西藏自治區(qū)拉薩市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

拉薩那曲第四高級中學(xué)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試

局一數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時間90分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題

區(qū)域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作

答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.

5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第二章、第三章，選擇性必修第二冊第四章.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知點(diǎn)碓,百）,8（1,。）,則直線幺3的斜率是（）

A.-^3B.—A/S-C.1D.—1

【答案】A

【解析】

【分析】由斜率的計(jì)算公式直接求解即可.

【詳解】由題意點(diǎn)/（2,、回）,8（1,0）,

所以直線48的斜率是后=區(qū)二"=由二9=君.

XA~XB2-1

故選：A.

2.若直線/1：x—y+2=0與直線/2：2x+ay—3=0平行，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】解方程lxa_（_l）x2=0即得解.

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【詳解】解：由題得lxa—(—l)x2=0,.?.[=-2.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)。=-2時，滿足題意.

故選：A

3.已知點(diǎn)4(—2,1),5(0,-3),則以線段45為直徑的圓的方程為(

A.(x-l)2+(y-l)2=5B.(X+1)2+(J+1)2=5

C.(X-1)2+(J-1)2=20D.(x+l)2+(j+l)2=20

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)點(diǎn)/(-2,1),5(0,-3),且線段4B為直徑，可知圓心及直徑，半徑，進(jìn)而得到圓的方程.

【詳解】圓心坐標(biāo)為(一1,一1),|AB|=V4+16=2-\/5,r=V5

所以以線段AB為直徑的圓的方程為(x+1)2+(V+1)2=5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】求圓的方程，主要有兩種方法:

(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理.如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直

線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量.一般地，與圓心

和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式.不論是哪種形式，都要確定三個獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三

個獨(dú)立等式.

才2y2

4.與橢圓一+1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(0,、歷)的橢圓方程為()

8T

2222222

AXIxy1

A.-----FB.二+匕=1——+—=1D,土+J

5736242

【答案】C

【解析】

【分析】

2,2

設(shè)與橢圓工+y1有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為上+上=1,代入點(diǎn)(o,、/5)可求得結(jié)果.

8T8+左4+左

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2222

【詳解】設(shè)與橢圓工+—=1有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為工+工=1,

848+k4+左

因?yàn)辄c(diǎn)（0,、/2）在所求橢圓上,

X-+/-=l,解得左=—2,

所以

8+左4+左

22

所以所求橢圓方程為—+^=1.

62

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用共焦點(diǎn)的橢圓方程求解是解題關(guān)鍵.

22

5.已知雙曲線!?-與=1（。>08>0）的一條漸近線方程是了=瓜，它的一個焦點(diǎn)在拋物線y=48x的準(zhǔn)

線上，則雙曲線的方程為（）

22222222

A%y1

A.--------=1B.=1C,二-匕=1D.----------=1

3610892710836279

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得。和6的關(guān)系，根據(jù)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上得。的值，結(jié)合〃、6、c關(guān)系即

可求解.

Y2V2廠

【詳解】,??雙曲線=1（〃〉0/〉0）的一條漸近線方程是y=底,

—=V3=>Z?2=3a1，

a

,**y2=48x的準(zhǔn)線方程是x——12，，c=12,

2

???。2=/+/,???144=/+3。20。2=36,b=3x36=108，

22

...雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：土—匕=1.

36108

故選：A.

6.設(shè)a>0,b>0,若;是。和6的等差中項(xiàng)，則4+工的最小值是（）

2ab

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1

A.4D.-

4

【答案】

【解析】

ha

【分析】=2+—+丁，利用基本不等式求解.

+3ab

【詳解】依題意，a+b=2x；=l(a>0,b>0),

r11、ba”=4,

則一+丁=xl=14ci-\-b]=2H------1—>2+2.

ababababab

等號成立時，a=b」

2

故選：A

7.設(shè)拋物線。:「=2"(夕〉0)的焦點(diǎn)為歹，點(diǎn)〃在C±,\MF\=5,若以敏為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),

則。的方程為

A.,2=4x或V=8x

B.y2=2x或/=8x

C.y2=或y2=16x

D.y2=2x或y2=16x

【答案】C

【解析】

【詳解】?.?拋物線。方程為/=2px(p〉0),...焦點(diǎn)/(§0),

設(shè)W(x,y),由拋物線性質(zhì)|"F|=x+曰=5,可得x=5—

因?yàn)閳A心是放的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,圓心橫坐標(biāo)為3,

2

由已知圓半徑也為據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)(0,2),故圓心縱坐標(biāo)為2,則M點(diǎn)縱坐標(biāo)為4,

即M(5-^,4)，代入拋物線方程得02_102+16=0,所以p=2或p=8.

所以拋物線C的方程為/=4x或V=16x.

故答案C.

