新人教版九年級下冊數(shù)學(xué)第28章和29章教學(xué)設(shè)計含反思

精編新人教版九年級下冊數(shù)學(xué)第28章和29章教案教學(xué)設(shè)計

含反思

目錄：

第二十八章銳角三角函數(shù)全屋元教案設(shè)計含反思8課時

第二十九章投影與視圖全單元教案設(shè)計含反思6課時

28.1銳角三角函數(shù)教案設(shè)計含反思4課時

第1課時正弦函數(shù)

卷囿圜櫥

i.能根據(jù)正弦概念正確進行計算；（重點）

2.能運用正弦函數(shù)解決實際問題.（難點）

一、情境導(dǎo)入

牛莊打算新建一個水站，在選擇水泵時，必須知道水站（點A）與水面（8。的高度（AB）.斜

坡與水面所成的角（N?？梢杂昧拷瞧鳒y出來，水管的長度（AO也能直接量得.

二、合作探究

探究點一：正弦函數(shù)

?B如圖，sinA等于（）

LA

A.2B坐C.1D.小

解析：根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得sin/l=T，故選C.

方法總結(jié)：我們把銳角4的對邊a與斜邊c的比叫做NA的正弦，記作sinA.即sinA=

NA的對邊a

斜邊一不

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第2題

探究點二：正弦函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用

［類型一］在網(wǎng)格中求三角函數(shù)值

圓?如圖，在正方形網(wǎng)格中有△A8C,則sin/ABC的值等于（）

A.嚕B噌C.|D.10

解析：回，BC=V^,AC=y[2,：.AB2=BC1+AC1,：.ZACB=90°,Z.sin

“ABC韋=^=喘故選B-

方法總結(jié)：解決有關(guān)網(wǎng)格的問題往往和勾股定理及其逆定理相聯(lián)系，根據(jù)勾股定理求出

三邊長度，再運用勾股定理的逆定理判斷三角形形狀.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第3題

［類型二］已知三角函數(shù)值，求直角三角形的邊長

____2

畫?在RtZ^ABC中，ZC=90°,8C=4,sinA=g,則AB的長為（）

Q

A?B.6C.12D.8

解析：：...48=6.故選B.

Ar>An3

方法總結(jié)：根據(jù)正弦定義表示出邊的關(guān)系，然后將數(shù)值代入求解，記住定義是解決問題

的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第6題

［類型三］三角函數(shù)與等腰三角形的綜合

畫。己知等腰三角形的一條腰長為25cm,底邊長為30cm,求底角的正弦值.

解析：先作底邊上的高AQ,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BQ=；BC=15cm,

再由勾股定理求出A。，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

解：如圖，過點A作AO_L8C,垂足為D：AB=AC=25cm,BC=30cm,AD為底邊上

的高，；.8￡）=；BC=15cm.由勾股定理得AO=，^^"^?=20cm,sinZASC=^=|^=

4

5-

方法總結(jié)：求三角函數(shù)值一定要在直角三角形中求值，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要

通過作高，構(gòu)造直角三角形解答.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第4題

［類型四］在復(fù)雜圖形中求三角函數(shù)值

BDC

陶?如圖，在△ABC中，AQ_LBC于。，如果A￡>=9,DC=5,E為AC的中點，求

sin/EOC的值.

解析：首先利用勾股定理計算出AC的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得QE=EC,根

An

據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得NE￡)C=/C,進而得到sinZEDC=sinZC=77

AC-

解：'：ADLBC,.?./4OC=90°,,：AD=9,DC=5,：.AC=\[^+?^y[\06.'：E

106-

方法總結(jié)：求三角函數(shù)值的關(guān)鍵是找準直角三角形或利用等量代換將角或線段轉(zhuǎn)化進行

解答.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

[類型五]在圓中求三角函數(shù)值

畫質(zhì)如圖，已知AB是。。的直徑，8是弦，且C￡>_LA8,BC=6,AC=8,求sin/

ABD的值.

解析：首先根據(jù)垂徑定理得出NABZ)=NABC,然后由直徑所對的圓周角是直南，得出

/ACB=90°,根據(jù)勾股定理算出斜邊AB的長，再根據(jù)正弦的定義求出sinNABC的值，

從而得出sinZABD的值.

