【北京卷中考數(shù)學壓軸題模擬預測】專題2幾何綜合壓軸大題模擬預測題強化訓練(尖子生難題突破)原卷版+解析

【北京卷中考數(shù)學壓軸題模擬預測】專題2幾何綜合壓軸大題模擬預測題強化訓練（尖子生難題突破）一、解答題1．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，連接EA，EC．(1)如圖1，當點E在正方形ABCD的內(nèi)部時，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為______；(2)當點E在正方形ABCD的外部時，①在圖2中依題意補全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線BF交EC于點G，交EA的延長線于點F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．（2022·北京市第七中學一模）對于平面直角坐標系中的圖形和點，給出如下定義：將圖形繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形，圖形稱為圖形關(guān)于點的“垂直圖形”．例如，圖1中點為點關(guān)于點的“垂直圖形”．(1)點關(guān)于原點的“垂直圖形”為點．①若點的坐標為，則點的坐標為______；②若點的坐標為，則點的坐標為______；(2)，，．線段關(guān)于點的“垂直圖形”記為，點的對應點為，點的對應點為F′．①求點的坐標（用含的式子表示）；②若⊙的半徑為2，上任意一點都在⊙內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的的長度的最大值．3．（2022·北京·二模）如圖，在等邊中，點是邊的中點，點是直線上一動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)如圖1，當點與點重合時．①依題意補全圖形；②判斷與的位置關(guān)系；(2)如圖2，取的中點，寫出直線與夾角的度數(shù)以及與的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（2022·北京市第一六一中學分校一模）已知點P為線段AB上一點，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC；再將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BD；連接AD，取AD中點M，連接BM，CM．(1)如圖1，當點P在線段CM上時，求證：PM//BD；(2)如圖2，當點P不在線段CM上，寫出線段BM與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．5．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐標系xOy中，對于線段MN，直線l和圖形W給出如下定義：線段MN關(guān)于直線l的對稱線段為M'N'（M'，N'分別是M，N的對應點）．若MN與M'N'均在圖形W內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形W為線段MN關(guān)于直線l的“對稱封閉圖形”．(1)如圖，點P（-1，0）．①已知圖形W1：半徑為1的⊙O，W2：以線段PO為邊的等邊三角形，W3：以O(shè)為中心且邊長為2的正方形，在W1，W2，W3中，線段PO關(guān)于y軸的“對稱封閉圖形”是；②以O(shè)為中心的正方形ABCD的邊長為4，各邊與坐標軸平行．若正方形ABCD是線段PO關(guān)于直線y=x+b的“對稱封閉圖形”，求b的取值范圍；(2)線段MN在由第四象限、原點、x軸正半軸以及y軸負半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且MN的長度為2．若存在點Q（），使得對于任意過點Q的直線l，有線段MN，滿足半徑為r的⊙O是該線段關(guān)于l的“對稱封閉圖形”，直接寫出r的取值范圍．6．（2022·北京市十一學校模擬預測）已知，點是射線上一動點，以為邊作，，，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到射線，點在射線上，．(1)如圖1，若，求的長（用含的式子表示）；(2)如圖2，點在線段上，連接、．添加一個條件：、、滿足的等量關(guān)系為______，使得成立，補全圖形并證明．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐標系中，對于線段AB與直線，給出如下定義：若線段AB關(guān)于直線l的對稱線段為（，分別為點A，B的對應點），則稱線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”．已知點，．(1)線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，點的坐標為，則的長為______，b的值為______；(2)線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，直線經(jīng)過點，若點，都在直線上，連接，求的度數(shù)；(3)點，，線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，且當b取某個值時，一定存在k使得線段與線段PQ有公共點，直接寫出b的取值范圍．8．（2022·北京大興·二模）已知：如圖，，線段CD與AB相交于點O，以點A為中心，將射線AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)交線段CD于點H．(1)若，求證：；(2)請你直接用等式表示出線段CD，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）．9．（2022·北京市三帆中學模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，對于圖形Q和∠P，給出如下定義：若圖形Q上的所有的點都在∠P的內(nèi)部或∠P的邊上，則∠P的最小值稱為點P對圖形Q的廣度．如下圖，∠AOB的度數(shù)為點O對線段AB的廣度．(1)已知點，在點，，中，對線段ON的廣度為60°的點是______；(2)已知：點，，，，．①直接寫出點E對四邊形ABCD的廣度為______°；②已知直線上存在點F，使得點F對四邊形ABCD的廣度為45°，求b的取值范圍．10．（2022·北京市三帆中學模擬預測）已知：如圖所示繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到（其中點B與點D對應）．