山西省運(yùn)城市臨晉中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理

PAGEPAGE8山西省運(yùn)城市臨晉中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘答案一律寫(xiě)在答卷頁(yè)上）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）１.已知復(fù)數(shù)z滿意(1＋i)z＝2，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A.1 B.－1C.i D.－i２.已知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，則P(2≤ξ＜4)等于()A.0.3 B.0.35C.0.5 D.0.73.現(xiàn)有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為().A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)4.下面幾種推理中是演繹推理的為 （） A.由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電； B.猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為； C.半徑為圓的面積，則單位圓的面積； D.由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為，推想空間直角坐標(biāo)系中球的方程為．5.已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，則f′(2)＝()A.eq\f(12－8ln2,1－2ln2) B.eq\f(2,1－2ln2)C.eq\f(4,1－2ln2) D．－26.我國(guó)的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡(jiǎn)潔的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越美麗．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形，則f(n)的表達(dá)式()A．f(n)＝2n－1B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1７.()８.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,2]B．(4，＋∞)C．(－∞，2)D．(0,3]９.在《爸爸去哪兒》其次季第四期中，村長(zhǎng)給6位“萌娃”布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù).已知：①食物投擲地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處；②由于Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參加該項(xiàng)任務(wù)，但此時(shí)另需一位小孩在大本營(yíng)陪伴，要么參加搜尋近處投擲點(diǎn)的食物；③全部參加搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處.那么不同的搜尋方案有()A.10種 B.40種C.70種 D.80種10．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實(shí)數(shù)m的值為()A.1或3B.－3C.1 D.1或－311.將7個(gè)人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必需相鄰，則不同的排法共有()A.1108種B.1008種C.960種D.504種12.曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋8＝0的最短距離是()A．2eq\r(5)B．2C．2eq\r(3)D.eq\r(3)二、填空題（本題共4小題，每題5分）13.設(shè)函數(shù)．若在處取得極值，則=___________14.曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_______15.已知(1＋3x)n的綻開(kāi)式中，后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第________項(xiàng)。.16.設(shè)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0,當(dāng)x＞0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是________.三、解答題（本題共6小題，共70分）17.（本小題10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為sinθ=ρcos2θ,曲線C2的參數(shù)方程為x=-1-22(1)求曲線C1、C2的直角坐標(biāo)方程;(2)求點(diǎn)M(-1,2)到A、B兩點(diǎn)的距離之積.18、（本小題12分）某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有10道選擇題，每道題共有四個(gè)選項(xiàng)，且其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定；每選對(duì)1道題得5分，不選或選錯(cuò)得0分．某考生每道題都選并能確定其中有6道題能選對(duì)，其余4道題無(wú)法確定正確選項(xiàng)，但這4道題中有2道題能解除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另2道只能解除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，于是該生做這4道題時(shí)每道題都從不能解除的選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)作答，且各題作答互不影響．(1)求該考生本次測(cè)驗(yàn)選擇題得50分的概率；(2)求該考生本次測(cè)驗(yàn)選擇題所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．19、（本小題12分）某地區(qū)2013年至2024年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2013202420242024202420242024年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回來(lái)方程；(2)利用(1)中的回來(lái)方程，分析2013年至2024年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的改變狀況，并預(yù)料該地區(qū)2024年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回來(lái)直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：,20.（本小題12分）為了解心肺疾病是否與年齡相關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了40名市民，得到數(shù)據(jù)如下表：患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)大于40歲16小于等于40歲12合計(jì)40已知在全部的40人中隨機(jī)抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率為eq\f(2,5).(1)請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)已知大于40歲患心肺疾病市民中，經(jīng)檢查其中有4名重癥患者，專家建議重癥患者住院治療，現(xiàn)從這16名患者中選出兩名，記需住院治療的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)？下面的臨界值表供參考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d)21.（本小題12分）已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)隨意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22.（本小題12分）安排在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立.