初中數(shù)學(xué)九年級(jí)復(fù)習(xí)：圓的對(duì)稱性

專題18圓的對(duì)稱性

閱讀與思考

圓是一個(gè)對(duì)稱圖形.

首先，圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條；同

時(shí)，圓又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，圓心就是對(duì)稱中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠與本身重合，這

是圓特有的旋轉(zhuǎn)不變性.

由圓的對(duì)稱性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、

弦心距、弧之間的關(guān)系定理及推論.這些性質(zhì)在計(jì)算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有廣泛的應(yīng)有.一般方法是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用.

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.

我國戰(zhàn)國時(shí)期科學(xué)家墨翟在《墨經(jīng)》中寫道：“圓，一中間長也古代的美索不達(dá)米亞人最先開始

制造圓輪.日、月、果實(shí)、圓木、車輪，人類認(rèn)識(shí)圓、利用圓，圓的圖形在人類文明的發(fā)展史上打下了

深深的烙印.

例題與求解

【例1】在半徑為1的。。中，弦AB,AC的長分別為百和右，則乙BAC度數(shù)為.

（黑龍江省中考試題）

解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注AB與AC有不同位置關(guān)系.

由于對(duì)稱性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問題時(shí)，若把對(duì)稱性充分體現(xiàn)出來，有利于圓的問

題的解決.

【例2】如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB,CD,EF.如果A8+CD=EF,那么AB+CZ）

與石產(chǎn)的大小關(guān)系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CD>EF

C.AB+CD<EFD.AB+CZ?與EF的大小關(guān)系不能確定

（江蘇省競賽試題）

解題思路：將弧與弦的關(guān)系及三角形的性質(zhì)結(jié)合起來思考.

【例3】⑴如圖1,已知多邊形ABOEC是由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BOEC組成，

。。過A,D,E三點(diǎn),求。。的半徑.

（2）如圖2,若多邊形ABDEC是由等腰/XABC和矩形BDEC組成，AB=AC=BD=2,。。過A,D,

E三點(diǎn)，問。。的半徑是否改變？

（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）

解題思路：對(duì)于⑴，給出不同解法；對(duì)于⑵，。的半徑不改變，解法類似⑴.

等邊三角形、正方形、圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，本例表明這三個(gè)完美的圖形能合成一個(gè)

從形式到結(jié)果依然完美的圖形.

三個(gè)完美圖形的不同組合可生成新的問題，同學(xué)們可參照刻意練習(xí).

［例4］如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC,D為的中點(diǎn)，DE±AB于E.求證：

BD2_AL>2=AB'AC.

（天津市競賽試題）

解題思路：從化簡待證式入手，將非常規(guī)幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明.

D

圓是最簡單的封閉曲線，但解決圓的問題還要用到直線形的有關(guān)知識(shí)和方法.同樣，圓也為解決直

線形問題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等

或不等關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關(guān)問題的重要技巧.

【例5】在△ABC中，又是AB上一點(diǎn)，且AM2+BM2+CA/2=2AM+2BM+2cM—3.若尸是線段AC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。。是過尸，M,C三點(diǎn)的圓，過P作尸Z)〃AB交。。于點(diǎn)。.

(1)求證：M是AB的中點(diǎn)；

⑵求的長.(江蘇省競賽試題)

解題思路：對(duì)于⑴，運(yùn)用配方法求出AM,BM,CM的長，由線段長確定直線位置關(guān)系；對(duì)于⑵，

促成圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化.

D

【例6】已知AD是。。的直徑，AB,AC是弦，MAB=AC.

D

圖3

⑴如圖1,求證：直徑A。平分NA4C；

⑵如圖2,若弦8c經(jīng)過半徑OA的中點(diǎn)E,F是CD的中點(diǎn)，G是總的中點(diǎn)，。。的半徑為1,

求弦FG的長；

(3)如圖3,在⑵中若弦BC經(jīng)過半徑。4的中點(diǎn)￡,尸為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)B4,PB,PD,PF,

PA+PF

求證:的定值.