(1)如圖1，點B關(guān)于直線AC的對稱點為，求線段與CD的數(shù)量關(guān)系；(2)當時，射線CB與射線ED交于點F，補全圖2并求∠AFD．11．（2022·北京市第五中學分校模擬預測）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射線CM，∠ACM＝80°．D在射線CM上，連接AD，E是AD的中點，C關(guān)于點E的對稱點為F，連接DF．(1)依題意補全圖形；(2)判斷AB與DF的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)平面內(nèi)一點G，使得DG＝DC，F(xiàn)G＝FB，求∠CDG的值．12．（2022·北京朝陽·模擬預測）如圖①，RtABC和RtBDE重疊放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)觀察猜想：圖①中線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接AD，CE，判斷線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如何，并說明理由；(3)拓展延伸：若BC＝，BE＝1，當旋轉(zhuǎn)角α＝∠ACB時，請直接寫出線段AD的長度．13．（2022·北京·北理工附中模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，E、F、G分別為邊AB、AD、BC的中點，連接EF、FG、EG(1)求證：為直角三角形(2)連接ED，當，時，求ED的長．14．（2022·北京昌平·模擬預測）兩張寬度均為4的矩形紙片按如圖所示方式放置(1)如圖①，求證：四邊形ABCD是菱形．(2)如圖②，點P在BC上，PF⊥AD于F，若S四邊形ABCD＝16，PB＝2，①求∠BAD的度數(shù)；②求DF的長．15．（2022·北京十一學校一分校一模）在中，，，點D為線段AC上一點，將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，連接DE．(1)①請補全圖形；②寫出CD，AD，ED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)取AD中點F，連接BF、CE，猜想CE與BF的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明．16．（2022·北京朝陽·二模）在正方形ABCD中，E為BC上一點，點M在AB上，點N在DC上，且，垂足為點F．(1)如圖1，當點N與點C重合時，求證：；(2)將圖1中的MN向上平移，使得F為DE的中點，此時MN與AC相交于點H，①依題意補全圖2；②用等式表示線段MH、HF，F(xiàn)N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．17．（2022·北京北京·二模）在中，，D是的中點，E為邊上一動點（不與點A，C重合），連接，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點F作于點H，交射線于點G．(1)如圖1，當時，比較與的大小；用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當時，依題意補全圖2，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系．18．（2022·北京順義·二模）如圖，在中，，，P，D為射線AB上兩點（點D在點P的左側(cè)），且，連接CP．以P為中心，將線段PD逆時針旋轉(zhuǎn)得線段PE．(1)如圖1，當四邊形ACPE是平行四邊形時，畫出圖形，并直接寫出n的值；(2)當時，M為線段AE的中點，連接PM．①在圖2中依題意補全圖形；②用等式表示線段CP與PM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．19．（2022·北京昌平·二模）如圖，已知，是的平分線，點A是射線上一點，點A關(guān)于對稱點在射線上，連接交于點，過點A作的垂線，分別交，于點，，作的平分線，射線與，分別交于點，．(1)①依題意補全圖形；②求度數(shù)；（用含的式子表示）(2)寫出一個的值，使得對于射線上任意的點A總有（點A不與點重合），并證明．20．（2022·北京海淀·二模）已知AB=BC，∠ABC=90°，直線l是過點B的一條動直線（不與直線AB，BC重合），分別過點A，C作直線l的垂線，垂足為D，E．(1)如圖1，當45°＜∠ABD＜90°時，①求證：CE+DE=AD；②連接AE，過點D作DH⊥AE于H，過點A作AF∥BC交DH的延長線于點F．依題意補全圖形，用等式表示線段DF，BE，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)在直線l運動的過程中，若DE的最大值為3，直接寫出AB的長．21．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）如圖，正方形ABCD中，P為BD上一動點，過點P作交CD邊于點Q．(1)求證：；(2)用等式表示PB、PD、AQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)點P從點B出發(fā)，沿BD方向移動，若移動的路徑長為4，則AQ的中點M移動的路徑長為（直接寫出答案）．22．（2022·北京·東直門中學模擬預測）在中，，．D為邊BC上一動點，點E在邊AC上，．點D關(guān)于點B的對稱點為點F，連接AD，P為AD的中點，連接PE，PF，EF．(1)如圖1，當點D與點B重合時，寫出線段PE與PF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當點D與點B，C不重合時，判斷（1）中所得的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請舉出反例．23．（2022·北京·二模）在中，，CD是AB邊的中線，于E，連接CD，點P在射線CB上（與B，C不重合）(1)如果①如圖1，DE與BE之間的數(shù)量關(guān)系是______②如圖2，點P在線段CB上，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，補全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖3，若點P在線段CB的延長線上，且，連接DP，將線段DP繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接BF，請直接寫出DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．