2025屆商丘名校高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

2025屆商丘名校高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在各項都為正數(shù)的數(shù)列中，首項為數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.C. D.2．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.3．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)4．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．若圓上至少有三個點到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知橢圓的左、右焦點分別是，焦距，過點的直線與橢圓交于兩點，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.8．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.9．已知點是橢圓上的任意一點，過點作圓：的切線，設(shè)其中一個切點為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．如圖，樣本和分別取自兩個不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標準差分別為和，則（）AB.C.D.11．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項和為（）A.25 B.26C.27 D.2812．如圖，橢圓的右焦點為，過與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點，點關(guān)于坐標原點的對稱點為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光邊界類似雙曲線的一支.如圖，P為雙曲線的頂點，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線的焦點位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為____cm.14．已知，，且，則的最小值為___________15．設(shè)，若直線與直線平行，則的值是________16．如圖，某建筑物的高度，一架無人機上的儀器觀測到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無人機距離地面的高度為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系內(nèi)，橢圓E：過點，離心率為（1）求E的方程；（2）設(shè)直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使得對任意實數(shù)k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由18．（12分）已知等差數(shù)列各項均不為零，為其前項和，點在函數(shù)的圖像上.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和；（3）若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值、最小值.19．（12分）已知圓，其圓心在直線上.（1）求的值；（2）若過點的直線與相切，求的方程.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值21．（12分）已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標準方程和雙曲線E的標準方程；（2）若O是坐標原點，直線與拋物線C交于A，B兩點，求的面積22．（10分）已知拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，直線交拋物線E于兩點（1）求E的方程；（2）若以BC為直徑的圓過原點O，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】當(dāng)時，，故可以得到，因為，進而得到，所以是等比數(shù)列，進而求出【詳解】由，得，得，又數(shù)列各項均為正數(shù)，且，∴，∴，即∴數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，其前項和，得，故選：C.2、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【詳解】圓標準方程為，，半徑為，圓標準方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B3、C【解析】根據(jù)莖葉圖依次計算甲和乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差即可得到結(jié)果.【詳解】甲的平均數(shù)為：；乙的平均數(shù)為：；甲和乙的平均數(shù)相同；甲的方差為：；乙的方差為：；甲和乙的方差不相同；甲的極差為：；乙的極差為：；甲和乙的極差不相同；甲的中位數(shù)為：；乙的中位數(shù)為：；甲和乙的中位數(shù)不相同.故選：C.4、B【解析】求出焦點，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點為，則設(shè)雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.5、B【解析】先求出圓心到直線的距離為，由此可知當(dāng)圓的半徑為時，圓上恰有三點到直線的距離為，當(dāng)圓的半徑時，圓上恰有四個點到直線的距離為，故半徑的取值范圍是，即可求出答案.【詳解】由已知條件得的圓心坐標為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個點到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選：.6、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷【詳解】根據(jù)題意，已知數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則有（），所以，因為，所以，所以當(dāng)時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，而當(dāng)數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列時，不一定成立，所以“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分而不必要條件，故選：A7、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點，得到直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點，可得直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.8、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可【詳解】令，，令得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，，，，，故選：A9、B【解析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因為，所以，即，故選：B10、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.11、C【解析】根據(jù)通項公式及求出，從而求出前8項和.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列的前8項和為.故選：C12、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點為，連結(jié)，由橢圓的對稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了橢圓的標準方程求解及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標準方程時，關(guān)鍵是求解基本量，，.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立直角坐標系，利用代入法、雙曲線的對稱性進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)雙曲線的標準方程為：，因為該雙曲線的漸近線相互垂直，所以，即，因為AB=60cm，PC=20cm，所以點的坐標為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線的焦距為，故答案為：14、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為25，故答案為：2515、【解析】先通過討論分成斜率存在和不存在兩種情況，然后再按照兩直線平行的判定方法求解即可.【詳解】由已知可得，當(dāng)時，兩直線分別為和，此時，兩直線不平行；當(dāng)時，要使得兩直線平行，即，解得，.故答案為：16、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值【詳解】根據(jù)題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m故答案為200【點睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，考查正弦定理，三角形內(nèi)角和問題，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，是基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由離心率和橢圓經(jīng)過的點列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓，利用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程，求出答案.【小問1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為【小問2詳解】設(shè)存在點滿足條件記，由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝上式為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或此時，或所以，存在定點或者滿足條件18、（1）（2）（3）最大值為，最小值為【解析】（1）將點代入函數(shù)解析再結(jié)合前和即可求解；（2）運用錯位相減法或分組求和法都可以求解；（3）將數(shù)列的通項變形為，再求和，通過分類討論從單調(diào)性上分析求解即可.【小問1詳解】因為點在函數(shù)的圖像上，所以，又數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即所以，；【小問2詳解】解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；【小問3詳解】記的前n項和為，則=，當(dāng)n為奇數(shù)時隨著n的增大而減小，可得，當(dāng)n為偶數(shù)時隨著n增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.19、（1）（2）或【解析】（1）將圓的一般方程化為標準方程，求出圓心，代入直線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為：，利用圓心到直線的距離即可求解.【小問1詳解】圓的標準方程為：，所以，圓心為由圓心在直線上，得.所以，圓的方程為：【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，即由于直線和圓相切，得解得：所以，直線方程為：或.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，，所以平面PBD因為平面PBD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點O，連接PO，因為，所以，因為平面，平面底面，平面底面，所以底面,以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以，因為是平面的一個法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為21、（1）；（2）【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程為，可得，繼而得到雙曲線的右焦點為，即為拋物線的焦點坐標，可得，即得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線，可得，再由直線過拋物線的焦點，故，三角形的高為O到直線的距離，利用點