遼寧省沈陽一二〇中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

沈陽市第120中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)科目：數(shù)學(xué)滿分：150分時(shí)間：120分鐘命題人：佟智海李曉東審題人：李曉東一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.2.設(shè)，，，，且，，則（）A. B. C.3 D.43.的最小值為（）A. B. C.4 D.84.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.5.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C.或 D.或6.表示的曲線為（）A.兩個(gè)半圓 B.一個(gè)圓 C.半個(gè)圓 D.兩個(gè)圓7.若點(diǎn)是圓：上的任一點(diǎn)，直線：與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.8.已知點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿軸折成的二面角，則，兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件；B.直線與直線互相平行，則；C.過，兩點(diǎn)的所有直線的方程為；D.經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為.10.如圖，四棱錐中，平面平面，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，底面為矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.與平面所成角的余弦值為C.到平面的距離為2D.四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為11.已知圓：，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.圓關(guān)于直線對(duì)稱B.已知，，則的最小值為C.的最小值為D.的最大值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.直線過點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離為3，則直線的方程為______.13.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)到，的距離之比為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為______.14.手工課上，老師給同學(xué)們提供了一個(gè)如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，底邊和側(cè)棱長(zhǎng)均為4，過點(diǎn)作一個(gè)平面進(jìn)行切割，分別交、、于點(diǎn)、、，得到四棱錐，若，，則的值為______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，.（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值.16.（15分）（1）已知中，頂點(diǎn)，，的平分線所在直線的方程為，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在中，點(diǎn)，邊上的高線所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為，求邊所在直線的一般式方程.17.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，且點(diǎn)在第一象限.記的外接圓為圓.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)且不與軸重合的直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否為定值?若是定值，求出該值；否則，請(qǐng)說明理由.18.（17分）在多面體中，平面為正方形，，，二面角的平面角的余弦值為，且.（1）證明：平面平面；（2）若（），求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.19.（17分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為（）；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.（1）若平面：，平面：，直線為平面和平面的交線，求直線的單位方向向量（寫出一個(gè)即可）；（2）若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，，，平面：，平面：，求實(shí)數(shù)的值；（3）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積和相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小.

沈陽市第120中學(xué)2024—2025學(xué)年度高二上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.B2.C3.B4.A5.C6.A7.A8.D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.ACD10.BCD11.ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.或13.14.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）因?yàn)?，同理可得，所?.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樗裕援惷嬷本€與所成角的余弦值為.16.（1）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立，解得，∴.（2）設(shè)，因?yàn)樵诟呔€上，①，因?yàn)?、中點(diǎn)在中線上，所以②，聯(lián)立①②解得，，所以，設(shè)，由題意可知③，④，聯(lián)立③④解得，，所以，所以所在直線的方程為：，化簡(jiǎn)有，所以：.17.（1）由題意可得，所以，又因?yàn)?，點(diǎn)在第一象限，所以直線的傾斜角為60°，所以，，所以，設(shè)的外接圓的方程為，由有，解得，所以的外接圓的方程為：；（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，由，可得，所以，，，所以，所以是定值.18.（1）∵，，，∴，即，又∵在正方形中，，且，平面，平面，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）由（1）知，是二面角的平面角，作于點(diǎn)，則，，且平面平面，平面平面，平面，∴平面，取中點(diǎn)，連接，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，∴，其中，若，則；若，則由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，∴∴，∴綜上，，即平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍為.19.（1）記平面，的法向量為，，設(shè)直線的方向向量，因?yàn)橹本€為平面和平面的交線，所以，，即，取，則，所以直線的單位方向向量為.（2）設(shè)：，由平面經(jīng)過點(diǎn)，，，所以，解得，即：，所以記平面、、的法向量為，，，與