24．（2022·北京門頭溝·二模）我們規(guī)定：如圖，點在直線上，點和點均在直線的上方，如果，，點就是點關(guān)于直線的“反射點”，其中點為“點”，射線與射線組成的圖形為“形”．在平面直角坐標系中，(1)如果點，，那么點關(guān)于軸的反射點的坐標為；(2)已知點，過點作平行于軸的直線．①如果點關(guān)于直線的反射點和“點”都在直線上，求點的坐標和的值；②是以為圓心，為半徑的圓，如果某點關(guān)于直線的反射點和“點”都在直線上，且形成的“形”恰好與有且只有兩個交點，求的取值范圍．25．（2022·北京房山·二模）對于平面直角坐標系中的圖形和圖形．給出如下定義：在圖形上存在兩點A，B（點A，B可以重合），在圖形上存在兩點M，N，（點M、N可以重合）使得，則稱圖形和圖形滿足限距關(guān)系(1)如圖1，點，點P在線段上運動（點P可以與點C，E重合），連接．①線段的最小值為__________，最大值為__________；線段的取值范圍是__________；②在點O，點D中，點__________與線段滿足限距關(guān)系；(2)在（1）的條件下，如圖2，的半徑為1，線段與x軸、y軸正半軸分別交于點F，G，且，若線段與滿足限距關(guān)系，求點F橫坐標的取值范圍；(3)的半徑為，點H，K是上的兩個點，分別以H，K為圓心，2為半徑作圓得到和，若對于任意點H，K，和都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍．26．（2022·北京市燕山教研中心一模）對于平面直角坐標系中的線段，給出如下定義：若存在使得，則稱為線段的“等冪三角形”，點R稱為線段的“等冪點”．(1)已知．①在點中，線段的“等冪點”是____________；②若存在等腰是線段的“等冪三角形”，求點B的坐標；(2)已知點C的坐標為，點D在直線上，記圖形M為以點為圓心，2為半徑的位于x軸上方的部分．若圖形M上存在點E，使得線段的“等冪三角形”為銳角三角形，直接寫出點D的橫坐標的取值范圍．27．（2022·北京朝陽·一模）在平面直角坐標系中，對于直線，給出如下定義：若直線與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線關(guān)于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，的半徑為1，當時，直接寫出直線關(guān)于的“圓截距”；(2)點M的坐標為，①如圖2，若的半徑為1，當時，直線關(guān)于的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若的半徑為2，當k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線關(guān)于的“圓截距”的最小值為2，直接寫出b的值．28．（2022·北京市第一六一中學分校一模）在平面直角坐標系xOy中，對于點P和圖形W，如果線段OP與圖形W無公共點，則稱點P為關(guān)于圖形W的“陽光點”；如果線段OP與圖形W有公共點，則稱點P為關(guān)于圖形W的“陰影點”．(1)如圖1，已知點A（1，3），B（1，1），連接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）這四個點中，關(guān)于線段AB的“陽光點”是；②線段A1B1∥AB，A1B1上的所有點都是關(guān)于線段AB的“陰影點”，且當線段A1B1向上或向下平移時，都會有A1B1上的點成為關(guān)于線段AB的“陽光點”，若，A1B1的長為4，且點A1在B1的上方，則點A1的坐標為．(2)如圖2，已知點C（1，），⊙C與y軸相切于點D，若⊙E的半徑為，圓心E在直線l：上，且⊙E的所有點都是關(guān)于⊙C的“陰影點”，求點E的橫坐標的取值范圍；(3)如圖3，⊙M的半徑為3，點M到原點的距離為5，點N是⊙M上到原點距離最近的點，點Q和T是坐標平面的兩個動點，且⊙M上的所有點都是關(guān)于△NQT的“陰影點”直接寫出△NQT的周長的最小值．29．（2022·北京房山·一模）如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P，Q兩點（Q在P，H之間）．我們把點P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠點”，把PQ·PH的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．(1)如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點E的坐標為（0，4），半徑為1的⊙O與兩坐標軸交于點A，B，C，D．①過點E作垂直于y軸的直線m﹐則⊙O關(guān)于直線m的“遠點”是點__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_____________；②若直線n的函數(shù)表達式為，求⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；(2)在平面直角坐標系xOy、中，直線l經(jīng)過點M（1，4），點F是坐標平面內(nèi)一點，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點N（–1，0）是⊙F關(guān)于直線l的“遠點”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，直接寫出直線l的函數(shù)解析式．30．（2022·北京順義·一模）在平面直角坐標系中，的半徑為2．對于直線和線段BC，給出如下定義：若將線段BC沿直線l翻折可以得到的弦（，分別是B，C的對應點），則稱線段BC是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段BC的是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．(1)如圖2，點，，，，，的橫、縱坐標都是整數(shù)．在線段，，中，以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是______；(2)△ABC是邊長為a的等邊三角形，點，若BC是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，求a的值；(3)如果經(jīng)過點的直線上存在以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出這條直線與y軸交點的縱坐標m的取值范圍．【北京卷中考數(shù)學壓軸題模擬預測】專題2幾何綜合壓軸大題模擬預測題強化訓練（尖子生難題突破）一、解答題1．