專題16特殊的平行四邊形-5年(2018~2022)中考1年模擬數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編(北京專用)(原卷版+解析)

專題16特殊的平行四邊形一、填空題1．（2021·北京·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在上，．只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形是菱形，這個(gè)條件可以是______________（寫出一個(gè)即可）．2．（2019·北京·中考真題）把圖1中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為______．3．（2019·北京·中考真題）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），對(duì)于任意矩形ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中，①存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．4．（2018·北京·中考真題）如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為________．二、解答題5．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．6．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．7．（2021·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長(zhǎng)．8．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點(diǎn)．E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求EF的長(zhǎng)（用含的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2020·北京·中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長(zhǎng)．10．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．11．（2018·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，AB//DC，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長(zhǎng)．一、填空題1．（2022·北京·東直門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD中，將線段BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE、DE，若正方形邊長(zhǎng)為2，則圖中陰影部分的面積是_____．2．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測(cè)）下面是六個(gè)推斷：①因?yàn)槠浇堑膬蓷l邊在一條直線上，所以直線是一個(gè)平角．②因?yàn)橹芙堑膬蓷l邊在一條射線上，所以射線是一個(gè)周角．③因?yàn)樯刃问菆A的一部分，所以圓周的一部分是扇形．④因?yàn)槠叫械木€段沒有交點(diǎn)，所以不相交的兩條線段平行．⑤因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)都相等，所以邊長(zhǎng)相等的四邊形是正方形．⑥因?yàn)榈妊切斡袃蓚€(gè)內(nèi)角相等，所以有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形．其中正確的結(jié)論有_____個(gè)，其序號(hào)是_____．3．（2022·北京豐臺(tái)·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接EF，只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形EFCB是菱形，這個(gè)條件可以是____________（寫出一個(gè)即可）．4．（2022·北京順義·一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，將矩形ABCD繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形EFCG，連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，則_______．5．（2022·北京·北理工附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形，是上一點(diǎn)，，于，則的長(zhǎng)為______．6．（2022·北京·東直門中學(xué)一模）如圖將一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，AD與BC′交于點(diǎn)E，若∠ABE＝30°，BC＝3，則DE的長(zhǎng)度為_____．7．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校一模）對(duì)于題目：“如圖1，平面上，正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為12、寬為6的矩形，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)．”甲、乙、丙作了自認(rèn)為邊長(zhǎng)最小的正方形，先求出該邊長(zhǎng)，再取最小整數(shù)．甲：如圖2，思路是當(dāng)為矩形對(duì)角線長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n=14．乙：如圖3，思路是當(dāng)為矩形外接圓直徑長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n=14．丙：如圖4，思路是當(dāng)為矩形的長(zhǎng)與寬之和的倍時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n=13．甲、乙、丙的思路和結(jié)果均正確的是___________．8．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校一模）如圖1，將矩形和正方形分別沿對(duì)角線和剪開，拼成如圖2所示的平行四邊形，中間空白部分的四邊形是正方形．如果正方形和正方形的面積分別是16和1，則矩形的面積為_______．9．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，，則的長(zhǎng)為___．二、解答題10．（2022·北京房山·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFEB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形BFCE是矩形；(2)連接AC，若AB=BE=2，，求AC的長(zhǎng)11．（2022·北京四中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE＝OD，BF⊥AE于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的長(zhǎng)．12．（2022·北京·清華附中一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，連結(jié)BF.

