2021年中考人教版數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型6 三角形

題型六三角形、四邊形綜合探究題

@類型1動點問題

1.[2020四川樂山]點P是平行四邊形ABCD的對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點

A,C重合），分別過點A,C向直線BP作垂線，垂足分別為點E,F.點0為AC的中點.

⑴如圖⑴，當(dāng)點P與點（）重合時，線段0E和OF的數(shù)量關(guān)系是（）1OF.

⑵當(dāng)點P運動到如圖⑵所示的位置時，請補全圖形，判斷⑴中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理

由.

⑶如圖⑶，點P在線段0A的延長線上運動，當(dāng)/0EF=30°時，試探究線段CF,AE,OE之間的數(shù)量

關(guān)系.

解法提ZE：；點0為AC的中點

.\AO=CO,

XVZAE0=ZCF0=90°,ZA0E=ZC0F,

.,.△AEO^ACFO.AOE^F.

⑵補全圖形如圖⑴所示

圖⑴

⑴中的結(jié)論仍然成立.

理由:如圖⑴，延長E0交CF于點G.

VAE±BP,CF±BP,

.,.AE/7CE,/.ZEA0=ZGC0.

???點0為AC的中點，

.?.AO=CO.

又?.,/AOE=NCOG,

.,.△AOE^ACOG,

.\OE=OG.

又：NGFE=90°,

.,.OE=OF.

⑶如圖⑵，延長E0交FC的延長線于點H.

易證AAOE絲ZXCOH,

.?.AE=CH(OE=On.

又,.,N0EF=30°,/HFE=90°,

.,.HF-iElkOE,

2，

AOE=CF+CH=CF+AE.

2.[2020山東臨沂]如圖，菱形ABCD的邊長為l,/ABC=60°,點E是邊AB上任意一點(端點除

外)，線段CE的垂直平分線分別交BD,CE于點F,G,AE,EF的中點分別為M,N.

(1)求證:AF=EF.

⑵求MN+NG的最小值.

⑶當(dāng)點E在AB上運動時,NCEF的大小是否變化?為什么？

⑴證明:如圖⑴，連接AC.FC.

???四邊形ABCD是菱形，

AAC與BD互相垂直且平分，

；.AF=CF.

又直線FG為CE的垂直平分線，

.".EF=CF,/.AF=EF.

⑵???點M,N分別為AE,EF的中點,

MN是的中位線,

又NG是RtAFGE斜邊上的中線,，\6=府.

由⑴知AF=EF,

；.MN+NG=AF,即AE的最小值為MN+NG的最小值，易知AF的最小值是菱形對角線AC的一半.

VZABC=60°,AB=CB,

.*.AC=AB=L，AFdAC二

22

故MX+NG的最小值為今

⑶不變化.

如圖⑵，連接A&MG,分別交BD于點0,H,連接FM.

易知點C.是CE的中點，又點M是AE的中點，

/.MG//AC.

；AC_LBD,；.NMHF=90°.

???AF=FE,點M為AE的中點，

.".ZFMB=90°.

在RtZ\FMB中,NFBM=30。，

.,.ZMFB=60°,.\ZFMH=30".

VZFME=90°,ZFGE=90o,

，F(xiàn)ME,G四點共圓，

ZFEG=ZFMG=30°.

故/CEF的大小不會變化.

3.[2020山東青島]如圖，在四邊形ABCD和RtAEBF中,AB〃CD,CD>AB,點C在EB

±,ZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延長DC交EF于點M.點P從點A出發(fā)，沿AC

方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點M出發(fā)，沿MF方向勻速運動，速度為1cm/s.過點

P作GH±AB交AB于點H,交CD于點G.設(shè)運動時間為ts(0<t<5).

解答下列問題：

⑴當(dāng)t為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？

⑵連接PQ,作QN1AF于點'，當(dāng)四邊形PQNH為矩形時，求t的值

⑶連接QC,QH,設(shè)四邊形QCGH的面積為S(cm)求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

⑷點P在運動過程中，是否存在某一時刻t,使點P在NAFE的平分線上?若存在，求出t的值；

若不存在,請說明理由.

解:⑴當(dāng)點M在線段CQ的垂直平分線上時，易知MC=MQ=t.

