專題11反比例函數(shù)(原卷版+解析)

第11講反比例函數(shù)（精講精練）結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的關(guān)系式能畫出反比例函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和關(guān)系式探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況能用反比例函數(shù)解決簡單實際問題TOC\o"1-1"\h\u考點1：反比例函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì) 3考點2：確定函數(shù)解析式 10考點3：反比例函數(shù)與幾何綜合 19考點4：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合 31考點5：實際問題與反比例函數(shù) 43課堂總結(jié)：思維導圖 55分層訓練：課堂知識鞏固 56考點1：反比例函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)1.反比例函數(shù)的概念：（1）定義：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實數(shù)．（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②;③xy=k.(其中k為常數(shù)，且k≠0)2.反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)3.反比例函數(shù)的圖象特征（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線．｛反比例函數(shù)的定義★｝下面的函數(shù)是反比例函數(shù)的是A． B． C． D．｛反比例函數(shù)的定義★｝若函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是A．1 B． C．2或 D．2｛反比例函數(shù)的圖像★｝函數(shù)與在同一坐標系的圖象可能是下列選項中的A．B．C． D．｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★｝對于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是A．這個函數(shù)的圖象分布在第一、三象限 B．點在這個函數(shù)圖象上 C．這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．當時，隨的增大而增大｛反比例函數(shù)的圖像★｝已知在同一直角坐標系中二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★｝已知反比例函數(shù)，在下列結(jié)論中，不正確的是A．圖象必經(jīng)過點 B．圖象在第一、三象限 C．若，則 D．點，，，圖象上的兩點，且，則｛反比例函數(shù)的定義★｝已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值為．｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★｝（2021?茶陵縣模擬）如圖，點是反比例函數(shù)與的一個交點，圖中陰影部分的面積為，則反比例函數(shù)的解析式為．（2021?荊門）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的大致圖象是A．①② B．②③ C．②④ D．③④（2021?聊城）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標系中大致為A．B．C． D．（2021?黔西南州）對于反比例函數(shù)，下列說法錯誤的是A．圖象經(jīng)過點 B．圖象位于第二、第四象限 C．當時，隨的增大而減小 D．當時，隨的增大而增大（2021?杭州）已知和均是以為自變量的函數(shù)，當時，函數(shù)值分別是和，若存在實數(shù)，使得，則稱函數(shù)和具有性質(zhì)．以下函數(shù)和具有性質(zhì)的是A．和B．和C．和 D．和考點2：確定函數(shù)解析式待定系數(shù)法：只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設(shè)函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)k即可.｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝一個反比例函數(shù)圖象過點，則這個反比例函數(shù)的解析式是．｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，菱形的邊在軸上，點，，若反比個例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則反比例函數(shù)解析式為．｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的交于點，連接，若．（1）反比例函數(shù)的解析式為；（2）若直線與軸的交點為，則的面積為．｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝已知平行四邊形中，、，，反比例函數(shù)是經(jīng)過線段的中點，則反比例函數(shù)解析式為．｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的頂點，為斜邊的中點，則過點的反比例函數(shù)圖象的函數(shù)表達式為．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，過作軸于點．點為反比例函數(shù)圖象上的一動點，過點作軸于點，直線與軸的負半軸交于點．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）若，求的面積．如圖，平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象上、兩點的坐標分別為，．（1）求反比例函數(shù)和直線的解析式；（2）連接、，求的面積．（2020?黔西南州）如圖，在菱形中，，，菱形的一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為A． B． C． D．（2021?西藏）如圖．在平面直角坐標系中，的面積為，垂直軸于點，與雙曲線相交于點，且．則的值為A． B． C．3 D．（2020?黔南州）如圖，正方形的邊長為10，點的坐標為，點在軸上，若反比例函數(shù)的圖象過點，則該反比例函數(shù)的解析式為．考點3：反比例函數(shù)與幾何綜合（1）意義：從反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為|k|.（2）常見的面積類型：｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，，是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點，且，兩點的橫坐標分別是2和3，則的面積是A．4.5 B．3.5 C．2.5 D．1.5｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，是反比例函數(shù)圖象上一點，過點作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點，點在軸上，且，則的值為A．7 B． C． D．5｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，已知，，，，反比例函數(shù)的圖象與線段交于，兩點，若，則A． B．4 C．3 D．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，中，，點在軸上，反比例函數(shù)的圖象過斜邊的中點，與交于點．若的面積為3，則的值是A．1 B． C．2 D．3｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，點與點分別在函數(shù)與的圖象上，線段的中點在軸上．若的面積為3，則的值是．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，、兩點在反比例函數(shù)的圖象上，過點作軸于點，交于點．若，的面積為1，則的值為．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，點、在反比例函數(shù)的圖象上，直線經(jīng)過原點，點在軸正半軸上，且，，，則的值為．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，等腰中，底邊軸，與軸交于點，點，在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上，若與的面積差為12．則的值為．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，曲線是雙曲線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，是曲線上任意一點，點在直線上，且，則的面積為．（2021?玉林）如圖，是等腰三角形，過原點，底邊軸，雙曲線過，兩點，過點作軸交雙曲線于點，若，則的值是．（2021?齊齊哈爾）如圖，點是反比例函數(shù)圖象上一點，軸于點且與反比例函數(shù)的圖象交于點，，連接，．若的面積為6，則．（2021?羅湖區(qū)）如圖，的一條直角邊在軸上，雙曲線經(jīng)過斜邊的中點，與另一直角邊交于點．若，則的值為．考點4：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合（1）確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為（a,b），則根據(jù)中心對稱性，可得另一個交點坐標為（－a,－b）.【方法二】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，利用方程思想求解.（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函數(shù)解析式中求解（3）在同一坐標系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系，可采用假設(shè)法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排除.（4）比較函數(shù)值的大小：主要通過觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結(jié)合交點坐標，確定出解集的范圍.｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝（2021?棗莊）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，其中點的橫坐標為1．當時，的取值范圍是．