數(shù)學互動課堂學案：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1.正弦函數(shù)的圖象(1）用單位圓中的正弦線，作出函數(shù)y=sinx在x∈[0，2π］上的圖象，步驟如下：①在x軸上任取一點O1，以O(shè)1為圓心作單位圓；②從這個圓與x軸交點A起把圓分成12等份;③過圓上各點作x軸的垂線，可得對應(yīng)于0，，，…，2π的正弦線；④相應(yīng)的再把x軸上從原點O開始，把0-2π這段分成12等份;⑤把角的正弦線平移，使正弦線的起點與x軸上對應(yīng)的點重合；⑥用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來即得。如圖（2）正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象——正弦曲線.因為sin(x+k·2π）=sinx,k∈Z，所以正弦函數(shù)y=sinx在x∈[—2π，0］，x∈[2π，4π］，x∈[4π,6π］，…時的圖象與x∈［0，2π]的形狀完全一樣，只是位置不同，因此我們把y=sinx在x∈[0，2π]的圖象沿x軸平移±2π,±4π，…就可得到y(tǒng)=sinx,x∈R的圖象（如下圖)。2。作正弦函數(shù)簡圖的方法—-五點法觀察正弦函數(shù)的圖象，可以看出下面五點:（0，0），（，1），（π，0），(,-1)，（2π，0）.在確定圖象形狀時起著關(guān)鍵作用,這五點描出后，正弦函數(shù)y=sinx，x∈［0,2π］的圖象的形狀就基本上確定了。在精確度要求不高的情況下，我們常用“五點法”作y=sinx在［0，2π］上的近似曲線.3.正弦函數(shù)的性質(zhì)（1）值域：從正弦線可以看出，正弦線的長度小于或等于單位圓半徑的長度；從正弦曲線可以看出，正弦曲線分布在兩條平行線y=1和y=-1之間，從這兩方面來看,都表明|sinx｜≤1，即正弦函數(shù)的值域是［-1，1］(x∈R）。(2)周期性①周期函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T,使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x±T）=f（x)，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.②正弦函數(shù)的周期從正弦線的變化規(guī)律可以看出,正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π。正弦函數(shù)的周期也可由誘導公式sin（x+2kπ)=sinx(k∈Z)得到，由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)可知，當自變量x的值每增加或減少2π的整數(shù)倍時，正弦函數(shù)值重復出現(xiàn)，即正弦函數(shù)具有周期性，且周期為2kπ(k∈Z)，最小正周期為2π.（3)奇偶性正弦函數(shù)y=sin(x∈R)是奇函數(shù)。①由誘導公式sin（-x）=—sinx可知，上述結(jié)論成立.②反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點O對稱.③正弦曲線是中心對稱圖形，其所有對稱中心為(kπ,0），正弦曲線也是軸對稱圖形，其所有對稱軸方程為x=kπ+，k∈Z。（4）單調(diào)性在正弦函數(shù)的一個周期中,如[—，］由正弦線或正弦曲線都可以看出，當x由—增加到時，sinx由—1增加到1；當x由增大到時，sinx由1減小到-1；情況如下表：x—0πsinx—1010-1由正弦函數(shù)的周期性可知:正弦函數(shù)y=sinx在每一個閉區(qū)間［—+2kπ，+2kπ］(k∈Z）上，都從—1增大到1，是增函數(shù)；在每一個閉區(qū)間［+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上都從1減小到-1，是減函數(shù)?；顚W巧用【例1】作出函數(shù)y=tanx·cosx的圖象。解析:首先將函數(shù)的解析式變形,化為最簡形式，然后作函數(shù)的圖象。變形:當cosx≠0，即x≠+kπ(k∈Z）時，有y=tanx·cosx=sinx，即y=sinx(x≠+kπ，k∈Z).其圖象如下圖：點評：函數(shù)y=tanx·cosx的圖象是y=sin(x≠+kπ，k∈Z)的圖象，因此作出y=sinx的圖象后，要把x=+kπ(k∈Z）的這些點去掉?！纠?】作函數(shù)y=的圖象.解析：同例1，首先將y=變形，然后作圖。y=化為y=｜sinx|,即y=其圖象如下圖：【例3】若sinx=a-1有意義，則a的取值范圍是___________.解析：因為｜sinx|≤1，所以|a—1｜≤1,∴-1≤a—1≤1，∴0≤a≤2.答案:0≤a≤2【例4】求下列函數(shù)的周期.（1）y=sinx;（2)y=2sin(-）。解析：（1）如果令m=x，則sinx=sinm是周期函數(shù)且周期為2π.∴sin（x+2π）=sinx，即sin［(x+4π)］=sinx?！鄖=sinx的周期是4π。（2）∵2sin（-+2π)=2sin(—）,即2sin［1［］3(x+6π）-］=2sin（—）,∴2sin(-)的周期是6π.【例5】若函數(shù)f（x)是奇函數(shù)，當x＞0時，f(x）=x2—sinx，當x＜0時,求f(x）的解析式.解析：設(shè)x＜0，則-x＞0，因為x＞0時，f（x）=x2-sinx,∴f（—x）=x2-sin（-x）=x2+sinx,又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f(-x）=—f(x），∴—f（x）=x2+sinx，即f(x）=—x2-sinx，即當x＜0時有f(x)=—x2—sinx.【例6】寫出函數(shù)y=sin(2x+)圖象的對稱軸方程及對稱中心坐標。解析：令2x+=kπ+(k∈Z)得x=+(k∈Z),令2x+=kπ（k∈Z)得x=k-(k∈Z），∴函數(shù)y=sin(2x+）圖象的對稱軸方程為x=k+(k∈Z)，對稱中心坐標為（-，0）（k∈Z).【例7】求函數(shù)y=2sin（-x）的單調(diào)區(qū)間.解析：y=2sin（—x)=-2sin(x-），∵y=sinu(u∈R)的遞增、遞減區(qū)間分別為[2kπ—,2kπ+］(k∈Z)，［2kπ+，2kπ+]（k∈Z），∴函數(shù)y=-2sin(x-）的遞增、遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定:2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），2