CM〃AF,AECM^AEBF,

.ECCM.8-6_CM

EBBF'?，86

⑵當(dāng)四邊形PQNH為矩形時,AP=2t,MQ=t,PH=QN.

易知AC=10,EF=10.

???PH〃CB〃QN,

.,.△APHc-AACBfAFQN^AFEBr

.APPHFQQNfj1112tPHFQQN

ACBCFEEB106108,

.,.PHA.

5_________

在RlZXEMC中,/ECM=90。，由勾股定理可得EM=VEC2+CM2=J22*+(1)2=1,

FQ=FE-EM-MQ=10-|-1=￡-1,

.FQ_y-tQN

**10108,

???QN碧t).

?.舊吩吟第-t),解得t=3.

故當(dāng)四邊形PQNH為矩形時,t的值為3.

⑶過點Q作Q\」AF于點N.

由題易知S=S矩形BCGH+S梯形2LS/XQH*

由(2)知1喟=*,易知AH^t,

??.B11=ABAll-8-1t,

；.S矩形的=6X(8-削)=48一拳.

由⑵知FQ=*t,QNq(*t),易知NF=|(y-t),

...BN-BF\F-6-(-

.0(QN+BC)BN25

??s梯形a*----------

[^(y-t)+6]x(1+|t)

2

=-6t4-3t+9.

25

*/QN^(y-t),NH=BH+BN=8-1t+|+|t=y-t,

.-.S^XQN?NH二型史上--色t+江

22552

；?S二S矩形MQI+S梯形g,S心―18箓*(白一⑶?9)(n丹)—*0學(xué)

⑷存在.

當(dāng)點P在/AFE的平分線上時，延長PC交EM于點I,

則PH^t/PC=10-2t.

AB=EB,ZABC=ZEBF=90°,BC=BF,

/.△ABC^AEBF,

ZE=ZBAC.

VZACB+ZBAC=90°,NECI=NACB,

.\ZECI+ZE=90°,

???NEIC=90°.

??/nrrCIBF6

.sin/BEF二一二—二一，

ECEF10'

?CI6.6

??.??Lr-Ji

2105’

.,.PI=PC+CI=10-2t+^-2t.

55

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得PII=PI,；[L新2t,

解得

4.[2020河北26]如圖⑴和圖⑵在4ABC中,AB=AC,BC=8,tanC=*點K在AC邊上，點M,N分別

在AB,BC上，且AM=CN=2.點P從點M出發(fā)沿折線MBN勻速移動,到達(dá)點N時停止;而點Q在AC

邊上隨P移動，且始終保持/APQ=/B.

⑴當(dāng)點P在BC上時，求點P與點A的最短距離；

⑵若點P在MB上，且PQ將4ABC的面積分成上下4：5兩部分，求MP的長；

⑶設(shè)點P移動的路程為x,當(dāng)0WxW3及3GW9時，分別求點P到直線AC的距離（用含x的

式子表示）；

⑷在點P處設(shè)計并安裝一掃描器,按定角ZAPQ掃描4APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點P從點M

到點B再到點N共用時36秒，若AK=J請章接寫出點K被掃描到的總時長.

圖⑵

解:⑴分析可知，當(dāng)AP±BC時，點P與點A的距離最短，最短距離為AP的長.

,.,AB=AC,AP±BC,

PB=PC』BC=4.

2

在RtZ\APC中,tan

3

.'.AP=4X--3,

4

即點P與點A的最短距離是3.

(2)VZAPQ=ZBrZA=ZA,

.'.△APQ^AABC.

q??S〉A(chǔ)PQ44.AP2

■SAABC_4+5*AB3*

由(1)知AB-J42+325,

/.AP=5X-

33'

??.MP=AP-AM=^-2--.

33

⑶當(dāng)0—時，點P在B.M上,如圖⑴，過點P作PD1CA交CA的延長線于點D.

圖⑴

易知AP=2+x.

VZAPQ=ZB,

；.PQ〃BC,

/.sinZPQD=sinZC-|.

由⑵知△APQs^ABC,

,生二里gn|)QAPBC_8(2+x)

**ABBC，PAB5，

???PD=rP)Qn?S1nZF^l)7-—8(——2+x)^X-3^—24x+—48.