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的一個交點為第三象限內(nèi)一點．則不等式的解集為．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝設(shè)函數(shù)與的圖象的交點坐標為，則的值為．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象分別交于、兩點，連接、，若的面積為4，則值為．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝（2021?巴中）如圖，雙曲線與直線交于點、，與兩坐標軸分別交于點、，已知點，連接、．（1）求，，的值；（2）求的面積；（3）作直線，將直線向上平移個單位后，與雙曲線有唯一交點，求的值．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝如圖，若反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于、兩點，當時，則的取值范圍是．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象有一個交點的坐標為，則關(guān)于的不等式的解集為．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，在第二象限內(nèi)，當時，的取值范圍是，則．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝（2021?樂山）如圖，直線分別交軸、軸于、兩點，交反比例函數(shù)的圖象于、兩點．若，且的面積為4．（1）求的值；（2）當點的橫坐標為時，求的面積．（2021?威海）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，點．當時，的取值范圍是A． B．或 C． D．或（2021?通遼）定義：一次函數(shù)的特征數(shù)為，，若一次函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，且點，關(guān)于原點對稱，則一次函數(shù)的特征數(shù)是A．， B．， C．， D．，（2021?荊州）已知：如圖，直線與雙曲線在第一象限交于點，與軸、軸分別交于，兩點，則下列結(jié)論錯誤的是A． B．是等腰直角三角形 C． D．當時，考點5：實際問題與反比例函數(shù)1.一般步驟：（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系；（2設(shè)出函數(shù)表達式；（3）依題意求解函數(shù)表達式；（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝某品牌的飲水機接通電源就進入自動程序：開機加熱到水溫，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與開機后用時成反比例關(guān)系，直至水溫降至，飲水機關(guān)機．飲水機關(guān)機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為時，接通電源后，水溫和時間的關(guān)系如圖所示，水溫從降到所用的時間是A．27分鐘 B．20分鐘 C．13分鐘 D．7分鐘｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為的條件下生長最快的新品種．如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度隨時間（小時）變化的函數(shù)圖象，其中段是雙曲線的一部分，則當時，大棚內(nèi)的溫度約為A． B． C． D．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝為了預防“流感”，某學校對教室采用藥熏法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與藥物點燃后的時間（分成正比例，藥物燃盡后，與成反比例（如圖所示），已知藥物點燃后6分鐘燃盡，此時室內(nèi)每立方米空氣中含藥量為12毫克．（1）求藥物燃燒時和藥物燃盡后，與之間的函數(shù)表達式；（2）研究表明：空氣中每立方米的含藥量不低于6毫克，且持續(xù)5分鐘以上才能有效殺滅空氣中的病菌，請計算說明此次消毒能否有效殺滅空氣中的病菌．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝為了推進鄉(xiāng)村振興道路，解決特產(chǎn)銷售困難的問題，云南某鄉(xiāng)政府在芒果成熟后，幫助果農(nóng)引進芒果經(jīng)銷商．已知某經(jīng)銷商從果農(nóng)處進購芒果的成本價為4元千克，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量（千克）與銷售單價（元千克）之間的關(guān)系如圖所示，其中為反比例函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分．（1）求每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系；（2）當銷售單價為多少時，該經(jīng)銷商每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝某口罩生產(chǎn)企業(yè)于2020年1月份開始了技術(shù)改造，其月利潤（萬元）與月份之間的變化如圖所示，技術(shù)改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，技術(shù)改造完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項錯誤的是A．4月份的利潤為45萬元 B．改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元 C．改造完成前后共有5個月的利潤低于135萬元 D．9月份該企業(yè)利潤達到205萬元｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝為了推動“成渝地區(qū)雙城經(jīng)濟圈”的建設(shè)，某工廠為了推進產(chǎn)業(yè)協(xié)作“一條鏈”，自2021年1月開始科學整改，其月利潤（萬元）與月份之間的變化如圖所示，整改前是反比例函數(shù)圖象的一部分，整改后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項正確的有．月份的利潤為50萬元；．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元；．治污改造完成前共有4個月的利潤低于100萬元；月份該廠利潤達到200萬元．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上的注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生注意力直線上升，中間一段時間，學生的注意力保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散，注意力與時間呈反比例關(guān)系降回開始時的水平．學生注意力指標隨時間（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式，并求點對應(yīng)的指標值；（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道題的講解時，注意力指標都不低于36？請說明理由．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝為了預防“甲型”，某學校對教室采用藥薰消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量與時間成正比例，藥物燃燒后，與成反比例，如圖所示，現(xiàn)測得藥物燃畢，此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為，請你根據(jù)題中提供的信息，解答下列問題：（1）藥物燃燒時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式？自變量的取值范圍是什么？藥物燃燒后與的函數(shù)關(guān)系式呢？（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于且持續(xù)時間不低于時，才能殺滅空氣中的毒，那么這次消毒是否有效？為什么？（2020?長沙）2019年10月，《長沙晚報》對外發(fā)布長沙高鐵西站設(shè)計方案．該方案以“三湘四水，杜鵑花開”為設(shè)計理念，塑造出“杜鵑花開”的美麗姿態(tài)．該高鐵站建設(shè)初期需要運送大量土石方．某運輸公司承擔了運送總量為土石方的任務(wù)，該運輸公司平均運送土石方的速度（單位：天）與完成運送任務(wù)所需時間（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系式是A． B． C． D．（2020?玉林）南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設(shè)．玉林良睦隧道是全線控制性工程，首期打通共有土石方總量為600千立方米，設(shè)計劃平均每天挖掘土石方千立方米，總需用時間天，且完成首期工程限定時間不超過600天．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；（2）由于工程進度的需要，實際平均每天挖掘土石方比原計劃多0.2千立方米，工期比原計劃提前了100天完成，求實際挖掘了多少天才能完成首期工程？課堂總結(jié)：思維導圖分層訓練：課堂知識鞏固1．（2022?東營）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，點的橫坐標為2，點的橫坐標為，則不等式的解集是A．或 B．或 C．或 D．2．（2022?黔西南州）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限是A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四3．（2022?張家界）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象大致是A． B． C． D．4．（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，平行四邊形的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，頂點在反比例函數(shù)的圖象上，頂點在軸的負半軸上．若平行四邊形的面積是5，則的值是A．2 B．1 C． D．5．（2022?德陽）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是A． B． C． D．6．（2022?泰安一模）如圖，、是雙曲線上的兩點，過點作軸，交于點，垂足為點，若的面積為1，為的中點，則的值為A． B． C．3 D．47．（2022?義烏市模擬）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點和，當時，則的取值范圍是A．或 B．或 C．