解：由條件可知念=尬，AZABD=ZABC,：.sinZABD=sinAABC.VAB為直徑，

.../ACB=90".在RtZ\ABC中，?:BC=6,AC=8,AAB^Bf^+AC1=10,：.smZABD

sr4

=sinZABC=-7-5=T.

/\DJ

方法總結(jié)：求三角函數(shù)值時必須在直角三角形中.在圓中，由直徑所對的圓周角是直角

可構(gòu)造出直角三角形.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題

三、板書設(shè)計

1.正弦的定義；

2.利用正弦解決問題.

在教學(xué)過程中，重視過程，深化理解，通過學(xué)生的主動探究來體現(xiàn)他們的主體地位，教

師是通過對學(xué)生參與學(xué)習(xí)的啟發(fā)、調(diào)整、激勵來體現(xiàn)自己的引導(dǎo)作用，對學(xué)生的主體意識和

合作交流的能力起著積極作用.

28.1銳角三角函數(shù)

第2課時余弦函數(shù)和正切函數(shù)

1.理解余弦、正切的概念；（重點）

2.熟練運用銳角三角函數(shù)的概念進行有關(guān)計算.（重點）

一、情境導(dǎo)入

教師提問：我們是怎樣定義直角三角形中一個銳角的正弦的？為什么可以這樣定義？

B

2的對邊a

------------

NA的鄰邊b'

學(xué)生回答后教師提出新問題：在上一節(jié)課中我們知道，如圖所示，在RtZiABC中，ZC

=90°,當(dāng)銳角/A確定時，NA的對邊與斜邊的比就隨之確定了.現(xiàn)在我們要問：其他邊

之間的比是否也確定了呢？為什么？

二、合作探究

探究點一：余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義

［類型—］利用余弦的定義求三角函數(shù)值

在RtZiABC中，ZC=90°,AB=13,AC=12,則cosA=（）

.5c5〃12c12

A-]3B?2C-l3DT

解析：：中，.故選

RtZ\A8CNC=90°,AB=13,AC=12/iLJ,1JC.

方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的余弦等于這個角的鄰邊與斜邊的比值.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第2題

［類型二］利用正切的定義求三角函數(shù)值

畫?如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，aABC的三個頂點均在格點上，則

tanA=()

A.|B.1

C.|D.1

BC4

解析：在直角△ABC中，VZABC=90°,???1@也=弁=鼻.故選口.

/IJD3

方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的正切等于它的對邊與鄰邊的比值.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第5題

探究點二：三角函數(shù)的增減性

［類型一］判斷三角形函數(shù)的增減性

酶隨著銳角a的增大，cos。的值（）

A.增大B.減小

C.不變D.不確定

解析：當(dāng)角度在0°?90。之間變化時，余弦值隨著角度的增大而減小，故選B.

方法總結(jié)：當(dāng)0°<?<90°時，cos。的值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?

［類型二］比較三角函數(shù)的大小

sin70°,cos70°,tan700的大小關(guān)系是（）

A.tan700<cos700<sin70°

B.cos70°<tan700<sin700

C.sin70°<cos700<tan70°

D.cos70°<sin700<tan70°

解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念,知sin70°<1,cos70°<1,tan70°>1.又；cos70°

=sin20°,正弦值隨著角的增大而增大，...sin70°>cos70°=sin20°.故選D.

方法總結(jié)：當(dāng)角度在0°WNAW90。之間變化時，OWsinAWl,OWcosAWl,tanANO.

探究點三：求三角函數(shù)值

［類型一］三角函數(shù)與圓的綜合

畫應(yīng)如圖所示，ZXABC內(nèi)接于。O,A8是。。的直徑，點。在。。上，過點C的切

線交AO的延長線于點E,且連接CD

⑴求證：DC=BC；

（2）若AB=5,AC=4,求tan/OCE的值.

解析：（1）連接OC,求證。C=BC可以先證明/C4O=/BAC,進而證明慶'=靛?；（2）

由AB=5,AC=4,可根據(jù)勾股定理得到BC=3,易證△ACfs/XABC,可以求出CE、DE

的長，在RtACDE中根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求出lanNOCE的值.