552525

當(dāng)3WxW9時點P在BN上,如圖⑵，過點P作PELAC,交直線AC于點E.

BP=x-3,；.PC=8-BP=ll-x,

；.PE-PC?sinZC-（llx）x1-|x+y.

綜上所述，當(dāng)（）—時，點P到直線AC的距離為奈+第當(dāng)3WxW9時，點P到直線AC的距離

為心一03T33

⑷點K被掃描到的總時長為23秒.

解法提示:設(shè)點P移動的時間為t秒，每秒移動的路程為v,

則

①當(dāng)點P在BM上，且點Q與點K重合時,AP=AK=,

4

；.MP=AP_AM322,此時t-1.

44

②當(dāng)點P在BN上，且點Q與點K重合時，

VZAPQ+ZQPC=ZAPC=ZBAP+ZB,ZB=ZAPQ,

???ZBAP=ZQPC.

VAB=AC/Z.ZB=ZC/

AAABP^APCQ,

PBBA

BP=--3,CP=8-（-3）=ll--,QC=CK=5--=—,

44444

—H-i

二春--,；.t=22或34.

T35

易知當(dāng)lWtW22或34WtW36時,AQ2AK,點K會被掃描到.

22-1=21（秒>36-34=2（秒），

故點K被掃描到的總時長為21+2=23（秒）.

?類型2旋轉(zhuǎn)問題

5.如圖，在RtAABC中,/C=90°,AC=BC,P是BC上一點（不與點B,C重合），連接AP,將AP繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AQ,連接BQ,分別交AC,AP于點D,E,作QF±AC于點F.

⑴求證:AC=QF；

⑵若點P是BC的中點，求tanZADQ的值；

⑶若AAEQ的內(nèi)心底QF上，BC=3,直接寫出BP的長.

⑴證明:由旋轉(zhuǎn)可知AQ=AP,/PAQ=90°,

ZPAC+ZQAC=90°.

VZC=90°,/.ZPAC+ZAPC=90°,

/.ZAPC=ZQAC.

XVZC=ZAFQ=90°,

.,.△APC^AQAF,.\AC=QF.

(2),/點P是BC的中點,AF=Cl>gBC,又AC=BC,.\CF-|BC.

,.,AC=BC,AC=QF,.\BC=QF.

又?.?NC=NDFQ=90°,NBDC=NFDQ,

ABCD^AQFD,ACD=FD^BC,

4

/.tanZADQ=tanZBDC普力.

4D

⑶BP=2.

解法提示:當(dāng)△AEQ的內(nèi)心在QF上時,QF平分/AQD.

易證4BCD也△QFA會△、「口,

；.CD=FA=FD,

.,.CP=AF=iAC=-BC=l,

33'

BP=BC-CP=2.

6.[2020山東濰坊]如圖⑴，在AABC中,/A=90°,AB=AC=/+1,點D,E分別在邊AB,AC上，且

AD=AE=1,連接DE.現(xiàn)將4ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<360°)，如圖⑵，連接

CE,BD￡D.

⑴當(dāng)0。<a<180°時,求證:CE=BD；

⑵如圖⑶，當(dāng)a=90。時，延長CE交BD于點F,求證:CF垂直平分BD；

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，求aBCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

圖⑴圖⑵圖⑶

⑴證明:NCAE與/BAD為旋轉(zhuǎn)角，

.\ZCAE=ZBAD.

AC=AB,

在4ACE和AABD中,,NCAE=/BAD,

AE=AD,

/.△ACE^AABD(SAS),

.*.CE=BD.

⑵證明:同⑴可證△ACEg△ABD(SAS),

:.ZACE=ZABD.

,/NACE+NAEC=90°,且/AEC=NFEB,

.\NABD+NFEB=9O",

.\ZEFB=90°,.\CF±BD.

VAB=AC=V2+1,AD=AE=1,ZCAB=ZEAD=90°,

...BC-VlABA/2+2,CD-AC+AD-V2+2,

/.BC=CD.

又「CFJ_BD,

ACF垂直平分BD.