或 D．或8．（2022?羅莊區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標是，點是函數(shù)圖象上的一個動點，過點作軸交函數(shù)的圖象于點，點在軸上在的左側(cè)），且，連接，．有如下四個結(jié)論：①四邊形可能是菱形；②四邊形可能是正方形；③四邊形的周長是定值；④四邊形的面積是定值．所有正確結(jié)論的序號是A．①② B．③④ C．①③ D．①④9．（2022?南開區(qū)一模）已知反比例函數(shù)為常數(shù)）圖象上三個點的坐標分別是，，，，，，其中，則，，的大小關(guān)系的是A． B． C． D．10．（2022?思明區(qū)校級模擬）如圖，菱形的對角線，交于點，且過原點，軸，點的坐標為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則的值是A．4 B．3 C．2 D．111．（2022?甘井子區(qū)校級模擬）已知反比例函數(shù)，則下列說法正確的為A．隨的增大而增大 B．圖象分別位于一、三象限 C．圖象經(jīng)過點 D．若圖象經(jīng)過點，，則12．（2022?濟源校級模擬）已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，那么、、的大小關(guān)系是A． B． C． D．13．（2022?青秀區(qū)校級一模）學校的自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫與通電時間成反比例關(guān)系．當水溫降至時，飲水機再自動加熱，若水溫在時接通電源，水溫與通電時間之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是A．水溫從加熱到，需要 B．水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系式是 C．上午8點接通電源，可以保證當天能喝到不超過的水 D．在一個加熱周期內(nèi)水溫不低于的時間為14．（2022?東西湖區(qū)模擬）為預防新冠病毒，某學校每周末用藥熏消毒法對教室進行消毒，已知藥物釋放過程中，教室內(nèi)每立方米空氣中含藥量與時間成正比例；藥物釋放完畢后，與成反比例，如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列選項錯誤的是A．藥物釋放過程需要小時 B．藥物釋放過程中，與的函數(shù)表達式是 C．空氣中含藥量大于等于的時間為 D．若當空氣中含藥量降低到以下時對身體無害，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過4.5小時學生才能進入教室1．（2022?利川市模擬）如圖的電路圖中，用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為，已知電壓，下列描述中錯誤的是A．與成反比例： B．與成反比例： C．電阻越大，功率越小 D．用電器的功率的范圍為2．（2022?衢江區(qū)一模）如圖，點，是反比例函數(shù)的圖象上的一個動點，以點為圓心，為半徑的圓與軸交于點，延長交圓于點，連結(jié)，則的面積是A．3 B． C． D．3．（2022?定州市二模）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的頂點，，連接，，作軸于點，與交于點，為的中點，且，則的值為A．4 B． C．8 D．4．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）如圖，菱形的邊在軸的正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與相交于點．若的面積為20，則的值為A．12 B．18 C．24 D．325．（2022?紅花崗區(qū)二模）如圖，中，，，它的面積為6，與軸的夾角為，雙曲線經(jīng)過點，則的值為A． B． C． D．6．（2022?咸寧模擬）如圖，，是反比例函數(shù)第一象限內(nèi)圖象上的兩點，過點作軸，交于點，垂足為．若為的中點，且的面積為3，則的值為A．2 B．4 C．8 D．167．（2022?錫山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的對角線、的交點與坐標原點重合，點是軸上一點，連接．若平分，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過上的兩點，，且．的面積為15，則的值為A．10 B．20 C．7.5 D．58．（2022?溫州模擬）古希臘數(shù)學家帕普斯利用反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決了三等分角問題，方法如下：如圖，在直角坐標系中，銳角的邊在軸正半軸上，邊與的圖象交于點，以為圓心，為半徑作圓弧交函數(shù)圖象于點，取的中點，則．若，則的值為A． B． C． D．9．（2022?漢陽區(qū)模擬）若點，，在反比例函數(shù)是常數(shù)）的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．10．（2022?武昌區(qū)模擬）方程的根可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，那么用此方法可推斷出方程的實數(shù)根所在的范圍是A． B． C． D．11．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)一模）如圖，反比例函數(shù)圖象的表達式為，圖象與圖象關(guān)于直線對稱，直線與交于，兩點，當為中點時，則的值為A． B． C． D．12．（2022?無為市校級一模）如圖，在中，，點在反比例函數(shù)的圖象上，點，在軸上，，延長交軸于點，連接，若的面積等于1，則的值為A．3 B．2 C． D．413．（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點．軸，且．連接交軸于點，連接，交于點．在下列結(jié)論中：①；②；③當時，；④當時，面積的最小值為7．其中正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）14．（2022?思明區(qū)二模）已知原點為對角線的中點，軸，若點在反比例函數(shù)圖象上，點在反比例函數(shù)圖象上，則以下說法一定正確的是①②③④．①點在反比例函數(shù)圖象上；②；③若為矩形，則；④若為菱形，，則．15．（2022?慈溪市一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊、分別在、軸上，點的坐標為，反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象分別與邊、交于點、，連結(jié)，將沿翻折得到△，連結(jié)，當時，的值為．1．（2022?丹徒區(qū)模擬）如圖，平面直角坐標系中，過原點的直線與雙曲線交于、兩點，在線段左側(cè)作等腰三角形，底邊軸，過點作軸交雙曲線于點，連接，若，則的值是A． B． C． D．2．（2022?寧波模擬）如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，，分別過，作軸，軸的垂線，垂足分別為，．若四邊形的面積為12，則A．4 B．6 C．8 D．103．（2022?溫州模擬）古希臘數(shù)學家帕普斯利用反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決了三等分角問題，方法如下：如圖，在直角坐標系中，銳角的邊在軸正半軸上，邊與的圖象交于點，以為圓心，為半徑作圓弧交函數(shù)圖象于點，取的中點，則．若，則的值為A． B． C． D．4．（2022?咸陽模擬）如圖，已知梯形的底邊在軸上，，，過點的雙曲線交于，且，若的面積等于3，則的值是．5．（2021?羅湖區(qū)校級模擬）以矩形的頂點為坐標原點建立平面直角坐標系，使點、分別在、軸的正半軸上，雙曲線的圖象經(jīng)過的中點，且與交于點，過邊上一點，把沿直線翻折，使點落在矩形內(nèi)部的一點處，且，若點的坐標為，則的值為．6．（2022?荷塘區(qū)校級模擬）已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，與軸、軸分別交于、兩點．（1）若點的橫坐標為，求的值；（2）如圖，若，求、兩點的坐標；（3）在（2）的條件下，將一直角三角板的直角頂點放在反比例函數(shù)圖象的段上滑動，直角邊始終與坐標軸平行，且與線段分別交于、兩點，設(shè)點的橫坐標為，的長為．問：是否存在點，使的長為，存在請求出符合條件的的坐標，不存在請說明理由．7．（2022?青白江區(qū)模擬）如圖，反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于，兩點，其中點的坐標為，．（1）求反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的解析式；（2）點是反比例函數(shù)第三象限圖象上一點．且，過點的直線與線段相交，點，點到直線的距離分別為，，試求的最大值；（3）點，在軸上取一點，，過點作直線的垂線，以直線為對稱軸，線段經(jīng)軸對稱變換后得到，當與雙曲線有交點時，求的取值范圍．8．（2022?成都模擬）如圖，直線與坐標軸交于，兩點，點為點關(guān)于的對稱點，連接，，雙曲線的圖象經(jīng)過的中點，．（1）求雙曲線的解析式及的值；（2）為雙曲線上任意一點，過作軸的垂線交直線于點，連接．求證：；（3）在（2）的條件下，若的延長線交雙曲線于另一點，分別過，兩點作直線的垂線，垂足分別為，，試判斷是否為定值，若是，請求出該定值，若不是請說明理由．9．（2022?成都模擬）如圖，直線經(jīng)過點，并與反比例函數(shù)交于點．（1）求直線和反比例函數(shù)的表達式；（2）點為反比例函數(shù)圖象第二象限上一點，記點到直線的距離為，當最小時，求出此時點的坐標；（3）點是點關(guān)于原點的對稱點，為線段（不含端點）上一動點，過點作軸交反比例函數(shù)于點，點為線段的中點，點為軸上一點，點為平面內(nèi)一點，當，，，四點構(gòu)成的四邊形為正方形時，求點的坐標．第11講反比例函數(shù)（精講精練）結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的關(guān)系式能畫出反比例函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和關(guān)系式探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況能用反比例函數(shù)解決簡單實際問題TOC\o"1-1"\h\u考點1：反比例函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì) 3考點2：確定函數(shù)解析式 10考點3：反比例函數(shù)與幾何綜合 19考點4：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合 31考點5：實際問題與反比例函數(shù) 43課堂總結(jié)：思維導圖 55分層訓練：課堂知識鞏固 56考點1：反比例函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)1.