⑴證明：連接OC：OA=OC,.?.NOAC=/OCA.：CE是。。的切線，，NOCE=90°.

：AE_LCE,.?.N4EC=NOCE=90°,：.OC//AE,.".ZOCA^ZCAD,：.ZCAD^ZBAC,

：.DC=BC.：.DC=BCf

（2）解：是。O的直徑，，NACB=90°,AAB2-AC2=y）52-A2=3.VZCAE

ECACEC4I?

=/BAC,ZAEC=ZACB=90°,AAACE^AABC,???后=77，即"T=三，^C=v?V

oCADJJJ

__________9

DC=BC=3,:.ED=7DC2-CE2=yj32-（y）2=1,tanZ￡>CE=|^=^=1.

T

方法總結(jié)：證明圓的弦相等可以轉(zhuǎn)化為證明弦所對的弧相等.利用圓的有關(guān)性質(zhì)，尋找

或構(gòu)造直角三角形來求三角函數(shù)值，遇到比較復(fù)雜的問題時，可通過全等或相似將線段進行

轉(zhuǎn)化.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第5題

［類型二］利用三角形的邊角關(guān)系求三角函數(shù)值

（M如圖,△ABC中,ADLBC,垂足是。，若8c=14,AD=12,tanZBAD=^,求

sinC的值.

3

解析：根據(jù)tanNH4O=w，求得8。的長.在直角△4C。中由勾股定理可求AC的長，

然后利用正弦的定義求解.

RD4q

解：：在直角△ABO中，tan/BAZ）=^=『BD=AD-tanZBAD^\2X^=9,：.CD

=8C-8O=14—9=5,AAC=yjAD2+CD2=A/122+52=13,.,.sinC=^=]|.

方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)

合勾股定理是解答此類問題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第9題

三、板書設(shè)計

1.余弦函數(shù)的定義；

2.正切函數(shù)的定義；

3.銳角三角函數(shù)的增減性.

歙甑恩

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有一些學(xué)生往往不注重基本概念、基礎(chǔ)知識，認為只要會做題就可以了，

結(jié)果往往失分于選擇題、填空題等一些概念性較強的題目.通過引導(dǎo)學(xué)生進行知識梳理，教

會學(xué)生如何進行知識的歸納、總結(jié)，進一步幫助學(xué)生理解、掌握基本概念和基礎(chǔ)知識.

28.1銳角三角函數(shù)

第3課時特殊角的三角函數(shù)

卷圖醐

1.經(jīng)歷探索30°、45。、60。角的三角函數(shù)值的過程，進一步體會三角函數(shù)的意義；（重

點）

2.能夠進行30°、45。、60。角的三角函數(shù)值的計算；（重點）

3.能夠結(jié)合30。、45。、60。的三角函數(shù)值解決簡單實際問題.（難點）

敷遜1

一、情境導(dǎo)入

問題1：一個直角三角形中，一個銳角的正弦、余弦、正切值是怎么定義的？

問題2：兩塊三角尺中有幾個不同的銳角？各是多少度？設(shè)每個三角尺較短的邊長為1,

分別求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值.

二、合作探究

探究點一：特殊角的三角函數(shù)值

［類型—］利用特殊的三角函數(shù)值進行計算

HD計算：

⑴2cos60°,sin30°一,sin450,sin60°；

sin300—sin45°

Q)COS60°+cos450,

解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

解:⑴原式=2X；X>加X乎X坐=有一'=-1；

1_立

(2)原式==2小一3.

方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第4題

［類型二］已知三角函數(shù)值求角的取值范圍

一_2

囪?若cos。=手則銳角。的大致范圍是()

A.0°<a<30°B.30°<a<45°

C.45°<a<60°D.0°<a<30°

解析：:cosBO。=坐，cos45°=當(dāng)，cos60°=z,且Jv'V鮮，，cos60°<cosa<

cos45°,.,.銳角a的范圍是45°<a<60°.故選C.

方法總結(jié)：解決此類問題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性.

［類型三］根據(jù)三角函數(shù)值求角度

酶若小tan(a+10°)=1,則銳角a的度數(shù)是()

A.20°B.30°C.40°D.50°

解析：；小tan(a+10°)=1,.\tan(?+10°)=^-.Vtan300=號，a+10°=30°,

:.a=20°.故選A.

