數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂合情推理第二課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.合情推理包括歸納推理和類(lèi)比推理，它是一種含有較多猜想成分的推理，因此應(yīng)注意推出的結(jié)論不一定正確.數(shù)學(xué)真理知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘和推陳出新，離不開(kāi)對(duì)特殊實(shí)例的觀察、分析、歸納、抽象概括和運(yùn)用探索性推理等過(guò)程。歸納推理和類(lèi)比推理常常被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重要方法，前者是從特殊過(guò)渡到一般的思想方法，后者是由此及彼及由彼及此的聯(lián)想方法.只要略略瀏覽中外數(shù)學(xué)史，即可發(fā)現(xiàn)許多有深遠(yuǎn)意義的極為重要的數(shù)學(xué)知識(shí)都是通過(guò)歸納與類(lèi)比發(fā)掘出來(lái)的.杰出的數(shù)學(xué)家歐拉、高斯等人都是運(yùn)用歸納與類(lèi)比的大師.歸納和類(lèi)比離不開(kāi)觀察、分析、對(duì)比、聯(lián)想.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)這方面有趣而生動(dòng)的訓(xùn)練,有助于培養(yǎng)我們的觀察能力、分析能力、聯(lián)想能力和創(chuàng)新能力.2。推理是人的一種思維形式,在數(shù)學(xué)中有著不可替代的作用，同學(xué)們要以日常生活中的許多事實(shí)為依據(jù),結(jié)合以前所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真體會(huì)推理的內(nèi)涵，并初步運(yùn)用推理知識(shí)解釋一些現(xiàn)象。(1)歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般原理的一種推理模式.歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法.歸納推理有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍；②歸納是依據(jù)若干已知的、沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì);③歸納的前提是特殊的情況,所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上的.由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般,由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的。觀察、實(shí)驗(yàn),對(duì)有限的資料作歸納整理,提出帶有規(guī)律性的說(shuō)法，乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一。(2)運(yùn)用歸納推理時(shí)的一般步驟.首先，通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律);然后,把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題(猜想）；最后,對(duì)所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)。在數(shù)學(xué)上，檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)是能否進(jìn)行嚴(yán)格的證明。（3)類(lèi)比推理(以下簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比）是在兩類(lèi)不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式。（4)類(lèi)比推理有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①類(lèi)比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究中的事物的屬性.它以舊有認(rèn)識(shí)作基礎(chǔ)，類(lèi)比出新的結(jié)果;②類(lèi)比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性；③類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)性的,不一定可靠，但卻具有發(fā)現(xiàn)的功能.(5）在運(yùn)用類(lèi)比推理時(shí),其一般步驟為：首先，找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；然后，用一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想;最后，檢驗(yàn)這個(gè)猜想。（6)注意，兩個(gè)系統(tǒng)可作類(lèi)比的前提是,它們各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致.因此，類(lèi)比的關(guān)鍵是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性（相似性)確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚，這不同于比喻.（7）類(lèi)比推理是各種邏輯思維方法中最富于創(chuàng)造性的一種方法.這是因?yàn)椋?lèi)比推理不像歸納推理那樣局限于同類(lèi)事物,也不像演繹法那樣受到一般原理的嚴(yán)格制約.運(yùn)用類(lèi)比推理,不僅可以跨越各類(lèi)事物的界限，進(jìn)行不同事物的類(lèi)比,而且既可以比較事物的本質(zhì)屬性,也可以比較非本質(zhì)屬性.同時(shí)，類(lèi)比推理比歸納推理更富于想象，因而也就更具有創(chuàng)造性。事實(shí)上,人類(lèi)在科學(xué)研究中建立的不少假說(shuō)和教學(xué)中許多重要的定理、公式都是通過(guò)類(lèi)比提出來(lái)的，工程技術(shù)中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類(lèi)比推理的啟迪下而獲得的。因此,類(lèi)比推理已成為人類(lèi)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的重要工具。3。合情推理所進(jìn)行的推理過(guò)程概括為：活學(xué)巧用1。在△ABC中，射影定理可表示為a=bcosC+ccosB。其中a、b、c依次為角A、B、C的對(duì)邊。類(lèi)比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想.解析：如右圖，在四面體P—ABC中，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA與底面ABC所成二面角的大小，我們猜想將射影定理類(lèi)比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ。（其正確性,同學(xué)們可自己證明）2。在△ABC中，余弦定理可敘述為a2=b2+c2—2bccosA,其中a、b、c依次為角A、B、C的對(duì)邊.類(lèi)比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想.解析:如例1圖示，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積,α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC、平面PBC與平面PCA、平面PCA與平面PAB所成二面角的大小，猜想余弦定理類(lèi)比推理到三維空間的表現(xiàn)形式應(yīng)為S2=—2S1S2cosα-2S2S3cosβ—2S3S1cosγ.上式可敘述為四面體的一個(gè)面的面積的平方,等于其他各面面積平方的和，減去每?jī)蓚€(gè)面面積與這兩個(gè)面夾角余弦乘積的兩倍。關(guān)于三維余弦定理的證明問(wèn)題我們可以類(lèi)比平面中的三角形射影定理證明三角形余弦定理的方法，給出較簡(jiǎn)捷的證法。先看由三角形射影定理證明其余弦定理的方法：在△ABC中，a、b、c分別表示角A、B、C的對(duì)邊，則有a=bcosC+ccosB，①b=ccosA+acosC,②c=acosB+bcosA,③①×a—②×b—③×c可得a2-b2—c2=—2bccosA，∴a2=b2+c2-2bccosA.下面給出三維余弦定理的證明，如題1圖形，記號(hào)表示面積為S1和S2的兩個(gè)面所成的二面角大小,由題1的三維射影定理可知:S=S1cos+S2cos+S3cos，①S1=S2cos+S3cos+Scos，②S2=S3cos+Scos+S1cos，③S3=Scos+S1cos+S2cos，④①×S-②×S1-③×S2-④×S3可得S2-S12—S22-S32=-2S1S2cos-2S2S3cos—2S3S1cos=—2S1S2cosα—2S2S3cosβ—2S3S1cosγ，移項(xiàng)得欲證三維余弦定理。3.一個(gè)空間用n個(gè)平面去劃分,最多能被分成幾部分？解析：在空間只有三個(gè)平面才能交于一點(diǎn)(就是說(shuō)，四個(gè)或四個(gè)以上平面不能交于一點(diǎn))以及三個(gè)或三個(gè)以上的平面產(chǎn)生的交線互不平行的時(shí)候，用n個(gè)平面去劃分空間，才能使分得的空間塊的數(shù)目最多。因此，在后面的分析中，我們假設(shè)的這些條件都是滿足的.用Vn表示由n個(gè)平面去劃分空間時(shí)所得空間塊的數(shù)目?？疾樵黾右粋€(gè)平面，可以把空間多分割出幾個(gè)空間塊，由于第n個(gè)平面與前n—1個(gè)平面相交，因此第n個(gè)平面上就有n—1條交線，這些交線滿足例3的假定條件，因此，根據(jù)例3的結(jié)論可知第n個(gè)平面被n-1條直線分成=個(gè)平面塊，而每個(gè)平面塊把它所在的那個(gè)空間塊一分為二,于是增加了個(gè)空間塊.因此得到遞推公式Vn=Vn-