2024秋高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何綜合測(cè)評(píng)新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1模塊綜合測(cè)評(píng)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線kx-y-1=0與直線x+2y-2=0的交點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.-12,1C.12,+∞2.在空間直角坐標(biāo)系中,若直線l的方向向量為a=(1,-2,1),平面α的法向量為n=(2,3,4),則()A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α斜交3.設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿(mǎn)意k1k2+2=0,則l1與l2的交點(diǎn)肯定在()A.2x2+3y2=1(x≠0)上B.x2+2y2=1(x≠0)上C.2x2+y2=1(x≠0)上D.3x2+2y2=1(x≠0)上4.若雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2A.2 B.3 C.2 D.25.已知圓C1:x2+(y+m)2=2與圓C2:(x-m)2+y2=8恰有兩條公切線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(1,3) B.(-1,1)C.(3,+∞) D.(-3,-1)∪(1,3)6.(2024安徽宿州期中)若圓x2+(y-a)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,3) B.[1,3]C.(-3,-1)∪(1,3) D.[-3,-1]∪[1,3]7.過(guò)雙曲線C:x2a2?y2b2=1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于A,若以雙曲線C的右焦點(diǎn)F為圓心、以2為半徑的圓經(jīng)過(guò)A,A.3 B.2C.5 D.38.如圖,若拋物線過(guò)點(diǎn)A14,1,平行于x軸的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A反射后,反射光線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且交拋物線于點(diǎn)B,則線段ABA.254 B.C.174 D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),假如AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),則下列結(jié)論正確的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的一個(gè)法向量D.AP10.(2024遼寧大連期中)已知F是雙曲線C:x2a2?y2a2=1(a>0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上隨意A.30° B.45°C.60° D.150°11.(2024遼寧沈陽(yáng)檢測(cè))已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)意方程x2+y2-2x-4y+1=0,則下列說(shuō)法正確的是()A.x2+y2的最大值為2+5B.(x+2)2+(y+1)2的最大值為22+122C.x+y的最大值為3+22D.4x-3y的最大值為812.(2024江蘇海安檢測(cè))雙紐線像數(shù)字“8”,不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)、和諧、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美,同時(shí)也具有特別的有價(jià)值的藝術(shù)美,是形成其他一些常見(jiàn)的美麗圖案的基石,也是很多設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.曲線C:(x2+y2)2=4(x2-y2)是雙紐線,則下列結(jié)論正確的是()A.曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))B.曲線C上隨意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)2C.曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的曲線方程為(x2+y2)2=4(y2-x2)D.若直線y=kx與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-1]∪[1,+∞)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.設(shè)向量a=(1,2,λ),b=(2,2,-1),若cos<a,b>=49,則實(shí)數(shù)λ的值為.14.如圖,在空間四邊形OABC中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),H是EF上一點(diǎn),且EH=14EF,記OH=xOA+yOB+zOC,則(x,y,z)=;若OA⊥OB,OA⊥OC,∠BOC=60°,且|OA|=|OB|=|OC|=15.(2024河北邢臺(tái)檢測(cè))在△ABC中,A,B分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)C在橢圓上,且∠ABC=30°,(AB16.(2024江蘇常州期中)已知圓C:(x-3)2+y2=1,點(diǎn)M在拋物線T:y2=4x上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)M引直線l1,l2與圓C相切,切點(diǎn)分別為A,B,則|AB|的取值范圍為.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,1),B(-3,2),且圓心C在直線l:x-y-2=0上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)P(3,-1)作直線m交圓C于M,N兩點(diǎn),且|MN|=8,求直線m的方程.18.(12分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為AB,B1C的中點(diǎn).(1)借助向量證明平面A1BD∥平面B1CD1;(2)借助向量證明MN⊥平面A1BD.19.(12分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,點(diǎn)E,F分別在AD,BC上,且AE=1,BF=4,沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A'EFB',使點(diǎn)B'在平面CDEF上的射影H在直線DE上.(1)求證:平面B'CD⊥平面B'HD;(2)求證:A'D∥平面B'FC;(3)求直線HC與平面A'ED所成角的正弦值.20.(12分)(2024浙江學(xué)業(yè)考試)如圖,直線l與圓E:x2+(y+1)2=1相切于點(diǎn)P,與拋物線C:x2=4y相交于不同的兩點(diǎn)A,B,與y軸相交于點(diǎn)T(0,t)(t>0).(1)若T是拋物線C的焦點(diǎn),求直線l的方程;(2)若|TE|2=|PA|·|PB|,求t的值.21.(12分)(2024江蘇南通模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,BC=CD=2,AB=4.M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),且PD⊥NC,平面PAD⊥平面ABCD.(1)證明:PD⊥平面ABCD;(2)已知三棱錐D-PAB的體積為23,求平面PNC與平面PNM的夾角的大小22.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1),且離心率為32,直線l(1)求橢圓C的方程;(2)若∠APB的角平分線與x軸垂直,求PM長(zhǎng)度的最小值.