⑶在△BCD中，邊BC的長是定值則BC邊上的高取最大值時,aBCD的面積有最大值，

當(dāng)點D在線段BC的垂直平分線上，且在AABC外部時,Z^BCD的面積取得最大值,如圖.

延長DA交BC于點G,則DG1BC,

.\AG鄂C=等/GAB=45。，

??.DG=AG+AD粵上與jDAB=180。-45。=135。，

.?.△BCD的面積的最大值為扣C?【兒苫(夜+2)(弩廠當(dāng)比，

旋轉(zhuǎn)角a=135°.

7.[2020河南]將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB',記旋轉(zhuǎn)角為a，連接BB',過點

D作DE垂直于直線BB',垂足為點E,連接DB',CE.

⑴如圖(1),當(dāng)a=60。時,Z\DEB'的形狀為等腰直角三角形，連接BD,可求出警的值

為_&_.

(2)當(dāng)0°<a<360°且aW90°時，

①⑴中的兩個結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖⑵的情形進行證明;如果不成立,請說明

理由

②當(dāng)以點B,,E,C,D為頂點的四邊形是平行四邊形時,請直接寫出瞿的值.

圖⑴圖⑵

⑴等腰直角三角形V2

解法提示:由旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)彳導(dǎo)AB'-AB-AI),

又/BAB'=60°,二△ABB'是等邊三角形，二ZAB'B=60°.

VZDAB'=30°.AB)=AD,/.ZAB'D^180°'30°=75°,

/.ZDB'E=180°-75--60°=45°.

5

又DE_LB'EfADEB是等腰直角三角形.

易知黑黑當(dāng)NBDB'=NCDE,

UDfUDZ

AAB'DB^AEDC,?.—---V2.

CEDC

⑵①兩個結(jié)論仍成立.

證明:連接BD.

,.?AB=AB，,ZBAB，=aZAB'B=90°

ZB'AD=a-90°,AD=AB',AZAB'D=135°

，NEB'D=/AB'D-NAB'B=45°.

又；DE_LBB'/EDB'=45°,/.ADEB，是等腰直角三角形,

.?.叫泛

DE

:四邊形ABCD為正方形,.渭-隹,/BDC=45°,

.BD吧

*'CD3F'

ZEDB'=ZBDC,AZEDB'+ZEDB=ZBDC+ZEDB,

SPZB'DB=ZEDC,AAB'DB^AEDC,/.

圖⑴

②3或1.

解法提示:如圖⑴，當(dāng)點B'在正方形ABCI）內(nèi)部時,

V四邊形B'CED為平行四邊形,...DB'=CE.

???△DB'E是等腰直角三角形,

二設(shè)DE=B'E=a,

.".CE=DB，=V2a.

BB'-V2CE=2a,

.?.BE=BB'+B'E-3a,Z.——-3.

B，Ea

如圖⑵，當(dāng)點B'在正方形ABCD外部時，點E與點A重合，

此時B'E=B'A=BA=BE,

二里1.

BzE

綜上所述，黑的值為3或1.

8.[2020重慶B卷]aABC為等邊三角形,AB=8,AD_LBC于點D,E為線段AD上一點,AE=26.以

AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF,連接CE,N為CE的中點.

⑴如圖⑴,EF與AC交于點G,連接NG,求線段NG的長

⑵如圖⑵，將4AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,M為線段EF的中點，連接DN,MN.當(dāng)

30。〈a<120。時，猜想/DNM的大小是否為定值并僅就圖⑵證明你的結(jié)論.

⑶連接BN,在△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)線段BN最長時，請直接寫出aADN的面積.

(1)VAABC為等邊三角形,AD_LBC于點D,.\ZDAC=30°.

又NAEF=60。，；./CGE=90。，即aCGE是直角三角形.

是CE的中點,

?等邊三角形ABC的邊長為8,AD1BC,

CD=4,AD=4V3,/.DE=AD-AE=2V3,

ACE-VCD2+DE2卜+(2遮)2—2夕,NG=V7.

(2)ZDNM的大小為定值.

證明:如圖⑴，連接CF,BE,BE交AC于點H,設(shè)DN交AC于點R.

VD,N,M分別為BC,CE,EF的中點，

；.BE〃DN,MN〃CF,

ZDRC=ZBIIC,ZENM=ZECF.