方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第9題

探究點二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用

［類型一］利用三角形的邊角關(guān)系求線段的長

畫0如圖，在△A8C中，/ABC=90°,NA=30°,￡>是邊A8上一點，ZBDC=45°,

AD=4,求BC的長.

解析：由題意可知△BCD為等腰直角三角形，則8O=BC,在R12XABC中，利用銳角

三角函數(shù)的定義求出BC的長即可.

解：；NB=90°,/BOC=45°,為等腰直角三角形，在RtZXABC

中，tan/A=tan30°~~AB,即8(7+4="^"，解得8c=2(<§+1).

方法總結(jié)：在直角三角形中求線段的長，如果有特殊角，可考慮利用三角函數(shù)的定義列

出式子，求出三角函數(shù)值，進而求出答案.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第2題

［類型二］判斷三角形的形狀

已知△48C中的NA與NB滿足（l-tanA^+lsinB一坐=0,試判斷△A8C的形狀.

解析：根據(jù)非負性的性質(zhì)求出taM及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出NA

及的度數(shù)，進而可得出結(jié)論.

AQ

解：；（1-tanAf+lsinB一爭=0,：AanA=\,sinB=^,AZA=45°,ZB=60°,

ZC=180°-45°-60°=75°,△ABC是銳角三角形.

方法總結(jié)：一個數(shù)的絕對值和偶次方都是非負數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值或偶次方相加

和為0時，則其中的每一項都必須等于0.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題

［類型三］構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問題

畫質(zhì)要求tan30。的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進行計算.作RtAABC,使NC

_Ar1

=90°,斜邊48=2,直角邊AC=1,那么BC=小，NABC=30°,，tan30°=氤=忑=

坐.在此圖的基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tanl5°與tan75°的值.

解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出C￡）的長，進而得出tanl5°=巖,

￡>C

tan75°=不力求出即可.

解：作N3的平分線交4C于點。，作OE_LA5,垂足為ETBO平分NABC,CDLBC,

DE1AB,；.CZ)=OE設(shè)CD=x,則AD=\~x,AE=2—BE=2—BC=2一正在RtAADE

中，。鏟+4爐=4。2,/+(2—5)2=(1—4，解得》=2小一3,.，由1115°=2^j~3=2一小,

,BC灰r-

tan75-CD~2^-3~2+^3'

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造含有15。和75。的直角三角形，再根據(jù)三

角函數(shù)的定義求出15°和75。的三角函數(shù)值.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

三、板書設(shè)計

1.特殊角的三角函數(shù)值：

30°45°~60°

sina亞

22

1

cosQ近應(yīng)

222

tanQ亞1

3小

2.應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值解決問題.

敷卷底思

課程設(shè)計中引入非常直接，由三角尺引入，直擊課題，同時也對前兩節(jié)學(xué)習(xí)的知識進行

了整體的復(fù)習(xí)，效果很好.在講解特殊角的三角函數(shù)值時講解的也很細，可以說前面部分的

教學(xué)很成功，學(xué)生理解的很好.

28.1銳角三角函數(shù)

第4課時用計算器求銳角三角函數(shù)值及銳角

卷閏I?

1.初步掌握用計算器求三角函數(shù)值的方法；(重點)

2.熟練運用計算器求三角函數(shù)值解決實際問題.(難點)

一、情境導(dǎo)入

教師講解：通過上面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道，當(dāng)銳角是30°、45?；?0。等特殊角

時，可以求得這些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果銳角NA不是這些特殊角，怎樣

得到它的三角函數(shù)值呢？我們可以借助計算器來求銳角的三角函數(shù)值.

二、合作探究

探究點一：用計算器求銳角三角函數(shù)值及銳角

［類型—］已知角度，用計算器求函數(shù)值

@D用計算器求下列各式的值(精確到o.oooi)：

(l)sin47°；(2)sinl2°30'；

(3)cos25°18'；(4)sinl8°+cos550-tan590.

解析：熟練使用計算器，對計算器給出的結(jié)果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近

似數(shù).

