專題12三角形全等-5年(2018~2022)中考1年模擬數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編(北京專用)(原卷版+解析)

專題12三角形全等一、填空題1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．2．（2020·北京·中考真題）在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．只需添加一個(gè)條件即可證明ABD≌ACD，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）二、解答題3．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)；②連接交線段于點(diǎn)求證：(2)的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）5．（2022·北京·中考真題）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接(1)求證：(2)連接,過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，求證：直線為的切線．6．（2021·北京·中考真題）《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)處立一根桿；日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)處的桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)處立一根桿．取的中點(diǎn)，那么直線表示的方向?yàn)闁|西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點(diǎn)（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線表示的方向?yàn)闁|西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明．證明：在中，______________，是的中點(diǎn)，（______________）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點(diǎn)．E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求EF的長(zhǎng)（用含的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．8．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．一、填空題1．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，平分，點(diǎn)B在射線上，若使，則還需添加的一個(gè)條件是_______（只填一個(gè)即可）．2．（2022·北京市第一六一中學(xué)分校一模）如圖，，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）3．（2022·北京海淀·一模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點(diǎn)．請(qǐng)畫出一個(gè)，使得與全等______．4．（2022·北京市第五中學(xué)分校模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知BE＝DC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得△ABE≌△ACD：_____．5．（2022·北京豐臺(tái)·一模）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△DEF，這個(gè)條件可以是_____（寫出一個(gè)即可）．6．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，AB=10，AC=7，AD是角平分線，CM⊥AD于M，且N是BC的中點(diǎn)，則MN=_______．7．（2022·北京順義·一模）.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于點(diǎn)G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是________.8．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，，則的長(zhǎng)為___．9．（2022·北京十一學(xué)校一分校一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均落在格點(diǎn)上，則∠BAD+∠ADC=_____．10．（2022·北京房山·二模）如圖，點(diǎn)在直線外，點(diǎn)、、、均在直線上，如果，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）．二、解答題11．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)F，C分別在線段AB，BD上，且BF＝BD，AF＝CD，連接AC，DF，并相交于點(diǎn)E．求證：AE＝CE．12．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測(cè)）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．(1)若E是線段AC的中點(diǎn)，如圖1，易證：BE=EF(不需證明)；(2)若E是線段AC或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．13．（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求證：∠C＝∠E．14．（2022·北京房山·一模）已知：等邊△ABC，過點(diǎn)B作AC的平行線l．點(diǎn)P為射線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將射線PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交直線l于點(diǎn)D．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形；①求證：∠BDP=∠PCB；②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數(shù)里關(guān)系，并證明；(2)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系．15．（2022·北京通州·一模）如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD．將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE．過點(diǎn)E作，交AB于點(diǎn)F．(1)①直接寫出∠AFE的度數(shù)是______；②求證：∠DAC＝∠E；(2)用等式表示線段AF與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明．16．（2022·北京豐臺(tái)·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，以點(diǎn)A為中心，將線段AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣α得到線段AE，連接BE．(1)∠BAC+∠DAE＝°；(2)取CD中點(diǎn)F，連接AF，用等式表示線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明．17．（2022·北京石景山·一模）如圖，△ACB中，，，D為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且，連接BE，過點(diǎn)B作BE的垂線，交邊AC于點(diǎn)F．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：；(3)用等式表示線段AF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（2022·北京平谷·二模）如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于E，連接BE并延長(zhǎng)使，連接FC，G為BC上一點(diǎn)，過G作GH⊥BF于點(diǎn)H，作GM⊥AC于點(diǎn)M．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：；(3)判斷線段HG、GM、FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．19．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰中，，點(diǎn)P為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以點(diǎn)P為中心，將線段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到線段PQ，連接、M為線段BQ的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P在線段BC上，且M恰好也為AP的中點(diǎn)，①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形：②求出此時(shí)的值和的值；(2)寫出一個(gè)的值，使得對(duì)于任意線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)P，總有的值為定值，并證明；20．（2022·北京·二模）如圖，在等邊中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)．①依題意補(bǔ)全圖形；②判斷與的位置關(guān)系；(2)如圖2，取的中點(diǎn)，寫出直線與夾角的度數(shù)以及與的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．（2022·北京市第一六一中學(xué)分校一模）已知點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC；再將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BD；連接AD，取AD中點(diǎn)M，連接BM，CM．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CM上時(shí)，求證：PM//BD；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P不在線段CM上，寫出線段BM與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．22．（2022·北京四中模擬預(yù)測(cè)）已知，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作，，，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線，點(diǎn)在射線上，．(1)如圖1，若，求的長(zhǎng)（用含的式子表示）；(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，連接、．添加一個(gè)條件：、、滿足的等量關(guān)系為______，使得成立，補(bǔ)全圖形并證明．專題12三角形全等一、填空題1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．【答案】1【解析】解：如圖，作于點(diǎn)F，∵平分，，，∴，∴．故答案為：1．2．（2020·北京·中考真題）在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．只需添加一個(gè)條件即可證明ABD≌ACD，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD）【解析】解：要使則可以添加：∠BAD=∠CAD，此時(shí)利用邊角邊判定：或可以添加：此時(shí)利用邊邊邊判定：故答案為：∠BAD=∠CAD或（）二、解答題3．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【解析】(1)證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．4．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)；②連接交線段于點(diǎn)求證：(2)的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)解：①點(diǎn)Q如下圖所示．∵點(diǎn)，∴點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)，在坐標(biāo)系內(nèi)找出該點(diǎn)即可；②證明：如圖延長(zhǎng)ON至點(diǎn)，連接AQ，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴；

