專題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題(原卷版+解析)

專題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題【題型演練】一、解答題1．如圖1，在中，和是兩條弦，且，垂足為點，連接，過作于，交于點G；(1)求證：；(2)如圖2，連接、，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點，連接、、，若，，，求的長．2．如圖，是的直徑，點C是上一點，與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線與的延長線相交于點P，G是的內(nèi)心，連接并延長，交于E，交于點F，連接．(1)求證：平分；(2)連接，判斷的形狀，并說明理由；(3)若，，求線段的長．3．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，是的兩條切線，切點分別為A，B．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請說明理由，（2）知識應(yīng)用：如圖，分別與相切于點A、B、C，且，連接，延長交于點M，交于點E，過點M作交于N．①求證：是的切線：②當(dāng)cm，cm時，求的半徑及圖中陰影部分的面積．4．已知是圓O的內(nèi)接三角形，高線的延長線交圓O于點E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，過O作，求證：；(3)如圖3，若是直徑，點G、H在弧上，，延長交延長線于點P，連接，若，求線段的長．5．如圖1，在銳角中，，圓為的外接圓．(1)求證：平分．(2)如圖2，點在弧上，分別與，交于點，，且．①求證：；②若，，求圓的半徑．③如圖3，連結(jié)并延長交于，交于，若，求的值．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，是等腰直角三角形，點A，點B在x軸上（點A在點B的左側(cè)），點C在y軸的正半軸上，點D在直線BC上運動，連結(jié)AD與y軸交于點E，連結(jié)BE．(1)當(dāng)點D從點C運動到點B（C，B兩點除外）時，求證：．(2)如圖2，過B，D，E三點作⊙H與y軸的另一個交點為G，延長EH交⊙H于點F，連結(jié)GF，DG，BF．求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，若，點D在運動過程中，中是否有一個角等于，如果存在，求出此時點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．7．如圖1，在中，為弦，為直徑，且，垂足為E，P為優(yōu)弧ACB上的動點（不與端點重合），連接PD．(1)求證：；(2)在線段上有一點I，連接．且平分，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，若，的半徑為2，過點D作的切線交的延長線于點F；當(dāng)時，求的長．8．已知上兩個定點A、B和兩個動點C、D，與交于點E．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，若連接，延長交于點F，連接，，，求點O到弦的距離．9．如圖，為的直徑，C為上一點，D為延長線上一點，．(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為5，，求和的長．(3)在（2）的條件下，線段分別交于點E，F(xiàn)且，求的長．10．已知如圖1，在中，弦于點，，，．是的中點．(1)求的長；(2)求的長；(3)如圖2，若，連接交于點，試說明的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變請求出的度數(shù)，并說明理由．11．如圖，是的直徑，點在上，且滿足，，的度數(shù)之比為，連接線段．(1)求的度數(shù)；(2)求的值；(3)設(shè)，點為直徑下方半圓上的一個動點，連，點在自向運動過程中，的度數(shù)分別與，，的度數(shù)相等時，求出相應(yīng)線段的長．12．如圖，內(nèi)接于，，點為劣弧上動點，延長AD，BC交于點E，作交于，連結(jié)．(1)如圖①，當(dāng)點為的中點時，求證：；(2)如圖②，若，，請用含有的代數(shù)式表示；(3)在（2）的條件下，若，①求證：；②求的值．13．四邊形內(nèi)接于，為直徑，E在的延長線上，且與相切．平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑14．已知為的外接圓，．(1)如圖1，聯(lián)結(jié)交于點，過作的垂線交延長線于點．①求證：平分；②設(shè)，請用含的代數(shù)式表示；(2)如圖2，若，為上的一點，且點位于兩側(cè)，作關(guān)于對稱的圖形，連接，試猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．15．如圖1，在中，，是上一點（不與點，重合），過點作于點，連接并延長交的外接圓于點，連接，，．