解：根據(jù)題意用計算器求出：

(l)sin47°=0.7314；

(2)sinl2°30'心0.2164；

(3)cos25°18z^0.9041；

(4)sinl8°+cos550-tan59°七—0.7817.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練使用計算器，使用計算器時要注意按鍵順序.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第4題

［類型二］已知三角函數(shù)值，用計算器求銳角的度數(shù)

皿已知下列銳角三角函數(shù)值，用計算器求銳角NA,NB的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1°)：

(1)sinA—0.7,sin^—0.01；

(2)cosA=0.15,cosB=0.8；

(3)tanA=2.4,tan3=0.5.

解析：由三角函數(shù)值求角的度數(shù)時，用至《畫，畫鍵的第二功能鍵，要注意按

鍵的順序.

解：(l)sinA=0.7,得NA~44.4°；sinB=0.01得/八0.6°；

(2)cosA=0.15,得NA281.4°；cosB=0.8,得N8-36.9°；

(3)由tan4=2.4,得NAg67.4°；由tanB=0.5,得NB七26.6°.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練使用計算器，在使用計算器時要注意按鍵順序.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第7題

［類型三］利用計算器驗證結(jié)論

H(1)通過計算(可用計算器)，比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想：

①sin30°2sinl5°cos15°；

②sin36。________2sinl8°cosl8°；

③sin45°2sin22.5°cos22.5°

@sin60°__2sin30°cos30°；

⑤sin80°2sin400cos40°.

猜想：已知0°<a<45°,則sin2。2sinacosa.

(2)如圖，在△ABC中，AB=AC=1,NBAC=2a,請根據(jù)提示，利用面積方法驗證結(jié)

論.

AA

解析：（1）利用計算器分別計算①至⑤各式中左邊與右邊，比較大小；（2）通過計算△ABC

的面積來臉證.

解：（1）通過計算可知：

①sin30°=2sinl5°cosl50；

②sin36°=2sinl80cosl8°；

③sin45°=2sin22.5°cos22.5°；

@sin60°=2sin30°cos30°；

⑤sin80°=2sin40°cos40°；

sin2a=2sinacosa.

x

（2）VSAABC=^AB,sin2a?AC=%in2a,SAABC—22ABsina?ACeosa=sina,cos

a,；.sin2a=2sinacosa.

方法總結(jié)：本題主要運用了面積法，通過用不同的方法表示同一個三角形的面積,

來得到三角函數(shù)的關(guān)系，此種方法在后面的學(xué)習(xí)中會經(jīng)常用到.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

［類型四］用計算器比較三角函數(shù)值的大小

dD用計算器比較大?。?0sin87°tan87°.

解析：20sin870?20X0.9986=19.974,tan870=19.081,V19.974>19.081,

20sin87°>tan87°.

方法總結(jié)：利用計算器求值時，要注意計算器的按鍵順序.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題

探究點二：用計算器求三角函數(shù)值解決實際問題

@0如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=20km,ZCAB=25°,ZCBA

=37°,因城市規(guī)劃的需要，將在A、8兩地之間修建一條筆直的公路.

(1)求改直的公路AB的長；

(2)公路改直后比原來縮短了多少千米？

解析：(1)作CH1,AB于H.在RtZ\AC〃中根據(jù)C”=4CsinNC4B求出CH的長，由AH

=ACcosNCAB求出A”的長，同理可求出8”的長，根據(jù)A8=A4+B”可求得AB的長；

(2)在RtZ\BCH中，由BC=一無￡可求出BC的長,由AC+BC-AB即可得出結(jié)論.

解：(l)作C，J_AB于〃.在Rt△ACH中，CH=ACsmZCAB=ACsm25a==*20X0.42=

CH

8.4km,A〃=ACcos/CAB=ACcos25°弋20X0.91=18.2km.在RtABOT中，BH=777777

tanZCBA

84

%.少=11.1km,；.AB=AH+8H=18.2+11.1=29.3km.故改直的公路AB的長為29.3km；

tan37

CHCHo4

(2)在RtzXBCH中，BC=一丁片示二一二二以總=14km,則AC+8C—48=20+14—

sinZCBAsin370.6

29.3=4.7km.

答：公路改直后比原來縮短了4.7km.