反比例函數(shù)的概念：（1）定義：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實數(shù)．（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②;③xy=k.(其中k為常數(shù)，且k≠0)2.反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)3.反比例函數(shù)的圖象特征（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線．｛反比例函數(shù)的定義★｝下面的函數(shù)是反比例函數(shù)的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義逐個判斷即可．【解答】解：．不是關(guān)于的反比例函數(shù)，故本選項不符合題意；．是的是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故本選項不符合題意；．是關(guān)于的反比例函數(shù)，故本選項符合題意；．不是關(guān)于的反比例函數(shù)，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，能熟記反比例函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：形如為常數(shù)，的函數(shù)，叫反比例函數(shù)．｛反比例函數(shù)的定義★｝若函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是A．1 B． C．2或 D．2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的意義，得出，且，進而求出的值．【解答】解：函數(shù)是反比例函數(shù)，，且，，當時，，不合題意舍去，當時，，，故選：．【點評】本題考查反比例函數(shù)的定義，理解反比例函數(shù)的意義，得出，且是解決問題的關(guān)鍵．【點評】這道題主要考查了反比例的概念，正比例關(guān)系是兩個量的比值是一個定值，希望加以區(qū)分．｛反比例函數(shù)的圖像★｝函數(shù)與在同一坐標系的圖象可能是下列選項中的A．B．C． D．【分析】因為的符號不確定，所以應(yīng)根據(jù)的符號及一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)解答．【解答】解：，直線經(jīng)過點，故、選項錯誤；當時，反比例函數(shù)的圖象在二，四象限，一次函數(shù)的圖象過二、三、四象限，選項不符合；當時，反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，一次函數(shù)的圖象過一、二、三象限，選項符合．故選：．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★｝對于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是A．這個函數(shù)的圖象分布在第一、三象限 B．點在這個函數(shù)圖象上 C．這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．當時，隨的增大而增大【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)隨的增大而減小進行分析即可．【解答】解：、反比例函數(shù)中的，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，正確，不符合題意；、點在它的圖象上，正確，不符合題意；、反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確，不符合題意；、反比例函數(shù)中的，其在每一象限內(nèi)隨的增大而減小，不正確，符合題意；故選：．【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵掌握以下性質(zhì)：反比例函數(shù)，當，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，每個象限內(nèi)，隨的增大而減??；當，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，每個象限內(nèi)，隨的增大而增大｛反比例函數(shù)的圖像★｝已知在同一直角坐標系中二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出、、，由此即可得出，，即可得出一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二三四象限，再對照四個選項中的圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：二次函數(shù)開口向下，；二次函數(shù)的對稱軸在軸右側(cè)，左同右異，符號與相異，；反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一三象限，，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二三四象限．故選：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)反比例函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出、、是解題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★｝已知反比例函數(shù)，在下列結(jié)論中，不正確的是A．圖象必經(jīng)過點 B．圖象在第一、三象限 C．若，則 D．點，，，圖象上的兩點，且，則【分析】直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)的增減性分別分析得出答案．【解答】解：．反比例函數(shù)，圖象必經(jīng)過點，原說法正確，故此選項不合題意；．反比例函數(shù)，圖象在第一、三象限，原說法正確，故此選項不合題意；．若，則，原說法錯誤，故此選項符合題意；．點，，，圖象上的兩點，且，則，原說法正確，故此選項不合題意；故選：．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的定義★｝已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值為．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，即，只需令且即可．【解答】解：根據(jù)題意，，又，，所以．故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般式轉(zhuǎn)化為的形式．｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★｝（2021?茶陵縣模擬）如圖，點是反比例函數(shù)與的一個交點，圖中陰影部分的面積為，則反比例函數(shù)的解析式為．【分析】根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得，陰影部分的面積等于圓的面積的，即可求得圓的半徑，再根據(jù)在反比例函數(shù)的圖象上，以及在圓上，即可求得的值．【解答】解：設(shè)圓的半徑是，根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得：解得：．點是反比例函數(shù)與的一個交點．．．，則反比例函數(shù)的解析式是：．故答案是：．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，正確根據(jù)對稱性求得圓的半徑是解題的關(guān)鍵．（2021?荊門）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的大致圖象是A．①② B．②③ C．②④ D．③④【分析】根據(jù)的取值范圍，分別討論和時的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點進行選擇正確答案．【解答】解：當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，函數(shù)的的圖象在一、二象限，故選項②的圖象符合要求．當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，函數(shù)的的圖象經(jīng)過三、四象限，故選項③的圖象符合要求．故選：．【點評】此題考查一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（2021?聊城）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標系中大致為A．B．C． D．【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向下和對稱軸可知，由拋物線交的正半軸，可知，由當時，，可知，然后利用排除法即可得出正確答案．【解答】解：二次函數(shù)的圖象開口向下，，，，拋物線與軸相交于正半軸，，直線經(jīng)過一、二、四象限，由圖象可知，當時，，，反比例函數(shù)的圖象必在二、四象限，故、、錯誤，正確；故選：．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．（2021?黔西南州）對于反比例函數(shù)，下列說法錯誤的是A．圖象經(jīng)過點 B．圖象位于第二、第四象限 C．當時，隨的增大而減小 D．當時，隨的增大而增大【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：反比例函數(shù)，當時，，故選項不符合題意；，故該函數(shù)圖象位于第二、四象限，故選項不符合題意；當，隨的增大而增大，故選項符合題意；當時，隨的增大而增大，故選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．（2021?杭州）已知和均是以為自變量的函數(shù)，當時，函數(shù)值分別是和，若存在實數(shù)，使得，則稱函數(shù)和具有性質(zhì)．以下函數(shù)和具有性質(zhì)的是A．和B．和C．和 D．和【分析】根據(jù)題干信息可知，直接令，若方程有解，則具有性質(zhì)，若無解，則不具有性質(zhì)．【解答】解：．令，則，解得或，即函數(shù)和具有性質(zhì)，符合題意；．令，則，整理得，，方程無解，即函數(shù)和不具有性質(zhì)，不符合題意；．令，則，整理得，，方程無解，即函數(shù)和不具有性質(zhì)，不符合題意；．令，則，整理得，，方程無解，即函數(shù)和不具有性質(zhì)，不符合題意；故選：．考點2：確定函數(shù)解析式待定系數(shù)法：只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設(shè)函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)k即可.｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝一個反比例函數(shù)圖象過點，則這個反比例函數(shù)的解析式是．