衡原理，可得

GxOD=FxOC,進(jìn)而得出拉力F的大小.

【詳解】解：???8DLOC,AC1OC,

■■.BD//AC,

OBOD

“應(yīng)一所‘

又是/。的中點(diǎn)，即OB=BA,

：.OD=DC,

.?.OD=\OC,

2

根據(jù)杠桿平衡原理，可得GxOD=FxOC,

1

.-.10x-OC=^xOC,

2

解得尸=5(N),

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及杠桿平衡原理，熟練掌握平行線分線段成比例定

理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?上海市民辦文綺中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)。、E位于的兩邊上，下列條件能判

定的是（）

A.ADDB=AEECB.ADAE=BDEC

C.AD-CE=AEBDD.ADBC=ABDE

【答案】C

【分析】根據(jù)選項(xiàng)選出能推出對應(yīng)線段成比例的即可.

【詳解】解：?:AD?CE=AE，BD,

AD_BD

"^E~~CE，

■.DEPBC,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?全國?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，ABPCDPEF,下面等式成立的是（）

A.AC-CE=BDDFB.AC-AE=BDBF

C.AC-DF=CE-BDD.CD2=AB-EF

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到生=當(dāng)，空=絲，然后根據(jù)比例的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行判

CEDFAEBF

斷.

【詳解】解：???4B//CD//ER

AC_BDAC_BDCE_DF

*CE-DF,~AE~1BF,~AE~~BF

:.AC?DF=BD，CE；AC，BF=BD，AE；CE，BF=AE，DF.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

◎考點(diǎn)題型4相似圖形

相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.

相似多邊形：若兩個邊數(shù)相同的多邊形，它們的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似

多邊形。

特征：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。

例.（2022?河北邢臺?九年級期末）把左圖放大2倍，可以得到的圖形是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)一個小正方格邊長為1cm,

因?yàn)榘炎髨D放大2倍，即放大前后的圖形對應(yīng)邊的比是1：2,

所以得到的圖形為寬4cm,長6cm.

所以選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似圖形的理解與實(shí)際運(yùn)用能力.利用相似，可以將一個圖形放大或縮小.性質(zhì)：相似

圖形的相似比等于對應(yīng)高、對應(yīng)邊、周長的比.靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷是解本題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?河北邢臺?九年級期末）國旗法規(guī)定：所有國旗均為相似矩形，在下列四面國旗中，其中只

有一面不符合標(biāo)準(zhǔn)，這面國旗是（

A160cm

96cm

240cm144cm

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件分別求出矩形的長與寬的比，即可得到結(jié)論.

【詳解】解=翳=:120396264_2

160-4,144-3；96-3

1609664120

240-144—96160,

??■B選項(xiàng)不符合標(biāo)準(zhǔn),

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似形的應(yīng)用，熟練掌握相似形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?河南南陽?九年級期中）如圖所示，矩形/BCD的長AD為20cm,寬48為12cm,在它的

內(nèi)部有一個矩形EFG8（防＞斯），設(shè)4D與之間的距離、2c與尸G之間的距離都為acm,4B與EF

之間的距離、DC與"G之間的距離都為6cm.當(dāng)a,6滿足（）時(shí)，矩形/BCDs矩形EFG//.

3,

D.a=—b

5

【答案】D

【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???矩形NBCD"矩形跖G”,

AD_AB

,而一評

化簡得：a=^3b,

故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查相似圖形的性質(zhì)，理解相似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

變式3.（2022?全國?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)。是四邊形48CD內(nèi)一點(diǎn)，A\B,.C、。，分別是

OA,OB、OC、0。上的點(diǎn)，＞OA':A'A=OB':B'B=OC:CC=OD':D'D=2A,若四邊形/'8'C'Z）'的面積

為12cm2,則四邊形N3CD的面積為（)

A.18cm2B.27cm2C.36cm2D.54cm2

【答案】B

【分析】利用位似圖形的定義得出四邊形/'8'C'D'與四邊形/BCD的位似比為：2：3,進(jìn)而得出面積比,

即可得出四邊形/BCD的面積.