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【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)，圓的性質(zhì)和解直角三角形等知識，屬于中檔題，

本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF,以"F為直徑的圓交拋物線于點(diǎn)(0,2),故將圓心的坐標(biāo)表示出

來，半徑求出來之后再代入到拋物線中即可求出P的值，從而求出拋物線的方程，因此正確運(yùn)用圓的性質(zhì)

和拋物線的簡單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S2+a2,星成等差數(shù)列，則數(shù)列｛4｝的公比為()

A.3B.2C.1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式用4,q表示出三項(xiàng)，再根據(jù)等差中項(xiàng)的應(yīng)用即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，公比為q(q/0),

因?yàn)镋=aA,S2+a2=o；(l+2^),53=ax(l+q+q~)成等差數(shù)列，

所以2al(l+2q)=%(2+q+r)，即q2—3q=(),q=3,

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題中錯送的是()

A.若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負(fù)數(shù)B.任何直線都存在斜率和傾斜角

c.直線的一般式方程為/x+qy+c=oD.任何一條直線至少要經(jīng)過兩個象限

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直線傾斜角、斜率的意義判斷AB；利用直線一般式方程的條件判斷C；舉例說明判斷D.

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7T

【詳解】對于A,直線的傾斜角1€勺,兀），則其斜率左=tana<0,A正確；

71

對于B,傾斜角為一的直線不存在斜率，B錯誤；

2

對于C,直線的一般式方程為Zx+8y+C=0,A2+B~^Q，C錯誤；

對于D,當(dāng)直線與x軸或了軸重合時，該直線不經(jīng)過任何象限，D錯誤.

故選：BCD

10.若方程/+「+4鵬一2y+5加=0表示的曲線為圓，則實(shí)數(shù)加的值可以為（

A.0B.C.1D.2

【答案】AD

【解析】

【分析】先將方程合理轉(zhuǎn)化，后結(jié)合二元二次方程表示圓的條件求解即可.

【詳解】方程X?+.V?+4mx-2y+5m=0,即（》+2加）~+（了-1）~=4m2-5m+1,

若方程表示圓，則4--5加+1〉0，解得<一或r>1,

4

結(jié)合選項(xiàng)可知AD正確，BC錯誤.

故選：AD

II.已知雙曲線—4/=1,則雙曲線的（）

A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（右,0）,（-石,0）B.離心率為石

C.漸近線方程為x+2y=0和x-2y=0D.虛軸長為1

【答案】CD

【解析】

【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】犬-江=ln/.〒=i,

4

所以a=l）=!,c=+62=，

22

A,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5,0）,（_號,0）,故A錯誤；

第6頁/共14頁

B,離心率為e=上=更~,故B錯誤；

a2

C,X2-4J2=0,整理可得漸近線方程為x+2y=0和x—2y=0,故C正確；

D,虛軸長26=1,故D正確.

故選：CD

12.已知拋物線CV=12x,點(diǎn)尸是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)M（4,3）,則下列說

法正確的是（）

A,拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-3

B.若|尸尸|=7,則△加的面積為26一|

C.忸川-|9|的最大值為加

D.APMF的周長的最小值為7+

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得準(zhǔn)線方程為x=-3,即可判斷A,根據(jù)拋物線定義得到礙=4,故尸點(diǎn)

可能在第一象限也可能在第三象限，分情況計(jì)算三角形面積即可判斷B,利用三角形任意兩邊之差小于第

三邊結(jié)合三點(diǎn)一線的特殊情況即可得到（|PF|-1PM|）1mx=|F\,計(jì)算即可判斷C,三角形PMF的周

=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+|PF|+VlO,再結(jié)合拋物線定義即可求出1PMi+|尸尸|的最小值，即得

到周長最小值.

【詳解】-.-y^nx,：.p=6,.-.F（3,0）,準(zhǔn)線方程為x=-3,故A正確；

根據(jù)拋物線定義得|尸丹=馬+曰=%+3=7,%=4,?.?/（4,3）,

.,.PA//8軸，當(dāng)》=4時，j=±4A/3，

若尸點(diǎn)在第一象限時，此時尸卜,46），

j3

故尸3，△尸A/F的高為1,故=萬乂3）x1=2/"-丁

若點(diǎn)。在第四象限，此時尸（4,-4百），故尸M=4jJ+3，

1N

△尸叱的高為1,故S.F=5*（46+3卜1=2抬+丁故B錯誤；

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PF\-\PM\<\MF\,...（IPFI-IPM|）max=\MF\=J（4-3），+（3-0）2=而，故c正確;

（連接尸M,并延長交于拋物線于點(diǎn)尸，此時即為|尸尸|-|/%。|最大值的情況,

圖對應(yīng)如下）

過點(diǎn)尸作尸￡>_L準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)。,

△PA/F的周長=|PA1|+|W|+|P川=『河|+|尸尸|+麗=\PM\+（P￡>|+VHT,

若周長最小，則1PMi+|0。|長度和最小，顯然當(dāng)點(diǎn)位于同一條直線上時，|「加|+|〃巴的和最小,

此時1PM+|"F|=|PZ）|=7,

故周長最小值為7+JHJ，故D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線x+Gy—2=0的傾斜角為.