(1)求證：．(2)若，求證：．(3)如圖2，，．①若，求的長．②求的最大值．16．如圖1，已知等腰內(nèi)接于，，，是上的一個動點，連接并延長，點在射線上，且．(1)如圖2，若是的直徑．①求的半徑長；②求的長；(2)在點的運動過程中，當(dāng)與的一條邊平行時，求的長．17．如圖1，為的外接圓，半徑為6，，，點為優(yōu)弧上異于的一動點，連接．(1)求證：平分；(2)如圖2，平分，且與交于．花花同學(xué)認(rèn)為：無論點運動到哪里，始終有；都都同學(xué)認(rèn)為：的長會隨著點運動而變化．你贊同誰的觀點，請說明理由；(3)求的最大值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于的限距點的定義如下：若為直線與的一個交點，滿足，則稱為點P關(guān)于的限距點，如圖1為點P及其關(guān)于的限距點的示意圖．(1)當(dāng)?shù)陌霃綖闀r．①分別判斷點，，關(guān)于的限距點是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；②如圖2，點D的坐標(biāo)為，DE，DF分別切于點E，F(xiàn)，點P在的邊上．若點P關(guān)于的限距點存在，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍．(2)保持（1）中D，E，F(xiàn)三點不變，點P在的邊DE，DF上沿F→D→E的方向運動，的圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，若點P關(guān)于的限距點不存在，則r的取值范圍為______．專題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題【題型演練】一、解答題1．如圖1，在中，和是兩條弦，且，垂足為點，連接，過作于，交于點G；(1)求證：；(2)如圖2，連接、，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點，連接、、，若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，可證得，從而，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）延長交于，連接，可證得，，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）作于，連接，連接，可證得，結(jié)合（2）的結(jié)論，從而得出，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，依次解求得，解求得，從而得出，，解求得，從而得出的正余弦三角函數(shù)值，從而得出的三角函數(shù)值，解斜三角形，從而求得的值，進(jìn)一步可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖2，延長交于，連接，是的直徑，，，，，；（3）解：如圖3，作于，連接，連接，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，點、、、共圓，，，，，，，，，由（2）得：，，，，，，設(shè)，，，，，，，，在中，，，，，在中，，，在中，，，，，，，在中，，，，在中，，，，在中，，，，，，，．【點睛】本題考查了圓周角定理及其推論，解直角三角形，確定圓的條件，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是探究角之間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)角度和圖形的特殊性．2．如圖，是的直徑，點C是上一點，與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線與的延長線相交于點P，G是的內(nèi)心，連接并延長，交于E，交于點F，連接．(1)求證：平分；(2)連接，判斷的形狀，并說明理由；(3)若，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)等腰三角形，見解析(3)6【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得出，結(jié)合題意可證，即得出．再根據(jù)同圓半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)，即得出，從而易證平分；（2）由直徑所對圓周角為直角可知．再根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，．由同弧或等弧所對圓周角相等可知，從而結(jié)合三角形外角性質(zhì)得：，即，即證明為等腰三角形；（3）連接，作交于點M，由圓周角定理可知．根據(jù)勾股定理可得出，即得出，從而由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股的定理求出．又易證為等腰直角三角形，同理可求出，最后再次利用勾股定理即可求出，進(jìn)而可求出．【詳解】（1）∵是切線∴．∵，∴．∴．又∵，∴，∴，即平分；（2）為等腰三角形，理由如下，∵為的直徑，∴．∵G是的內(nèi)心，∴，．∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形；（3）連接，作交于點M，如圖所示：由圓周角定理可知．∵，，，∴，∴．∵，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴．【點睛】本題為圓的綜合題，考查切線的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握圓的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．在解（3）時正確作出輔助線也是關(guān)鍵．3．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，是的兩條切線，切點分別為A，B．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請說明理由，（2）知識應(yīng)用：如圖，分別與相切于點A、B、C，且，連接，延長交于點M，交于點E，過點M作交于N．①求證：是的切線：②當(dāng)cm，cm時，求的半徑及圖中陰影部分的面積．【答案】（1），見解析；（2）①見解析；②的半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是【分析】（1）連接和，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題意求證，即可得出，即可得出答案；②根據(jù)，求出的長，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖1，連接和，∵和是的兩條切線，∴，．又∵，．∴∴，．（2）①證明：∵分別與相切于點A、B、C，∴分別平分、．又∵．∴．∴．又∵，∴又∵經(jīng)過半徑的外端點M，∴是的切線．②連接，則，∵cm，cm，∴，∴，∴即的半徑為2.4cm．∴（）綜上所述，的半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是．【點睛】本題考查圓的切線的證明、扇形的面積計算等，屬于常規(guī)考題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握圓的知識點，切線的證明與性質(zhì)，圓中的相關(guān)面積計算等．4．已知是圓O的內(nèi)接三角形，高線的延長線交圓O于點E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，過O作，求證：；(3)如圖3，若是直徑，點G、H在弧上，，延長交延長線于點P，連接，若，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）連接，先根據(jù)證明，再根據(jù)圓周角定理得到，進(jìn)一步得到，最后根據(jù)的高線的延長線交于點得到，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）延長交于點，連接，可得是的直徑，先根據(jù)得到，再證明是的中位線，得到，最后證明即可得到結(jié)論；（3）連接，過點作于點，過點作于點，設(shè)的半徑為，則先證明是等邊三角形得到和，進(jìn)一步證明以及得到，和，然后根據(jù)勾股定理得到方程，最后消去有關(guān)線段，得到關(guān)于r的方程，求出r的值，并根據(jù)求出答案即可【詳解】（1）如圖1，連接，又的高線的延長線交于點，（2）如圖2，延長交于點，連接，則是的直徑，又是的中位線，由（1）得，（3）如圖3，連接，過點作于點，過點作于點，設(shè)的半徑為，則：是等邊三角形，，即在和中①，又②，