【詳解】■■OA'：A'A=OB'：B，B=OC：C'C^OD'：D，D=2：1,

.-.OA'tOA=OB'：OB=OC'tCOC=OD'-.00=2：3,

四邊形，夕。O與四邊形/BCD的位似比為：2：3,

二四邊形與四邊形4BCD的面積比為：4：9,

???四邊形的面積為12cm2,

四邊形/BCD的面積為：27cm2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，得出兩四邊形的相似比是解題關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型5黃金分割

黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AOBC）,且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：

BC）,叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).其中AC=與1AB^O.618AB,并且線段AB

的黃金分割點(diǎn)有兩個.

例.（2022?浙江杭州?九年級期末）“蘇堤南起南屏山麓，北到棲霞嶺下，全長2.8公里.蘇堤上有名的六吊

橋由南到北分別是映波橋、鎖瀾橋、望山橋、壓堤橋、東浦橋、跨虹橋.壓堤橋約居蘇堤南北的黃金分割

位，舊時(shí)又是湖船東來西去的水道通行.”從地圖上看，壓堤橋位于蘇堤北部，請結(jié)合上述描述，估計(jì)壓

堤橋到棲霞嶺下的大致距離為（）

A.0.9公里B.1.1公里C.1.3公里D.1.4公里

【答案】B

【分析】設(shè)壓堤橋到棲霞嶺下的大致距離為x公里，由題意和黃金分割的定義列出方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)壓堤橋到棲霞嶺下的大致距離為x公里，

2.82

解得：u,

即壓堤橋到棲霞嶺下的大致距離為1.1公里，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義和黃金分割值是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?山西?中考真題）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識.動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每

圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對稱D.黃金分割

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求解.

【詳解】解：動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618.這體現(xiàn)

了數(shù)學(xué)中的黃金分割.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較

小部分與較大部分的比值，其比值為叵口，約等于0.618,這個比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因

2

此被稱為黃金分割.熟知黃金分割的定義是解題關(guān)鍵.

變式2.（2023?江西?九年級專題練習(xí)）某校開展“展青春風(fēng)采，樹強(qiáng)國信念”科普大閱讀活動.小明看到黃

金分割比是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系，它具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，應(yīng)

用時(shí)一般取0.618.特別奇妙的是在正五邊形中，如圖所示，連接45,AC,44cg的角平分線交邊45于

點(diǎn)、D,則點(diǎn)。就是線段48的一個黃金分割點(diǎn)，且4D>BD,已知/C=10cm,那么該正五邊形的周長為

A.19.1cmB.25cmC.30.9cmD.40cm

【答案】c

【分析】證明BC=CD=4D=6.18(cm),可得結(jié)論.

【詳解】解：由題意，點(diǎn)。是線段的黃金分割點(diǎn)，

.-.—=0.618,

AB

-AB=AC=Wcm,

.?.40=6.18(cm),

■：Z-ABC=Z-ACB=11°,CD平分乙4CB,

.-.^ACD=^BCD=A.CAD=36O,4CDB=4CBD=72°,

：.BC=CD=AD=6A'i(cm),

五邊形的周長為6.18*5=30.90(cm),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，黃金分割等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題.

ApRp

變式3.(2022?全國?九年級課時(shí)練習(xí))尸是線段上一點(diǎn)(AP>BP),則滿足不=不，則稱點(diǎn)尸是線

ABAP

段23的黃金分割點(diǎn).大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”.如圖，一

片樹葉的葉脈48長度為10cm,P為4B的黃金分割點(diǎn)(AP>BP),求葉柄8尸的長度.設(shè)3P=xcm,則

符合題意的方程是()

A.(10-x)2=10xB.x2=10(10-%)C.x(10-x)=102D.10(l-x)2=10-x

【答案】A

【分析】根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)即可求解.

【詳解】.HO,BP=x,

■?.AP=\O-x,

,■P點(diǎn)是黃金分割點(diǎn),

APBP

ABAP

■■AP2=ABBP，

/.（10-x）2=10x,

故選：A.

ApRp

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)黃金分割點(diǎn)列一元二次方程的知識，依據(jù)不=不得到尸是解

ABAP

答本題關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型6由平行線求線段的長或比值

例.（2022?山東青島?八年級期末）如圖：AB//CD//EF,AD:DF=3:1,BE=12,那么的長為

)

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可.