【答案】150°

【解析】

【分析】由直線方程求出直線的斜率，即得傾斜角的正切值，從而求出傾斜角.

【詳解】設(shè)直線x+V3y-2=0的傾斜角為a,

由x+5/^y-2=°，得：y=一^~x+2”,

"33

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故直線的斜率k=tana

3

,.-0°<a<180°,

.?.a=150°.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的問題，是基礎(chǔ)題.

14.在等差數(shù)列｛%｝中，+。6+。10=120,則-

【答案】40

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有電+。6+。10=3%=120,然后求解即可.

【詳解】由題意有川+。6+。10=3%=120,得4=40.

故答案為：40.

15.過點(diǎn)（3,4）且與圓C：（x-2『+/=1相切的直線方程為.

【答案】x=3或15x—8歹—13=0

【解析】

【分析】求出圓。的圓心、半徑，再按直線斜率存在與否分類求解即得.

【詳解】依題意，圓C表示以C（2,0）為圓心，半徑廠=1的圓，

當(dāng)切線的斜率不存在時，過（3,4）的直線》=3與圓。相切；

3）,則公華』,

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為歹-4

解得左="，此時切線方程為15x—8〉—13=0,

8

所以所求切線方程為x=3或15x—8y—13=0.

第9頁/共14頁

故答案為：x=3或15x—8y—13=0

16.等比數(shù)列｛%｝的公比qwl,且電，4，為成等差數(shù)列，則光，的值是

【答案】-2

【解析】

&+見4+21

【分析】根據(jù)出，。3,％成等差數(shù)列，由2%=%+%，求得公比4,然后由一~/=(上、=一求

AId'IIAI

解.

【詳解】在等比數(shù)列｛%｝中，因?yàn)樵冢?，%成等差數(shù)列，

所以2a§=%+%，即2%q2=aAq+aA,

即2寸—q—1=0,

因?yàn)閝w0,

解得4=一5或q=i(舍去),

生+%_/+%_1__

所以9'

故答案為：-2

四、解答題：本題共4小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.已知直線/：y=ax+2—。過定點(diǎn)p.

(1)求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)若直線/在x軸和了軸上的截距相等，求。的值.

【答案】(1)P(l,2)

(2)。=-1或2

【解析】

【分析】(1)利用直線求定點(diǎn)的方法直接列方程求解即可.

(2)首先得出aw0,然后根據(jù)截距相等列方程求解即可.

【小問1詳解】

直線/:y=ax+2-a,a(x-l)+2-y=0,

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x-l=0x=1

則《

2—y=()n〔歹=2

定點(diǎn)P（l,2）.

【小問2詳解】

由直線/在x軸和y軸上的截距相等，顯然。不為o（否則直線/在坐標(biāo)軸上的截距不相等，與題意矛盾）,

令x=0,可得歹=2-。,

令歹=0,可得X二----，

a

a—2

由直線/在x軸和〉軸上的截距相等，有2-a=——,解得。=-1或2,

a

故Q=-1或2.

18.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點(diǎn)在X軸上，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)（0,-73）.

（2底、

（2）以點(diǎn)片（—1,0）,乙（1,0）為焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)尸2,卷.

2222

【答案】（1）土+匕=1；（2）土+匕=1.

4354

【解析】

【分析】

22

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+二=1（?！?〉0），代入所過的點(diǎn)后求出可得所求的橢圓方程.

a-b~

（2）根據(jù)橢圓的定義可求2加，再求出〃后可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.+4=1（。＞方＞0）,

ab

19_

1a=2

由題意有＜，可得《

b=5

b—A/3

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+4=1（加〉〃＞0）,焦距為2co.

mn

第11頁/共14頁

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+上=1.

54

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等，注意根據(jù)問

題的特征選擇合適的方法來處理.

19.已知等差數(shù)列｛an｝的前項(xiàng)和為S”，&=60，E。=245.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

71、

(2)記4=-----,求數(shù)列也f｝的前〃項(xiàng)和北.

anan+l

【答案】（1）4=5n—3；⑵T=------

n10〃+4

【解析】

【分析】

(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)題中條件列出方程求解，得出首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式;

(2)由(1)的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消的方法，即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

—5a}+10d=60q=2

由題意有《二'八」解得《

Si。=lOq+45d=245d=5

所以?！?2+5（n—1）=5n—3,

故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為％=5n-3；

b1.11]

（2）由"一（5〃-3