江蘇省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊期初調(diào)研考試 數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年秋學(xué)期高三年級期初調(diào)研考試

數(shù)學(xué)學(xué)科試卷

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合M={x|（x—l）2<4,xeR},N={—1,0,1,2,3},則McN等于（）

A.{0,1,2}B.{-l,0,l,2}C.{-1,0,2,3)D.{0,1,2,3)

2.若z=G—i，貝()

zz—1

A，V3-iB.g+i

c.立，

33

3.已知sin=］，則cos12a—

772424

A.—B.-----C.—D.------------

25252525

4.下列四個命題為真命題的是（）

A.直線3x+>+2=0在V軸上的截距為2

B.直線y=0的傾斜角和斜率均存在

C.若兩直線的斜率尢，左2滿足左=無2,則兩直線互相平行

D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等

5.在A/BC中，M是中點且|祝=|而|=|1可，則向量就在向量而上的投影向量（）

6.已知函數(shù)/（x）=xsinx,g（x）=cosx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）

(、(、f(x)

Aj=/(x)g(x)-1B.J=^y

Cj=/(x)+g(x)—lD.y=/(x)-g(x)+l

7.某社區(qū)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，

計劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案

共有（）

A.72種B.81種C.144種D.192種

8.若函數(shù)/（x）=-g"2+4x—21nx有兩個不同的極值點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-l,0)B.(-oo,l)C,(0,2)D.(2,+oo)

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知。>01>0,。+26=1,下列結(jié)論正確的是（）

A.1+2的最小值為9B.l+b?的最小值為好

ab5

b

C.log2a+log2z＞的最小值為-3D.2"+4的最小值為2g

10.已知函數(shù)/（x）=sinox—J^cosox（o〉0）的最小正周期為兀，則（）

A.①=2

1,0）是/（x）圖象的一個對稱中心

B.點

711171

C./(x)在上單調(diào)遞減

D.將/（x）的圖象上所有的點向左平移三個單位長度，可得到J=2cos2x-￡的圖象

3

11.設(shè)〃eN*，正項數(shù)列｛%｝滿足玉e（O,l），苞再+「xjnx“=1,下列說法正確的有（）

人.再為｛%｝中的最小項

B.X2為｛%｝中的最大項

C.存在再e（0,1）,使得國,看,當(dāng)成等差數(shù)列

D.存在玉e（O,l）,〃eN*,使得%,%+1，4+2成等差數(shù)列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(3x-1)5的展開式中，所有項的系數(shù)和為.

13.在A/BC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，若6sin(N+B)=sin?l+siiiS,cosC=-|,且,的=1,

貝ijc=.

X+]XV0

14.己知/(%)=｛'，若/(再)=/卜2)=/(%3),看</<W，則2再+2%2+%3的最大值

COSX,v<X<2兀

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為,，現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪

7

流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即止，每個球

在每一次被取出的機會是等可能的，用J表示取球終止時所需要的取球次數(shù).求：

(1)求袋中原有白球的個數(shù)；

(2)求隨機變量片的概率分布.

16.(15分)如圖，在四棱錐P—48CD中，APZ。為等邊三角形，M為PZ的中點，尸平面PAD±

平面48co.

(1)證明：平面平面尸48；

(2)若AD〃BC,AD=2BC,CD=2AB,求平面與平面心。夾角的余弦值.

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)="(X)—x+L

(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)x>0時，"tv?-e"〈時(x)恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

18.(17分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項和為=1,4=瘋+JQ(〃CN*,〃22).

(1)求證：數(shù)列卜何]是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

,11115/2*\

(2)求證：IV=+F+=+…+于eN：

v

axa2a3an4/

⑶設(shè)4=(2〃f(%+2)(〃eN*)，】i+&+a+,i，是否存在正整數(shù)加，使得對任意正整數(shù)

〃均有北〉——恒成立？若存在求出加的最大值；若不存在，請說明理由.

2025

22

19.（17分）已知橢圓。:=+與=15>6>0）的焦點和上頂點分別為片、8、8,定義：AGBg為橢圓C

ab

的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特

22

征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點尸（、回,o）是橢圓G：0+*=1的一個焦點，且G上

任意一點到它的兩焦點的距離之和為4

（1）若橢圓G與橢圓G相似，且G與G的相似比為2：1，求橢圓G的方程.

（2）已知點？（加,〃）（加〃/0）是橢圓G上的任意一點，若點。是直線^=公與拋物線必異于原

mn

點的交點，證明：點。一定在雙曲線4x2—4/=1上.

（3）已知直線/：y=x+l,與橢圓G相似且短半軸長為6的橢圓為G,,是否存在正方形

ABCD,（設(shè)其面積為S）,使得4c在直線/上，反。在曲線G上？若存在，求出函數(shù)8=/他）的解

析式及定義域；若不存在，請說明理由.