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，連接EA，EC．(1)如圖1，當點E在正方形ABCD的內(nèi)部時，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為______；(2)當點E在正方形ABCD的外部時，①在圖2中依題意補全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線BF交EC于點G，交EA的延長線于點F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)135，(2)①作圖見解析，45°；②【解析】【分析】（1）過點E作于點K，由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及角平分線的定義可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形可求出，，繼而可證明，便可求解；（2）①根據(jù)題意作圖即可；由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出，即可求解；②過點B作垂足為H，由等腰三角形的性質(zhì)得到，再證明即可得到，再推出為等腰直角三角形，即可得到三者之間的關(guān)系．(1)過點E作于點K四邊形ABCD是正方形BE平分∠ABC，AB=4，將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，，四邊形ABCE的面積為故答案為：135，(2)①作圖如下四邊形ABCD是正方形由旋轉(zhuǎn)可得，②，理由如下：如圖，過點B作垂足為H，∠EBC的平分線BF交EC于點G為等腰直角三角形即【點睛】本題屬于四邊形和三角形的綜合題目，涉及正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等，靈活運用上述知識點是解題的關(guān)鍵．2．（2022·北京市第七中學一模）對于平面直角坐標系中的圖形和點，給出如下定義：將圖形繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形，圖形稱為圖形關(guān)于點的“垂直圖形”．例如，圖1中點為點關(guān)于點的“垂直圖形”．(1)點關(guān)于原點的“垂直圖形”為點．①若點的坐標為，則點的坐標為______；②若點的坐標為，則點的坐標為______；(2)，，．線段關(guān)于點的“垂直圖形”記為，點的對應點為，點的對應點為F′．①求點的坐標（用含的式子表示）；②若⊙的半徑為2，上任意一點都在⊙內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的的長度的最大值．【答案】(1)①（3，0）；②（，3）(2)①（3+a，3+a）；②【解析】【分析】（1）①②根據(jù)“垂直圖形”的定義解決問題即可．（2）①構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．②如圖3中，觀察圖象可知，滿足條件的點E′在第一象限的⊙O上．求出點E′的坐標即可解決問題．(1)解：①觀察圖像可知：點的坐標為（3，0）；②觀察圖像可知：點A的坐標為（，3）；故答案為：①（3，0）；②（，3）；(2)解：①如圖2中，過點E作EP⊥x軸于P，過點E′作E′H⊥x軸于H．∵∠EPG=∠EGE′=∠GHE′=90°，∴∠E+∠PGE=90°，∠PGE+∠E′GH=90°，∴∠E=∠E′GH，∵EG=GE′，∴△EPG≌△GHE′（AAS），∴EP=GH=3，PG=E′H=a+3，∴OH=3+a，∴E′（3+a，3+a）．②如圖，觀察圖象可知，滿足條件的點E′在第一象限的⊙O上．∵E′（3+m，3+m），OE′=2，∴3+m=，∴m=，∴E′（，），∴EE′=．【點睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．3．（2022·北京·二模）如圖，在等邊中，點是邊的中點，點是直線上一動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)如圖1，當點與點重合時．①依題意補全圖形；②判斷與的位置關(guān)系；(2)如圖2，取的中點，寫出直線與夾角的度數(shù)以及與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)①補全圖形見解析；②(2)直線與夾角的度數(shù)為，，證明見解析【解析】【分析】（1）①依照題意畫出圖形即可；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可證△≌△AEC，可得，即可得結(jié)論；（2）通過證明△∽△CAE，可得，，即可求解．(1)解：①如圖1所示：②，理由如下：∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∴△是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，點是的中點，∴，，，∴，∴，∴△≌△AEC，∴，又∵，∴垂直平分，∴；(2)直線與夾角的度數(shù)為，，理由如下：如圖2，當點在線段上時，連接，，延長交于，∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∴△AGE是等邊三角形，又∵點是的中點，∴，，∴，∵△是等邊三角形，點是的中點，∴，，∴，，∴，，∴△∽△CAE，

∴，，∴，∴，∴直線與夾角的度數(shù)為，，當點在的延長線上時，如圖3，連接，，同理可求直線與夾角的度數(shù)為，，當點在的延長線上時，如圖4，連接，，延長交于，同理可求直線與夾角的度數(shù)為，．綜上所述：直線與夾角的度數(shù)為，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．4．（2022·北京市第一六一中學分校一模）已知點P為線段AB上一點，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC；再將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BD；連接AD，取AD中點M，連接BM，CM．(1)如圖1，當點P在線段CM上時，求證：PM//BD；(2)如圖2，當點P不在線段CM上，寫出線段BM與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，，理由見解析【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，是等邊三角形，，則，所以．（2）延長至點，使得，連接，，，，可證是等邊三角形且點是的中點，則有，．(1)解：由題意可得，，且，是等邊三角形，，，又，，．