AB=AC,ZBAE=60°+NCAE=NCAF,AE=AF,

.,.△ABE^AACF,

.".ZABE=ZACF.

又/BHC=NABE+NBAH=/ABE+60°,

.,.ZDRC=ZABE+60°=ZACF+60°.

又/DRC=/DNC+NRCN=NDNC+/ACF-ZECF,

AZDNC=60°+ZECF=60°+ZENM,

.,.ZDNE=180°-NDNC=120°-ZENM,

NDNM=/DNE+NENM=120°,即NDNM的大小為定值.

⑶△Al)\的面積為7V3.

解法提示:取AC的中點P,連接PN廁P\=lAE-ix2V3-V3,

圖⑵

...點N在以點P為圓心，8為半徑的圓上運動，

???當(dāng)點N在BP的延長線上時,BN最長，如圖(2).

易得BP=1V3,

.,.BN-BP+PX-1V3'V3-5V3.

設(shè)BP與AD交于點0,過點N作XQ±AD于點Q.

VBP為等邊三角形的中線，

ZCBP-30°,

cos3003

，0N=BN-B03鳥

3

VNQ1ADrAD±BC,NQ//BD,Z.Z0NQ=Z0BD=30°,

.*.NQ=0N?cos300工

：.AAND的面積為三ADXNQ-iX4>/3X--7V3.

?類型3軸對解問題2

9.[2020安徽中考改編]在數(shù)學(xué)探究活動中，敏敏進行了如下操作:如圖,將四邊形紙片ABCD沿

過點A的直線折疊,使得點B落在CD上的點Q處折痕為AP；再將△PCQ,Z\ADQ分別沿PQ,AQ折

疊,此時點C,D落在AP上的同一點R處.請完成下列探究：

⑴求NPAQ的度數(shù)；

⑵當(dāng)四邊形APCD是平行四邊形時，求及的值.

解:⑴如圖，由折疊的性質(zhì)可知/1=N2,/3=N4,N5=NC,N6=ND,

AZAQP=Z2+Z3=ix(ZDQR+ZCQR)=90°,ZC+ZD=180°,

AZB=90o,AD/7BC,.\ZBAD=90°,

...ZBAP=ZPAQ=ZDAQ,ZPAQ=30°.

⑵由折疊的性質(zhì)可知QR=CQ=DQ李D.

:四邊形APCD是平行四邊形,，AP=CD,QR=|AP.

,/ZPAB=iZBAD=30°,cosZBAP=-A—=A/3.

3'AP2'2QR2'QR

10.[2020浙江金華]如圖⑴，在△ABC中,AB=4或,/B=45。，NC=60。.

⑴求BC邊上的高線長.

⑵點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連接EF,將aAEF沿著直線EF折疊得到aPEF.

①如圖⑵，當(dāng)點P落在邊BC上時，求NAEP的度數(shù).

②如圖⑶，連接AP,當(dāng)PE1AC時，求AP的長.

解。）過點A作AD1BC于點D.

在RtZXABD中,AD=AB?sin45°=42

⑵①由折疊的性質(zhì)可知△AEFgAPEF,

,*.AE=EP.

又：AE=BE,

；.BE=EP,

.".ZEPB=ZB=45°,

.".ZAEP=ZB+ZEPB=90°.

②由⑴可知，在RtAADC中,AC二^-竽.

VPF±ACr

ZPFA=90°.

由折疊的性質(zhì)可知aAEFg△PEF,

，/AFE=/PFE=45。，貝！|/AFE=NB.

又；NEAF=NCAB,

.,.△EAF^ACAB,

.AF_AEppAF2后

''ABAC'即4低逋'

3

.,.AF-2V3.

在RtAAFP中,AF-PF,則AP-V^\F-2遍.

H.[2020石家莊一模]如圖⑴，在口ABCD中,ABVBC.把。ABCD沿對角線AC所在的直線折疊，使點

B落在點E處，連接CE交AD于點F,連接DE.

⑴求證:△ADEg^CED.

⑵求證:ZXDEF為等腰三角形.