(2)解：如圖所示，連接PO并延長(zhǎng)至S，使，延長(zhǎng)SQ至T，使，∵，點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，又∵，∴OM∥ST，∴NM為的中位線，∴，，∵，∴，∴，

在中，，結(jié)合題意，，，∴，即長(zhǎng)的最大值與最小值的差為．5．（2022·北京·中考真題）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接(1)求證：(2)連接,過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，求證：直線為的切線．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】(1)證明：設(shè)交于點(diǎn)，連接，由題可知，，，，，，，，，；(2)證明：連接，，，同理可得：,，∵點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，，，，，為的直徑，

，，，，，，直線為的切線．6．（2021·北京·中考真題）《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)處立一根桿；日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)處的桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)處立一根桿．取的中點(diǎn)，那么直線表示的方向?yàn)闁|西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點(diǎn)（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線表示的方向?yàn)闁|西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明．證明：在中，______________，是的中點(diǎn)，（______________）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍敬鸢浮浚?）圖見詳解；（2），等腰三角形的三線合一【解析】解：（1）如圖所示：（2）證明：在中，，是的中點(diǎn)，（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较?；故答案為，等腰三角形的三線合一．7．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點(diǎn)．E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求EF的長(zhǎng)（用含的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．【解析】（1）∵D是AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)∴DE為的中位線，且∴，∵∴∵∴∴四邊形DECF為矩形∴∴則在中，；（2）過點(diǎn)B作AC的平行線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FG∵∴，∵D是AB的中點(diǎn)∴在和中，∴∴，又∵∴DF是線段EG的垂直平分線∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．8．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）BH=AE，理由見解析【解析】（1）證明：連接．∵，關(guān)于對(duì)稱．∴．．在和中，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．證明：在上取點(diǎn)使得，連接．∵四這形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．一、填空題1．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，平分，點(diǎn)B在射線上，若使，則還需添加的一個(gè)條件是_______（只填一個(gè)即可）．【答案】AC=AD或或．【解析】解：因?yàn)锳E平分∠CAD，所以∠CAB=∠DAB，又∵AB=AB，已具備一邊一角，從邊上考慮，只能添加AC=AD，在△ABC和△ABD中，，，從角上考慮，可添加或，添加在△ABC和△ABD中，，，添加，在△ABC和△ABD中，，，故答案為：AC=AD或或．2．（2022·北京市第一六一中學(xué)分校一模）如圖，，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）【答案】AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一個(gè)即可）．【解析】解：添加AD=BC，可用SAS判斷；添加∠D=∠C，可用AAS判斷；添加∠DBA=∠CAB，可用ASA判斷；故答案為：AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一個(gè)即可）．3．（2022·北京海淀·一模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點(diǎn)．請(qǐng)畫出一個(gè)，使得與全等______．【答案】見解析（只要畫出一種即可）【解析】解：∵DE=AB，∴分兩種情況：或，找出點(diǎn)F的位置，連接DF、EF，BC=EF或FD=CB，∴△ABC≌△DEF（SAS）或△ABC≌△EDF（SAS），即為要求作的，如圖所示：故答案為：見解析（只要畫出其中一種即可）4．