專(zhuān)題01全等模型-倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短（原卷版）

專(zhuān)題01全等模型倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就全等三角形中的重要模型（倍長(zhǎng)中線模型、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.倍長(zhǎng)中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫(huà)中線的時(shí)候）。【常見(jiàn)模型及證法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點(diǎn)型:如圖2，為的中點(diǎn).證明思路：若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則;若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則.3、中點(diǎn)+平行線型：如圖3,，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).證明思路：延長(zhǎng)交于點(diǎn)(或交延長(zhǎng)線于點(diǎn))，則.例1．（2023·成都市·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．例2．（2022·河南南陽(yáng)·中考模擬）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁(yè)的部分內(nèi)容：如圖，在中，D是邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線CE，使，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：證明∵（已知）∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．在與中，∵，（已證），（已知），∴，∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長(zhǎng)度的取值范圍是______．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長(zhǎng)．例3．（2022·貴州畢節(jié)·二模）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過(guò)程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請(qǐng)判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例4．（2022·山東·安丘市一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類(lèi)比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類(lèi)比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過(guò)程．方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．模型2.截長(zhǎng)補(bǔ)短模型【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類(lèi)題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程，截長(zhǎng)補(bǔ)短法（往往需證2次全等）。截長(zhǎng)：指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段?！境Ｒ?jiàn)模型及證法】（1）截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長(zhǎng)，證與長(zhǎng)線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使DM=AD，證CM=BE例1．（2022秋·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平分平分；（1）求與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．（2）若把條件去掉，則（1）中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?并說(shuō)明你的理由．例2．（2022秋·重慶市·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．例3．（2023·廣西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫(xiě)出答案）；(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明．例4．（2022秋·綿陽(yáng)市·八年級(jí)期末）（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2022·四川成都·八年級(jí)期中）如圖中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的面積是______．2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）3．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)階段練習(xí)）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問(wèn)題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點(diǎn)P，連接OP，試說(shuō)明AC＝2OP．”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問(wèn)題，按照這個(gè)思路回答下列問(wèn)題．①請(qǐng)?jiān)趫D中通過(guò)作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在中，是邊的中線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．6．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)階段練習(xí)）八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．(1)【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)至E，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個(gè)過(guò)程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是______；中線的取值范圍是______．(2)【理解與應(yīng)用】如圖2，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上，若．求證：．(3)【問(wèn)題解決】如圖3，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，其中，連接，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．7．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期末）（1）問(wèn)題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得AD＝CD，這個(gè)性質(zhì)是；②在圖2中，求證：AD＝CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD＝BC．8．（2022·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點(diǎn)F．(1)依題意補(bǔ)全圖形，寫(xiě)出____________°(2)求和的度數(shù)；(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2022·吉林·公主嶺市范家屯鎮(zhèn)第二中學(xué)校九年級(jí)期末）我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；②如圖3，當(dāng)時(shí)，則長(zhǎng)為_(kāi)__________．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．10．（2022·湖北孝感·八年級(jí)期中）（1）感知：如圖1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC數(shù)量關(guān)系為：．（2）探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明．（3）應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，試判斷AB，AC，BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．11．（2022·遼寧大連·八年級(jí)期末）已知點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗(yàn)】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類(lèi)比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點(diǎn)E，AC＝kDE，直接寫(xiě)出的值（用k的代數(shù)式表示）．12．（2022秋·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；②如圖2，若，求的大?。?3．（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng)，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．14．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長(zhǎng)至，使，連接）15．（2023春·成都市·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖1，在A