2024-2025學(xué)年秋學(xué)期高三年級期初調(diào)研考試

數(shù)學(xué)學(xué)科試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.【答案】A2.【答案】C3,【答案】A4.【答案】B5.【答案】C

6.【答案】C7.【答案】D

8.【答案】C

［解析］/（x）=一；狽2+4x-21nx,/,（x）=-ax+4-—=ax+^x_L

故原命題等價于關(guān)于X的方程-2/+4x-2=0在(0,+")上有兩個不同的實數(shù)根，

即關(guān)于x的方程a=士￡=-2(4-1]+2在(0,+")上有兩個不同的實數(shù)根，

X\x)

令/=—,貝i]/e(0,+oo),

X

所以關(guān)于方的方程a=—2?！狪p+2在(0,+。)上有兩個不同的實數(shù)根，

令g⑺=_2(/—l)2+2,/e(O,+8),

因為g(。在(0,1)上單調(diào)遞增，故g(。在(0,1)上的值域為(0,2),

因為g(。在(1,+。)上單調(diào)遞減，故g(。在(1,+。)上的值域為(-8,2),

而(O,2)c(—叫2)=(0,2),從而實數(shù)。的取值范圍是(0,2).

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】AD10.【答案】ABD

11.【答案】AB

1,

【解析】由=1可得%+i=—+

Xn

令/(x)=工+向J'(x)=--\+~=^~r

XXXX

當(dāng)x..I,/'(x)>0,/(x)遞增;當(dāng)—(x)<0J(x)遞減,

且/(l)=l+lnl=l,.?./(%)..1

,■?%1e(0,l),/.x2=/(%1)>l,x3=/(X2)>1,---,X,2+1=/(%“)>1,：.再是最小的項；

所以A正確

令g(x)=/(x)-x=—+Inx-x,x..1

g(x)在區(qū)間內(nèi)遞減，/.g(x)?0,/.x3-x2<0即&<x2;x4-x3<0即％<當(dāng)

…Z+i—%<°即無用<%,

所以，綜上所述，%是最大的項，所以B正確,

由于X1是最小的項，工2是最大的項，則不可能使得玉/2，退成等差數(shù)列，故C錯誤;

由C知，玉,々，退不成等差數(shù)列，當(dāng)〃22時,

因為X"M<x"，所以g(x“+J>g(x“)，則」一—lnx?+1-x?+1>--liu?-x?

X"+1X“

Z+2-%"+1>X"+1—X",所以不存在xn,xn+l,xn+2,成等差數(shù)列,故D錯誤

故選：AB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】3213.【答案】2

14.【答案】V3—2H----

6

【解析】設(shè)〃再)=/(工2)=/(尤3)=/，則相(-1,1)J(x)的圖象如圖所示,

即>=/(x)的圖象與>=/的圖象有3個交點，橫坐標(biāo)依次為玉/2，月，且

-2<再<0<%<兀<￡<271,

由余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，々+x3=2兀，

X

所以22+32+2X3=2再+/+2(%2+13)=2國+工2+4兀，

又因為玉+1=cos%2,所以2國+z=2COSX2一2(0<%2<兀)，

☆g(x)=2cosx+x-2(0<x<7i),

則g'(x)=l-2sinx,令g'(x)=l-2sinx=0,解得》=史或空，

66

當(dāng)皆時，8。)〉0名@)在(()彳］單調(diào)遞增，

兀5兀71571

當(dāng)XC時，g'(x)<O,g(x)在

6，-6~單調(diào)遞減,

(5兀5兀]

當(dāng)工￡1-^-,兀時，g'(x)>o,g(x)在兀單調(diào)遞增,

又因為g(兀)=Ji_4<0,gV3-2+->0,

6

所以gOOmax=g[]=6—2+,,

所以2X]+2x,+X3=2玉+%+2兀46-2+巴+2兀=石—2+』，故答案為：6—2+」.

666

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

,“（〃T）

15.【解析】（1）設(shè)袋中原有〃個白球，由題意知：1;冬/二〃（1）,所以〃（〃—1）=6,解

7C；…7x6'"

2

得〃=3（舍去〃=—2）,即袋中原有3個白球.

（2）由題意，J的可能取值為1,2,3,4,5.

尸心I)=3；P(N2)=9=2；PQ=3)=^^=9

、'7V)7x67、)7x6x535

P(《=4)=4X3X2X3=3pf4x3x2xlx3=J_

2)7x6x5x435?")7x6x5x4x335

所以，取球次數(shù)J的分布列為：

12345

32631

p.