模塊綜合測(cè)評(píng)1.A聯(lián)立kx-y∴41+2k>0且2k-11+2k<2.C由a·n=1×2+(-2)×3+1×4=0,可知a⊥n.∴l(xiāng)∥α或l?α.3.C直線l1:y=k1x+1,∴k1=y-1x(直線l2:y=k2x-1,∴k2=y+1x(x≠又k1k2+2=0,∴y-1x·整理得2x2+y2=1(x≠0),∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)肯定在2x2+y2=1(x≠0)上.4.A雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,圓心(2,0)到漸近線距離為d=22則點(diǎn)(2,0)到直線bx+ay=0的距離為d=|2即4(c2-a2)c2=雙曲線的離心率e=c2a25.D∵圓C1:x2+(y+m)2=2與圓C2:(x-m)2+y2=8恰有兩條公切線,∴兩圓相交.又C1圓心為(0,-m),半徑為2,C2圓心為(m,0),半徑為22,∴2<2|m|<32,即1解得-3<m<-1或1<m<3.6.C依據(jù)題意,到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=1,是圓心為(0,0),半徑r=1的圓,若圓x2+(y-a)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1,則圓x2+(y-a)2=4與圓x2+y2=1相交,圓x2+(y-a)2=4,圓心為(0,a),半徑R=2,則有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3,即a的取值范圍為(-3,-1)∪(1,3).7.B因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±bax所以A(a,b)或A(a,-b),因此|AF|=c=2,即(2-a)2+b2=2,整理可得a因?yàn)閍2+b2=c2=4,所以4a=4,解得a=1,所以雙曲線的離心率為e=ca=28.B由題意設(shè)拋物線的方程為y2=mx,將A的坐標(biāo)代入可得12=14m,可得m=所以拋物線的方程為y2=4x,可得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,由題意可得反射光線過(guò)焦點(diǎn)(1,0),所以直線AB的方程為y-01-0=x聯(lián)立y=-所以反射光線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)A14,1,B所以AB的中點(diǎn)為178所以AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=178+1=259.ABC∵AB·AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴即AP⊥AB,故A正確;∵AP·AD=(-1)×4+2×2+(-1)×0∴AP⊥AD,即AP⊥AD,故B由AP⊥AB,AP⊥AD,且AB∩AD=A,得出AP是平面ABCD的一個(gè)法向量,故C正確;由AP是平面ABCD的法向量,得出AP⊥BD,故D10.AD∵雙曲線C:x2a2?y2a∴雙曲線的漸近線與x軸的夾角為45°.∵F是雙曲線C:x2a2?y2O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上隨意一點(diǎn),∴0°≤∠POF<45°或135°<∠POF≤180°.∴∠POF的大小可能是30°,150°.故選AD.11.BCD由x2+y2-2x-4y+1=0,知(x-1)2+(y-2)2=4,表示圓心為M(1,2),半徑為r=2的圓,對(duì)于A,x2+y2的幾何意義為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方和,其最大值為(|OM|+r)2=(5+2)2,即A錯(cuò)誤;對(duì)于B,(x+2)2+(y+1)2的幾何意義為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)(-2,-1)距離的平方和,其最大值為(2+32)2=22+122,即B正確;對(duì)于C,令z=x+y,則其幾何意義為直線y=-x+z在y軸上的截距,當(dāng)該直線y=-x+z與圓相切時(shí),可滿(mǎn)意題意,此時(shí)圓心M(1,2)到直線y=-x+z的距離為d=|1+2-z|2=2,解得z=明顯zmin=3-22,zmax=3+22,即C正確;對(duì)于D,令t=4x-3y,則其幾何意義為直線y=43x-13t在y軸上的截距乘以當(dāng)該直線y=43x-13t與圓相切時(shí),可滿(mǎn)意此時(shí)圓心M(1,2)到直線y=43x-13t的距離為d=|4-3×2-t|明顯tmin=-12,tmax=8,即D正確.