【分析】設(shè)出反比例函數(shù)解析式，然后把點的坐標代入求出值，即可得到解析式．【解答】解：設(shè)該反比例函數(shù)為，則．該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，該反比例函數(shù)的解析式為：．故答案為：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵，本題把點的坐標代入函數(shù)表達式進行計算即可求解．｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，菱形的邊在軸上，點，，若反比個例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則反比例函數(shù)解析式為．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和點的坐標可求出，再由銳角三角函數(shù)可求出，進而確定點的坐標，再將點的坐標代入函數(shù)關(guān)系式即可．【解答】解：四邊形是菱形，，，又，，點，點在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義以及反比例函數(shù)圖象上點值坐標的特征是解決問題的關(guān)鍵．｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的交于點，連接，若．（1）反比例函數(shù)的解析式為；（2）若直線與軸的交點為，則的面積為．【分析】（1）先根據(jù)三角形面積公式求出得到，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再確定點坐標，然后利用三角形面積公式求解．【解答】解：（1），，解得，，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，把代入得，反比例函數(shù)解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為，當時，，則，．故答案為：，（2）2．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式．｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝已知平行四邊形中，、，，反比例函數(shù)是經(jīng)過線段的中點，則反比例函數(shù)解析式為．【分析】因為四邊形時平行四邊形，所以的中點為，由中點坐標可求反比例函數(shù)的解析式．【解答】解：如圖：、、，，，反比例函數(shù)為，四邊形是平行四邊形，，，，的中點為，，；反比例函數(shù)的解析式為；故答案為．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式與平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的頂點，為斜邊的中點，則過點的反比例函數(shù)圖象的函數(shù)表達式為．【分析】設(shè)，利用線段的中點坐標公式得到點坐標為，，然后利用待定系數(shù)法求過點的反比例函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)，為斜邊的中點，點坐標為，，設(shè)過點的反比例函數(shù)圖象的函數(shù)表達式為，把，代入得，過點的反比例函數(shù)圖象的函數(shù)表達式為．故答案為．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式為常數(shù)，，然后把一個已知點的坐標代入求出得到反比例函數(shù)解析式．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，過作軸于點．點為反比例函數(shù)圖象上的一動點，過點作軸于點，直線與軸的負半軸交于點．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）若，求的面積．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）求出直線的解析式，可得點坐標，求出，即可解決問題．【解答】解：（1）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，反比例函數(shù)；（2）軸，，，，，軸，，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為，，，，．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法、一次函數(shù)與坐標軸的交點特征，梯形面積等知識點，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．如圖，平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象上、兩點的坐標分別為，．（1）求反比例函數(shù)和直線的解析式；（2）連接、，求的面積．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)得出，即，解方程求得、的坐標，進而即可利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；（2）求得的坐標，然后利用三角形面積公式即可求得．【解答】解：（1）、兩點在的圖象上，而，，，即，解得，的圖象與坐標軸沒有交點，舍去，，，，，設(shè)直線的解析式為：，則，解得：直線的解析式為：，反比例函數(shù)解析式為：；（2）設(shè)直線交軸于點，則當時，，，，的面積為5．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，求得、點的坐標是解題的關(guān)鍵．（2020?黔西南州）如圖，在菱形中，，，菱形的一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為A． B． C． D．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和平面直角坐標系的特點可以求得點的坐標，從而可以求得的值，進而求得反比例函數(shù)的解析式．【解答】解：在菱形中，，菱形邊長為2，，，過作于，則，，，點的坐標為，頂點在反比例函數(shù)的圖象上，，得，即，故選：．【點評】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出點的坐標．（2021?西藏）如圖．在平面直角坐標系中，的面積為，垂直軸于點，與雙曲線相交于點，且．則的值為A． B． C．3 D．【分析】過作軸于，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求得．【解答】解：過作軸于，，，軸，，，，，，雙曲線在第二象限，，故選：．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定求出是解決問題的關(guān)鍵．（2020?黔南州）如圖，正方形的邊長為10，點的坐標為，點在軸上，若反比例函數(shù)的圖象過點，則該反比例函數(shù)的解析式為．【分析】過點作軸于，由“”可證，可得，，可求點坐標，即可求解．【解答】解：如圖，過點作軸于，四邊形是正方形，，，，，，，，又，，，，，點，反比例函數(shù)的圖象過點，，反比例函數(shù)的解析式為，故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，正方形的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解析式，求出點坐標是本題的關(guān)鍵．考點3：反比例函數(shù)與幾何綜合（1）意義：從反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為|k|.（2）常見的面積類型：｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，，是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點，且，兩點的橫坐標分別是2和3，則的面積是A．4.5 B．3.5 C．2.5 D．1.5【分析】過，兩點分別作軸于，軸于，由反比例函數(shù)解析式求得、的坐標，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得出，由即可求得．【解答】解：，是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點，且，兩點的橫坐標分別是2和3，當時，，即，當時，，即．如圖，過，兩點分別作軸于，軸于，則．，，．故選：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，即圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積的關(guān)系即．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，是反比例函數(shù)圖象上一點，過點作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點，點在軸上，且，則的值為A．7 B． C． D．5【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的面積公式可得，根據(jù)，求出的值即可．【解答】解：如圖，連接、，延長交軸于，則，，軸，，即，，，，故選：．【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得出是正確解答的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，已知，，，，反比例函數(shù)的圖象與線段交于，兩點，若，則A． B．4 C．3 D．【分析】過點作軸于點，過點作軸于點．由可得出，即，再根據(jù)點的坐標即可得出，，設(shè)直線的解析式為，由點結(jié)合待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可得出直線的解析式，將反比例函數(shù)解析式代入直線解析式中，由根與系數(shù)的關(guān)系可表示出，結(jié)合，，即可求出的值．【解答】解：過點作軸于點，過點作軸于點．，，即，，，．設(shè)直線的解析式為，點在直線上，，解得：，即直線的解析式為．令，即，則，解得：，故選：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于的一元一次方程．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，中，，點在軸上，反比例函數(shù)的圖象過斜邊的中點，與交于點．若的面積為3，則的值是A．1 B． C．2 D．3【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得，由中點的定義和相似三角形的性質(zhì)可得，在根據(jù)，可求出答案．【解答】解：過點作于點，則，是的中點，，，，，，，，，又，，故選：．【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義以及相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，點與點分別在函數(shù)與的圖象上，線段的中點在軸上．