（2022·北京市第五中學(xué)分校模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知BE＝DC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得△ABE≌△ACD：_____．【答案】∠B＝∠C【解析】解：∵BE＝DC，∠A＝∠A，∴根據(jù)AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD，故答案為：∠B＝∠C．5．（2022·北京豐臺(tái)·一模）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△DEF，這個(gè)條件可以是_____（寫出一個(gè)即可）．【答案】AB=DE（答案不唯一）【解析】解：添加條件為AB=DE，在△ABC與△DEF中，△ABC≌△DEF（SAS），故答案為AB=DE（答案不唯一）．6．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，AB=10，AC=7，AD是角平分線，CM⊥AD于M，且N是BC的中點(diǎn)，則MN=_______．【答案】1.5【解析】解：延長(zhǎng)CM交AB于E，∵AM⊥CM，AD是∠BAC的角平分線，∴∠AME=∠AMC=90°，∠EAM=∠CAM，∵在△EAM和△CAM中∴△EAM≌△CAM（ASA），∴CM=ME，AE=AC=7，∵N是BC的中點(diǎn)，∴MN=BE=（AB-AE）=×（10-7）=1.5．故答案為：1.5．7．（2022·北京順義·一模）.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于點(diǎn)G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是________.【答案】2【解析】作GH⊥AC于H根據(jù)題意可得AG是∠BAC的角平分線∴BG=GH=1∴故答案為2.8．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，，則的長(zhǎng)為___．【答案】【解析】解：∵正方形ABCD是由四個(gè)全等的三角形圍成的，∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE＋∠BAE＝90°，∴四邊形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°∴四邊形EGFH是正方形∴EF＝EG＝故答案為：9．（2022·北京十一學(xué)校一分校一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均落在格點(diǎn)上，則∠BAD+∠ADC=_____．【答案】【解析】解：如圖，設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)F，在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE=∠DAB，∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，∴∠AFD=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°，故答案為：90度．10．（2022·北京房山·二模）如圖，點(diǎn)在直線外，點(diǎn)、、、均在直線上，如果，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）．【答案】∠A＝∠B【解析】解：條件是∠A＝∠B理由是：∵∠A＝∠B∴PA＝PB在和中，∴（SAS）故答案為：∠A＝∠B二、解答題11．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)F，C分別在線段AB，BD上，且BF＝BD，AF＝CD，連接AC，DF，并相交于點(diǎn)E．求證：AE＝CE．【答案】見解析【解析】過點(diǎn)C作CH∥AB交FD于點(diǎn)H，∴∠CHD＝∠BFD，∠ECH＝∠A，∵BF＝BD，∴∠BFD＝∠D，∵∠CHD＝∠BFD，∴∠CHD＝∠D，∴CH＝CD，∵AF＝CD，∴CH＝AF，在△AFE與△CHE中，，∴△AFE≌△CHE（AAS），∴AE＝CE．12．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測(cè)）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．(1)若E是線段AC的中點(diǎn)，如圖1，易證：BE=EF(不需證明)；(2)若E是線段AC或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．【答案】(1)證明見解析(2)BE=EF，證明見解析．【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵E是線段AC的中點(diǎn)，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；(2)解：圖2：BE=EF．圖3：BE=EF．圖2證明如下：過點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；圖3證明如下：過點(diǎn)E作EG∥BC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．13．（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求證：∠C＝∠E．【答案】見解析【解析】∵∠BAE∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC∠DAC＋∠EAC，即：∠BAC∠DAE．