方法總結(jié)：根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此類問題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

三、板書設(shè)計

1.已知角度，用計算器求函數(shù)值；

2.已知三角函數(shù)值，用計算器求銳角的度數(shù)；

3.用計算器求三角函數(shù)值解決實際問題.

備課時盡可能站在學(xué)生的角度思考問題，設(shè)計好教學(xué)的每一個細節(jié)，讓學(xué)生更多地參與

到課堂的教學(xué)過程中，讓學(xué)生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折.舍得把課堂

讓給學(xué)生，盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充

滿人性魅力，真正提高課堂教學(xué)效率，提高成績.

第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形教案設(shè)計含課

后反思4課時

28.2.1解直角三角形

粵痣醐

1.理解解直角三角形的意義和條件；（重點）

2.根據(jù)元素間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式，求出所有未知元素.（難點）

嬲婕

一、情境導(dǎo)入

A

世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在1350年落成時就已傾斜.設(shè)塔頂中心點為民塔身中心線

與垂直中心線夾角為NA,過點8向垂直中心線引垂線，垂足為點C.在中，ZC=

90°,BC=5.2m,AB=54.5m,求/A的度數(shù).

在上述的RtZ\ABC中，你還能求其他未知的邊和角嗎？

二、合作探究

探究點一：解直角三角形

［類型一］利用解直角三角形求邊或角

m1已知在RtZVIBC中，NC=90°,NA、NB、NC的對邊分別為a,h,c,按下

列條件解直角三角形.

（1）若〃=36,NB=30°,求NA的度數(shù)和邊仄c的長；

（2）若〃=6啦，b=6#,求/A、N8的度數(shù)和邊c的長.

解析：（1）已知直角邊和一個銳角，解直南三南形；（2）已知兩條直角邊，解直角三角形.

解：（1）在RtZ\ABC中，；/8=30°,a=36,ZA=90°-ZB=60°,VcosB=p

即c'=cos8=^y^=24V^'，6=sinB,c=］X241\/5=

2

A

（2）在Rtz^ABC中，,：a=6p,b=6yf6,：.tanA=^=^,ZA=30°，，/B=60°,

:.c=2a=1

方法總結(jié)：解直角三角形時應(yīng)求出所有未知元素，解題時盡可能地選擇包含所求元素與

兩個已知元素的關(guān)系式求解.

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［類型二］構(gòu)造直角三角形解決長度問題

n一副直角三角板如圖放置，點C在F￡＞的延長線上,AB〃C凡/F=/4CB=90°,

Z￡=30°,乙4=45°,AC=12吸，試求CO的長.

E

A

FMDC

解析:過點8作8M_L尸。于點M,求出BW與CM的長度，然后杜叢EFD中可求出NEDF

=60°,利用解直角三角形解答即可.

解：過點8作。于點M,在△ACB中，NACB=90°，乙4=45°,AC=12吸,

：.BC=AC^12y［2.'：AB//CF,：.fiM=sin45°BC=12也義乎=12,CM=BM=12在AEFD

中，ZF=90°,ZE=30°,:.NEDF=60°,；.小。=-%-=4小,：.CD=CM-MD=

tanoOY

12—4小.

方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)

的關(guān)系進行解答.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

［類型三］運用解直角三角形解決面積問題

,__3

畫圖如圖，在△ABC中，已知NC=90°,sinA=］,。為邊AC上一點，NBDC=45°,

QC=6.求△ABC的面積.

解析：首先利用正弦的定義設(shè)8C=3匕AB=1k,利用BC=C￡)=3k=6,求得大值，從

而求得AB的長，然后利用勾股定理求得AC的長，再進一步求解.

解：VZC=90°,.,.在RtZXABC中，sin4=TH=7>設(shè)BC=3k,則A8=7?k>0),在

中，VZBCD=90°,，/BDC=45°,:.NCBD=NBDC=45°,:.BC=CD=

3k=6,：.k=2,；.AB=14.在Rt/XABC中，AC=ylAB2~BC2=yj14i-62=4Vw,:.SAABC

=%C?BC=；><WTbx6=12也.所以△ABC的面積是12?.