若的面積為3，則的值是6．【分析】設(shè)，，代入雙曲線得到，，根據(jù)三角形的面積公式求出，即可得出答案．【解答】解：作軸于，軸于，軸，是的中點，，設(shè)，，代入得：，，，，，，故選：6．【點評】本題主要考查對反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能求出是解此題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，、兩點在反比例函數(shù)的圖象上，過點作軸于點，交于點．若，的面積為1，則的值為．【分析】先設(shè)出點的坐標，進而表示出點，的坐標，利用三角形的面積建立方程求出，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)點，，，，軸，，的面積為1，，，，，故答案為：．【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，點、在反比例函數(shù)的圖象上，直線經(jīng)過原點，點在軸正半軸上，且，，，則的值為4．【分析】作軸于，軸于，根據(jù)題意得到是等腰直角三角形，即可得出，，通過證得，得出，設(shè)，則，，，所以，從而得到，，根據(jù)三角形面積公式得到，求得，從而求得，即可求得．【解答】解：作軸于，軸于，，是等腰直角三角形，，，點、在反比例函數(shù)的圖象上，直線經(jīng)過原點，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，故答案為：4．【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得的坐標是解題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，等腰中，底邊軸，與軸交于點，點，在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上，若與的面積差為12．則的值為24．【分析】設(shè)所在的直線為，分別表示出、的坐標，再設(shè)，根據(jù)可得的值，最后根據(jù)面積差可得方程，求解即可得到答案．【解答】解：設(shè)所在的直線為，當時，，則，；當時，，則，；設(shè)，，為中點，中點，，，，，與的高相同，均為的縱坐標減去，即：，，解得．故答案為：24．【點評】此題考查的是反比例函數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)點的坐標的特點、等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)三角形面積差得到方程是解決此題關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，曲線是雙曲線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，是曲線上任意一點，點在直線上，且，則的面積為6．【分析】將雙曲線逆時針旋轉(zhuǎn)使得與軸重合，等腰三角形的底邊在軸上，應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)的性質(zhì)解答問題．【解答】解：如圖，將及直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，則得到雙曲線，直線與軸重合．雙曲線，的解析式為，過點作軸于點，，為中點．，由反比例函數(shù)比例系數(shù)的性質(zhì)，，的面積是6故答案為6．【點評】本題為反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的軸對稱性以及反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義．（2021?玉林）如圖，是等腰三角形，過原點，底邊軸，雙曲線過，兩點，過點作軸交雙曲線于點，若，則的值是3．【分析】過點作軸，交與點，設(shè)點則，可表示出和的長度，又，即可求出的值．【解答】解：過點作軸，交與點，設(shè)點則，，是等腰三角形，底邊軸，軸，，點的橫坐標為，點的縱坐標為，，，，，故答案為3．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，能夠利用表示出和的長度是解決本題的關(guān)鍵．（2021?齊齊哈爾）如圖，點是反比例函數(shù)圖象上一點，軸于點且與反比例函數(shù)的圖象交于點，，連接，．若的面積為6，則．【分析】由的面積為6，可求出的面積為2，進而求出的面積為8，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可求出，，進而得出答案．【解答】解：，，，，，又，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是正確解答的關(guān)鍵．（2021?羅湖區(qū)）如圖，的一條直角邊在軸上，雙曲線經(jīng)過斜邊的中點，與另一直角邊交于點．若，則的值為6．【分析】過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積是個定值，即．【解答】解：如圖，過點作軸，垂足為．中，，，為斜邊的中點，為的中位線，，．雙曲線的解析式是，即，，由，得，，，故答案為：6．【點評】本題考查了反比函數(shù)的幾何意義，過圖象上的任意一點作軸、軸的垂線，所得三角形的面積是，是經(jīng)?？疾榈闹R點，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．考點4：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合（1）確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為（a,b），則根據(jù)中心對稱性，可得另一個交點坐標為（－a,－b）.【方法二】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，利用方程思想求解.（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函數(shù)解析式中求解（3）在同一坐標系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系，可采用假設(shè)法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排除.（4）比較函數(shù)值的大?。褐饕ㄟ^觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結(jié)合交點坐標，確定出解集的范圍.｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝（2021?棗莊）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，其中點的橫坐標為1．當時，的取值范圍是或．【分析】由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對稱性可得點橫坐標，然后通過圖象求解．【解答】解：由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對稱性可得點橫坐標為，由圖象可得當時，的取值范圍是或．故答案為：或．【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題及與不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是由函數(shù)對稱性得出點橫坐標．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的一個交點為第三象限內(nèi)一點．則不等式的解集為或．【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可得另一個交點在第一象限，其坐標為，再根據(jù)兩個函數(shù)的交點坐標以及圖象的性質(zhì)得出答案．【解答】解：由兩個函數(shù)的對稱性可得，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的另一個交點在第三象限，坐標為，當反比例函數(shù)大于正比例函數(shù)值時，自變量的取值范圍為或，故答案為：或．【點評】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，理解正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是正確判斷的前提．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝設(shè)函數(shù)與的圖象的交點坐標為，則的值為．【分析】根據(jù)圖象上點的坐標特征，求出，，進而求得，代入變形后的代數(shù)式即可求出值．【解答】解：函數(shù)與的圖象的交點坐標為，，，，，，，，故答案為或．【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用函數(shù)解析式得出關(guān)于與的關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象分別交于、兩點，連接、，若的面積為4，則值為．【分析】如圖，直線與軸交于點，則，設(shè)，，利用、為方程的解得到，則，利用三角形面積公式得到，解方程得到，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求的值．【解答】解：如圖，直線與軸交于點，則，設(shè)，，、為方程的解，方程整理為，，，，，，解得，，．故答案為．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝（2021?巴中）如圖，雙曲線與直線交于點、，與兩坐標軸分別交于點、，已知點，連接、．（1）求，，的值；（2）求的面積；（3）作直線，將直線向上平移個單位后，與雙曲線有唯一交點，求的值．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點的坐標代入函數(shù)關(guān)系式即可求出、、的值；（2）根據(jù)點的坐標得出三角形的底和高，利用三角形的面積公式進行計算即可；（3）求出直線的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)平移后的關(guān)系式與反比例函數(shù)關(guān)系式組成方程組求解即可．【解答】解：（1）雙曲線過點，，又直線經(jīng)過點、，，解得，，答：，，；（2）由（1）可得反比例函數(shù)的關(guān)系式為，直線的關(guān)系式為，當時，，解得，即，，由點可得，，；（3）設(shè)直線的關(guān)系式為，，代入得，，，，，直線的關(guān)系式為，設(shè)平移后的關(guān)系式為，由于平移后與有唯一公共點，即方程有唯一解，也就是關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得，（舍去），，答：的值為．