⑶將圖⑴中的aAEC沿射線CA平移得到4A'E'C',連接BA',如圖⑵所示若AB=AC=2,BC=2次,

當(dāng)BA'=BC時，請直接寫出4AEC平移的距離.

EE'

圖⑴圖⑵

⑴證明:??.四邊形ABCD是平行四邊形,

.?.AB=CD,BC=AD.

由折疊的性質(zhì)可知,AB=AE,BC=EC,

.\AE=CD,AD=EC.

又〈DE=DE,

.'.△ADE^ACED.

⑵證明:???AADE^ACED,

.'.ZEDF=ZDEF,

Z.EF=DF,BPAEDF為等腰三角形.

⑶4AEC平移的距離為4.

解法提示:〈AB二AC".ZABC=ZACB.

VBA,=BC,/.ZBA，C=NACB,

.,.△ABC^ABA，C,

.空ACgo2V3__2_

'*A?C-BCZBIA?C_2V5X

???A'C=6,?,?A'A二A'C-AC=4,

故4AEC平移的距離為4.

12.[2020四川成都]在矩形ABCD的CD邊上取一點E,將△!?：沿BE翻折，使點C恰好落在AI)

邊上點F處.

⑴如圖⑴，若BC=2BA,求NCBE的度數(shù)；

⑵如圖⑵，當(dāng)AB=5,且AF?FD=10時，求BC的長;

⑶如圖⑶，延長EF,與/ABF的平分線交于點M,BM交AD于點N,當(dāng)NF=AN+FD時，求拶的值.

圖⑴圖⑵圖⑶

解:⑴由折疊的性質(zhì)得BC=BF,ZEBF=NEBC.

；BC=2BA,；.BF=BC=2BA,

sinZAFB--

BF2

.".ZAFB=30°.

四邊形ABCD是矩形,.\AD//BC,

AZCBF=ZAFB=30°,

.,.ZCBE=-ZCBF=15°.

2

⑵由題意可知/BFE=/C=90°.

VZAFB+ZDFE=900=ZDEF+ZDFE,

ZAFB=ZDEF.

又；/BAF=/FDE=90°,

.,.△ABF^ADFE,

"B?S"AB.DE=AF?DF,即5DE=10,

.".DE=2,/.EF=CE=5-2=3.

在RtADEF在DF-JEF2-DE2、32-22-

.?.AF=*2百，

V5

.*.BC=AD=AF+DF=3V5.

⑶如圖，過點N作XGXBF于點G.

；NF=AN+FD,

...FN」AD=NBC」BF.

222

??EI平分/ABF,/BAN=/BGN=90°,

.\AN=GN.

a

VZBAF=ZNGF=90,ZAFB=ZGFN,

；?AABF^AGNF,

???詈更二即AB二2\G=2AN.

設(shè)AN二a,則AB=2a.設(shè)BC=BF二2b,則NF=b,

AAF=a+b.

在RtAABF中油AB^AFJBF；得4￡+(a+b)J4b：

整理，得5a2+2ab-3b2=0,

解得a-|b或a=-b(舍去)，

.AB2a

''BC2bb5"

13.如圖⑴，已知等邊三角形ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點（不與點A,B重4

合）.直線I是經(jīng)過點P的一條直線由巴AABC沿直線1折疊，點B的對應(yīng)點是點B'.iA

⑴如圖⑵，當(dāng)PB=4時，若點B'恰好在AC邊上，則AB'的長度為4.\Z-\-yB）

⑵如圖⑶，當(dāng)PB=5時,若直線1〃AC,則BB'的長度為二遮X

⑶如圖⑷，在點P在AB邊上運動的過程中,若直線1始終垂直于AC.AACB"的面積是否/\/\

變化?若變化說明理曲若不變求出面積.M----------V—

⑷當(dāng)PB=6時,在直線1變化的過程中，求△ACB'的面積的最大值.岡m

Z,\A,\/A\4/Ik4

V\B'M\^B'//XP/\

圖⑵圖⑶圖⑷備用圖

解:⑴4

解法提示:由折疊可知PB'=PB=4.

,.,AP=AB-BP=4,；.AP=PB'.

AABC為等邊三角形,/A=60°,

.?.△APB‘碧邊三角形,=AP=4.