方法總結(jié)：若已知條件中有線段的比或可利用的三角函數(shù)，可設(shè)出一個輔助未知數(shù)，列

方程解答.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第7題

探究點二：解直角三角形的綜合

［類型一］解直角三角形與等腰三角形的綜合

畫。己知等腰三角形的底邊長為明，周長為2+6，求底角的度數(shù).

解析：先求腰長，作底邊上的高，利用等腰三角形的性質(zhì)，求得底角的余弦，即可求得

底角的度數(shù).

解：如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=yj2,t?周長為2+也，；.A8=AC=1.過A作

AOJ_BC于點。，貝1」8。=乎，在RtZ\ABO中，cosNABO=^=理，：.ZABD=45°,即

等腰三角形的底角為45°.

方法總結(jié)：求角的度數(shù)時，可考慮利用特殊角的三角函數(shù)值.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

［類型二］解直角三角形與圓的綜合

已知：如圖，RtZ\AOB中，/0=90°,以04為半徑作。。，BC切。。于點C,

連接AC交0B于點P.

(1)求證：BP=BC；

(2)若sinNB40=*且PC=7,求。。的半徑.

解析：(1)連接0C,由切線的性質(zhì)，可得/OC8=90°,由0A=0C,得/0C4=/0AC,

再由乙408=90°,可得出所要求證的結(jié)論；(2)延長A。交。。于點E,連接CE,在Rt4

A0P和Rt^ACE中，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理，列方程解答.

解：(1)連接0C,：BC是。。的切線，：.Z0CB=W°,：.ZOCA+ZBCA=90°.'：

OA^OC,：.N0C4=N0AC,二Z0AC+ZBCA=90°，=NBO4=90°，,ZOAC+ZAPO

=90°,VZAPO=ZBPC,：.ZBPC=ZBCA,:.BC=BP；

(2)延長A。交。。于點E,連接CE,在RtZXAOP中，VsinZB40=|,設(shè)。P=x,AP

=3x,：.AO=2y［2x.'."AO^OE,：.OE=2yf2x,；.AE=4啦x.；sinNB40=；,，在RtZ\4CE

中器=；''兼=乎’平’解得"=3,，4°=2亞=6啦’即0°的半徑為

6^2.

方法總結(jié)：本題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是根

據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合勾股定理列出方程.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第9題

三、板書設(shè)計

1.解直角三角形的基本類型及其解法；

2.解直角三角形的綜合.

效簪溟

本節(jié)課的設(shè)計，力求體現(xiàn)新課程理念.給學(xué)生自主探索的時間和寬松和諧的氛圍，讓學(xué)

生學(xué)得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新精神和合作精神，

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性.

28.2.2應(yīng)用舉例

第1課時解直角三角形的簡單應(yīng)用

1.通過生活中的實際問題體會銳角三角函數(shù)在解題過程中的作用；(重點)

2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，并運用解直角三角形求解.(難點)

嬲婕

一、情境導(dǎo)入

為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇以自行車作為代步工具.圖①所示的是一輛自行車的

實物圖，圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CZ)的長分別為45cm和

60cm,且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點A、C、E在同一條直線上，且NCAB=75°.

你能求出車架檔的長嗎？

二、合作探究

探究點：解直角三角形的簡單應(yīng)用

［類型一］求河的寬度

@D根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資

江北岸的新大橋.如圖，新大橋的兩端位于A、8兩點，小張為了測量A、8之間的河寬，

在垂直于新大橋A8的直線型道路/上測得如下數(shù)據(jù)：NBD4=76.1°,ZBCA=68.2°,CD

=82米.求A8的長(精確到0.1米).參考數(shù)據(jù)：sin76.1°^0.97,cos76.1°七0.24,tan76.1°

比4.0；sin68.2°g0.93,cos68.2°七0.37,tan68.2°七2.5.

解析：設(shè)AO=xm,則AC=(x+82)m.在RtZ\ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB=2.5(x+

82)m,在Rt/VIBO中，根據(jù)三角函數(shù)得到A8=4x,依此得到關(guān)于x的方程，進一步即可求

解.

解：設(shè)AZ)=xm,則AC=(x+82)m.在RtZ\ABC中，tan/8cA=恁，：.AB=AC-tanZ

AB

8c4=2.5(x+82).在RtAABD中，lan/8OA=77；,AB=AD-tanZBDA^4x,，2.5(》+

410din

82)=4x,解得x=~7~./.AB=4x=4X-^-^546.7m.