(2)解：猜想，，，理由如下：如圖2，延長至點，使得，連接，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，，，．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造合適輔助線．5．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐標系xOy中，對于線段MN，直線l和圖形W給出如下定義：線段MN關(guān)于直線l的對稱線段為M'N'（M'，N'分別是M，N的對應點）．若MN與M'N'均在圖形W內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形W為線段MN關(guān)于直線l的“對稱封閉圖形”．(1)如圖，點P（-1，0）．①已知圖形W1：半徑為1的⊙O，W2：以線段PO為邊的等邊三角形，W3：以O(shè)為中心且邊長為2的正方形，在W1，W2，W3中，線段PO關(guān)于y軸的“對稱封閉圖形”是；②以O(shè)為中心的正方形ABCD的邊長為4，各邊與坐標軸平行．若正方形ABCD是線段PO關(guān)于直線y=x+b的“對稱封閉圖形”，求b的取值范圍；(2)線段MN在由第四象限、原點、x軸正半軸以及y軸負半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且MN的長度為2．若存在點Q（），使得對于任意過點Q的直線l，有線段MN，滿足半徑為r的⊙O是該線段關(guān)于l的“對稱封閉圖形”，直接寫出r的取值范圍．【答案】(1)①，；②b的取值范圍是(2)【解析】【分析】（1）①根據(jù)“對稱封閉圖形”的定義判斷即可；②記點P，O關(guān)于直線的對稱點分別為，，先求出直線、直線的的解析式，再根據(jù)圖象找到當直線隨著b的變化上下平移時的臨界情況，解答即可；（2）根據(jù)題意，確定出當三角形MON為等腰直角三角形且∠MON=90°時r最小，作MN關(guān)于直線的對稱圖形，用勾股定理求出的長度即可．(1)解：①線段PO關(guān)于y軸對稱圖形為線段，即線段在圖形W內(nèi)（包括邊界），其中，P（-1，0），（0，1），故圖形W1及W3，符合題意，故答案為：，．②記點P，O關(guān)于直線的對稱點分別為，，則直線垂直平分線段和，因此直線的解析式為，直線的解析式為，由于線段PO在x軸上，故關(guān)于直線的對稱后，⊥x軸．如圖，當直線隨著b的變化上下平移時，臨界情況是：當點P對稱后得到在上，即（1，）時，中點為（，0），此時；當點O對稱后恰好為（2，2）時，中點為（1，1），此時.依題意，b的取值范圍是．(2)解：由題意知，當三角形MON為等腰直角三角形且∠MON=90°時r最小，由Q點坐標知，Q點在直線上運動，作線段MN關(guān)于直線的對稱圖形，則r≥，取MN中點E，中點為G，連接EG交直線于F，連接，如圖所示，∵MN=2，∴OE=1，設(shè)直線交坐標軸于P、S，則PS=8，∴OF=4，由對稱知，EF=GF=5，，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題考查了新定義的問題，需要借助軸對稱圖形的性質(zhì)、一次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理等知識點解題．解題關(guān)鍵是正確理解題意，作出符合題意的圖形．6．（2022·北京市十一學校模擬預測）已知，點是射線上一動點，以為邊作，，，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到射線，點在射線上，．(1)如圖1，若，求的長（用含的式子表示）；(2)如圖2，點在線段上，連接、．添加一個條件：、、滿足的等量關(guān)系為______，使得成立，補全圖形并證明．【答案】(1)；(2)，補全圖形及證明見解析.【解析】【分析】（1）如圖，連接，過點作于點，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得到，，再根據(jù)條件可得到，然后在中，利用三角函數(shù)可求得，最后可得到的長；（2）添加條件為．如圖，延長到點，使，連接，過點分別作于點、于點，可證明四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)得到，然后在在中，利用三角函數(shù)求得，接著利用證明可得到，從而推導出，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得到，從而得到結(jié)論．(1)解：如圖，連接，過點作于點，∵，，∴，，∵，∴，∴在中，，∴．．(2)點在線段上，連接、．添加一個條件：、、滿足的等量關(guān)系為，使得成立，補全圖形如下，證明如下：延長到點，使，連接，過點分別作于點、于點，∴，∵在中，，，∴，∴，，∴四邊形是矩形，，∴，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形性質(zhì)與判定、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和矩形．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐標系中，對于線段AB與直線，給出如下定義：若線段AB關(guān)于直線l的對稱線段為（，分別為點A，B的對應點），則稱線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”．已知點，．(1)線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，點的坐標為，則的長為______，b的值為______；(2)線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，直線經(jīng)過點，若點，都在直線上，連接，求的度數(shù)；(3)點，，線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，且當b取某個值時，一定存在k使得線段與線段PQ有公共點，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)2；-1(2)15°(3)【解析】【分析】（1）由對稱性質(zhì)AB、A′B′關(guān)于直線l對稱，所以A′B′=AB=2，由題意，得y=x+b，把AA′的中點(，)代入y=x+b，求出b即可；（2）作C關(guān)于l的對稱點C′，連接OC′，OA，OC′，因為AB的對稱點在l1上，所以點C的對稱點C′在直線AB上，則可求出點C′的坐標為（1，），繼而可求得∠C′OK=60°，再求出∠AOK=45°，所以∠C′OA=∠C′OK-∠AOK=60°-45°=15°，然后利用對稱的性質(zhì)得出∠COA′=∠C′OA，即可求解；（3）當B′與點Q重合時，求出b=2，再當A′與點P重合時，求出b=，再由線段與線段PQ有公共點，即可得出b的取值范圍．