黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：由題意知，故選B.【考點(diǎn)定位】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.化簡(jiǎn)的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【詳解】解：．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了根式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．3.如圖所示的圖形中，表示的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)子集的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由于，故對(duì)隨意的，必有則它們之間的關(guān)系是：故選．【點(diǎn)睛】本題考查的是子集的定義，嫻熟駕馭相關(guān)的定義是解答此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4.設(shè)集合A={1，2}，則滿意的集合B的個(gè)數(shù)是A.1 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】試題分析：因，，所以,,,,故選C.考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算；集合的包含關(guān)系推斷及應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：此題考查了并集及其運(yùn)算，以及集合的包含關(guān)系推斷及應(yīng)用，嫻熟駕馭并集的定義是解本題的關(guān)鍵．5.函數(shù)且的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函數(shù)圖象過定點(diǎn)，即無(wú)論參數(shù)取何值，當(dāng)時(shí)，y總等于b，由此可利用代入驗(yàn)證的方法找到正確答案【詳解】當(dāng)時(shí)，無(wú)論a取何值，函數(shù)且的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，含參數(shù)的函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題的解決方法，代入驗(yàn)證的方法解選擇題6.下列函數(shù)中，與函數(shù)相同的函數(shù)是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過分析函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域和值域都為.對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，故與不相同.對(duì)于B選項(xiàng)，，定義域、值域都為，對(duì)應(yīng)關(guān)系為，故與相同.對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，故與不相同.對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，故與不相同.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)函數(shù)相等的概念，考查函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性干脆求解．【詳解】解：，，，，，的大小關(guān)系是．故選．【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的推斷，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．8.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，，令，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，則在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于，為二次函數(shù)，開口向下且對(duì)稱軸為，在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，為對(duì)數(shù)函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意；故選．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是駕馭常見函數(shù)的單調(diào)性．9.一旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，發(fā)覺每間客房每天的定價(jià)與住房率有如下關(guān)系：每間客房定價(jià)100元90元80元60元住房率65％75％85％95％要使每天的收入最高，每間客房的定價(jià)應(yīng)為（）A.100元 B.90元 C.80元 D.60元【答案】C【解析】【分析】求出4個(gè)不同房?jī)r(jià)對(duì)應(yīng)的收入，然后找出最大值對(duì)應(yīng)的房?jī)r(jià)即可得到答案.【詳解】當(dāng)定價(jià)元時(shí)：收入為；當(dāng)定價(jià)元時(shí)：收入為；當(dāng)定價(jià)元時(shí)：收入為；當(dāng)定價(jià)元時(shí)：收入為.對(duì)比知：當(dāng)定價(jià)元時(shí)，收入最高.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)求收入的最大值，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.10.若函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.（1,8） C.（4,8） D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列不等式，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，考查基本分析推斷實(shí)力，屬中檔題.11.函數(shù)的值域?yàn)锳. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解值域即可．【詳解】由題意：函數(shù)y=x+，令t=，則函數(shù)t的值域?yàn)閇0，+∞），可得：x=2﹣t2，那么：函數(shù)y=x+轉(zhuǎn)化f（t）=2﹣t2+t，開口向下，對(duì)稱軸t=，∵t≥0，∴當(dāng)t=時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值為=，即函數(shù)y=x+的最大值為．∴函數(shù)y=x+的值域?yàn)椋ī仭?，]．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值域的求法．中學(xué)函數(shù)值域求法有：1、視察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分別常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要依據(jù)題意選擇．12.已知函數(shù)，若存在a，b同時(shí)滿意和，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可得函數(shù)為奇函數(shù)，則，故有解，即有解，令，則在，上有解，進(jìn)而求得的取值范圍．