1.3.1等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式（2知識(shí)點(diǎn)6題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

1.3.1等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過(guò)生活中的實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義;（2）能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題。（1）掌握等比數(shù)列的概念，會(huì)證明某數(shù)列是等比數(shù)列;（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)求某等比數(shù)列通項(xiàng)公式.（難點(diǎn))（3）利用等比數(shù)列解決實(shí)際生活問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)01等比數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為q.代數(shù)形式：anan-1=q(q是常數(shù)，n≥2)或解析(1)公比是每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比，常數(shù)指的是與n無(wú)關(guān);(2)等比數(shù)列中an≠0,q≠0(否則數(shù)列會(huì)出現(xiàn)0,不可能符合等邊數(shù)列定義(3)anan-1an+1anan+1a【即學(xué)即練1】已知an,bA．a(chǎn)n+bn B．a(chǎn)n?【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】設(shè)an的公比為q1，bn對(duì)于A，令an=1顯然an對(duì)于B，an+1?b對(duì)于C，an+1an對(duì)于D，bn+12bn故選：A.知識(shí)點(diǎn)02等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an解析(1)證明由等比數(shù)列的定義可得，an所以a2a1=q,a3a把以上n-1個(gè)等式累乘可得ana1=當(dāng)n=1時(shí)，a1=故an以上的方法稱之為累乘法.(2)通項(xiàng)公式an=a1q(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為an=a1qn-1=a1q?qn,當(dāng)(4)偶數(shù)項(xiàng)的正負(fù)、奇數(shù)項(xiàng)的正負(fù)相同(a2na2n-1=【即學(xué)即練2】已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)和為13，a6-6a5A．81 B．243 C．27 D．729【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，列式求出等比數(shù)列an首項(xiàng)和公比即可得解【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q由a6-6a5+9由an的前三項(xiàng)和為13，得a1(1+q+因此等比數(shù)列an的通項(xiàng)an=故選：B【題型一：由定義判定等比數(shù)列】例1．已知數(shù)列an是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（

A．a(chǎn)2n BC．a(chǎn)n+a【答案】D【分析】對(duì)于AD：根據(jù)等比數(shù)列的定義分析判斷；對(duì)于BC：舉例說(shuō)明即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q≠0對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閍2n+1a2n對(duì)于選項(xiàng)BC：例如an=-1所以lgan，an對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閍n且an+1所以an+a故選：D.變式11．設(shè)命題p：數(shù)列an是等比數(shù)列，命題q：數(shù)列a2k-1和a2kk∈N*均為等比數(shù)列，則A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義、等比數(shù)列的定義計(jì)算可得.【詳解】設(shè)數(shù)列an的公比為q因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，所以a所以a2k-1a2k-3所以a2ka2k-2故p是q的充分條件；若數(shù)列an=2n-1n但a1=1,a2=4,故p是q的不必要條件；故p是q的充分不必要條件.故選：A變式12．等差數(shù)列an的前項(xiàng)n和為Sn，且an∈NA．?dāng)?shù)列2an一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列C．?dāng)?shù)列Snn一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列【答案】D【分析】利用等差、等比數(shù)列的定義判斷A、B、C，特殊值判斷D，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)公式為a所以2an+12an=因?yàn)閿?shù)列bn為等比數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)公式為b所以ba所以數(shù)列ban一定是等比數(shù)列，B因?yàn)镾n=n所以數(shù)列Snn一定是等差數(shù)列，C當(dāng)bn=(-1)n時(shí)，bn故選:D.