故選BCD.12.BCD當(dāng)y=0時(shí),x4=4x2,解得x=0或2或-2,即曲線過(guò)整點(diǎn)(0,0),(2,0),(-2,0),結(jié)合圖象可知-2≤x≤2,令x=±1,得y2=23-3,不是整點(diǎn),∴曲線C共經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn),故A錯(cuò)誤;x2+y2=4(x2-y2)x2+y2≤4,曲線C上任取一點(diǎn)P(x曲線C上任取一點(diǎn)M關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,設(shè)N(x,y),則M(y,x),M在曲線C上,∴(x2+y2)2=4(y2-x2),故C正確;y=kx與曲線C肯定有公共點(diǎn)(0,0),∵y=kx與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),則x4(1+k2)=4x2(1-k2),∴1-k2≤0,∴k≥1或k≤-1,故D正確.13.-1227或2因?yàn)橄蛄縜=(1,2,λ),b=(2,2,-所以a·b=2+4-λ=6-λ,|a|=1+4+λ|b|=4+4+1=3.若cos<a,b>=49則a·化簡(jiǎn)得7λ2+108λ-244=0,解得λ=-1227或λ=則實(shí)數(shù)λ的值為-1227或214.38,12,18308∵OH∴(x,y,z)=38∵OA⊥OB,OA且|OA|=|OB|=|OC|=1,∴OH2=38OA+12OB+18OC2=964|OA|2+14|15.3-12如圖,由(AB+AC)·BC=0,得AE⊥故|AC|=|AB|=2c.又∠ABC=30°,∴|BC|=2×2csin60°=23c.由橢圓的定義知2a=|AC|+|BC|=2(1+3)c,故a=(3+1)c,∴離心率e=ca16.142,217.解(1)由已知直線AB的斜率kAB=1,AB中點(diǎn)坐標(biāo)為-7所以AB垂直平分線的方程為x+y+2=0.則由x+y+2=0,x-y因此半徑r=|AC|=5,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圓心C到直線m的距離d=52-所以當(dāng)直線m斜率不存在時(shí),其方程為x=3,即x-3=0;當(dāng)直線m斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y+1=k(x-3),則d=|-3k+1|k2此時(shí)其方程為4x+3y-9=0.所以直線m的方程為x-3=0或4x+3y-9=0.18.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),設(shè)平面A1BD的法向量為m=(x,y,z),∵DA1=(2,0,2),DB∴DA1·m=0,DB·m=0,即2x同理平面B1CD1的一個(gè)法向量為n=(-1,1,1),∴m∥n,∴平面A1BD∥平面B1CD1.(2)∵M(jìn),N分別為AB,B1C的中點(diǎn),∴M(2,1,0),N(1,2,1),∴MN=(-1,1,1),∴MN∥m,∴MN⊥平面A1BD.19.(1)證明在矩形ABCD中,CD⊥DE,點(diǎn)B'在平面CDEF上的射影為H,則B'H⊥平面CDEF,且CD?平面CDEF,∴B'H⊥CD.又B'H∩DE=H,∴CD⊥平面B'HD.又CD?平面B'CD,∴平面B'CD⊥平面B'HD.(2)證明∵A'E∥B'F,A'E?平面B'FC,B'F?平面B'FC,∴A'E∥平面B'FC.由DE∥FC,同理可得DE∥平面B'FC.又A'E∩DE=E,∴平面A'ED∥平面B'FC,∴A'D∥平面B'FC.(3)解如圖所示,過(guò)點(diǎn)E作ER∥DC,過(guò)點(diǎn)E作ES⊥平面EFCD,分別以ER,ED,ES為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵B'在平面CDEF上的射影H在直線DE上,∴設(shè)B'(0,y,z)(y>0,z>0).∵F(3,3,0),且B'E=10,B'F=4,∴y2+∴B'(0,2,6),∴FB'=(-3,-1,6∴EA'=14FB'=-3又ED=(0,5,0),設(shè)平面A'ED的法向量為n=(a,b,c),則有n即-解得b=0,令a=1,得平面A'ED的一個(gè)法向量為n=1,又C(3,5,0),H(0,2,0),∴CH=(-3,-3,0),∴直線HC與平面A'ED所成角的正弦值為sinθ=|cos<CH,n>|=|CH20.解(1)∵T(0,t)(t>0)是拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn),∴t=1.設(shè)直線l的方程為y=kx+1,由直線l與圓E相切,得21+k2=1,即∴直線l的方程為y=±3x+1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+t,x2=4y則x1+x2=4k,x1x2=-4t,∴|PA|·|PB|=1+k2|x1-x0|·1+k2|x2-x0|=(1+k2)[x1x2-x0(x1+x2)+x02]=(1+k2)[x02-4(kx0+t)]=(1+k2由直線l與圓E相切,得|t+1即1+k2=(t+1)2,由|TE|=t+1,|TE|2=|PA|·|PB|,得(1+k2)(x02-4y0)=(t+1)∴x02-4y0=1,又x02+(y0+1)2=1,y0解得y0=-3+22.由直線l與PE相互垂直,得k=-1kPE=-∴t=y0-kx0=y0+x021.(1)證明連接DM,則DC∥BM且DC=BM,所以四邊形BCDM為平行四邊形,所以DM∥BC且DM=BC,所以△AMD是等邊三角形,所以MN⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以MN⊥平面PAD.因?yàn)镻D?平面PAD,所以PD⊥MN.又因?yàn)镻D⊥NC,且