(1)求證：FB=FD；(2)如圖2，連結(jié)CD，點(diǎn)H在線段BE上（不含端點(diǎn)），且BH=CE，連結(jié)AH交BF于點(diǎn)N.①判斷AH與BF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②連接CN．若AB=2，請(qǐng)直接寫出線段CN長(zhǎng)度的最小值.13．（2022·北京一七一中一模）如圖，在中，AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AD＝8，tanB，CF，求AF的長(zhǎng)．14．（2022·北京房山·二模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，且AO＝BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平分線DE交AB于點(diǎn)E，當(dāng)AD＝3，tan∠CAB＝時(shí)，求AE的長(zhǎng)．15．（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）已如，如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B作AD的平行線，兩線交于點(diǎn)E，連接DE交AB于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=，求四邊形AEBC的面積．16．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)F，使得EF＝DA，連接BF，CF．（1）求證：四邊形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的長(zhǎng)．17．（2022·北京市師達(dá)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α（0°＜α＜45°），得到線段CE，連接DE，過點(diǎn)B作BF⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于F，連接BE．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）直接寫出∠FBE的度數(shù)；（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、作CEBD，DEAC，CE和DE交于點(diǎn)E(1)求證：四邊形ODEC是矩形；(2)當(dāng)∠ADB＝60°，AD＝10時(shí)，求CE和AE的長(zhǎng)．19．（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，?ABCD的兩條對(duì)角線相交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E，已知∠DBA=∠DBC，AB=5．(1)求證：四邊形ABCD為菱形；(2)若sin∠ADB=，求線段OE的長(zhǎng)．20．（2022·北京海淀·一模）如圖，在中，，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在射線AD上，且．(1)求證：四邊形BECF是菱形；(2)若，，求菱形BECF的面積．21．（2022·北京西城·一模）如圖，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段BD上，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，且DE=DF，連接AE，CE，AF，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的長(zhǎng)．22．（2022·北京市師達(dá)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接EF并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若∠CEG=30°，AE=2，求EG的長(zhǎng)．23．（2022·北京石景山·一模）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CD，CF，BF．(1)求證：四邊形BFCD是菱形；(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面積．24．（2022·北京東城·一模）如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)（），連接BE，DE．(1)求證：；(2)過點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使得，連接DG．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示BE與DG的數(shù)量關(guān)系，并證明．25．（2022·北京房山·二模）如圖，點(diǎn)P是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足且，過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)連接，若，請(qǐng)直接寫出線段長(zhǎng)度的最小值．26．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1．對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AP交BD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)H，OP交CD于點(diǎn)F，且EF與AC平行．（1）求證：EF⊥BD．（2）求證：四邊形ACPD為平行四邊形．（3）求OF的長(zhǎng)度．27．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，連接EA，EC．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為______；(2)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的外部時(shí)，①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線BF交EC于點(diǎn)G，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．專題16特殊的平行四邊形一、填空題1．（2021·北京·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在上，．只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形是菱形，這個(gè)條件可以是______________（寫出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，若要添加一個(gè)條件使其為菱形，則可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故答案為（答案不唯一）．2．（2019·北京·中考真題）把圖1中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為______．【答案】12【解析】解：如圖1所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，設(shè)OA=x，OB=y，由題意得：，解得：，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD的面積=；故答案為12．3．（2019·北京·中考真題）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），對(duì)于任意矩形ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中，①存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②③【解析】解：①如圖，∵四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于O，∴OA=OB=OC=OD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠OBM=∠ODP，∠OAQ=∠OCN，過點(diǎn)O的直線MP和QN，分別交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，∴∠BOM=∠DOP，∠AOQ=∠CON，所以△BOM≌△DOP（ASA），△AOQ≌△CON（ASA），所以O(shè)M=OP，OQ=ON，則四邊形MNPQ是平行四邊形，故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確；②如圖，當(dāng)PM=QN時(shí)，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；故正確；③如圖，當(dāng)PM⊥QN時(shí)，存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；故正確；④當(dāng)四邊形MNPQ是正方形時(shí)，MQ=PQ，則△AMQ≌△DQP，∴AM=QD，AQ=PD，∵PD=BM，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，四邊形MNPQ是正方形，故錯(cuò)誤；故正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．