(1)求將來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？數(shù)學(xué)答案(理科)一、選擇題1-6BBDCCD7-12AABDBA二、填空題13.014.4－2ln215.8和916.(－∞，－1)∪(0,1)17、解:(1)由曲線C1的極坐標(biāo)方程可得曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y=x2,…2分由曲線C2的參數(shù)方程可得曲線C2的一般方程為x+y-1=0,……4分（2）將曲線C2的參數(shù)方程(t為參數(shù)),代入曲線C1的一般方程得t2+t-2=0,……6分設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,∴t1+t2=-,t1t2=-2,……8分可得|MA|·|MB|=|t1t2|=2.……10分(1)設(shè)選對(duì)一道“能解除2個(gè)選項(xiàng)的題目”為事務(wù)A，選對(duì)一道“能解除1個(gè)選項(xiàng)的題目”為事務(wù)B，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3).該考生選擇題得50分的概率為P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝(eq\f(1,2))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,36).……4分(2)該考生所得分?jǐn)?shù)X＝30，35，40，45，50，……5分P(X＝30)＝(eq\f(1,2))2×(1－eq\f(1,3))2＝eq\f(1,9)，P(X＝35)＝C21(eq\f(1,2))2·(eq\f(2,3))2＋(eq\f(1,2))2·C21·eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝40)＝(eq\f(1,2))2×(eq\f(2,3))2＋C21·(eq\f(1,2))2·C21·eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋(eq\f(1,2))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(13,36)，P(X＝45)＝C21(eq\f(1,2))2·(eq\f(1,3))2＋(eq\f(1,2))2·C21·eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6)，P(X＝50)＝(eq\f(1,2))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,36).……10分該考生所得分?jǐn)?shù)X的分布列為X3035404550Peq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(13,36)eq\f(1,6)eq\f(1,36)……11分所以E(X)＝30×eq\f(1,9)＋35×eq\f(1,3)＋40×eq\f(13,36)＋45×eq\f(1,6)＋50×eq\f(1,36)＝eq\f(115,3)分.……12分19解析(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算，得eq\o(t,\s\up3(－))＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，……1分eq\o(y,\s\up3(－))＝eq\f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，……2分eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up3(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up3(－)))(yi－eq\o(y,\s\up3(－)))=＝（－3）×（－1.4）＋（－2）×（－1）＋（－1）×（－0.7）＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14,eq\o(b,\s\up3(∧))=eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up3(－))）（yi－\o(y,\s\up3(－))）,\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up3(－))）2)＝eq\f(14,28)＝0.5，……5分eq\o(a,\s\up3(∧))＝eq\o(y,\s\up3(－))－eq\o(b,\s\up3(∧))eq\o(t,\s\up3(－))＝4.3－0.5×4＝2.3.……6分所求回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up3(∧))＝0.5t＋2.3.……7分(2)由(1)知，eq\o(b,\s\up3(∧))＝0.5>0，故2013年至2024年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．……9分將2024年的年份代號(hào)t＝9代入(1)中的回來(lái)方程，得eq\o(y,\s\up3(∧))＝0.5×9＋2.3＝6.8，故預(yù)料該地區(qū)2024年農(nóng)村居民家庭人均純收入約為6.8千元．……12分20、解析(1)患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)大于40歲16420小于等于40歲81220合計(jì)241640……2分(2)ξ可以取0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(C122,C162)＝eq\f(66,120)＝eq\f(11,20)，P(ξ＝1)＝eq\f(C41C121,C162)＝eq\f(48,120)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C42,C162)＝eq\f(6,120)＝eq\f(1,20)，故ξ的分布列為ξ012Peq\f(11,20)eq\f(2,5)eq\f(1,20)E(ξ)＝0×eq\f(11,20)＋1×eq\f(2,5)＋2×eq\f(1,20)＝eq\f(1,2).……8分(3)K2＝eq\f(40×（16×12－8×4）2,20×20×24×16)≈6.667>6.735，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)．……12分21、解：(1)∵函數(shù)f(x)＝xlnx的定義域是(0，＋∞)，∴f′(x)＝lnx＋1.令f′(x)＜0，得lnx＋1＜0，解得0＜x＜eq\f(1,e)，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).令f′(x)＞0，得lnx＋1＞0，解得x＞eq\f(1,e)，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).……4分(2)∵g′(x)＝3x2＋2ax－1,2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，∴2xlnx≤3x2＋2ax＋1恒成立．∵x＞0，∴a≥lnx－eq\f(3,2)x－eq\f(1,2x)在x∈(0，＋∞)上恒成立．……6分設(shè)h(x)＝lnx－eq\f(3,2)x－eq\f(1,2x)(x＞0)，則h′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2x2)＝－eq\f(x－13x＋1,2x2).令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－eq\f(1,3)(舍去)．當(dāng)x改變時(shí)，h′(x)，h(x)的改變狀況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－h(huán)(x)極大值∴當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取得極大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，則a≥h(x)max＝－2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2，＋∞)．……12分22、解：(1)依題意，得p1＝P(40＜X＜80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X＞120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二項(xiàng)分布可知，在將來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為P＝Ceq\o