【方法技巧與總結(jié)】證明某數(shù)列an是等比數(shù)列，可采取定義法，只需要證明anan-1【題型二：由遞推公式證明等比數(shù)列】例2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1A．{an+3} B．{an-3}【答案】D【分析】由數(shù)列的遞推式，計(jì)算前四項(xiàng)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷ABC；由數(shù)列的遞推式推得an+2-a【詳解】由a1=1，a2可得3a3+a1又3a4+a2由a1+3=4，a2+3=7，a3由a1-3=-2，a2-3=1，a3由a2+a1=5，a3+由3an+2+即為an+2-a可得{an+1-an}是首項(xiàng)為故選：D.變式21．已知數(shù)列an滿足an+1=3an+2，則“a1=-1”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分必要條件的證明方法，結(jié)合等比數(shù)列的定義與數(shù)列遞推式即可得解.【詳解】當(dāng)a1=-1時(shí)，因?yàn)閍n+1又a1=-1，則a1依次類推可知an+1=0，故則an是首項(xiàng)為-1，公比為1當(dāng)an是等比數(shù)列時(shí)，因?yàn)閍n+1=3當(dāng)an+1≠0時(shí)，an+1+1a所以an+1=a則a2=a1+1由a22=a1當(dāng)an+1=0，即所以a1=-1故選：C.變式22．在數(shù)列an中，a1=1．若命題p:an+1+an=A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分性和必要性分別考慮即可.【詳解】充分性：若p:an+1+則數(shù)列an-2n是以a1-2必要性：若q:an-2n則t為不為0的常數(shù)，故q不能推出p,必要性不成立，所以p是q的充分不必要條件.故選：A【方法技巧與總結(jié)】要由遞推公式證明某數(shù)列是等比數(shù)列，常見(jiàn)的方法也是采取定義法.【題型三：求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】例3．若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且3a5，1A．3 B．6 C．9 D．18【答案】C【分析】先根據(jù)等比數(shù)列部分項(xiàng)成等差得出公比，再結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)求值即可.【詳解】若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以公比q>0且3a5,即得q可得q=3，a10故選：C.變式31．設(shè)x,x+10,x-5是等比數(shù)列an的前三項(xiàng)，則an=A．-4×-32n-1 B．-4×-3【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】因?yàn)閤,x+10,x-5是等比數(shù)列an的前三項(xiàng)，所以(x+10)2=x(x-5)，解得：x=-4，x+10=6，則公比故選：A變式32．等比數(shù)列an中，a1=1，a5=-8a2A．(-2)n-1 B．-(-2)n-1 C．(-2)【答案】B【分析】根據(jù)題意等比數(shù)列的性質(zhì)可得公比q=-2，且由a5<a2【詳解】由題意知數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，由a5=-8a2因?yàn)閍5<a2，即a1q4<a所以an=a1故選：B.變式33．已知數(shù)列an滿足a1=2，a2=-1，數(shù)列3anA．3n-1+(-2)n-1C．2n-1+(-3)【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得3an+an+1=5?2n-1，然后令bn=【詳解】因?yàn)閍1=2，a2且數(shù)列3an+則3an+an+1令bn=an2即bn+1-1所以數(shù)列bn-12是以則bn-1即an2n故選：C【方法技巧與總結(jié)】要求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，首先要確定數(shù)列是等比數(shù)列，由通項(xiàng)公式an=a1qn-1【題型四：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算】例4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，6a1，12a2，-aA．14 B．28 C．42 D．56【答案】B【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a2=6a1【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，有q>0由6a1，12a2即q=6-q2，解方程可得q=2（則a4故選：B.變式41．在等比數(shù)列an中，a1+a4=8，A．19 B．49 C．1 D【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式求a1,q【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q由題意可得：a1+a所以a5故選：B.變式42．已知an是正項(xiàng)等比數(shù)列，若4a1,1A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得q=4，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算分析求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)因?yàn)?a1,12整理可得q2-3q-4=0，解得q=4或q=-1所以log8故選：D.變式43．?dāng)?shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=12SA．