得，又，即，即解得，或（舍去）【點睛】本題是圓綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握圓周角定理以及作輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，在銳角中，，圓為的外接圓．(1)求證：平分．(2)如圖2，點在弧上，分別與，交于點，，且．①求證：；②若，，求圓的半徑．③如圖3，連結(jié)并延長交于，交于，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②；③【分析】（1）證明，即可得出平分；（2）①連結(jié)，證明，推出，即可求證；②連結(jié)并延長交于，連結(jié)，根據(jù)，即可求出半徑的長；③延長交于，連結(jié)，利用相似三角形的性質(zhì)和判定即可求解．【詳解】（1）連結(jié)、，∵，，，∴，∴（2）①連結(jié)由，，得，∴，，又∵，∴，∴，且②連結(jié)并延長交于，連結(jié)則，由，知，∴，，∴∴，即半徑為③延長交于，連結(jié)∵，，∴，∴，即∵∴，∴，即又∵，∴∴∵，，∴∴∴，即∴，∴【點睛】本題考查圓的綜合，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，全等三角形的知識，解題的關(guān)鍵是能夠利用性質(zhì)和判定定理，進(jìn)行推理．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，是等腰直角三角形，點A，點B在x軸上（點A在點B的左側(cè)），點C在y軸的正半軸上，點D在直線BC上運動，連結(jié)AD與y軸交于點E，連結(jié)BE．(1)當(dāng)點D從點C運動到點B（C，B兩點除外）時，求證：．(2)如圖2，過B，D，E三點作⊙H與y軸的另一個交點為G，延長EH交⊙H于點F，連結(jié)GF，DG，BF．求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，若，點D在運動過程中，中是否有一個角等于，如果存在，求出此時點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3)點的坐標(biāo)為或；【分析】（1）根據(jù)為等腰直角三角形，可知，則垂直平分，則，根據(jù)，可知．（2）根據(jù)是的一個外角，可知，根據(jù)是的一個外角，可知，又根據(jù)，，則，在等腰Rt中，，則，故；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時，過點作軸于點，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可解決本題，②當(dāng)時，過點作軸與點，同理根據(jù)相似三角形求解即可．【詳解】（1）解：∵為等腰直角三角形，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，（2）解：∵是的一個外角，∴，∵是的一個外角，∴，又∵，，∴，在等腰Rt中，，∴，∴；（3）解：①當(dāng)時，過點作軸于點，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，在Rt中，，∴，∴，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，在等腰Rt中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，②當(dāng)時，過點作⊥軸與點，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，在R中，∠EFB=30°，∴，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，即，∴，∴，綜上所述，點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題屬于圓的綜合題，其中也考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖1，在中，為弦，為直徑，且，垂足為E，P為優(yōu)弧ACB上的動點（不與端點重合），連接PD．(1)求證：；(2)在線段上有一點I，連接．且平分，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，若，的半徑為2，過點D作的切線交的延長線于點F；當(dāng)時，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可證明；（2）證明，進(jìn)而命題可證；（3）連接，先計算得出是等邊三角形，作于點E，求得的長，證明，從而求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵為弦，為直徑，且，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）解：連接，∵，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是的切線，∴，，∵且，∴，∴，∴，由（2）得，作于點E，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，即，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．8．已知上兩個定點A、B和兩個動點C、D，與交于點E．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，若連接，延長交于點F，連接，，，求點O到弦的距離．【答案】(1)證明見解析(2)點O到弦的距離是【分析】（1）如圖1，根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明，可得結(jié)論；（2）如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角形的中位線定理得：為的中位線，則，由和，再由等弧所對的圓周角相等得：，所以，求出，從而得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，∵，∴，∴，∴；（2）如圖，過O作于G，∴，∵AO=OF，∴為的中位線，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點O到弦的距離是．【點睛】本題是一道圓的綜合題，其中考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合思想在本題中的應(yīng)用．9．如圖，為的直徑，C為上一點，D為延長線上一點，．(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為5，，求和的長．