重慶育才中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

重慶育才中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上一點(diǎn)到的距離為8，則點(diǎn)到的距離為（）A.2或12 B.2或18C.18 D.22．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.3．設(shè)集合，集合，當(dāng)有且僅有一個(gè)元素時(shí)，則r的取值范圍為（）A.或 B.或C.或 D.或4．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則公差的值為（）A. B.2C.3 D.45．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.6．已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，，分別為，上的點(diǎn)，且，，，則（）A. B.C.1 D.7．某口罩生產(chǎn)商為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從總體編號(hào)為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個(gè)樣本進(jìn)行抽檢，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3258．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.9．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，則的值為A.2 B.1C. D.410．一質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，每秒的速度為秒后質(zhì)點(diǎn)所處的位置為（）A. B.C. D.11．若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.212．已知三維數(shù)組，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.14．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為______.15．過圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線，使它被該圓截得的線段最短，則直線的方程是______16．若＝，則x的值為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，且在第一象限，的面積為(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，異于點(diǎn)，若直線與的斜率存在且不為零，證明：直線與的斜率之積為定值.18．（12分）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P，若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.19．（12分）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且（1）求證；、、成等差數(shù)列；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)20．（12分）已知橢圓C：的焦距為，點(diǎn)在C上（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線：上任意一點(diǎn)，設(shè)直線RM，RQ，RN的斜率分別為，，，若，，成等差數(shù)列，求的方程.21．（12分）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn).（1）當(dāng)P為弦的中點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；（2）若直線l與直線平行，求弦的長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù).（1）設(shè)x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用雙曲線的定義求.【詳解】解：由雙曲線定義可知：解得或（舍）∴點(diǎn)到的距離為18，故選：C.2、A【解析】先由求出的值，進(jìn)而可得的解析式，對(duì)求導(dǎo)，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù)，符合題意，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.3、B【解析】由已知得集合M表示以點(diǎn)圓心，以2半徑左半圓，與y軸的交點(diǎn)為，集合N表示以點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)圓C與圓O相外切于點(diǎn)P，有且僅有一個(gè)元素時(shí)，圓C過點(diǎn)M時(shí)，有且有兩個(gè)元素，當(dāng)圓C過點(diǎn)N，有且僅有一個(gè)元素，由此可求得r的取值范圍.【詳解】解：由得，所以集合M表示以點(diǎn)圓心，以2半徑的左半圓，與y軸的交點(diǎn)為，集合表示以點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓，如下圖所示，當(dāng)圓C與圓O相外切于點(diǎn)P時(shí)，有且僅有一個(gè)元素時(shí)，此時(shí)，當(dāng)圓C過點(diǎn)M時(shí)，有兩個(gè)元素，此時(shí)，所以，當(dāng)圓C過點(diǎn)N時(shí)，有且僅有一個(gè)元素，此時(shí)，所以，所以當(dāng)有且僅有一個(gè)元素時(shí)，則r的取值范圍為或，故選：B.4、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：C5、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進(jìn)而求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以又，所?故選：D.6、B【解析】由，，得，然后利用向量的加減法法則把向量用向量表示出來，可求出的值，從而可得答案【詳解】解：因?yàn)椋?，所以所?因?yàn)椋?，所以，故選：B7、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個(gè)讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為148.故選：A.8、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A9、D【解析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)確定直線的斜率存在，然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡(jiǎn)，最后得出結(jié)果【詳解】因?yàn)橹本€交拋物線于不同的兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在，設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為，由可得，，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題10、A【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】2秒后質(zhì)點(diǎn)所處的位置為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，考查了基本知識(shí)掌握的情況以及學(xué)生的綜合素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對(duì)拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,3).14、【解析】由拋物線的幾何性質(zhì)知：，由圖知為的最小值，求長(zhǎng)度即可.【詳解】點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為，作于，作于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.15、【解析】由已知得圓的圓心為，所以當(dāng)直線時(shí)，被該圓截得的線段最短，可求得直線的方程.【詳解】解：由得，所以圓的圓心為，所以當(dāng)直線時(shí)，被該圓截得的線段最短，所以，解得，所以直線l的方程為，即，故答案為：.16、4或9.【解析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解方程得結(jié)果詳解：因?yàn)椋剑砸虼它c(diǎn)睛：組合數(shù)性質(zhì)：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，然后結(jié)合面積公式可得，即求；（2）通過分類討論，利用韋達(dá)定理法結(jié)合斜率公式計(jì)算即得.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)拋物線上，所以，，，因?yàn)椋式獾?，拋物線方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，得，.，，則.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，設(shè)，，聯(lián)立得：因?yàn)椋裕?所以，所以直線與的斜率之積為定值.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點(diǎn)為，則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點(diǎn)，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點(diǎn)，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時(shí)，直線BP的方程為，經(jīng)驗(yàn)證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩條直線關(guān)于直線對(duì)稱，兩直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，可求得的值，即可證得結(jié)論成立；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合余弦定理可求得的值，進(jìn)而可求得的周長(zhǎng).【小問1詳解】證明：由正弦定理及，得，所以，，所以，，，則，所以，，又，，，因此，、、成等差數(shù)列.【小問2詳解】解：，，又，，故的周長(zhǎng)為.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為，點(diǎn)在C上，由求解；（2）設(shè)，，，的斜率不存在時(shí)，則的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立求得M，N的坐標(biāo)，由，，成等差數(shù)列求解；的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，然后由，，成等差數(shù)列，結(jié)合韋達(dá)定理求解；【小問1詳解】解：由題意得，解得，，所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則的方程為，將代入，得.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，顯然當(dāng)時(shí)，方程恒成立.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，則，.，.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即恒成立.則，解得.綜上所述，的方程為.21、（1）（2）【解析】（1）由題意，，求出直線l的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求解；（2）由題意，利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程，然后由點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距，最后根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解.小問1詳解】解：由題意，圓心，P為弦的中點(diǎn)時(shí)，由圓的性質(zhì)有，又，所以，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】解：因?yàn)橹本€l與直線平行，所以，所以直線的方程為，即，因?yàn)閳A心到直線的距離，又半徑，所以由弦長(zhǎng)公式得.22、（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析；【解析】（1）求出函