-7 B．-6 C．6 D．7【答案】B【分析】由已知結(jié)合an=Sn-Sn-1(n≥2)化簡(jiǎn)變形可得數(shù)列a【詳解】因?yàn)镾n=1所以Sn+1所以an+1因?yàn)镾2=12S1+2所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，1所以a8所以log2故選：B【方法技巧與總結(jié)】求等比數(shù)列的基本量，往往采取列方程組的方法求出首項(xiàng)a1和公比q便可，后面學(xué)了等比數(shù)列的性質(zhì)還有更簡(jiǎn)便的方法【題型五：實(shí)際問(wèn)題中的等比數(shù)列】例5．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問(wèn)題，即一個(gè)數(shù)列an本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列an中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列bn，則稱數(shù)列an為一階等差數(shù)列，或者bn仍舊不是等差數(shù)列，但從bn數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列cn，則稱數(shù)列an為二階等差數(shù)列，依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，A．210 B．215 C．221【答案】D【分析】根據(jù)題意，bn為等比數(shù)列，求得bn，利用累乘法可求得【詳解】設(shè)數(shù)列1,1,2,8,64,?為an設(shè)bn-1=anan-1，所以bn∴b則an=a∴a故選：D.變式51．折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國(guó)，其歷史可追溯到公元583年.在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形紙對(duì)折，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，則對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為（

）A．28 B．18 C．24【答案】A【分析】根據(jù)題意分析，從第2次開(kāi)始，每次對(duì)折后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為22的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列基本量運(yùn)算即得【詳解】對(duì)折一次得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為1，對(duì)折2次得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為22對(duì)折3次得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為12，?故對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為1×(故選：A.變式52．分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡(jiǎn)單的基本圖形，凝聚擴(kuò)散，重復(fù)累加，以迭代的方式而形成的美麗的圖案.自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等.如圖所示，為正方形經(jīng)過(guò)多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)邊所成的角為15°.若從外往里最大的正方形邊長(zhǎng)為9，則第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（

）

A．4 B．8168 C．6 D【答案】C【分析】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an，根據(jù)分形特點(diǎn)可得an是以9為首項(xiàng)，63為公比的等比數(shù)列，從而可得第【詳解】解：設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an則由已知可得an∴an+1∴an是以9為首項(xiàng)，6∴a3故選：C.【方法技巧與總結(jié)】在實(shí)際問(wèn)題中，理解題意是關(guān)鍵，能在題中提煉出等比數(shù)列的有效信息，把自然語(yǔ)言化為等比數(shù)列的符號(hào)語(yǔ)言，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列基本量的問(wèn)題求解.【題型六：等比數(shù)列通項(xiàng)公式綜合運(yùn)用】例6．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1(1)求數(shù)列an(2)若bn是公比為4的等比數(shù)列，且b1+a1，b2+a2【答案】(1)a(2)-【分析】（1）由an=Sn-Sn-1將（2）由已知條件可求出bn=4n-13，進(jìn)而得an【詳解】（1）因?yàn)?S故2Snn所以當(dāng)n≥2時(shí)，左右兩邊除以2n1-n有S所以數(shù)列Snn是以S1所以Sn故由2Snn（2）由（1）以及題意得b1即b1+116所以bn=1因?yàn)閿?shù)列an所以an+1所以3-9n-9λ<0，即λ>1故λ>13-nmax=變式61．已知等比數(shù)列an滿足a1?a5=4aA．