故答案為：①②③．4．（2018·北京·中考真題）如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，//，，在中，，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∵//，∴，∴．故答案為：．二、解答題5．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【解析】(1)證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．6．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．(2)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∴四邊形ABCD為菱形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．7．（2021·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2），【解析】（1）證明：∵，∴AD∥CE，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）可得四邊形是平行四邊形，∴，∵，平分，，∴，∴EF=CE=AD，∵，∴，∴，∴．8．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點(diǎn)．E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求EF的長(zhǎng)（用含的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．【解析】（1）∵D是AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)∴DE為的中位線，且∴，∵∴∵∴∴四邊形DECF為矩形∴∴則在中，；（2）過點(diǎn)B作AC的平行線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FG∵∴，∵D是AB的中點(diǎn)∴在和中，∴∴，又∵∴DF是線段EG的垂直平分線∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．9．（2020·北京·中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】解：(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴OE為△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．(2)∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=10，∴AE=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5，∵四邊形OEFG為矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案為：OE=5，BG=2．10．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）BH=AE，理由見解析【解析】（1）證明：連接．∵，關(guān)于對(duì)稱．∴．．在和中，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．證明：在上取點(diǎn)使得，連接．∵四這形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．11．（2018·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，AB//DC，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）OE=2．【解析】（1）證明：∵AB//CD，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵∥，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴是菱形．（2）解：∵四邊形是菱形，對(duì)角線、交于點(diǎn)，∴，，，∴，在Rt△AOB中，，∴，∵，∴，在Rt△AEC中，，為中點(diǎn)，∴．一、填空題1．（2022·北京·東直門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD中，將線段BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE、DE，若正方形邊長(zhǎng)為2，則圖中陰影部分的面積是_____．【答案】【解析】解：由題意知，∵∴∴到邊上的高；到邊上的高∴故答案為：

．2．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測(cè)）下面是六個(gè)推斷：①因?yàn)槠浇堑膬蓷l邊在一條直線上，所以直線是一個(gè)平角．②因?yàn)橹芙堑膬蓷l邊在一條射線上，所以射線是一個(gè)周角．③因?yàn)樯刃问菆A的一部分，所以圓周的一部分是扇形．④因?yàn)槠叫械木€段沒有交點(diǎn)，所以不相交的兩條線段平行．⑤因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)都相等，所以邊長(zhǎng)相等的四邊形是正方形．⑥因?yàn)榈妊切斡袃蓚€(gè)內(nèi)角相等，所以有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形．其中正確的結(jié)論有_____個(gè)，其序號(hào)是_____．【答案】

1

⑥【解析】解：①因?yàn)橹本€沒有端點(diǎn)，所以直線不是平角，故此小題錯(cuò)誤；②因?yàn)樯渚€是一條線，所以射線不是角，故此小題錯(cuò)誤；③因?yàn)橐粭l弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形，所以圓周的一部分不是扇形，故此小題錯(cuò)誤；④因?yàn)榫€段有兩個(gè)端點(diǎn)，所以不相交的兩條線段不一定平行，故此小題錯(cuò)誤；⑤因?yàn)檫呴L(zhǎng)相等的四邊形有可能是菱形，所以此小題錯(cuò)誤；⑥符合等腰三角形的性質(zhì)及判定定理，故此小題正確．故正確的結(jié)論有1個(gè)，其序號(hào)是⑥．故答案為：1，⑥．3．（2022·北京豐臺(tái)·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接EF，只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形EFCB是菱形，這個(gè)條件可以是____________（寫出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】解：四邊形是平行四邊形，，分別是的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，要使四邊形是菱形，添加的這個(gè)條件可以是，故答案為：（答案不唯一）．4．（2022·北京順義·一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，將矩形ABCD繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形EFCG，連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，則_______．【答案】【解析】如圖，延長(zhǎng)DH交EF于點(diǎn)k，∵H是的中點(diǎn)又則故答案為：5．（2022·北京·北理工附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形，是上一點(diǎn)，，于，則的長(zhǎng)為______．【答案】【解析】∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為．6．