(1)解：∵A（1，1），B（1，-1），∴AB=2，∵AB、A′B′關(guān)于直線l對稱，∴A′B′=AB=2,由題意，得k=1，∴y=x+b，∵A、A′關(guān)于直線l對稱，∴直線l經(jīng)過AA′的中點，∵A（1，1），A′（2，0），∴AA′的中點為(,)，即(，)，把(，)代入y=x+b，得=+b，解得：b=-1，故答案為：2,-1；(2)解：如圖，作C關(guān)于l的對稱點C′，連接OC′，OA，OC′，由題意，得直線l解析式為：y=kx，設(shè)C關(guān)于l的對稱點為C′，∴OC′=OC=2，∵AB關(guān)于l對稱點A′B′在l1上，又l1經(jīng)過點C，∴點C′在直線AB上，∵A（1，1），B（1，-1），∴直線AB即是直線x=1，∴C′橫坐標為1，∴C′縱坐標為,∴C′（1，），∴tan∠C′OK==，∴∠C′OK=60°，∵A（1，1），∴OA=AK，∴△AOK是等腰直角三角形，∴∠AOK=45°，∴∠C′OA=∠C′OK-∠AOK=60°-45°=15°，∵A、B、C′關(guān)于直線l的對稱點是A′、B′、C，∴∠COA′=∠C′OA=15°；(3)解：當B′與點Q重合時，如圖，則B′（-3，3），設(shè)BB′中點為K，則直線l經(jīng)過點K，∵B（1，-1），B′（-3，3），∴K（-1，1），直線BB′解析式為：y=-x，∵BB′⊥l，∴直線l解析式為y=x+b，把K（-1，1）代入，得b=2，當A′與點P重合時，如圖，則A′（-3，0），設(shè)AA′中點為K，則直線l經(jīng)過點K，∵A（1，1），A′（-3，0），∴K（-1，），直線AA′解析式為：y=x+，∵AA′⊥l，∴直線l解析式為y=-4x+b，把K（-1，）代入，得b=，∵線段與線段PQ有公共點，∴，【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，本題屬一次函數(shù)綜合題目，熟練掌握一次函數(shù)的圖象性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·北京大興·二模）已知：如圖，，線段CD與AB相交于點O，以點A為中心，將射線AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)交線段CD于點H．(1)若，求證：；(2)請你直接用等式表示出線段CD，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）證明，則，證明是等邊三角形，則，由此可證；（2）過點作于，由等腰三角形三線合一可知，，在中，利用三角函數(shù)用表示，從而表示出，結(jié)合即可得，，之間的數(shù)量關(guān)系．(1)證明：，，即．，，，即．在與中，，．，，又，是等邊三角形，，又，．(2)解：，理由如下：過點作于，，，．，．又，，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的應用，解決本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)建立線段之間的數(shù)量關(guān)系．9．（2022·北京市三帆中學模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，對于圖形Q和∠P，給出如下定義：若圖形Q上的所有的點都在∠P的內(nèi)部或∠P的邊上，則∠P的最小值稱為點P對圖形Q的廣度．如下圖，∠AOB的度數(shù)為點O對線段AB的廣度．(1)已知點，在點，，中，對線段ON的廣度為60°的點是______；(2)已知：點，，，，．①直接寫出點E對四邊形ABCD的廣度為______°；②已知直線上存在點F，使得點F對四邊形ABCD的廣度為45°，求b的取值范圍．【答案】(1)，(2)①90；②【解析】【分析】(1)畫出圖形，作M2G⊥x軸，計算∠OM1N、∠OM2N、∠OM3N的正切值并判斷角的大小，可得出結(jié)論；(2)①由A(?2,2)，B(?2,?2)，C(2,?2)，D(2,2)，可得四邊形ABCD為正方形，連結(jié)EA、ED，可得∠AED為90°，據(jù)此即可解答；②由題意可知，直線y=x經(jīng)過點B、D，以點D為圓心，DA長為半徑作圓D，則點C在圓D上，作經(jīng)過點B、D的直線l：y=x，平移直線l到l1、l2的位置，l1經(jīng)過點A、l2經(jīng)過點C，與圓D分別交于點F1、F2，則在上任意一點F對四邊形ABCD的廣度為45°，再把點A、C的坐標分別代入解析式，即可求得b的取值范圍．(1)解：如圖：連接M1N，M2O，M2N，M3O，M3N，作軸于點G，則G(1,0)，OG=ON=1點對線段ON的廣度為60°點對線段ON的廣度為60°點對線段ON的廣度不為60°故答案為：，(2)解：①∵A(?2,2)，B(?2,?2)，C(2,?2)，D(2,2)∴四邊形ABCD是正方形，且各邊與坐標軸垂直(或平行)如圖，設(shè)AD交y軸于點I，則∠AIE=∠DIE=90°∵E(0,4)，∴AI=EI=DI=2∴∠IEA=∠IED=45°∴∠AED=90°∴點E對四邊形ABCD的廣度為90°故答案為：90②如圖：以點D為圓心，DA長為半徑作圓D，則點C在圓D上作經(jīng)過點B、D的直線l：y=x，平移直線l到l1、l2的位置，l1經(jīng)過點A、l2經(jīng)過點C，與圓D分別交于點F1、F2，上任意一點F對四邊形ABCD的廣度為45°當直線經(jīng)過點A(-2,2)時，2=-2+b，解得b=4當直線經(jīng)過點C(2,-2)時，-2=2+b，解得b=-4故b的取值范圍為【點睛】此題重點考查正方形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理，求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是正確理解題中所給的定義內(nèi)容，并且正確地作出所需要的輔助線．10．（2022·北京市三帆中學模擬預測）已知：如圖所示繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到（其中點B與點D對應）．(1)如圖1，點B關(guān)于直線AC的對稱點為，求線段與CD的數(shù)量關(guān)系；(2)當時，射線CB與射線ED交于點F，補全圖2并求∠AFD．