答：AB的長約為546.7m.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計

算出所要求的物體的高度或長度.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第3題

［類型二］求不可到達的兩點的高度

畫?如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm,燈罩BC長為20cm,底座

厚度為2cm,燈臂與底座構(gòu)成的N54O=60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時燈罩8c與水平線所成

的角為30°,此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：小七

1.732）?

r

解析：首先過點B作BF_LCQ于點F,作BG_LA。于點G,進而求出尸C的長，再求出

BG的長，即可得出答案.

解：過點B作8FLC。于點F,作BGLAQ于點G,.?.四邊形BFQG是矩形，

2G=FD在中，ZCBF=30",ACF=BCsin30°=20義3=l°cm.在RtZ\ABG中,

VZBAG=60°,.?.8G=ABsin60°=30X坐=15小cm,CE=CF+FZ）+Z）E=10+15小

+2=12+15V3^38.0（cm）.

答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.

方法總結(jié)：將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直

角三角形問題.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第6題

［類型三］方案設(shè)計類問題

畫。小鋒家有一塊四邊形形狀的空地（如圖③，四邊形ABCD）,其中AD//BC,BC=

1.6m,AD=5.5m,CD=5.2m,ZC=90°,NA=53°.小鋒的爸爸想買一輛長4.9m,寬1.9m

的汽車停放在這塊空地上，讓小鋒算算是否可行.小鋒設(shè)計了兩種方案，如圖①和圖②所示.

（1）請你通過計算說明小鋒的兩種設(shè)計方案是否合理；

（2）請你利用圖③再設(shè)計一種有別于小鋒的可行性方案，并說明理由（參考數(shù)據(jù)：sin53°

=0.8,cos53°=0.6,tan53°=§）.

解析：（1）方案1,如圖①所示，在RtZ\AGE中，依據(jù)正切函數(shù)求得AG的長，進而求

得。G的長，然后與汽車的寬度比較即可；方案2,如圖②所示，在RtZXAL”中，依據(jù)正切

函數(shù)求得AL的長，進而求得ZK的長，然后與汽車的長度比較即可；（2）讓汽車平行于AB

停放，如圖③，在Rt/VIMN中，依據(jù)正弦函數(shù)求得AM的長，進而求得。M的長.在Rt

△PDM中，依據(jù)余弦函數(shù)求得PM的長，然后與汽車的長度比較即可.

EG49

解：（1）如圖①，在RtZ\AGE中，VZA=53°,：,AG=;-77=-t~m-3.68m,：.DG

tan/A4

3

=AD—AG=5.5—3.68=1.82mVL9m,故此方案不合理；如圖②，在中，VZA

=53°,LW=1.9m,=;義==F.43m,/.DL=AD~AL=5.5—1.43=4.07m<

tan534

3

4.9m,故此方案不合理；

LR

（2）如圖③，過D4上一點M作MMLAB于點M過C￡?上一點P作PQ_LA8于點Q,

MN19

連PM,在RlZXAMN中，VZA=53°,MN=1.9m,.MM=.一。=；T=2.4,：.DM=5,5

sin53O.o

-2.4=3.1m.在RtZ\P￡>M中，：//W￡>=NA=53°,DM=3.1m,；.PM=一絲。-=的"

cos530.6

5.1m>4.9in,故此方案合理.

方法總結(jié)：本題主要是利用三角函數(shù)解決實際問題，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三

角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第7題

三、板書設(shè)計

1.求河寬和物體的高度；

2.其他應(yīng)用類問題.

皴卷扈思

本節(jié)課為了充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，可引導(dǎo)學(xué)生通過小組討論，大膽地發(fā)表意見，

提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.能夠使學(xué)生自己構(gòu)造實際問題中的直角三角形模型，并通過解直

角三角形解決實際問題.

28.2.2應(yīng)用舉例

第2課時利用仰俯角解直角三角形

1.使學(xué)生掌握仰角、俯角的意義，并學(xué)會正確地判斷；（重點）

2.初步掌握將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題的能力.（難點）

嬲婕

一、情境導(dǎo)入

鉛

垂