PB+PD

(武漢市調(diào)考試題)

解題思路：對(duì)于⑶，先證明/8以=/￡＞尸F(xiàn)=30。，ZBPD=600,這是解題的基礎(chǔ)，由此可導(dǎo)出下列解

題突破口的不同思路：①由ZB及1==/。尸b=30。，構(gòu)建直角三角形；②構(gòu)造B4+P凡尸B+PD相關(guān)線段；

③取8。的中點(diǎn)"，連結(jié)尸加，聯(lián)想常規(guī)命題；等等.

本例實(shí)質(zhì)是借用了下列問題：

⑴如圖1,PA+PBMPH；⑵如圖2,PA+PB=PH；

a

⑶進(jìn)一步，如圖3,若NAPB=a,PH平分/APB,貝ljPA+PB=2PHcos萬■為定

值.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.圓的半徑為5cm,其內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和8cm,則梯形的面積為cm2.

2.如圖，殘破的輪片上,弓形的弦長是40cm,IWJCQ是5cm,原輪片的直徑是一cm.

（第4題圖）

第2題圖第3題圖

BA

3.如圖，已知CO為半圓的直徑，A8LC。于8.設(shè)則=加n-=_______.

BD12

（黑龍江省中考試題）

4.如圖，在中，ZC=9Oo,AC=6，BC=\,若BC=1,若以C為圓心，的長為半徑

的圓交AB于尸，則4尸=（江蘇省宿遷市中考試題）

5.如圖，AB是半圓。的直徑，點(diǎn)尸從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA—A3—8。的路徑運(yùn)動(dòng)一周.設(shè)。尸長為

s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r,則下列圖形能大致地刻畫s與/之間的關(guān)系是（

那么AC的長為（）

A.0.5cmB.1cmC.1.5cm

（第7題圖）（第8題圖）

7.如圖，A8為。。的直徑，C。是弦.若4B=10cm,CZ）=8cm,那么A,B兩點(diǎn)到直線CZ）的距離

之和為（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

8.如圖，半徑為2的。。中，弦AB與弦CD垂直相交于點(diǎn)P,連結(jié)OP.若。尸=1,求AB2+CD2

的值.（黑龍江省競賽試題）

9.如圖，AM是。。的直徑，過。。上一點(diǎn)B作BNLAM于N,其延長線交。。于點(diǎn)C,弦CD交

AM于點(diǎn)E.

（1）如果CD_LAB,求證：EN=NM；

（2）如果弦CD交AB于點(diǎn)F5.CD=AB,求證：CE7=EF?ED；

⑶如果弦CD,的延長線交于點(diǎn)R且CD=A8,那么⑵的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說明理由.

（重慶市中考試題）

（第9題圖）

1

10.如圖，。。的內(nèi)接四邊形中，AB>AC,M是8c的中點(diǎn)，于點(diǎn)求證：BH=-

（AB-AC）.

（河南省競賽試題）

（第10題圖）

11.⑴如圖1,圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA,OD,為。。的半徑，OD_LBC于點(diǎn)、F,OE1AC

1

于點(diǎn)G.求證：陰影部分四邊形OBCG的面積是AABC面積的耳.

⑵如圖2,若/DOE保持120。角度不變，求證：當(dāng)/。OE繞著。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和AABC

的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是/XABC的面積的g.

12.如圖，正方形ABC。的頂點(diǎn)A,。和正方形的頂點(diǎn)K,L在一個(gè)以5為半徑的。。上,

點(diǎn)、J,M在線段BC上.若正方形ABC。的邊長為6,求正方形的邊長.

（上海市競賽試題）

（第12題圖）

B級(jí)

1.如圖，A8是。。的直徑，CD是弦,過A,8兩點(diǎn)作C。的垂線，垂足分別為E,F.若AB=10,

AE=3,BF=5,貝1]EC=.