【答案】(1)(2)補全圖形見解析，【解析】【分析】(1)連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及點B關(guān)于直線AC的對稱點為，可證得，據(jù)此即可求得；(2)連接BD，設(shè)AB與DF交于點G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，可求得，可證得，可得，可證得，據(jù)此即可求得．(1)解：如圖：連接繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，又點B關(guān)于直線AC的對稱點為垂直平分，，，即在與中(2)解：如圖：連接BD，設(shè)AB與DF交于點G由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，又，又又，【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022·北京市第五中學分校模擬預測）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射線CM，∠ACM＝80°．D在射線CM上，連接AD，E是AD的中點，C關(guān)于點E的對稱點為F，連接DF．(1)依題意補全圖形；(2)判斷AB與DF的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)平面內(nèi)一點G，使得DG＝DC，F(xiàn)G＝FB，求∠CDG的值．【答案】(1)作圖見解析；(2)AB=DF，理由見解析；(3)∠CDG=40°或120°．【解析】【分析】（1）根據(jù)中心對稱的定義畫出圖形，如圖所示；（2）由“SAS”可證△AEC≌△DEF，可得AC=DF=AB；（3）由題意可得點G是以點D為圓心，DC為半徑的圓上與以點F為圓心，F(xiàn)B為半徑的圓的交點，同時在兩個圓上，由“SSS”可證△ABF≌△DFG，可得∠BAF=∠FDG=140°，即可求解，(1)解：如圖1所示：(2)解：解：AB=DF，理由如下：E是AD的中點，.AE=DE，C關(guān)于點E的對稱點為F，CE=EF，又∠AEC=∠FED，(SAS)，AC=DF，AB=AC，AB=DF(3)如圖2，連接AE=DE，CE=EF，四邊形ACDF是平行四邊形，，AF=CD，DF=AC=AB，∠ACM+∠CAF=180°，∠CAF=180°-80°=100°=∠CDF，∠BAF=.140°，.DG1=DC，點G1在以點D為圓心，DC為半徑的圓上，F(xiàn)G1=FB，點G1在以點F為圓心，F(xiàn)B為半徑的圓上，AB=DF，AF=DG1，F(xiàn)B=FG1，，∠BAF=∠FDG1=140°，∠CDG1=40°，同理可證△ABF≌ODFG2，∠BAF=∠G2DF=140°，∠CDG2=360°-100°-140°=120°，綜上所述：∠CDG=40°或120°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，確定點G的位置是本題的關(guān)鍵．12．（2022·北京朝陽·模擬預測）如圖①，RtABC和RtBDE重疊放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)觀察猜想：圖①中線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接AD，CE，判斷線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如何，并說明理由；(3)拓展延伸：若BC＝，BE＝1，當旋轉(zhuǎn)角α＝∠ACB時，請直接寫出線段AD的長度．【答案】(1)AD＝2CE，AD⊥CE(2)AD＝2CE，AD⊥CE，見解析(3)4【解析】【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△BDE∽△BAC，求得∠BDE＝∠A，得到DE∥AC，求得＝2，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CBE＝∠ABD，求得△BCE∽△BAD，得到，∠BEC＝∠BDA，延長CE交AD于H，于是得到結(jié)論；（3）過D作DG⊥AB于G，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及勾股定理即可得到結(jié)論．(1)∵AB＝2BC，BD＝2BE，∴＝＝2，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC，∴∴＝＝2，即AD=2CE，∵∠B＝90°，∴AD⊥CE，故答案為：AD＝2CE，AD⊥CE；(2)AD＝2DE，AD⊥CE，理由：∵把△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，∴∠CBE＝∠ABD，∵AB＝2BC，BD＝2BE．∴＝＝2，∴△BCE∽△BAD，∴＝＝2，∠BEC＝∠BDA，∴AD＝2CE，延長CE交AD于H，∴∠CEB+∠BEH＝180°，∴∠BEH+∠BDA＝180°，∴∠DHE+∠DBE＝180°，∵∠DBE＝90°，∴∠DHE＝90°，∴CE⊥AD；(3)如圖③，過D作DG⊥AB于G，由（2）知，△BCE∽△BAD，∴，∠CBE＝∠ABD，∵BC＝，BE＝1，∴AB＝，BD＝2，∴AC＝＝5，∵∠CBE＝∠ACB＝∠ABD，∠DGB＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DGB，∴＝＝，∴＝＝，∴BG＝，DG＝，∴AG＝，∴AD＝＝＝4．【點睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．13．（2022·北京·北理工附中模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，E、F、G分別為邊AB、AD、BC的中點，連接EF、FG、EG(1)求證：為直角三角形(2)連接ED，當，時，求ED的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得EG∥AC，EF∥BD，可得EG⊥EF，繼而得證△EGF為直角三角形；（2）根據(jù)已知條件可證EF∥BD，GO∥CD，EG∥AC，然后可證∠ADB=∠EFG，根據(jù)在Rt△AOD中，，可求得，，易證四邊形EBGO是菱形，可求得，繼而求得，然后在在Rt△EHD中，由勾股定理即可求得ED的長度．