(2)573

解法提示:設(shè)1交BB'于點E,則/BEP=90°.

?.#1Z/AC,.".ZBPE=ZA=6O°.

VPB=5,.\BB，=2BE=2PB?sinZBPE=5V3.

⑶不變.

連接BB',過點B作BF,AC,垂足為點F,過B'作B'ELAC,垂足為點E.

???點B與點B'關(guān)于直線1對稱，

.?.BB'，直線1.

又；直線1J_AC,

.'.BB'〃AC,

B'E=BF=BC?sinZACB=4V3,

.,.Sw=1xAC-B'E^X8X4A/3=16V3.

⑷由題意得，點B’在以點P為圓心、PB的長為半徑的圓上.

過點P作AC的垂線，交AC于點M,交0P于點N',N",當(dāng)點B'與點N'重合時，如圖,B'M最長，即

△ACB'的面積最大.

,/AP=AB-PB=2,PM±AC,ZBAC=60°,

/.PM=V3,

.*.B'M=N'M=N'P+PM=6+V5,此時S.?AC』X(6+75)X8=24+475,

??.&、，，.的最大值為24+4倔

⑥類型4實踐探究問題

14.[2020甘肅天水]性質(zhì)探究

如圖⑴，在等腰三角形ABC中,/ACB=120。，則底邊AB與腰AC的長度之比為遮：I.

理解運用

⑴若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+2舊,則它的面積為_6_.

⑵如圖⑵，在四邊形EFG1I中,EF=EG=EH,在邊FG,GII上分別取中點M,N,連接MN.若

NFGH=120°,EF=20,求線段MN的長.

類比拓展

頂角為2a的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為2sina：1.(用含a的式子表示)

E

cH

TV

ABFMG

圖⑴圖⑵

解:性質(zhì)探究V3：I

解法提示如圖⑴，過點C作CD1AB于點D.

C

ADR

圖⑴

XVCA=CB,ZACB=120",

，/A=NB=30°,AD=BD,

；.AB=2AD=2AC?cos30'A/3AC,

.'.AB：AC-V3：1.

理解運用⑴K

解法提示:在△ABC中/，=8。,/人，13=120°,設(shè)CA=CB=m,則AB=V5m,

由題意得2m+V3111=1-^273,

.,.m-2,/.AC=CB=2,AB=2V3,

S,,AB,AC,sin30°-V3.

⑵連接FH.

：EF=EG=EH,/.點F,G,H在以點E為圓心、EF為半徑的圓上，如圖⑵,在優(yōu)弧FH上取點P(異于

點F,H),連接PF,PH,

則/FPH=180°-ZFGH=60°,

.,.ZFEH=2ZFPH=120".

由性質(zhì)探究可得FH=V3EI-=20>/3.

??,點M,N分別是FG,HG的中點,

.".MN^FH=1()V3.

類比拓展2sina：1

解法提示:如圖⑶，在△ABC中,/ACB=2a,AC=BC.過點C作CD±AB于點D,

則AD=BD,ZACD=ZBCD=a,

.\AB=2AD=2AC?sina,

.,.AB：AC=2sina：1.

Zlcx

ADB

圖⑶

15.[2020浙江嘉興]在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中,小兵將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF

拼在一起，使點A與點F重合，點C與點D重合,如圖⑴，其中ZACB=ZDFE=90°,BC=EF=3

cm,AC=DF=4cm,并進行如下研究活動.

活動一:將圖⑴中的三角形紙片DEF沿AC向下平移，連接AE,BD,如圖⑵，當(dāng)點F與點C重合時

停止平移.

【思考】圖⑵中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎?請說明理由.

【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)三角形紙片DEF平移到某一位置時，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形，如圖（3）.求AF

的長.

活動二:在圖⑶中取AD的中點0,再將紙片DEF繞點（）順時針旋轉(zhuǎn)a（0°WaW90。），連接

OB,0E,如圖⑷.

【探究】當(dāng)EF平分NAE0時，探究0F與BD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）

解：【思考】四邊形ABDE是平行四邊形.

理由二.△ABCrZXDEF,

AB=DE,ZBAC=ZEDF,AABDE,

四邊形ABDE是平行四邊形.