(3)在（2）的條件下，線段分別交于點E，F(xiàn)且，求的長．【答案】(1)見解析(2)，；(3)．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得：∠ACB=∠BCO+∠OCA=90°，根據(jù)同圓的半徑相等和已知相等的角代換可得：∠OCD=90°，可得結(jié)論；（2）先根據(jù)三角函數(shù)計算，證明，得，設(shè)設(shè)，利用勾股定理列方程可得x的值，據(jù)此即可求解；（3）證明，列比例式可得的長．【詳解】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴為的切線；（2）解：∵的半徑為5，∴，中，，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，中，，，（舍）或，即，∴；（3）解：∵，∴，設(shè)，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴．【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．10．已知如圖1，在中，弦于點，，，．是的中點．(1)求的長；(2)求的長；(3)如圖2，若，連接交于點，試說明的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變請求出的度數(shù)，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，不會發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）連接，證明，可得，代入數(shù)值求出的長，再用勾股定理即可求出的長；（2）連接，由（1）可知是等腰三角形，再由E是的中點，可得，則是圓O的直徑，再由同弧所對的圓周角相等，可知，根據(jù)，即可求的長；（3）設(shè)與的交點為G，過點G作交于點H，證明，設(shè)，則，在中，由勾股定理求出，再由BP垂直平分，可得，則，又由，可得，進(jìn)而可求出．【詳解】（1）如圖，連接．∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）連接，交的交點為，∵，∴是等腰三角形，∵E是的中點，∴，∴，∴是圓O的直徑，∴．在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3），不會發(fā)生變化，理由如下：設(shè)與的交點為G，過點G作交于點H，由（2）知，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，解得，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，是的直徑，點在上，且滿足，，的度數(shù)之比為，連接線段．(1)求的度數(shù)；(2)求的值；(3)設(shè)，點為直徑下方半圓上的一個動點，連，點在自向運動過程中，的度數(shù)分別與，，的度數(shù)相等時，求出相應(yīng)線段的長．【答案】(1)(2)(3)能；的長為：6或或【分析】（1）由，，的度數(shù)之比為，求得，的度數(shù)即可得出答案；（2）過點作于點，設(shè)，用表示即可得到答案；（3）作直徑，連接，，當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時，，此時點與點重合，；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時，則，過作于點，求得，進(jìn)而求得；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時，則，得，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：，，的度數(shù)之比為，，，的度數(shù)分別為：，，，，，；（2）解：過點作于點，如圖所示，設(shè)，，，，，，，；（3）解：作直徑，連接，，如圖所示，，，，，，當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時，則，此時點與點重合，；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時，則，，，過作于點，則，，；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時，則，。，，綜上所述，的長為：6或或．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些知識解題．12．如圖，內(nèi)接于，，點為劣弧上動點，延長AD，BC交于點E，作交于，連結(jié)．(1)如圖①，當(dāng)點為的中點時，求證：；(2)如圖②，若，，請用含有的代數(shù)式表示；(3)在（2）的條件下，若，①求證：；②求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出，，即可得證結(jié)論；（2）根據(jù)弧長的關(guān)系得出；（3）①延長至點，使，連接，，證明，得出點為的中點，點為的中點，即可得證結(jié)論；②證明，得，，，推出，，同理得出，過點作于點，分別求出和即可得出的值．【詳解】（1）解：證明：如圖①，連接，點為的中點，，，，，，；（2）由（1）可得，，，則，，，；（3）①證明：如圖②，延長至點，使，連接，，則，又，，，，即點為的中點，點為的中點，，即；②，，，又，，，即，設(shè)，，則，解得或（舍去），，，又，同理得，，過點作于點，，，，．【點睛】本題主要考查圓的綜合知識，考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．13．四邊形內(nèi)接于，為直徑，E在的延長線上，且與相切．平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑【答案】(1)，理由見解析；(2)5．【分析】（1）連接，，先證，得點B在線段的垂直平分線上，再證點O在線段的垂直平分線上，從而有垂直平分線段，即可得解；（2）連接，，先證，得，，從而求得，，，再利用勾股定理求得，，從而即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：如下圖，連接，，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴點B在線段的垂直平分線上，∵，∴點O在線段的垂直平分線上，∴垂直平分線段，∴；（2）解∶連接，，∵與相切，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，，∴，，∴，，，

