2025屆河北省保定市定州市數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆河北省保定市定州市數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足，則點(diǎn)P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.2．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）A. B.2C. D.3．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)則該數(shù)滿足的概率為（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位（1533-1606年）所著.該書中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數(shù)是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.16．橢圓C：的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在橢圓上，若，則的面積為（）A.48 B.40C.28 D.247．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.58．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.9．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（）A. B.C. D.10．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中正確的有（）A.平面ABC的一個(gè)法向量是 B.的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是C. D.與是共線向量11．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊12．設(shè)，，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊．已知每層圈數(shù)相同，共有9圈，則下層比上層多______塊石板14．如圖，在平行六面體中，設(shè)，N是的中點(diǎn)，則向量_________．（用表示）15．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.16．命題“”的否定為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值19．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點(diǎn)且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn).求的最大值20．（12分）已知數(shù)列滿足，，，n為正整數(shù).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；21．（12分）有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲6978856乙a398964經(jīng)計(jì)算可得甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)是一樣的（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）請(qǐng)通過計(jì)算，判斷甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員哪一位的成績(jī)更穩(wěn)定？22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】構(gòu)造輔助線，找到點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為長(zhǎng)方形，從而求出面積.【詳解】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點(diǎn)，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因?yàn)锽EEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A2、A【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項(xiàng).【詳解】由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線，所以，則，又點(diǎn)在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意雙曲線定義的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量3、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得：在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選：.4、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計(jì)算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則，，，所以.故選：D5、A【解析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式和求和公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)這個(gè)塔頂層有盞燈，則問題等價(jià)于一個(gè)首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為381，所以，解得，所以這個(gè)塔的最底層有盞燈.故選：A.6、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出，再判斷形狀計(jì)算作答.【詳解】橢圓C：的半焦距，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，由橢圓定義得，而，且，則有是直角三角形，，所以的面積為24.故選：D7、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A8、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C9、B【解析】A.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；故選：B10、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間中平面法向量的定義，向量模長(zhǎng)的求解，以及共線定理，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)?，，，故可得，因?yàn)?，故，不平行，則D錯(cuò)誤；對(duì)A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對(duì)B：因?yàn)橄蛄康哪ｉL(zhǎng)為，其不是單位向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋士傻?，故C錯(cuò)誤；故選：A.11、C【解析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.12、B【解析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B的正誤.【詳解】對(duì)于A中，令，，，，滿足，，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)椋杂刹坏仁降目杉有?，可得，所以，故B正確；對(duì)于C中，令，，，，滿足，，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，，，，滿足，，但，故D錯(cuò)誤故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1458【解析】首先由條件可得第圈的石板為，且為等差數(shù)列，利用基本量求和，即可求解.【詳解】設(shè)第圈的石板為，由條件可知數(shù)列是等差數(shù)列，且上層的第一圈為，且，所以，上層的石板數(shù)為，下層的石板數(shù)為.所以下層比上層多塊石板.故答案為：145814、【解析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則及數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】由向量的減法及加法運(yùn)算可得，，故答案為：15、【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值【詳解】解：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即取等號(hào)，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值0，故答案為：016、【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得結(jié)果.【詳解】由特稱命題否定是全稱命題，故條件不變，否定結(jié)論所以“”的否定為“”故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定是全稱命題，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由，，可得求出，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，考查裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面垂直的判定和線面角的求法，解題的關(guān)鍵是通過過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，然后結(jié)合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題19、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)、橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，由得由得．由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，∴的最大值為20、（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出矛盾，故說明假設(shè)錯(cuò)誤。從而證明原結(jié)論；（3）求出n=1,2,3,4時(shí)的情況，再結(jié)合時(shí)，，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由已知可知，顯然有，否則數(shù)列不可能是等比數(shù)列；因?yàn)?，，故可得，由得：，即有，所以?shù)列等比數(shù)列，且；【小問2詳解】假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，即，而是奇數(shù)，故上式左側(cè)是奇數(shù)，右側(cè)是一個(gè)偶數(shù)，不可能相等，故數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列；【小問3詳解】關(guān)于正整數(shù)n的不等式，即，當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n=3時(shí)，；當(dāng)n=4時(shí)，，并且當(dāng)時(shí)，，因關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素，故.21、（1）10；（2）甲的成績(jī)比乙更穩(wěn)定.【解析】（1）根據(jù)甲乙成績(jī)求他們的平均成績(jī)，由平均成績(jī)相等列方程求參數(shù)a的值.（2）由已知數(shù)據(jù)及（1）的結(jié)果，求甲乙的方差并比較大小，即可知哪位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)