2025屆江蘇省鹽城市濱海縣八灘中學高二上數(shù)學期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆江蘇省鹽城市濱?？h八灘中學高二上數(shù)學期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.3．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)4．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.5．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或6．某地為響應總書記關于生態(tài)文明建設的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關數(shù)據(jù).如圖所示，測得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線距離約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米7．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.8．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.9．已知橢圓C：的左右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C與A，B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為（）A. B.C. D.10．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與相交但不垂直11．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C. D.12．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)x，則使得的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．長方體中，，，已知點H，A，三點共線，且，則點H到平面ABCD的距離為______14．過點與直線平行的直線的方程是________.15．已知數(shù)列滿足，將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列：，，，，，，，，，…，，…．則新數(shù)列的前70項和為______16．已知為坐標原點，、分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上不同于、的動點，直線、與軸分別交于點、兩點，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某話劇表演小組由名學生組成，若從這名學生中任意選取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求該小組中男、女生各有多少人？（2）若這名學生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.18．（12分）已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點和平面內(nèi)一點，過點任作直線與橢圓相交于，兩點，設直線，，的斜率分別為，，，，試求，滿足的關系式.19．（12分）已知橢圓的上一點處的切線方程為，橢圓C上的點與其右焦點F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）若點P為直線上任一點，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點為A，B，求證：20．（12分）分別求出滿足下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點在y軸，短軸長為2，離心率為；（2）短軸一端點P與兩焦點，連線所構(gòu)成的三角形為等邊三角形21．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】解：，設F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D2、C【解析】當時可得，可得答案.【詳解】當時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C3、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關系是平行或在平面內(nèi)故選：D4、B【解析】作出線面角構(gòu)造三角形直接求解，建立空間直角坐標系用向量法求解.【詳解】設正方體棱長為2，、F分別為AB、CD的中點，由正方體性質(zhì)知平面，所以平面平面，在平面作，則平面，因為，所以即為所求角，所以.故選：B5、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當直線過原點時，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當直線不過原點時，設方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒6、C【解析】應用正弦定理有，結(jié)合已知條件即可求A，B間的直線距離.【詳解】由題設，，在△中，，即，所以米.故選：C7、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A8、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對所得解進行取舍.9、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得△AF1B的周長為4a，由題意求出a，結(jié)合離心率計算即可求出c，再求出b即可.【詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長為，又△AF1B的周長為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.10、B【解析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，可得結(jié)論【詳解】因為，，所以，所以∥，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B11、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項和為，，，則，，，所以.故選：D12、A【解析】解一元一次不等式求不等式在上解集，再利用幾何概型的長度模型求概率即可.【詳解】由，可得，其中長度為1，而區(qū)間長度為4，所以，所求概率為故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】在長方體中，以點A為原點建立空間直角坐標系，利用已知條件求出點H的坐標作答.【詳解】在長方體中，以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，因點H，A，三點共線，令，點，則，又，則，解得，所以點到平面ABCD的距離為.故答案為：14、【解析】根據(jù)給定條件設出所求直線方程，利用待定系數(shù)法求解即得.【詳解】設與直線平行的直線的方程為，而點在直線上，于是得，解得，所以所求的直線的方程為.故答案為：15、##2.9375【解析】先根據(jù)題干條件得到，再利用錯位相減法求前64項和，最后求出前70項和.【詳解】①，當時，；當時，②，①-②得：，即又滿足，所以由，得令，則，兩式相減得，則所以新數(shù)列的前70項和為故答案為：16、3【解析】求得坐標，設出點坐標，求得直線的方程，由此求得兩點的縱坐標，進而求得.【詳解】依題意，設，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為；（2）.【解析】（1）設男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，根據(jù)組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：設男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，由已知可得，即，因為且，解得，所以，該小組中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.【小問2詳解】解：若男生不相鄰，則先將女生全排，然后在女生所形成的個空中選個空插入男生，因此，所有排法中男生不相鄰的概率為.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直線與圓相切可得，再結(jié)合離心率及間的關系可得的值，進而得到橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況考慮，分別求出點的坐標后再求出的值，進而得到，最后根據(jù)斜率公式可得所求的關系式【詳解】（1）因為圓與直線相切，所以圓心到直線的距離，即所以，又由題意得所以，所以橢圓的標準方程為（2）①當直線的斜率不存在時，可得直線方程為，由，解得或，不妨設，，所以，又，所以，所以，整理得所以滿足的關系式為.②當直線的斜率存在時，設直線，由消去并整理得，設點，則有，所以.所以，所以，整理得綜上可得滿足的關系式為【點睛】（1）判斷直線與橢圓的位置關系時，一般把二者方程聯(lián)立得到方程組，判斷方程組解的個數(shù)，方程組有幾個解，直線與橢圓就有幾個公共點，方程組的解對應公共點的坐標（2）對于直線與橢圓位置關系的題目，注意設而不求和整體代入方法的運用．解題步驟為：①設直線與橢圓的交點為；②聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關于x或y的一元二次方程；③利用根與系數(shù)的關系設而不求；④利用題干中的條件轉(zhuǎn)化為，或，，進而求解.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，因為，所以，又，所以當且僅當時，，因為，所以，，因為，所以，故橢圓的標準方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設，，，，，所以，由題知，以為切點的橢圓切線方程為，以為切點的橢圓切線方程為，又點在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當時，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當時，，所以，所以，綜上可得；20、（1）（2）【解析】（1）設出橢圓方程，根據(jù)短軸長和離心率求出，，從而求出橢圓方程；（2）短軸端點與焦點相連所得的線段長即為，從而求出，得到橢圓方程.【小問1詳解】設橢圓方程為，則，，則，解得:，則該橢圓的方程為【小問2詳解】設橢圓方程為，由題得：，，則，則該橢圓的方程為21、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）由，取倒數(shù)得到，再利用等差數(shù)列的定義求解