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】設(shè)出公比，根據(jù)題目條件求出公比和首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式，并得到當(dāng)1≤n≤5時(shí)，an>1，當(dāng)n=6時(shí)，an=1，當(dāng)n≥7【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1?a5=又a7=a1q6=12所以an=a易知當(dāng)1≤n≤5時(shí)，an>1，當(dāng)n=6時(shí)，an=1，當(dāng)令Tn=a1?a2故Tn從而log2a1故選：D．變式62．正項(xiàng)數(shù)列an中，an+1=kan（k為實(shí)數(shù)），若aA．3,9 B．3,9 C．3,15 D．3,15【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式，求出a2023=31k+1+k，然后化簡(jiǎn)a【詳解】因?yàn)閍n>0，且an+1=kan，所以因?yàn)閍2022+a所以a2023所以a令t=1k+k化簡(jiǎn)可得a2022令ft=9t2-1所以13≤1-2所以a20222+故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的式子，再利用換元法求出目標(biāo)式子的取值范圍.變式63．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1，且2Sn=an+1-1A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4【答案】A【分析】根據(jù)Sn與an的關(guān)系，求出an=3n-1，則bn+3bn-1+32bn-2+?+3n-1b1=3n-n-1【詳解】2Sn≥2時(shí)，2S相減可得：2an又n=1時(shí)，2S1=a2∴數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以a對(duì)任意正整數(shù)n，都有a1得bn+3又bn+1+3②－①×3得：bn+1又a1b1=3-1-1=1，所以進(jìn)而b1由b1+b2+記f(n)=n23以下證明n≥4時(shí)，f(n)<1，因?yàn)閒(n+1)-f(n)=(n+1)即n≥4時(shí)，f(n)單調(diào)遞減，f(n)<1，綜上可得，滿足等式b1+b2+b3故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要結(jié)合幾何知識(shí)，能熟練的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)作答，關(guān)鍵是要注意構(gòu)造新數(shù)列解決問(wèn)題.變式64．已知數(shù)列an滿足a1=2(1)證明：數(shù)列an(2)在ak與ak+1之間插入k個(gè)數(shù)，使得這k+2個(gè)數(shù)組成公差為3k【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)39【分析】（1）分析可得an+1（2）由（1）可得an=【詳解】（1）因?yàn)閍n+1=3a且a1+1=3≠0，可得所以an+1是以3為首項(xiàng)，（2）由（1）可得：an+1=3由題意可得：ak+1-a即2·3k=k+120·變式65．在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”．如數(shù)列1，2第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2．設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過(guò)第n次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為Pn，所有項(xiàng)的和記為S(1)求P1(2)若Pn≥2024，求(3)是否存在實(shí)數(shù)a,b,c，使得數(shù)列{Sn}【答案】(1)P1=5；(2)10(3)存在；a+c=0，且b≠0，或2b+a+c=0，且b≠0【分析】（1）根據(jù)題中“和擴(kuò)充”的定義分析統(tǒng)計(jì)即得；（2）先判斷{P（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）原數(shù)列有3項(xiàng)，經(jīng)第1次“和擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)P1經(jīng)第2次“和擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)P2（2）數(shù)列的每一次“和擴(kuò)充”是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，設(shè)數(shù)列經(jīng)第n次“和擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)為Pn，則經(jīng)第n+1次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為P則Pn+1=P由（1）得P1-1=4，則數(shù)列{Pn-1}則Pn-1=4×2由Pn≥2024可得2n+1≥2023，因所以n的最小值為10；（3）設(shè)第n次“和擴(kuò)充”后數(shù)列的各項(xiàng)為a,a所以Sn因?yàn)閿?shù)列每一次“和擴(kuò)充”是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加這兩項(xiàng)的和，所以Sn+1即Sn+1所以Sn+1=3Sn-(a+c)因S1=a+(a+b)+b+(b+c)+c=2a+3b+2c，則由（*）知，要使數(shù)列{Sn}為等比數(shù)列，需使(Ⅰ)32a+3b+3由(Ⅰ)解得，a+c=0，且b≠0；由(Ⅱ)解得，2b+a+c=0，且b≠0.故存在a,b,c滿足的條件為a+c=0，且b≠0，或2b+a+c=0，且b≠0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于充分理解“和擴(kuò)充”的含義，求出相應(yīng)的數(shù)列遞推式，構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)與求和公式等性質(zhì)推理解題.