∴，，∴，∴的半徑為．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、圓周角定理、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定以及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．已知為的外接圓，．(1)如圖1，聯(lián)結(jié)交于點，過作的垂線交延長線于點．①求證：平分；②設(shè)，請用含的代數(shù)式表示；(2)如圖2，若，為上的一點，且點位于兩側(cè)，作關(guān)于對稱的圖形，連接，試猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．【答案】(1)①見解析；②(2)，證明見解析【分析】（1）①證明，可得，即可得證；②首先求出，得到，根據(jù)等邊對等角得到，，在四邊形中，利用內(nèi)角和列出關(guān)系式，化簡即可；（2）猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系為：，交于點，連接，，由已知可得；利用同弧所對的圓周角相等，得到，，由于與關(guān)于對稱，于是，則得為等腰直角三角形，為直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用得到，等量代換可得結(jié)論．【詳解】（1）解：①連接，則，在和中，，∴，∴，即平分；②∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在四邊形中，，即，化簡得：；（2），，三者之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由：延長交于點，連接，，如圖，，，．，．．．與關(guān)于對稱，，，．

．．即．，，即．在和中，，

．．．【點睛】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理及其推論，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)．根據(jù)圖形的特點恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵．15．如圖1，在中，，是上一點（不與點，重合），過點作于點，連接并延長交的外接圓于點，連接，，．

(1)求證：．(2)若，求證：．(3)如圖2，，．①若，求的長．②求的最大值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①；②【分析】（1）由等弧所對的圓周角相等得，由余角的性質(zhì)得，進(jìn)而可證結(jié)論成立；（2）通過證明，得，由補角的性質(zhì)可證，等量代換得，進(jìn)而可證；（3）①由，結(jié)合勾股定理求出和，由得，設(shè)，利用求出，再利用勾股定理即可求出的長；②通過證明，可得，設(shè)，表示出和，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴；（3）①∵，，，∴．∵，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，設(shè)．∵，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②∵，∴A，C，P，D四點共圓，∴，∴．∵，∴，∴，∴．設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，取得最大值．【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的知識，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)，相似三角形的判定，以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖1，已知等腰內(nèi)接于，，，是上的一個動點，連接并延長，點在射線上，且．(1)如圖2，若是的直徑．①求的半徑長；②求的長；(2)在點的運動過程中，當(dāng)與的一條邊平行時，求的長．【答案】(1)①6；②(2)或【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；利用的結(jié)論和勾股定理解答即可；（2）利用分類討論的方法分或兩種情況解答：當(dāng)時，利用平行線的性質(zhì)和三角形的你還記得了得到為直角三角形，利用（1）的方法解答即可；當(dāng)時，過點A作，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：

是直徑，

，，∴圓的半徑長為6；，，；（2）情形1：如圖1，當(dāng)時，，，，，情形2：如圖2，當(dāng)時，則，，

過點A作于點H，

，，是等腰直角三角形，，，.∴，，綜上，的長為或．【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，過點A作利用直角三角形的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．17．如圖1，為的外接圓，半徑為6，，，點為優(yōu)弧上異于的一動點，連接．(1)求證：平分；(2)如圖2，平分，且與交于．花花同學(xué)認(rèn)為：無論點運動到哪里，始終有；都都同學(xué)認(rèn)為：的長會隨著點運動而變化．你贊同誰的觀點，請說明理由；(3)求的最大值．【答案】(1)見詳解(2)花花，理由見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)等弦對等弧、同弧或等弧所對的圓周角相等可得，即可證明平分；（2）由（1）可知，，結(jié)合平分，可得，再由