云南省瀘水五中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

云南省瀘水五中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.502．函數(shù)在上的極大值點為（）A. B.C. D.3．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）（1）是為雙曲線的充要條件；（2）若，則；（3）若，，則；（4）橢圓上的點距點最近的距離為；A.個 B.個C.個 D.個4．下列關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法中正確的有（）①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③菱形的直觀圖是菱形；④正方形的直觀圖是正方形.A.① B.①②C.③④ D.①②③④5．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個充分條件是（）A. B.C. D.6．直線恒過定點（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標(biāo)為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.9．已知直線，若異面，，則的位置關(guān)系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面10．直線，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.11．已知P是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點且，則的面積是（）A. B.2C. D.112．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正三棱柱中，底面積為，一個側(cè)面的周長為，則正三棱柱外接球的表面積為______.14．已知圓，以點為中點的弦所在的直線的方程是___________15．已知函數(shù).（1）若的解集為，求a，b的值；（2）若，a，b均正實數(shù)，求的最小值；（3）若，當(dāng)時，若不等式恒成立，求實數(shù)b的值.16．已知函數(shù)，設(shè)，且函數(shù)有3個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.19．（12分）求證：（1）是上的偶函數(shù)；（2）是上的奇函數(shù).20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，橢圓E的一個焦點為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于A，B兩點.求的最大值22．（10分）已知圓C：（1）若過點的直線l與圓C相交所得的弦長為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動點，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B2、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點【詳解】，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴函數(shù)在的極大值點為故選：C3、A【解析】利用方程表示雙曲線求出的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤，可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.【詳解】對于（1），若曲線為雙曲線，則，即，解得或，因為或，因此，是為雙曲線的充分不必要條件，（1）錯；對于（2），若，則或，（2）錯；對于（3），，則，（3）對；對于（4），設(shè)點為橢圓上一點，則且，則點到點的距離為，（4）錯.故選：A.4、B【解析】根據(jù)斜二側(cè)直觀圖的畫法法則，直接判斷①②③④的正確性，即可推出結(jié)論【詳解】由斜二測畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)兩軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯誤；根據(jù)平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯誤.故選：B.5、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進(jìn)行和兩項關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個充分條件為，.故選：D.6、A【解析】將直線方程變形得，再根據(jù)方程即可得答案.【詳解】解：由得到：，∴直線恒過定點故選：A7、C【解析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，此時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.8、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C9、D【解析】以正方體為載體說明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以兩直線與是異面直線，，則的位置關(guān)系是相交或異面.故選：D10、D【解析】直線,斜率乘積為，斜線斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.11、A【解析】設(shè)，先求出m、n，再利用面積公式即可求解.【詳解】在中，設(shè)，則,解得：.因為，所以，所以的面積是.故選：A12、D【解析】使用遞推公式逐個求解，直到求出即可.【詳解】因為所以，，，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先由條件求出底面邊長和高，然后設(shè)、分別為上、下底面的的中心，連接，設(shè)的中點為，則點為正三棱柱外接球的球心，然后求出的長度即可.【詳解】如圖所示，設(shè)底面邊長為，則底面面積為，所以，因此等邊三角形的高為：，因為一個側(cè)面的周長為，所以設(shè)、分別為上、下底面的的中心，連接，設(shè)的中點為則點為正三棱柱外接球的球心，連接、則在直角三角形中，即外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：求幾何體的外接球半徑的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的性質(zhì)找出球心的位置.14、【解析】設(shè)，利用以為中點的弦所在的直線即為經(jīng)過點且垂直于AC的直線求得直線斜率，由點斜式可求得直線方程【詳解】圓的方程可化為，可知圓心為設(shè)，則以為中點的弦所在的直線即為經(jīng)過點且垂直于的直線．又知，所以，所以直線的方程為，即故答案為：【點睛】本題考查圓的幾何性質(zhì)，考查直線方程求解，是基礎(chǔ)題15、（1），；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理解求得答案；（2）根據(jù)題意，，進(jìn)而化簡，然后結(jié)合基本不等式解得答案；（3）討論，和x=2三種情況，進(jìn)而分參轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，最后求得答案.【小問1詳解】由已知可知方程的兩個根為，2，由韋達(dá)定理得，，故，.【小問2詳解】由題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【小問3詳解】若，，不等式恒成立.當(dāng)時，，此時，即對于恒成立，單調(diào)遞減，此時，，所以；當(dāng)時，，此時，即即對于恒成立，在單調(diào)遞減，此時，所以；當(dāng)x=2時，.綜上所述：.16、【解析】由題意畫出函數(shù)圖象，把函數(shù)有3個不同的零點的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有3個交點的問題，分為和時分類討論即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，要使函數(shù)有3個不同的零點，則函數(shù)和函數(shù)有三個交點，由已知得函數(shù)恒過點,當(dāng)時，過點時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點，將代入得，即，當(dāng)時，與相切時，此時函數(shù)和函數(shù)有兩個交點，如圖所示，，設(shè)此時的切點為，則直線的斜率為，直線的方程為，將點代入得，解得，此時的斜率為，將逆時針旋轉(zhuǎn)至和平行時，即為的位置時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點，此時，故的范圍為，綜上所述實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)求g(x)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)同分分解因式，討論其正負(fù)即可判斷g(x)的單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，又，設(shè)所求切線的斜率為，則，則切線的方程為：，化簡即得切線的方程為：.【小問2詳解】，其定義域為，，∵，∴ax＋1＞0，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，.的增區(qū)間為，減區(qū)間為.18、（1）；（2）.【解析】（1）將條件化為基本量并解出，進(jìn)而求得答案；（2）通過裂項法即可求出答案.【小問1詳解】由，.得：解得：故.【小問2詳解】當(dāng)時，.所以時，.19、（1）證明見詳解（2）證明見詳解【解析】利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可【小問1詳解】由題意函數(shù)定義域為且故是上的偶函數(shù)【小問2詳解】由題意函數(shù)定義域為且故是上奇函數(shù)20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當(dāng)時，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點睛】方法點睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號，當(dāng)f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到21、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結(jié)合焦點的坐標(biāo)、橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)，，由得由得．由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立當(dāng)直線l的斜率不存在時，，∴的最大值為22、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當(dāng)斜率不存在時,不滿足條件；再判斷當(dāng)斜率存在時,設(shè)利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結(jié)CA、CB，得到.判斷出當(dāng)時,最小，四邊形PA