一、單選題1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列an，a2-a1=1，當(dāng)A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=2【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)閍2-a1=1>0所以a1=1因?yàn)閝-1+1當(dāng)且僅當(dāng)q-1=1q-1即q=2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a故選：B2.在遞增的等比數(shù)列an中，a1，a5是方程x2-34x+64=0A．4 B．12 C．24 D．12或24【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解a1=2，a【詳解】x2-34x+64=0的兩個(gè)根為x1設(shè)數(shù)列an的公比為q，由已知q>0由于a1，a5是方程x2所以a1=2，a5=32，所以所以a2=4，a3故選：B．3.在高層建筑中，為了優(yōu)化建筑結(jié)構(gòu)，減少風(fēng)荷載影響，設(shè)計(jì)師可能會(huì)將建筑設(shè)計(jì)成底面樓層高度比較高，隨著樓層往上逐步按照等比數(shù)列遞減的“金字塔”形狀，已知某高層建筑共10層，第2層高度為43m，第n層高度記為anm，an是公比為32的等比數(shù)列，若第k層高度小于A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】求出通項(xiàng)公式后，再解參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意得a2=43則a1=8，故由題意得8×(32即k的最小值是4.故選：C.4.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，Sn+1A．32023-2 BC．32025-2 D【答案】B【分析】由條件可得an+1+2=3an+2，然后即可求出【詳解】因?yàn)閍n+1所以an+1而a1+2=1+2=3≠0，所以an所以a2024+2=3×3故選：B.5.已知等比數(shù)列an是遞減數(shù)列，且a3+a4A．12,1 B．13,1 C．【答案】A【分析】由等比數(shù)列時(shí)遞減數(shù)列，確定公比q∈0,1，且a3+a4=1【詳解】等比數(shù)列an是遞減數(shù)列，且a3+a4由a3+a故0<1-所以a3的取值范圍是1故選：A.6.設(shè)為Sn等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S1、S2、S4成等比數(shù)列，S2=2A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差d及首項(xiàng)a1，再借助通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求出6a【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S2=2a1由S1、S2、S4成等比數(shù)列，得(2因此an則6an-所以n=6.故選：A7.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得新數(shù)列按照同樣的方法進(jìn)行構(gòu)造，可以不斷形成新的數(shù)列．現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…依次構(gòu)造，記第n（n∈N*）次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和為Tn，則TA．1095 B．3282 C．6294 D．9843【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，得到第n次構(gòu)造后數(shù)列的和與第n+1次構(gòu)造后數(shù)列的和的關(guān)系，再求出數(shù)列Tn的通項(xiàng)即可【詳解】設(shè)第n次構(gòu)造后得的數(shù)列為1,x1,則第n+1次構(gòu)造后得到的數(shù)列為1,1+x于是Tn+1=6+3(x顯然Tn+1-3因此數(shù)列{Tn-32則Tn-3所以T7故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.8.已知公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，且a2=-16,a6=-1，記Tn的最大值為A．4 B．32 C．16 D．8【答案】D【分析】根據(jù)a2=-16，a6=-1，可得等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=-1n-12n-6，再由Tn+1【詳解】記等比數(shù)列an的公比為qq<0，則則q4=116，得所以an=32×-12由Tn+1Tn=25-n<1故Tn的最大項(xiàng)為T所以M=T5=215故選：D二、多選題9．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為TA．a(chǎn)nB．a(chǎn)nC．SnD．Tn【答案】BC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合常數(shù)列的特例，以及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)an為常數(shù)列，且an=0時(shí)，因?yàn)閎n是等比數(shù)列，所以對(duì)于B中，當(dāng)bn為常數(shù)列時(shí)，因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以an對(duì)于C中，設(shè)an的公差為d，則Sn=n因?yàn)镾n+1n+1-Sn對(duì)于D中，設(shè)bn的公比為q，則T當(dāng)q≠1時(shí)，12b1qn故選：BC．