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，存在，滿意，，有解，即有解，令，則在上有解，在上有解，，即的取值范圍為．故選．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，難點(diǎn)在于找到，的關(guān)系，進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有交點(diǎn)問題，考查轉(zhuǎn)化思想及分析問題解決問題的實(shí)力，屬于中檔題．二、填空題（共4小題，每題5分，共20分）13.化簡(jiǎn)，可得_____．【答案】2【解析】【分析】利用商的對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解答．【詳解】解：原式；故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，利用，，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為是_____．【答案】或2【解析】【分析】通過分段函數(shù)以及，即可求解的值．【詳解】解：函數(shù)，若，當(dāng)時(shí)，，，成立．當(dāng)時(shí)，，解得，綜上的值為：或．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，基本學(xué)問的考查．15.函數(shù)的定義域是_____．【答案】【解析】【分析】利用開偶次方，被開方數(shù)非負(fù)，得到指數(shù)不等式，求解即可得到函數(shù)的定義域．【詳解】解：要使函數(shù)有意義，必需，即，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，解得．所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海蚀鸢笧椋军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求法，指數(shù)不等式的求法，考查計(jì)算實(shí)力．16.已知函數(shù)，且，則_____．【答案】4048【解析】【分析】依據(jù)肯定值的幾何意義去掉肯定值符號(hào)，再依據(jù)所求的特點(diǎn)，求出；即可求出結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)，且，當(dāng)或時(shí)，．．．故答案為4046．【點(diǎn)睛】本題主要考查肯定值的幾何意義以及首尾相加求和，屬于綜合性題目，難度不大．三、解答題（共6小題，共70分；解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟）17.已知全集為R，，求：（1）；（2）．【答案】（1）或或；（2）或.【解析】【分析】（1）可以求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可；（2）進(jìn)行補(bǔ)集、并集的運(yùn)算即可．【詳解】解：（1）或或，或，或或；（2），或．【點(diǎn)睛】本題考查了描述法的定義，肯定值不等式和分式不等式的解法，交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知函數(shù).（1）推斷并用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．【答案】（1）遞增，證明見解析；（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題．【詳解】解：（1）在上為增函數(shù)，證明如下：任取，則；，，；，；所以，在上為增函數(shù)．（2）：由（1）知在，上單調(diào)遞增，的最小值為，最大值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性定義、函數(shù)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題．19.設(shè)函數(shù)，且．（1）求的解析式；（2）畫出函數(shù)的圖象，并依據(jù)圖象寫出函數(shù)具有的性質(zhì)（至少兩個(gè)，不用證明）．【答案】（1）；（2）圖象見解析，定義域，值域.【解析】【分析】（1）依據(jù)條件列方程組求解析式；（2）畫出圖象得到性質(zhì)．【詳解】解：（1）由，得，由，得，聯(lián)立解方程得：，，所以（2）函數(shù)圖象如圖所示，定義域?yàn)椋海涤驗(yàn)椋汉瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間為：和【點(diǎn)睛】考查分段函數(shù)求值和分段函數(shù)圖象和性質(zhì)，基礎(chǔ)題．20.已知函數(shù)（1）若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值；【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得使得函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則滿意或，即可求解；（2）由（1），依據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類探討，即可求解函數(shù)的最大值和最小值，得到答案.【詳解】（1）由題意，函數(shù)表示開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸為，若使得函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則滿意或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由（1）可知，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，最小值為；最大值為；當(dāng)時(shí)，最小值為，函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，最小值為，函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，最小值為，函數(shù)最大值為；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理分類探討是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類探討思想，以及推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.21.解關(guān)于x的不等式．【答案】詳見解析【解析】【分析】可探討與1的關(guān)系：時(shí)，原不等式可變成，然后再探討與的關(guān)系，這樣即可得出原不等式的解，同樣探討和時(shí)，得出原不等式的解．【詳解】解：（1）時(shí)，由原不等式得，，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，即，原不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；（2）時(shí)，原不等式變成，原不等式的解集為；（3）時(shí)，由原不等式得，，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，分類探討的思想，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．22.定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求λ的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，的值域是，求s與t的值．【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，可得解析式；（