在△BAC和△DAE中，∴△BAC≌△DAE．

∴∠C∠E．14．（2022·北京房山·一模）已知：等邊△ABC，過點(diǎn)B作AC的平行線l．點(diǎn)P為射線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將射線PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交直線l于點(diǎn)D．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形；①求證：∠BDP=∠PCB；②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數(shù)里關(guān)系，并證明；(2)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見解析；②BC=BD+BP，證明見解析(2)BC=BD?BP【解析】(1)①補(bǔ)全圖形如圖所示，證明：設(shè)PD交BC于點(diǎn)E，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵將射線PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠DPC=60°，∵l//AC，∴∠DBE=∠ACB=60°，∴∠DBE=∠CPE=60°，∵∠BED=∠PEC，∴∠BDP=∠PCB；解：②BC=BD+BP，理由如下：在BC上取一點(diǎn)Q使得BQ=BP，連接PQ，∵∠ABC=60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=PQ，∠BPQ=60°，∴∠BPD=∠CPQ，又∵∠BDP=∠PCB，∴△PBD≌△PQC，∴BD=QC，∵BC=BQ+QC，∴BC=BD+BP；(2)解：BC=BD?BP，理由如下：在BD上取一點(diǎn)E使得BE=BP，連接PE，∵∠ABC=∠ACB=60°，l//AC，∴∠DBC=∠ACB=60°，∴∠PBD=180°-∠DBC-∠ACB=60°，∴△PBE是等邊三角形，∴PB=PE，∠BEP=∠BPE=60°，∴∠CBP=∠DEP=180°-60°=120°，∠BPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=60°，∴∠CBP=∠DEP，∠BPC=∠EPD，∴△CBP≌△DEP，∴BC=DE，∵BD=BE+ED，∴BC=BD-BP．15．（2022·北京通州·一模）如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD．將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE．過點(diǎn)E作，交AB于點(diǎn)F．(1)①直接寫出∠AFE的度數(shù)是______；②求證：∠DAC＝∠E；(2)用等式表示線段AF與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)①；②見解析(2)；證明見解析【解析】(1)解：①∵AC=BC，∠ACB=90°，，，，；②延長(zhǎng)EF交EF于點(diǎn)G，如圖所示：，，，∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，，；(2)；理由如下：∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，，∵在和中，，，，，，．16．（2022·北京豐臺(tái)·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，以點(diǎn)A為中心，將線段AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣α得到線段AE，連接BE．(1)∠BAC+∠DAE＝°；(2)取CD中點(diǎn)F，連接AF，用等式表示線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)180(2)，證明見解析；【解析】(1)解：由旋轉(zhuǎn)可知∠DAE=180°-a，∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°故答案為：180(2)解：如圖所示：連接并延長(zhǎng)AF，使FG=AF，連接DG，CG；∵DF=CF，AF=GF；∴四變形ADGC為平行四邊形；∴∠DAC+∠ACG=180°，即∠ACG=180°-∠DAC，∠BAE=∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，所以∠ACG=∠BAE，∵四變形ADGC為平行四邊形；∴AD=CG，又∵AD=AE，AE=CG，在△ABE和△CAG中，∴△ABE≌△CAG，∴BE=AG，∴AF=AG=BE，故線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系：AF=；17．（2022·北京石景山·一模）如圖，△ACB中，，，D為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且，連接BE，過點(diǎn)B作BE的垂線，交邊AC于點(diǎn)F．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：；(3)用等式表示線段AF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【解析】(1)依題意補(bǔ)全圖形如下：(2)過E作EM⊥BC于M在和中∴(AAS)∴∵∴∵BE⊥BF∴在和中∴(ASA)，∴(3)，證明如下：

由（2）得，∴，∴，∴．18．（2022·北京平谷·二模）如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于E，連接BE并延長(zhǎng)使，連接FC，G為BC上一點(diǎn)，過G作GH⊥BF于點(diǎn)H，作GM⊥AC于點(diǎn)M．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：；(3)判斷線段HG、GM、FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【解析】(1)補(bǔ)全圖形，如圖，(2)∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)∴BD=CD∵DE⊥BC∴DE是線段BC的垂直平分線∴BE=CE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）在△ABE和△FCE中∴△ABE≌△FCE()∴∠ABE=∠FCE(3)FC=GM+HG,理由如下：如圖，過點(diǎn)G作GN⊥AB于點(diǎn)N，交BF于點(diǎn)P∵GM⊥AC,GN⊥AB，∴∠GMA=∠GNA=∠GNB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠GMA=∠BAC=∠GNA=90°，∴四邊形ANGM是矩形，∴GMAN,GM=AN，∴∠NGB=∠ACB，∵由（2）可得，BE=CE，∴∠EBC=∠ACB，∴∠NGB=∠EBC，∴BP=GP，GH⊥BF，∴∠PHG=90°=∠GNB，在△NBP和△HGP中∴△NBP≌△HGP()，∴NB=HG，∵GM=AN，∴AB=AN＋NB=GM＋HG，由（2）可得，△ABE≌△FCE，∴AB=FC，∴FC=GM＋HG．19．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰中，，點(diǎn)P為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以點(diǎn)P為中心，將線段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到線段PQ，連接、M為線段BQ的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P在線段BC上，且M恰好也為AP的中點(diǎn)，①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形：②求出此時(shí)的值和的值；(2)寫出一個(gè)的值，使得對(duì)于任意線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)P，總有的值為定值，并證明；【答案】(1)①見解析；②(2)，理由見解析【解析】(1)①如圖所示，即為所求，②連接AQ，如圖所示，∵M(jìn)為AP、BQ的中點(diǎn)，∴AM=PM，BM=QM，∴四邊形ABPQ是平行四邊形，∴AB