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）

2.如圖，把正三角形A8C的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在的中點(diǎn)A上，若BC=5,則折痕在△ABC

內(nèi)的部分。￡長為.（寧波市中考試題）

3.如圖，已知。。的半徑為R,C,。是直徑同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為96。，BD的度

數(shù)為36。.動(dòng)點(diǎn)p在上，則C尸+P。的最小值為.

（陜西省競賽試題）

4.如圖，用3個(gè)邊長為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（）

55^/17

A.五C4D.

B?至16

5.如圖，A3是半圓。的直徑，C是半圓圓周上一點(diǎn),M是AC的中點(diǎn)，MN1AB于N,則有（

)

1B.MNC3點(diǎn)

A.MN=-AC旦C.MN=-ACD.MN=AC

2253

（武漢市選拔賽試題）

（第6題圖）（第7題圖）

第4題圖第5題圖

6.已知，4?為。。的直徑，。為AC的中點(diǎn)，于點(diǎn)E,且OE=3.求AC的長度.

7.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的。。；對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和8。的交點(diǎn)

為P,AB=BD,且PC=0.6,求四邊形ABC。的周長.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8.如圖，已知點(diǎn)A,B,C,。順次在。。上，AB=BD,于求證：AM=DC+CM.

（江蘇省競賽試題）

\/o

----淞

（第8題圖）

9.如圖，在直角坐體系中，點(diǎn)8,C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上，以AC為直徑的

圓與的延長線交于點(diǎn)。，CD^AO，如果AB=10,AO>BO,且是龍的二次方程x2+乙+48=0

的兩個(gè)根.

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)尸在直徑AC上，且判斷點(diǎn)（-2,10）是否在過。，尸兩點(diǎn)的直線上，并說明理

（河南省中考試題）

7

O

（第9題圖）

10.⑴如圖1,已知為。O的弦,C是劣弧的中點(diǎn)，直線CD_LB4于點(diǎn)E,求證:

⑵如圖2,已知B4,PB為。。的弦，C是優(yōu)弧A3的中點(diǎn)，直線CD_LB4于點(diǎn)E,問：AE,PE與

之間存在怎樣的等量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論.

D

圖1

11.如圖，已知弦CZ）垂直于。。的直徑AB于L,弦AE平分半徑0C于X.求證：弦OE平分弦

8c于（全俄奧林匹克競賽試題）

A

（第11題圖）

12.如圖，在△ABC中，。為AC邊上一點(diǎn)，且AD=OC+C8,過。作AC的垂線交△ABC的外接

圓于過M作AB的垂線MN,交圓于N.求證：MN為△ABC外接圓的直徑.

專題18圓的對(duì)稱性

例115。或75。提示：分A8、AC在圓心。同側(cè)、異側(cè)兩

種情況討論.（第12題圖）

例28

例3（1）解法一：如圖，將正方形8OEC上的等邊AABC向下平移，使其底邊與DE重

合，得等邊△OOE.：A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是。、D、E,：.OD=AB,OE=AC,AO=BD.V

等邊△ABC和正方形8DEC的邊長都是2,.?.AB=Br>=AC=2,.?.OD=OA=OE=2.：

A、D、E三點(diǎn)確定一圓，。到A、D、E三點(diǎn)的距離相等.點(diǎn)為圓心，0A為半徑，，該圓的半徑為

2.解法二：如圖，將AABC平移到AODE位置，并作AF_LBC,垂足為產(chǎn)，延長交。E于

H.「△ABC為等邊三角形，垂直平分8C,；四邊形8OEC為正方形，垂直

平分正方形邊DE.又「DE是圓的弦，...AH必過圓心，記圓心為。點(diǎn)，并設(shè)。。的半徑-t,c

為r.在MZkABF中，,/ZBAF=30°,：.AF=AB-cos30°=2x—=,：.OH=AF+

2D--F.