【點評】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及一次函數(shù)與反比例圖象交點坐標，把點的坐標代入是求函數(shù)關(guān)系式常用的方法，將坐標轉(zhuǎn)化為線段的長是正確解答的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝如圖，若反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于、兩點，當時，則的取值范圍是或．【分析】寫出反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方的自變量的取值范圍即可．【解答】解：觀察圖象可知，當時，則的取值范圍是或．故答案為或．【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是學會利用圖象法解決問題，屬于中考常考題型．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象有一個交點的坐標為，則關(guān)于的不等式的解集為或．【分析】利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷兩個交點關(guān)于原點對稱，然后根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特征寫出另一個交點的坐標．根據(jù)交點坐標和圖象即可得出不等式的解集．【解答】解：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的交點關(guān)于原點對稱，一個交點的坐標為，另一個交點的坐標是，如圖，則關(guān)于的不等式的解集為或，故答案為：或．【點評】本題主要考查了比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，注意反比例函數(shù)圖象和正比例函數(shù)具有中心對稱性，即關(guān)于原點對稱，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，在第二象限內(nèi)，當時，的取值范圍是，則．【分析】根據(jù)題意知，將反比例函數(shù)和一次函數(shù)聯(lián)立，、的橫坐標分別為、，代入方程求解得到的值．【解答】解：由已知得、的橫坐標分別為，，所以有解得，故答案為：．【點評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，交點坐標適合兩個解析式是解題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)與一次函數(shù)★｝（2021?樂山）如圖，直線分別交軸、軸于、兩點，交反比例函數(shù)的圖象于、兩點．若，且的面積為4．（1）求的值；（2）當點的橫坐標為時，求的面積．【分析】（1）由題意求得的面積為2，作軸于，證得，即可求得的面積為1，從而求得，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求得的值；（2）由，求得，得到為，把代入反比例函數(shù)解析式求得的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線解析式，然后解析式聯(lián)立，解方程組求得的坐標，最后根據(jù)即可求得．【解答】解：（1），且的面積為4，的面積為2，作軸于，，，，即，的面積為1，，，，，；（2）點的橫坐標為，，，，即，，，把代入得，，，設(shè)直線為，把、的坐標代入得，解得，直線為，解得或，，．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、三角形的面積公式以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出的面積；（2）求得點的坐標．（2021?威海）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，點．當時，的取值范圍是A． B．或 C． D．或【分析】由題可得，當時，或2，根據(jù)，兩點，畫出反比例函數(shù)和一次函數(shù)草圖，直接結(jié)合圖象，可以得到答案．【解答】解：一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交于，兩點，根據(jù)，兩點坐標，可以知道反比例函數(shù)位于第一、三象限，畫出反比例函數(shù)和一次函數(shù)草圖，如圖1，由題可得，當時，或2，由圖可得，當時，或，故選：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)交點問題，根據(jù)圖象，直接寫出答案，考查了數(shù)形結(jié)合思想．（2021?通遼）定義：一次函數(shù)的特征數(shù)為，，若一次函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，且點，關(guān)于原點對稱，則一次函數(shù)的特征數(shù)是A．， B．， C．， D．，【分析】將一次函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后，得到解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，，，所以與是一元二次方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得到，又，兩點關(guān)于原點對稱，所以，則，得到，根據(jù)定義，得到一次函數(shù)的特征數(shù)是，．【解答】解：將一次函數(shù)向上平移3個單位長度后得到，設(shè)，，，，聯(lián)立，，和是方程的兩根，，又，兩點關(guān)于原點對稱，，，，根據(jù)定義，一次函數(shù)的特征數(shù)是，，解法二：由定義可知，一次函數(shù)的特征數(shù)是，，故排除，．反比例函數(shù)的圖形是中心對稱圖形，對稱中心是原點，一次函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后并經(jīng)過原點時，與反比例函數(shù)的交點關(guān)于原點對稱，，即，一次函數(shù)的特征數(shù)為，．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，得到一元二次方程，是解決交點問題的基本方法．（2021?荊州）已知：如圖，直線與雙曲線在第一象限交于點，與軸、軸分別交于，兩點，則下列結(jié)論錯誤的是A． B．是等腰直角三角形 C． D．當時，【分析】利用待定系數(shù)法求得，，利用直線的解析式求得，的坐標，可得線段，的長度，利用圖象可以判斷函數(shù)值的大?。窘獯稹拷猓狐c在雙曲線上，，正確；選項不符合題意；．在直線上，．，正確；選項不符合題意；直線的解析式為令，則，．．令，則，．．．為等腰直角三角形，正確；選項不符合題意；由圖像可知，當時，．選項不正確，符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合．利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．考點5：實際問題與反比例函數(shù)1.一般步驟：（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系；（2設(shè)出函數(shù)表達式；（3）依題意求解函數(shù)表達式；（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝某品牌的飲水機接通電源就進入自動程序：開機加熱到水溫，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與開機后用時成反比例關(guān)系，直至水溫降至，飲水機關(guān)機．飲水機關(guān)機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為時，接通電源后，水溫和時間的關(guān)系如圖所示，水溫從降到所用的時間是A．27分鐘 B．20分鐘 C．13分鐘 D．7分鐘【分析】首先求得兩個函數(shù)的解析式，然后代入反比例函數(shù)求得后減去7即可求得時間．【解答】解：開機加熱時每分鐘上升，從到需要7分鐘，設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為：，將，代入得，，令，解得；設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：，將代入得，，將代入，解得；水溫從降到所用的時間是分鐘，故選：．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)及反比例函數(shù)的應(yīng)用題，還有時間的討論問題．同學們在解答時要讀懂題意，才不易出錯．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為的條件下生長最快的新品種．如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度隨時間（小時）變化的函數(shù)圖象，其中段是雙曲線的一部分，則當時，大棚內(nèi)的溫度約為A． B． C． D．【分析】利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式后將代入函數(shù)解析式求出的值即可．【解答】解：點在雙曲線上，，解得：．當時，，所以當時，大棚內(nèi)的溫度約為．故選：．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝為了預防“流感”，某學校對教室采用藥熏法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與藥物點燃后的時間（分成正比例，藥物燃盡后，與成反比例（如圖所示），已知藥物點燃后6分鐘燃盡，此時室內(nèi)每立方米空氣中含藥量為12毫克．（1）求藥物燃燒時和藥物燃盡后，與之間的函數(shù)表達式；（2）研究表明：空氣中每立方米的含藥量不低于6毫克，且持續(xù)5分鐘以上才能有效殺滅空氣中的病菌，請計算說明此次消毒能否有效殺滅空氣中的病菌．【分析】（1）正比例函數(shù)圖象過點，利用待定系數(shù)法可求解析式；反比例函數(shù)圖象過點，利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）將分別代入兩個解析式，可求的值，即可判斷此次消毒能否有效殺滅空氣中的病菌．【解答】解：（1）設(shè)藥物燃燒時，與之間函數(shù)的表達式為，把代入得，，，藥物燃燒時的函數(shù)表達式為；設(shè)藥物燃燒后，與之間函數(shù)的表達式為，把代入得，，藥物燃燒時的函數(shù)表達式為；（2）把代入得，，，把代入得，，，，此次消毒能有效殺滅空氣中的病菌．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝為了推進鄉(xiāng)村振興道路，解決特產(chǎn)銷售困難的問題，云南某鄉(xiāng)政府在芒果成熟后，幫助果農(nóng)引進芒果經(jīng)銷商．已知某經(jīng)銷商從果農(nóng)處進購芒果的成本價為4元千克，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量（千克）與銷售單價（元千克）之間的關(guān)系如圖所示，其中為反比例函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分．