（2022·北京·東直門中學(xué)一模）如圖將一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，AD與BC′交于點(diǎn)E，若∠ABE＝30°，BC＝3，則DE的長(zhǎng)度為_____．【答案】2．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，由折疊的性質(zhì)得：∠CBD＝∠C'BD，∵∠ABE＝30°，∴BE＝2AE，∠CBD＝∠C'BD＝∠EDB＝30°，∴DE＝BE＝2AE，∵AD＝AE+DE＝3，∴AE+2AE＝3，∴AE＝1，∴DE＝2；故答案為：2．7．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校一模）對(duì)于題目：“如圖1，平面上，正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為12、寬為6的矩形，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)．”甲、乙、丙作了自認(rèn)為邊長(zhǎng)最小的正方形，先求出該邊長(zhǎng)，再取最小整數(shù)．甲：如圖2，思路是當(dāng)為矩形對(duì)角線長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n=14．乙：如圖3，思路是當(dāng)為矩形外接圓直徑長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n=14．丙：如圖4，思路是當(dāng)為矩形的長(zhǎng)與寬之和的倍時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n=13．甲、乙、丙的思路和結(jié)果均正確的是___________．【答案】甲、乙【解析】∵矩形長(zhǎng)為12寬為6，∴矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為：，∵矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，∴該正方形的邊長(zhǎng)不小于，∵，∴該正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)n為14．故甲的思路正確，長(zhǎng)方形對(duì)角線最長(zhǎng)，只要對(duì)角線能通過就可以，結(jié)果也正確；乙的思路正確，長(zhǎng)方形對(duì)角線就是圓的直徑最長(zhǎng)，只要圓能通過就可以，結(jié)果也正確；丙的思路錯(cuò)誤，長(zhǎng)方形對(duì)角線最長(zhǎng)，只要對(duì)角線能通過才可以，故丙的思路與結(jié)果都錯(cuò)誤；故答案為：甲、乙．8．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校一模）如圖1，將矩形和正方形分別沿對(duì)角線和剪開，拼成如圖2所示的平行四邊形，中間空白部分的四邊形是正方形．如果正方形和正方形的面積分別是16和1，則矩形的面積為_______．【答案】15【解析】解：∵正方形EFCH和正方形KRST的面積分別是16和1，∴正方形EFCH和正方形KRST的邊長(zhǎng)分別是4和1，則矩形ABCD的面積為（4+1）×（4-1）=15．故答案為：15．9．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，，則的長(zhǎng)為___．【答案】【解析】解：∵正方形ABCD是由四個(gè)全等的三角形圍成的，∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE＋∠BAE＝90°，∴四邊形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°∴四邊形EGFH是正方形∴EF＝EG＝故答案為：二、解答題10．（2022·北京房山·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFEB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形BFCE是矩形；(2)連接AC，若AB=BE=2，，求AC的長(zhǎng)【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形∵∴∴四邊形是矩形．(2)解：∵四邊形是矩形∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，．11．（2022·北京四中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE＝OD，BF⊥AE于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)EF和AD的長(zhǎng)分別為4和10【解析】(1)證明：∵，∴，在和中，，∴（HL），∴AO=CO，又∵OE=OD，∴四邊形AECD為菱形．(2)解：∵AB平分，∴BF=BO=3，在中，由勾股定理可得，，在和中，，∴（HL），∴AO=AF，設(shè)AO=AF=x，AE=4+x，在中，由勾股定理可得，，得，解得，∴AE=4+6=10，即AD=10，∴EF和AD的長(zhǎng)分別為4和10．12．（2022·北京·清華附中一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，連結(jié)BF.

(1)求證：FB=FD；(2)如圖2，連結(jié)CD，點(diǎn)H在線段BE上（不含端點(diǎn)），且BH=CE，連結(jié)AH交BF于點(diǎn)N.①判斷AH與BF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②連接CN．若AB=2，請(qǐng)直接寫出線段CN長(zhǎng)度的最小值.【答案】（1）見解析；（2）①AH⊥BF，見解析；②.【解析】（1）證明：如圖1中，∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，∴∠BAD=90°，BA=AD，∴∠FAD=∠FAB=45°，∵AF=AF，∴△FAD≌△FAB（SAS），∴BF=DF．（2）①解：結(jié)論：AH⊥BF．理由：如圖2中，連接CD．∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥BC，∵AD=AB=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形，∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE，∴△ABH≌△DCE（SAS），∴∠BAH=∠CDE，∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB，∴△CFD≌△CFB（SAS），∴∠CDF=∠CBF，∴∠BAH=∠CBF，∵∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAH+∠ABF=90°，∴∠ANB=90°，∴AH⊥BF．②如圖3中，取AB的中點(diǎn)O，連接ON，OC．∵∠ANB=90°，AO=OB，∴ON=AB=1，在Rt△OBC中，OC=，∵CN≥OC-ON，∴CN≥-1，∴CN的最小值為-1．13．（2022·北京一七一中一模）如圖，在中，AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AD＝8，tanB，CF，求AF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）10【解析】（1）在中，∴四邊形AEFD是平行四邊形于點(diǎn)E四邊形AEFD是矩形；（2）在中，在中，，即∵四邊形AEFD是矩形在中，.14．（2022·北京房山·二模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，且AO＝BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平分線DE交AB于點(diǎn)E，當(dāng)AD＝3，tan∠CAB＝時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝2AO，BD＝2BO．∵AO＝BO，∴AC＝BD．∴平行四邊形ABCD為矩形．(2)過點(diǎn)E作EG⊥BD于點(diǎn)G，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴EA⊥AD，∵DE為∠ADB的角平分線，∴EG＝EA．∵AO＝BO，∴∠CAB＝∠ABD．∵AD＝3，tan∠CAB＝，∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．∴AB＝4．∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝．設(shè)AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，在△BEG中，∠BGE＝90°，∴sin∠ABD＝．解得：x＝，∴AE＝．故答案為：.15．（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）已如，如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B作AD的平行線，兩線交于點(diǎn)E，連接DE交AB于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=，求四邊形AEBC的面積．【答案】（1）見解析；（2）18【解析】（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四邊形ADBE是平行四邊形．