77353535

16.【解析】（1）設(shè)40的中點為E,連接PE,

因為△尸40為等邊三角形，所以PEL40,

又因為平面PAD±平面ABCD,

平面040c平面45cz）=40,且PEu平面尸40,

所以PEL平面48CD,

因為48u平面48CD,所以

又PD上AB,PDcPE=P,PD,PEu平面PAD,

所以45,平面P40,又因為"Du平面「40,

所以

因為在等邊三角形△尸40中，加為PZ的中點，

MDLAP,

因為ABoAP^A,AB,APu平面PAB，

所以M）,平面「45,

因為"Du平面"CD,

所以平面MCD1平面PAB；

（2）連接C￡,由（1）知，45,平面尸40,

因為4Du平面040,所以48L4D,

因為AD//BC,AD=2BC,CD=2AB,

所以四邊形45CE為矩形，

即CE1AD,BC=AE=DE,CD=2AB=ICE,所以/CQE=30。,

設(shè)5。=。,2￡>=2。,P￡=2￡31160°=技,28=?！?￡>￡力1130°=叵

3

以E為原點，分別以EC、ED、EP所在直線為xj、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

所以Z（0,—a,0）,尸（0,0,岳）,cjg,0,0,B■，一a,0（0,。,0）,

設(shè)平面MCD和平面尸5c的法向量分別為〃1=（X1,J1,Z1）,M2=（x2,y2,z2）,

百aa也a.-K~DD也a-ay-43az=0

nx-MC=〒玉+萬必一亍4=0〃2?PB=-^―X22

則《A

3ay/3a八-k~or^

nMD=—Ji-----4=01%PC--y—A：2-00二0

x2121

X=底1=0

即V

Z]=島E-3^2

取乃=1,Z2=1,則々=（百,1,6）,%=（3,0,1）,

耳.瓦_3V+V327210

所以cos〈％,瓦）

卜小國V7-V1035

所以平面MCD與平面必C夾角的余弦值為名皿.

35

17.【解析】⑴依題意，函數(shù)g(x)=21nx-x+工的定義域為(0,+。)，

X

求導(dǎo)得g'(x)=2—1—4=—p—1]<0,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時取等號，

???g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減，即函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為(0,+8),無遞增區(qū)間.

(2)當(dāng)x>0時，7nA：?—e*工布'(%)o加f—e%?7nx1nx=加卜_]11Vb恒成立,

令〃(x)=x—lnx,x〉0,求導(dǎo)得"(x)=l-L

x

當(dāng)0<x<l時，/z,(x)<0,當(dāng)x>l時，/??(%)>0,

即函數(shù)力⑴在(0,1)上遞減，在(1,+。)上遞增，則當(dāng)x>0時，/?(%)>/z(l)=l,

e，

令，=x—lnx,依題意，Vze[l,+oo),m/<ez?m<一恒成立，

令=求導(dǎo)得d(/)=e'(；一1)20,則函數(shù)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng),=1時，°(7)min=°(l)=e,因此加Ve,

所以實數(shù)加的取值范圍(-8,e].

18.【解析】(1)證明：因為4=瘋+而二，則當(dāng)〃…2時，S“-S“_i=4^+瓦，

即店-67)(折+匹)=忖+點7，

而例>0,有￡+匹〉0,即叵—反=1(〃之2),

所以數(shù)列[叵｝是以拇=百=1為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

于是得厄=1+(〃-1)X1=〃,即S,=",

當(dāng)電.2時，an=-yjs^+yJSn_l=n+n-\=2n-\,又%=1滿足上式，

所以｛%｝的通項公式為%=2/7-1.

111

(2)由(1)知二=7^-妹=424，

an(2n-1)4〃-4/2+1

11If1o

當(dāng)九..2時，一5<一~—=—-----—，

a：4n-An4(〃-1n)

114<1+單1=1+小1

則---J-+----H_j_+2_l++□_1<i+U

a?a：411223n-1nn44

±=1<5

當(dāng)〃=1時,

-24'

ax

11115_

*------V1!-???+V

即對任意的〃EN者B有1—2-----2---------2------------------2

axaxa2an4,

1111

（3）由（1）知,b.

"（2w-l）（2w+l）2（2〃-12n+l）,

1111n

則有北=g1J卜+…+i-」

35272-12〃+12〃+1272+1

1則數(shù)列｛北｝單調(diào)遞增，（）；

因7>0,/3=7]=4=,

L+i—4=4+i（2〃+1）（2〃+3）

因?qū)θ我庹麛?shù)〃均有北〉加石成立，

于是得上J<L,解得加〈理”=675,

202533

而加eN*，則加max=674,

m

所以存在正整數(shù)加，使得對任意正整數(shù)〃均有7,〉總成立，m的