10.在數(shù)列an中，已知a1=3．當(dāng)n∈N*A．a(chǎn)2=3 B．a(chǎn)4-a3=27【答案】AC【分析】根據(jù)給定的遞推公式，計(jì)算a2判斷A；計(jì)算得an+2an【詳解】對(duì)于A，在數(shù)列an中，a則a1a2=32，而對(duì)于B，由anan+1=3n+1，得a4=3a2=9對(duì)于C，數(shù)列a2n是以a2=3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，a對(duì)于D，數(shù)列a2n-1是以a1=3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，a2n-1=3故選：AC11.已知數(shù)列an，bn滿足an=bA．b3=4a1+2 BC．當(dāng)b1=0時(shí)，an是等差數(shù)列 D．當(dāng)b【答案】BCD【分析】對(duì)于A，直接由已知得到4a1=b3，即可說(shuō)明A錯(cuò)誤；對(duì)于B，證明b1≠0，結(jié)合bn+1=2bn即可驗(yàn)證；對(duì)于【詳解】對(duì)于A，由已知有4a1=4對(duì)于B，當(dāng)a1≠0時(shí)，由于b1=b1-1+1=對(duì)于C，當(dāng)b1=0時(shí)，由bn+1所以an=bn-n+1=-n+1，從而a對(duì)于D，當(dāng)b1>1時(shí)，由于bn+1所以an+1-an=b故選：BCD.三、填空題12．公差大于零的等差數(shù)列an中，a5，7a3，a11成等比數(shù)列，若【答案】28【分析】首先由條件得到7a3【詳解】設(shè)數(shù)列an的公差為d由7a32=a所以75+d2=得d=3或d=-5所以a3故答案為：2813.已知數(shù)列an滿足an+2=3an+1-2an，a1【答案】-【分析】根據(jù)an+2=3an+1-2an可得an+2【詳解】因?yàn)閍n+2=3a又因?yàn)閍n單調(diào)遞增，所以a所以數(shù)列an+1-an是以所以an+1所以2-λ·2n-1則λ的取值范圍為-∞故答案為：-∞14.已知某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，每小時(shí)1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌.則1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)8小時(shí)的培養(yǎng)，可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】1280【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)n小時(shí)，有an個(gè)正常細(xì)菌，bn個(gè)非正常細(xì)菌，則an+1=2an，bn+1=an【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)n小時(shí)，有an個(gè)正常細(xì)菌，b則an+1=2a又a1=2，b1=1，所以則bn+12n+1所以bn2n所以bn所以bn=n?2即1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)8小時(shí)的培養(yǎng)，可分裂成1280個(gè)細(xì)菌.故答案為：1280.四、解答題15．已知等比數(shù)列an的公比q>0，且a3+(1)求an(2)若數(shù)列bn滿足bn=λ?3n【答案】(1)a(2)1【分析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）bn是嚴(yán)格增數(shù)列，利用bn+1【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，且a3+a1若a3=-3，a6=16，則若a3=2，a6=16，則所以an（2）因?yàn)閎n=λ?3所以bn+1-bbn+1即λ>18?23因?yàn)閒x=1所以當(dāng)n=1時(shí)，18?2所以λ的取值范圍是11216.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=3，且滿足a(1)求證：數(shù)列an(2)記bn=log2an-1，求數(shù)列1【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)Sn【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可求證，（2）由裂項(xiàng)相消法求和，即可求解Sn=1-1【詳解】（1）由an+1=2a又a1-1=2，所以an-1是首項(xiàng)為（2）由（1）知，an-1=2×所以1bS=1-當(dāng)n∈N*時(shí)，Sn17.已知公比大于1的等比數(shù)列an滿足a3=8，且a1、(1)求數(shù)列an(2)記bm為an在區(qū)間0,m（m為正整數(shù)）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列bm的前30【答案】(1)a(2)94【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為a1,q的形式，求解出a1,q（2）通過(guò)分析數(shù)列bm的規(guī)律，由此求得數(shù)列bm的前30項(xiàng)和【詳解】（1）令公比大于1的等比數(shù)列an的公比為qa解得a1=2q=2（2）由于21b1對(duì)應(yīng)的區(qū)間為(0,1]，則bb2,b3對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為(0,2],(0,3]，則b2b4,b5,b6,bb8,b9,?,b15對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為(0,8],(0,9],?,(0,15]b16,b17,?,b31對(duì)