【發(fā)現(xiàn)】連接BE交AD于點0,

四ABDE為...OA=()I)=OB=OE.

設(shè)AF-xcm廁0A=0E-1(x+4)cm,

/.0F=0AAF=^(x+4)-x=(2-^x)(cin).

在RtAOFE中,?.,OFlEF'OE；

A(2-ix)2+32=i(x+4)2,

解得x二二即AL--cm.

44

【探究】BD=20F.

理由:如圖，延長OF交AE于點H.

/h

科C

易知0A二()B二0E=0D,

.".ZOAB^ZOBA=ZOI)E=ZOED,ZOB1)=ZOI)B,ZOAE=ZOEA,

，ZABD=ZBDE,ZDEA=ZEAB,

又/ABD+NBDE+NDEA+NEAB=360°,

AZABD+ZBAE=180°,

；.AE〃BD,

:.ZOHE-ZODB.

VEE平分/OEH,；.NOEF=NHEF.

又,.,/EF0=NEFH=90°,EF=EF,

.?.△EEO^AEFH,

.*.EH=EO=OB=OD,FO=FH,ZEOF=ZEHF=Z0DB=ZOBD,

AEOH^AOBD,BD=OH=2OF.

16.[2020廣東深圳]背景:一次小組合作探究課上,小明將正方形ABCD和正方形AEFG按圖(1)

所示的位置擺放(點E,A,D在同一條直線上)，連接BE,DG,發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE±DG.

小組討論后，他們提出了下列三個問題，請你幫助解答.

⑴將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),如圖⑵所示還能得到BE=DG嗎?若能請給出證明;

若不能，請說明理由.

⑵把背景中的正方形ABCD和正方形AEFG分別改成菱形ABCD和菱形AEFG,將菱形AEFG繞點

A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),如圖⑶所示.當(dāng)/EAG與/BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時,背景中的結(jié)論

BE=DG仍成立?請說明理由.

⑶把背景中的正方形ABCD和正方形AEFG分別改成矩形ABCD和矩形AEFG,且

器嗡W，AE=4,AB=8,將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖⑷所示，連接DE,BG.小組發(fā)現(xiàn):

在旋轉(zhuǎn)過程中,DE2+BG?的值是定值，請求出這個定值.

證明:；四邊形AEFG為正方形,/.AE=AG,ZEAG=90°.

又四邊形ABCD為正方形,二AB=AD,NBAD=90°,

ZEAG-ZBAG=ZBAD-ZBAG,ZEAB=ZGAD,

△AEB且△AGD(SAS),BE=DG.

(2)當(dāng)NEAG=NBAD時,BE=DG.

理由如下：

"/四邊形AEFG和四邊形ABCD為菱形，

.\AE=AG,AB=AD.

若BE=DG,則AAEB絲△AGD(SSS),

此時/EAB=NGAD,ZEAG=ZBAD.

.,.當(dāng)/EAG=NBAD時,BE=DG.

⑶解法一：如圖⑴，過點E作EMLDA,交DA的延長線于點M,過點G作GNXAB于點N.

；AE=4,AB=8蔑需缸.AG=6,AD=12.

VZEMA=ZANG=90°，且易證/MAE=NGAN,

AAME^AANG,二警萼祭.

ANGNAG3

設(shè)EM=2a,AM=2b,則GN=3a,AN=3b,

則MD=2b+12,BN=8-3b.

在RtAEMDcf,l)E2=EM2+MD2=(2a)2+(12+2b)2=4a-+144+48b+4b2.

在RtAGNB4',BG2=GN2+NB2=(3a)2+(8-3b)2=9a2+64-48b+9b2.

在RtAAME41,AE=EM2+AM2=4a2+4b2=16,

.-.a2+b2=4,

Z.DE2+BG2-13(a2+b2)+208=13X4+208=260.

圖⑴圖⑵

解法二:如圖⑵，連接EG,BD般DG與EB交于點Q,EB與AG交于點P.

???四邊形AEFG和四邊形ABCD為矩形,

ZEAG=ZBAD,/.ZEAB=ZGAD.

又?嘿嘿???△EABS^GAD,

ZBEA=ZAGD,.\ZGQP=ZPAE=