（1）求每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系；（2）當銷售單價為多少時，該經(jīng)銷商每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以寫出每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系；（2）根據(jù)題意和（1）中的函數(shù)關(guān)系式，可以分別求得兩段對應(yīng)的利潤的最大值，然后比較大小即可解答本題．【解答】解：（1）當時，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，點在該函數(shù)圖象上，，得，當時，與的函數(shù)關(guān)系式為，當時，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，，解得，即當時，與的函數(shù)關(guān)系式為，由上可得；（2）設(shè)利潤為元，當時，，，隨的增大而增大，當時，取得最大值，此時，當時，，當時，取得最大值，此時，，當銷售單價為16時，該經(jīng)銷商每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元，答：當銷售單價為16時，該經(jīng)銷商每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元．【點評】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝某口罩生產(chǎn)企業(yè)于2020年1月份開始了技術(shù)改造，其月利潤（萬元）與月份之間的變化如圖所示，技術(shù)改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，技術(shù)改造完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項錯誤的是A．4月份的利潤為45萬元 B．改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元 C．改造完成前后共有5個月的利潤低于135萬元 D．9月份該企業(yè)利潤達到205萬元【分析】直接利用已知點求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式進而分別分析得出答案．【解答】解：、設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，，反比例函數(shù)的解析式為：，當時，，月份的利潤為45萬元，故此選項正確，不合題意；、治污改造完成后，從4月到5月，利潤從45萬到75萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，故此選項正確，不合題意；、當時，則，解得：，設(shè)一次函數(shù)解析式為：，則，解得：，故一次函數(shù)解析式為：，當時，，當時，，則只有2月，3月，4月，5月，6月共5個月的利潤低于135萬元，故此選項正確，不符合題意．、設(shè)一次函數(shù)解析式為：，則，解得：，故一次函數(shù)解析式為：，故時，，解得：，則9月份之后該廠利潤達到205萬元，故此選項不正確，符合題意．故選：．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析是解題關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝為了推動“成渝地區(qū)雙城經(jīng)濟圈”的建設(shè)，某工廠為了推進產(chǎn)業(yè)協(xié)作“一條鏈”，自2021年1月開始科學整改，其月利潤（萬元）與月份之間的變化如圖所示，整改前是反比例函數(shù)圖象的一部分，整改后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項正確的有，，．月份的利潤為50萬元；．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元；．治污改造完成前共有4個月的利潤低于100萬元；月份該廠利潤達到200萬元．【分析】直接利用已知點求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式進而分別分析得出答案．【解答】解：．設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，，反比例函數(shù)的解析式為：，當時，，月份的利潤為50萬元，故此選項符合題意；．治污改造完成后，從4月到6月，利潤從50萬到110萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，故此選項符合題意；．當時，則，解得：，則只有3月，4月，5月共3個月的利潤低于100萬元，故此選項不合題意．．設(shè)一次函數(shù)解析式為：，則，解得：，故一次函數(shù)解析式為：，故時，，解得：，則治污改造完成后的第5個月，即9月份該廠利潤達到200萬元，故此選項符合題意．故答案為：，，．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析是解題關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上的注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生注意力直線上升，中間一段時間，學生的注意力保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散，注意力與時間呈反比例關(guān)系降回開始時的水平．學生注意力指標隨時間（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式，并求點對應(yīng)的指標值；（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當?shù)陌才牛箤W生在聽這道題的講解時，注意力指標都不低于36？請說明理由．【分析】（1）設(shè)出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）無論怎么安排都做不到，由圖知學生的注意力指標最高為15．【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，由圖知，反比例函數(shù)過點，代入解析式得，解得，反比例函數(shù)的關(guān)系式為，當時，，故點對應(yīng)的指標值為；（2）不能，理由如下：由圖知學生的注意力指標最高為15，故注意力指標達不到36．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．｛反比例函數(shù)的應(yīng)用★★｝為了預防“甲型”，某學校對教室采用藥薰消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量與時間成正比例，藥物燃燒后，與成反比例，如圖所示，現(xiàn)測得藥物燃畢，此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為，請你根據(jù)題中提供的信息，解答下列問題：（1）藥物燃燒時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式？自變量的取值范圍是什么？藥物燃燒后與的函數(shù)關(guān)系式呢？（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于且持續(xù)時間不低于時，才能殺滅空氣中的毒，那么這次消毒是否有效？為什么？【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法分別求出函數(shù)解析式；（2）利用時分別代入求出答案．【解答】解：（1）設(shè)藥物燃燒時關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，代入得，，設(shè)藥物燃燒后關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，代入得，，藥物燃燒時關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為藥物燃燒后關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：，；（2）有效，理由如下：把代入，得：，把代入，得：，，這次消毒是有效的．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．（2020?長沙）2019年10月，《長沙晚報》對外發(fā)布長沙高鐵西站設(shè)計方案．該方案以“三湘四水，杜鵑花開”為設(shè)計理念，塑造出“杜鵑花開”的美麗姿態(tài)．該高鐵站建設(shè)初期需要運送大量土石方．某運輸公司承擔了運送總量為土石方的任務(wù)，該運輸公司平均運送土石方的速度（單位：天）與完成運送任務(wù)所需時間（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系式是A． B． C． D．【分析】按照運送土石方總量平均運送土石方的速度完成運送任務(wù)所需時間，列出等式，然后變形得出關(guān)于的函數(shù)，觀察選項可得答案．【解答】解：運送土石方總量平均運送土石方的速度完成運送任務(wù)所需時間，，，故選：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系是得出函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵．（2020?玉林）南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設(shè)．玉林良睦隧道是全線控制性工程，首期打通共有土石方總量為600千立方米，設(shè)計劃平均每天挖掘土石方千立方米，總需用時間天，且完成首期工程限定時間不超過600天．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；（2）由于工程進度的需要，實際平均每天挖掘土石方比原計劃多0.2千立方米，工期比原計劃提前了100天完成，求實際挖掘了多少天才能完成首期工程？【分析】（1）利用，進而得出與的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)完成首期工程限定時間不超過600天，求出的取值范圍；（2）利用實際平均每天挖掘土石方比原計劃多0.2千立方米，工期比原計劃提前了100天完成，得出分式方程，進而求出即可．（也可以設(shè)原計劃每天挖掘土石方千立方米，列分式方程，計算量比較?。窘獯稹拷猓海?）根據(jù)題意可得：，，；（2）設(shè)實際挖掘了天才能完成首期工程，根據(jù)題意可得：，解得：（舍或500，檢驗得：是原方程的根，答：實際挖掘了500天才能完成首期工程．【點評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．課堂總結(jié)：思維導圖分層訓練：課堂知識鞏固1．（2022?東營）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，點的橫坐標為2，點的橫坐標為，則不等式的解集是A．