重慶市云陽(yáng)縣等2025屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

重慶市云陽(yáng)縣等2025屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某地為應(yīng)對(duì)極端天氣搶險(xiǎn)救災(zāi)，需調(diào)用A，B兩種卡車(chē)，其中A型卡車(chē)x輛，B型卡車(chē)y輛，以備不時(shí)之需，若x和y滿(mǎn)足約束條件則最多需調(diào)用卡車(chē)的數(shù)量為（）A.7 B.9C.13 D.142．已知直線與直線垂直，則a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣13．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.4．在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.或C. D.或5．已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P為雙曲線上除A、B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.36．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個(gè)圓上 B.一個(gè)橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上7．若在直線上，則直線的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.8．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過(guò)點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過(guò)點(diǎn)O可以作無(wú)數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交9．如圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的的值為（）A. B.2C. D.310．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．在等差數(shù)列中，若，則（）A.5 B.6C.7 D.812．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．萬(wàn)眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開(kāi)幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥(niǎo)巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥(niǎo)巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40cm，短軸長(zhǎng)為20cm，小橢圓的短軸長(zhǎng)為10cm，則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.14．圓被直線所截得弦的最短長(zhǎng)度為_(kāi)__________.15．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.16．設(shè)，分別是橢圓C：左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證：直線平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值18．（12分）已知橢圓上的點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)、的距離之和為4，且右頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為1.（1）求橢圓的方程;（2）直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，記的面積為，當(dāng)時(shí)求的值.19．（12分）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求角B；（2）若，角B的角平分線交AC于點(diǎn)D，，求CD的長(zhǎng)20．（12分）求滿(mǎn)足下列條件的曲線的方程：（1）離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）如圖，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)22．（10分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，M是PB的中點(diǎn)，平面ABC，且，，.（1）求證:平面PAC；（2）求三棱錐M—ABC體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】設(shè)調(diào)用卡車(chē)的數(shù)量為z，則，其中x和y滿(mǎn)足約束條件，作出可行域如圖所示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，縱截距最大，最大.故選：B2、D【解析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實(shí)數(shù)的值.【詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.3、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由已知，故選：D4、C【解析】計(jì)算出等比數(shù)列的公比，即可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，.故選：C.5、C【解析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，根據(jù)題意得到，進(jìn)而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，則故選：C.6、C【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，然后根據(jù)動(dòng)圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿(mǎn)足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支故選：C7、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個(gè)向量，即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個(gè)方向向量，又∵，∴是直線的一個(gè)方向向量故選：D8、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫(huà)圖說(shuō)明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過(guò)點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.9、B【解析】根據(jù)程序流程圖依次算出的值即可.【詳解】，第一次執(zhí)行，，第二次執(zhí)行，，第三次執(zhí)行，，所以輸出.故選：B10、A【解析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.11、B【解析】由得出.【詳解】由可得，故選：B12、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時(shí)，成立，反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點(diǎn)考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)【詳解】在大橢圓中，，，則，.因?yàn)閮蓹E圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20.故填：20.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，對(duì)橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識(shí)的考查14、【解析】首先確定直線所過(guò)定點(diǎn)；由圓的方程可確定圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長(zhǎng)度為.【詳解】由得：，直線恒過(guò)點(diǎn)；，在圓內(nèi)；又圓的圓心為，半徑，圓心到點(diǎn)的距離，所截得弦的最短長(zhǎng)度為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16、【解析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過(guò)M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明，則，可證明，由平面，可得，再由線面垂直的判定定理即可求證；（2）連結(jié)，可知，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，在中由余弦定理計(jì)算的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】在正方形中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則，，，所以，則，所以，即，又因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)?，所以平面【小?wèn)2詳解】連結(jié)，，可知，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，令，則，，，在中，由余弦定理可得：，故異面直線與所成角的余弦值為.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意得到，，再根據(jù)求解即可.（2）首先設(shè)，，再根據(jù)求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，即，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，且根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性得，聯(lián)立方程組，整理得，解得，因?yàn)榈拿娣e為3，可得，解得.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得；（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而在中，由余弦定理即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋浴拘?wèn)2詳解】解：由（1）可知，又；所以，，，所以，在，由余弦定理可得，即，解得20、（1）或；（2）【解析】(1)根據(jù)題意,由橢圓的幾何性質(zhì)可得a、c的值,計(jì)算可得b的值,討論橢圓焦點(diǎn)的位置,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可得答案；(2)根據(jù)題意,求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可以設(shè)雙曲線的方程為,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【詳解】解：（1）根據(jù)題意,要求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,離心率為,則,,解可得：,；則,若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其方程為,若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其方程為,綜合可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）根據(jù)題意,橢圓的焦點(diǎn)為和,故要求雙曲線的方程為,且,則有,又由雙曲線經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)點(diǎn),則有,,聯(lián)立可得：,故雙曲線方程為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,涉及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題21、（1），（2）【解析】（1）推導(dǎo)出，以A為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值；（2）設(shè)，則，求出平面的法向量，利用空間向量求出的長(zhǎng)【詳解】解（1）在直四棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以因?yàn)?，所以以A為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所?所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為（2）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角的大小為，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，解得或（舍去）所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查二面角的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等知識(shí)，考查運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)是