∵AB=AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC．即∠ADB=90°．∴四邊形ADBE為矩形．（2）∵在矩形ADBE中，AO=，∴DE=AB=5．∵D是BC的中點(diǎn)，∴AE=DB=4，∴根據(jù)勾股定理，∴．16．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)F，使得EF＝DA，連接BF，CF．（1）求證：四邊形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）EF=．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵EF=DA，∴EF=BC，EF∥BC，∴四邊形BCEF是平行四邊形，又∵CE⊥AD，∴∠CEF=90°，∴平行四邊形BCEF是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=3，∵CF=4，DF=5，∴CD2+CF2=DF2，∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，∴△CDF的面積=DF×CE=CF×CD，∴CE=，由（1）得：EF=BC，四邊形BCEF是矩形，∴∠FBC=90°，BF=CE=，∴BC=，∴EF=．17．（2022·北京市師達(dá)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α（0°＜α＜45°），得到線段CE，連接DE，過點(diǎn)B作BF⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于F，連接BE．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）直接寫出∠FBE的度數(shù)；（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）補(bǔ)圖見解析；（2）；（3）DE＝，證明見解析．【解析】解：（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示：（2）∠FBE＝45°．理由如下：設(shè)DF與AB交于點(diǎn)G，如圖所示：由題意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠EDC＝90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，∴∠ABE＝45°﹣α．∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°．∵∠AGD＝∠FGB，∴∠FBG＝α（3）DE＝．證明：如圖，作AH⊥AF，交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由（2）得：∠FBE＝∠FEB＝45°．∴FB＝FE．∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，∴∠HAB＝∠FAD，∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，∴△HAB≌△FAD（ASA），∴HB＝FD，AH＝AF，∴HF＝DE，∠H＝45°．∴HF＝AF．∴DE＝AF．18．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、作CEBD，DEAC，CE和DE交于點(diǎn)E(1)求證：四邊形ODEC是矩形；(2)當(dāng)∠ADB＝60°，AD＝10時(shí)，求CE和AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵DEAC，CEBD，∴四邊形ODEC是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∴平行四邊形ODEC是矩形；(2)解：∵在Rt△AOD中，∠ADO＝60°，∴∠OAD＝30°，∵AD＝10，∴，∴AO，∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵四邊形ODEC是矩形，∴∠ACE＝90°，CE＝OD＝5，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝．19．（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，?ABCD的兩條對(duì)角線相交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E，已知∠DBA=∠DBC，AB=5．(1)求證：四邊形ABCD為菱形；(2)若sin∠ADB=，求線段OE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DBA=∠DBC，∴∠ADB=∠DBA，∴AD=AB，∴四邊形ABCD為菱形；(2)解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AD=AB=5，OB=OD，∵sin∠ADB=，∴OA=4，∴OB=OD==3，∵OE⊥AB，△OAB的面積=AB×OE=OA×OB，∴OE=．20．（2022·北京海淀·一模）如圖，在中，，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在射線AD上，且．(1)求證：四邊形BECF是菱形；(2)若，，求菱形BECF的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)，D是BC的中點(diǎn)，，，四邊形BECF是菱形；(2)設(shè)，，，，，，，，在中，，即，解得，，菱形BECF的面積．21．（2022·北京西城·一模）如圖，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段BD上，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，且DE=DF，連接AE，CE，AF，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)BA=BC，BD平分∠ABCDE=DF四邊形AECF是菱形；(2)，BA⊥AF，BA=BCAD=4在中，四邊形AECF是菱形22．（2022·北京市師達(dá)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接EF并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若∠CEG=30°，AE=2，求EG的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵BE=DF，∴≌，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形；(2)如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CEG=∠G，∠AEB=∠EAG，∵∠CEG=30°，AE⊥BC，∴∠G=30°，∠EAG=90°，又∵AE=2，∴EG=2AE=4．23．（2022·北京石景山·一模）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CD，CF，BF．(1)求證：四邊形BFCD是菱形；(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面積．【答案】(1)見解析(2)菱形BFCD的面積為120．【解析】(1)證明：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，又∵EF=DE，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵D是邊AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴CD=AB=BD，∴平行四邊形BFCD是菱形；(2)解：∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∵cosA=，∴cos∠BDE==，∵DE=5，∴BD=13，∴BE=12，∴DF=2DE=10，BC=2BE=24，∴菱形BFCD的面積=×10×24=120．24．（