甘肅省蘭州市第一中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題

PAGEPAGE7甘肅省蘭州市第一中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.請將答案填在答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題共60分）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．將兩個數(shù)交換，使，下列語句正確的是（）.A．B．C．D．2．袋中裝有3個黑球、2個白球、1個紅球，從中任取兩個，互斥而不對立的事務是（）A．“至少有一個黑球”和“沒有黑球” B．“至少有一個白球”和“至少有一個紅球”C．“至少有一個白球”和“紅球黑球各有一個”D．“恰有一個白球”和“恰有一個黑球”3．已知實數(shù)滿意,則的最小值是（）A． B． C． D．4．某公司從代理的A，B，C，D四種產(chǎn)品中，按分層隨機抽樣的方法抽取容量為110的樣本，已知A，B，C，D四種產(chǎn)品的數(shù)量比是2：3：2：4，則該樣本中D類產(chǎn)品的數(shù)量為（）A．55件 B．40件 C．33件 D．22件5．某公司在2024－2024年的收入與支出如下表所示：收入（億元）支出（億元）依據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回來方程為，依此估計2024年該公司收入為8億元時支出為（）A．4．2億元 B．4．4億元 C．5．2億元 D．5．4億元6．下列各數(shù)中最大的數(shù)是（）A． B． C． D．7．依據(jù)下面莖葉圖供應了甲、乙兩組數(shù)據(jù)，可以求出甲、乙的中位數(shù)分別為（）A．24和29 B．26和29 C．26和32 D．31和298．我校中學數(shù)學愛好小組在國際數(shù)學日（每年3月14日）開展相關(guān)活動，其中一個活動是用隨機模擬試驗的方法獲得的近似值.現(xiàn)通過計算器隨機獲得500個點的坐標（x，y），其中有399個點的坐標滿意，據(jù)此可估計的值約為（）A．3.19 B．3.16 C．3.14 D．3.119.一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以2，再減去80，得到一組新數(shù)據(jù)，若求得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）A．40.6,1.1 B．48.8,4.2 C．81.2,44.4 D．78.8,75.610．已知圓O：x2+y2=4上到直線l：x+y=a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．11．從標有1、2、3、…、9的9張紙片中任取2張，那么這2張紙片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．12．曲線與直線y＝k(x－2)＋4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是()A．B．C．D．題號123456789101112答案DCCBCBBAADAD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．一個容量為n的樣本分成若干個小組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別是48和0.3，則n＝________.【答案】16014．下圖是一個算法的流程圖，則輸出的e值是_______【答案】515．由點向圓作的切線方程為___________．【答案】或16．在平面直角坐標系xOy中，設點A(1,0)，B(3,0),C(0,a)，D(0,a+2)，若存在點P，使得，則實數(shù)a的取值范圍是．（注：表示點P與點A之間的距離）【答案】三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題10分）同學小王通過做嬉戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書.求小王周末不在家看書的概率.解析：∵去看電影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(3,4)，……………3分去打籃球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16)，……………6分∴不在家看書的概率為P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).故小王周末不在家看書的概率：eq\f(13,16)……………10分18．（本小題12分）已知直線與圓.（Ⅰ）求證：直線必過定點，并求該定點；（Ⅱ）當圓截直線所得弦長最小時，求的值.【解析】（Ⅰ）證明：直線方程可化為：，對上式中，當時，不論取何值，等式恒成立，所以直線恒過點.……………4分（Ⅱ）將圓的方程化為：，圓心為，半徑由（Ⅰ）知，直線恒過點，當圓截直線所得弦長最小時，則垂直于直線，……………8分即.，，，所以當圓截直線所得弦長最小時，的值為.……………12分19．（本小題12分）一只口袋裝有形態(tài)大小都相同的只小球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中隨機摸出只球，試求：（1）只球都是紅球的概率（2）只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的幾倍？【解析】記兩只白球分別為，；兩只紅球分別為，；兩只黃球分別為，從中隨機取2只的全部結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，共15種（1）只球都是紅球為共1種，概率……………4分（2）只球同色的有：，，，共3種，概率……………8分（3）恰有一只是白球的有：，，，，，，，，共8種，概率;只球都是白球的有：，概率……………12分所以：“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的8倍20．（本小題12分）某企業(yè)為了增加某種產(chǎn)品的生產(chǎn)實力，確定改造原有生產(chǎn)線，需一次性投資300萬元，第一年的年生產(chǎn)實力為300噸，隨后以每年40噸的速度逐年遞減，依據(jù)市場調(diào)查與預料，該產(chǎn)品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，該設備的運用年限為3年，該產(chǎn)品的銷售利潤為1萬元噸．Ⅰ依據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；Ⅱ?qū)⒛赇N售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點值作年銷量的估計值，并假設每年的銷售量相互獨立．依據(jù)頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于180萬的概率和不低于220萬的概率；試預料該企業(yè)3年的總凈利潤年的總凈利潤年銷售利潤一投資費用【解析】Ⅰ年銷量的平均數(shù)噸．Ⅱ該產(chǎn)品的銷售利潤為1萬元噸，由頻率分布直方圖得只有當年平均銷量不低于220噸時，年銷售利潤才不低于220萬，年銷售利潤不低于220萬的概率．由Ⅰ可知第一年的利潤為：萬元，其次年的利潤為：萬元，第三年的利潤為：萬元，預料該企業(yè)3年的總凈利潤為：萬元．21．（本小題12分）我們定義一個圓的圓心到一條直線的距離與該圓的半徑之比，叫做直線關(guān)于圓的距離比，記作.已知圓:，直線.（Ⅰ）若直線l關(guān)于圓的距離比，求實數(shù)m的值；（Ⅱ）當時，若圓與y軸相切于點，且直線l關(guān)于圓的距離比，試推斷圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由.【解析】（Ⅰ）由直線關(guān)于圓的距離的比的定義得：，所以（Ⅱ）當時，直線，圓與軸相切點于所以可設：或①當時，：兩圓的圓心距，兩圓半徑之和為，因此兩圓外切②當時，：兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之和，因此兩圓外離22．（本小題12分）已知某地區(qū)某種昆蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個）和溫度（）的7組觀測數(shù)據(jù)，其散點圖如所示：依據(jù)散點圖，結(jié)合函數(shù)學問，可以發(fā)覺產(chǎn)卵數(shù)y和溫度可用方程來擬合，令，結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可知與溫度可用線性回來方程來擬合．依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：2774182表中，．（Ⅰ）求和溫度的回來方程（回來系數(shù)結(jié)果精確到）；（Ⅱ）求產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回來方程；若該地區(qū)一段時間內(nèi)的氣溫在之間（包括與）