FH-OA=a+2-r.在放△O￡>8中，OH^+DH^=OD^,；.(君+2-廠)2+12="，解得「=2.

(2)。。的半徑不變，因?yàn)锳B=AC=BO=2,此題求法和(1)一樣，。。的半徑為2.

例4提示：BD2-A￡>2=(B￡2+￡￡>2)-(A￡2+￡￡>2)=(BE+AE)(BE-AE)=AB(BE-AE),只需要證明

AC=BE-AEBPRJ.在BA上截取BF=AC.連。F可證明△OB尸注ZkDCA,貝。。/=A￡),AE=EF.

例5(1)由條件，^f(AM-l)2+(BM-l)2+(CM-l)2=0,：.AM^BM=CM=1.因此，M是AB中點(diǎn),

且NACB=90。.(2)由(1)知，ZA=ZPCM,5LPD//AB,：.ZA=ZCPD,ZPCM=ZCPD,因此,

CD=PM,CPM=DCP,于是有DP=CM=1.

例6（1）連結(jié)8。、CO,是直徑，所以Z48r>=/ACO=90。，XVAB=AC,AD=AD,:4ABD

^△ACZ),ZBAD=ZDAC,...A。平分NBAC.(2)連結(jié)02、OC,則。A_LBC,又AE=0E,得AB

=BO=OA=OC,AA08,AA0C都為等邊三角形，連結(jié)。G,則/3。斤=90。，F(xiàn)G=收.(3)取3。

的中點(diǎn)過"作MS_LB4于S,MT上PF于T,連AM,FM./BPM=NDPM=30°,ZAPM=Z

FPM=60°,則MS=MT,MA=MF,R/AASM也RrZkFTM,Rt^PMS^RtAPMF.：,PS=-PM.：.PA

2

「PAIPFPMin

+PF=2PS=2PT=PM.同理可證：PB+PD=>J3PM.：.-------=-=——=-==—為定值.

PB+PDJ3PMJ33

A級(jí)1.49或72.853.14.—5.C6.D7.D8.過。點(diǎn)作OE_LAB于E,OF±

3

CD于尸，連結(jié)O。，OA,則AE=BE,CF=DF,'：OE^=AO^~AE^=^--AB^,OF^=OD^~FD^=

4

4--CD2,.\O￡2+oF2=(4-ly4B2)+(4-lcZ)2)=p^+OF2=OP2=i2,即4--AB2+4--CD2=1,

44444

714

故AB2+C￡)2=28.得X[=—3(舍去)，x2=^,正方形JKLM的邊長為了.

B級(jí)".2加—3提示:作OM_LCD于M,則EC=f(EF-CD).2.y3.yj3R提示:設(shè)D是D點(diǎn)關(guān)于

直徑AB對(duì)稱的點(diǎn)，連結(jié)CD交AB于P,則P點(diǎn)使CP+PD最小，ZCOD'=120°,CP+PD=CP+PD

=CD'=V3R.

a2+12-r2f-

4.D提示：如圖：--，得“,.1,一解得a=!1,I[?

(2—a)2+(2)2—r2-lo

5.A提示:連結(jié)OM,則OM_LAC.

6.解法一:連結(jié)0D交AC于點(diǎn)F,??，D為AC的中點(diǎn)，AAC±OD,AF=CF.XDE±AB,AZDEO=Z

AFO.???△ODE之△OAF.???AF=DE.???DE=3???AC=6.解法二:延長DE交。O于點(diǎn)G,易證AC=2AD=

r'\r'\r'x

AD+AG=DG,貝1JDG=AC=2DE=6.

7.連結(jié)BO并延長交AD于H,因AB=BD,故BHJ_AD,又/ADC=90°,則BH〃CD,從而AOPB

-△CPD,得舒=器，艮喂=]r06,解得CD=1.于是AD=，AC2—CD2=2色,又。人如甘,

則AB=#AH2+BH2=，2+4=&,BC