吉林省通化市通化縣綜合高級中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題理含解析

PAGE吉林省通化市通化縣綜合高級中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題理（含解析）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)的虛部是（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆依據(jù)復數(shù)的概念得到答案.【詳解】復數(shù)的虛部是.故選：B.【點睛】本題考查了復數(shù)的虛部，屬于簡潔題.2.復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】計算共軛復數(shù)得到，再推斷對應點得到答案.【詳解】復數(shù)的共軛復數(shù)為，對應的點在第一象限.故選：A.【點睛】本題考查了共軛復數(shù)，復數(shù)對應點，意在考查學生對于復數(shù)概念的駕馭狀況.3.（）A.4 B.2 C.0 D.-4【答案】A【解析】【分析】干脆利用微積分基本定理計算得到答案.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查了定積分的計算，意在考查學生的計算實力.4.用數(shù)學歸納法證明對于的自然數(shù)都成立時，證明中的起始值最小應取（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】取時，，解除AB，驗證和滿意，解除D，得到答案.【詳解】當時，，解除AB，當時，，當時，，故和滿意，解除D.故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)學歸納法，意在考查學生的理解實力和推斷實力.5.曲線在處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,當x=0時，y’=2,即切線的斜率為2，通過選項可看出C符合題意故選C6.三角形外角和為，四邊形外角和為，五邊形外角和為．由此推斷平面多邊形外角和均為．此推理屬于（）A.演繹推理 B.歸納推理 C.類比推理 D.以上都不對【答案】B【解析】【分析】干脆利用歸納推理的定義得到答案.【詳解】歸納推理是由特別到一般的推理過程，依據(jù)題意知屬于歸納推理.故選：B.【點睛】本題考查了歸納推理，屬于簡潔題.7.的單調遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導計算解得答案【詳解】，則，解得.故選：A.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間，意在考查學生的計算實力.8.的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導得到單調區(qū)間，計算最值得到答案【詳解】，則，則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故.故選：D.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求最值，意在考查學生的計算實力和應用實力.9.設為隨意正數(shù)．則這三個數(shù)（）A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一個不小于2 D.至少有一個不大于2【答案】C【解析】【分析】假設三個數(shù)均小于2，利用均值不等式得到，得出沖突，得到答案.【詳解】假設三個數(shù)均小于2，即，故，而，當時等號成立，這與沖突，故假設不成立，故至少有一個不小于2，C正確；取，計算解除BD；取，計算解除A.故選：C.【點睛】本題考查了反證法，意在考查學生的推斷實力和計算實力，均值不等式的敏捷運用是解題的關鍵.10.（）A.4 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】設，變換得到的幾何意義為圖中陰影面積，計算面積得到答案.【詳解】設，則，其中，.的幾何意義為圖中陰影面積，設，易知，則.故選：D.【點睛】本題考查了定積分的幾何意義，意在考查學生的計算實力和轉化實力.第Ⅱ卷（非選擇題共60分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．11.若復數(shù)滿意．則=______．【答案】【解析】【分析】干脆利用復數(shù)的乘法運算得到答案.【詳解】，則.故答案為：.【點睛】本題考查了復數(shù)的乘法運算，屬于簡潔題.12.的微小值為______．【答案】【解析】【分析】求導，依據(jù)導數(shù)正負得到函數(shù)單調區(qū)間得到函數(shù)的微小值為，計算得到答案.【詳解】，則，當和時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減，故函數(shù)微小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求極值，意在考查學生的計算實力和應用實力.13.數(shù)列滿意，，通過計算猜想______．【答案】【解析】【分析】依次求出即可猜想出.【詳解】因為，，所以，，故猜想故答案為：【點睛】本題主要考查的是由數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，較簡潔.14.在空間中直線AB和CD是異面直線，則直線AC和BD的位置關系為______．【答案】異面【解析】【分析】由已知可得A、B、C、D四點不在任何同一平面內，進而依據(jù)異面直線的定義可得答案.【詳解】若AB和CD是異面直線，則A、B、C、D四點不在任何同一平面內，故直線AC和BD肯定是異面直線.故答案為：異面.【點睛】本題考查的學問點是異面直線的判定，其中依據(jù)已知分析出A、B、C、D四點不在任何同一平面內是解題關鍵，屬于基礎題.15.在等差數(shù)列中，若正整數(shù)滿意，則．類比這一結論寫出在等比數(shù)列的一個相應結論：若，則_______________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)“等差數(shù)列中兩項之和”類比“等比數(shù)中為兩項之積”，即可求解.【詳解】由題意，在等差數(shù)列中，，，若，可得，“等差數(shù)列中兩項之和”類比“等比數(shù)中為兩項之積”，所以在等比數(shù)列中，則正整數(shù)滿意，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查了類比推理的應用，對于類比推理的一般步驟：①找出等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相像性或一樣性；②用等差數(shù)列的性質取推想等比數(shù)列的性質，得出一個明確的結論（或猜想）三、解答題：本大題共5小題，每小題12分，共60分．16.用分析法證明：．【答案】詳見解析【解析】【分析】依據(jù)分析法證明步驟，將不等式兩邊同時平方，再綻開依次證明即可.【詳解】欲證，只須證，即，只須證，只須證，而明顯成立，所以.不等式得證【點睛】本題考查了分析法證明不等式中的應用，屬于基礎題.17.用數(shù)學歸納法證明.【答案】見解析【解析】【分析】依據(jù)數(shù)學歸納法證明的步驟進行證明即可.【詳解】證明：①當時，左邊，右邊，等式成立；②假設當時等式成立，即.那么，即當時等式也成立.由①②知，等式對任何都成立.【點睛】本題考查了利用數(shù)學歸納法證明有關數(shù)列的命題，屬于基礎題.18.已知函數(shù)在處的切線垂直于直線.（1）求．（2）求的單調區(qū)間．【答案】（1）；（2）在內單調遞減，在內單調遞增．【解析】【分析】（1）由題意求導可得，代入可得（1），從而求，進而求切線方程；（2）的定義域為，，從而求單調性．【詳解】解：（1）因在處切線垂直于，所以（2）因為的定義域為當時，當時，在內單調遞減，在內單調遞增．【點睛】本題考查導數(shù)幾何意義，利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，屬于基礎題.19.如圖，拋物線的焦點為，過作斜率為的直線交拋物線于，兩點（1）寫出直線方程．（2）求出弦和曲線圍成的陰影部分面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）首先求出拋物線的焦點坐標，再利用點斜式求直線方程即可；（2）首先求出拋物線與直線的交點坐標，再依據(jù)微積分基本定理計算可得；【詳解】解：（1）因為拋物線的焦點為，所以直線方程為即（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得，解得或則，陰影部分面積【點睛】本題考查拋物線的簡潔幾何性質，點斜式求直線方程，定積分求曲邊形的面積，屬于基礎題.20.設函數(shù).（1）若時，取得極值，求的值；（2）若在其定義域內為增函數(shù)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)的導函數(shù)，依據(jù)若時，取得極值得，解之即可；（2）在其定義域內為增函數(shù)可轉化成只需在內有恒成立，依據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質建立不等式關系，解之即可.試題解析：(1)因為時，取得極值，所以，即故．(2)的定義域為.方程的判別式,（Ⅰ）當,即時，,在內恒成立,此時為增函數(shù).（Ⅱ）當,即或時，要使在定義域內為增函數(shù),只需在內有即可,設，由得,所以.由(1)(2)可知,若在其定義域內為增函數(shù)，的取值范圍是.【方法點晴】本