(1)解：如圖，分別連接AC、BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E、F、G分別為邊AB、AD、BC的中點，∴EG∥AC，EF∥BD，∵AC⊥BD，∴EG⊥EF，∴∠GEF=90°，∴△EGF為直角三角形；(2)解：如圖，設(shè)EG與BD的交點為H，AC與BD的交點為O，則點O也在EF上，連接ED和EO，由題意可得：點E、F、G、O分別是AB、AD、BC、BD的中點∴EF∥BD，GO∥CD，EG∥AC且，∴∠EFG=∠BOG，∠BOG=∠BDC，又∵∠BDC=∠ADB，∴∠ADB=∠EFG，∵AC⊥BD，∴∠AOD=90°，在Rt△AOD中，，∵，∴設(shè)，，由勾股定理得：,即：，解得：，∴，，∴，易證四邊形EBGO是菱形，∴∴，在Rt△EHD中，由勾股定理得：，即：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)定理和判定定理、三角形的中位線、直角三角形的判斷以及解直角三角形．熟練掌握并能靈活運用相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．14．（2022·北京昌平·模擬預測）兩張寬度均為4的矩形紙片按如圖所示方式放置(1)如圖①，求證：四邊形ABCD是菱形．(2)如圖②，點P在BC上，PF⊥AD于F，若S四邊形ABCD＝16，PB＝2，①求∠BAD的度數(shù)；②求DF的長．【答案】(1)見解析(2)①45°；②6﹣4【解析】(1)如圖1，過點D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，則∠AED＝∠CQD＝90°，∵矩形紙片寬度均為4，∴DE＝DQ，又∵∠CDE＝∠ADQ＝90°，∴∠ADE＝∠CDQ，在△ADE和△CDQ中，，∴△ADE≌△CDQ（ASA），∴AD＝CD，又∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形；(2)①如圖1，∵S四邊形ABCD＝16，∴AB×DE＝16，即AB×4＝16，∴AB＝4＝AD，∴，∴∠BAD＝45°；②如圖2，∵菱形ABCD中，AB＝BC＝4，而PB＝2，∴CP＝4﹣2，又∵PF⊥AD，AD∥BC，∴PF⊥BC，又∵∠PCG＝∠BAD＝45°，∴PG＝4﹣2，∴FG＝PF﹣PG＝4﹣（4﹣2）＝6﹣4，又∵∠CDF＝45°＝∠DGF，∴DF＝FG＝6﹣4．【點睛】本題主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及解直角三角形的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．解題時注意：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．15．（2022·北京十一學校一分校一模）在中，，，點D為線段AC上一點，將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，連接DE．(1)①請補全圖形；②寫出CD，AD，ED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)取AD中點F，連接BF、CE，猜想CE與BF的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)①見解析；②，證明見解析(2)位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：，證明見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意作圖即可；②連接，證明，可得，，進而證明是直角三角形，從而得到，根據(jù)，即可證明；（2）如圖，連接，過點作分別交于點，設(shè)與交于點，連接，設(shè)，則，證明，可得，，，即可證明，根據(jù)全等的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線可得，即可得．(1)①如圖，②，證明如下，如圖，連接，依題意，，，，，，，，，，，，是直角三角形，，，(2)位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：，理由如下，如圖，連接，過點作分別交于點，設(shè)與交于點，連接，，，，是的垂直平分線，，，，，，，設(shè)，則，是直角三角形，，，，，，是的中點，是的中點，，由（1）可知，，點是的中點，點是的中點，，，，，在和中，，，，，，即，，，，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．16．（2022·北京朝陽·二模）在正方形ABCD中，E為BC上一點，點M在AB上，點N在DC上，且，垂足為點F．(1)如圖1，當點N與點C重合時，求證：；(2)將圖1中的MN向上平移，使得F為DE的中點，此時MN與AC相交于點H，①依題意補全圖2；②用等式表示線段MH、HF，F(xiàn)N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②，見解析【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明，，再證明，從而可得結(jié)論；（2）①根據(jù)語句依次畫圖即可；②如圖，連接HB，HD，HE，證明，，，再證明，可得．結(jié)合，可得．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴．∵，垂足為點F，∴．∴．∴，∴，即．(2)①補全圖形如圖所示．②，證明：如圖，連接HB，HD，HE，∵F為DE的中點，且，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴．∵，，∴．∴，．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．由（1）知，∴，∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的應用，線段的垂直平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練利用正方形的性質(zhì)確定全等三角形是解本題的關(guān)鍵．17．（2022·北京北京·二模）在中，，D是的中點，E為邊上一動點（不與點A，C重合），連接，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點F作于點H，交射線于點G．(1)如圖1，當時，比較與的大??；用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當時，依題意補全圖2，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，；證明見解析(2)圖見解析，【解析】【分析】（1）在線段上取點P，使得，連接，由四邊形內(nèi)角和360°及，，得到，再證明，得到．（2）依據(jù)題意補全圖，在AE延長線上取一點P，使得AE=EP，連接BP，按照（1）中的方法證明，再運用勾股定理及中位線性質(zhì)得到，．(1)解：，，理由如下：證明：如圖，在線段上取點P，使得，連接．∵D是中點，，∴．∴．∵線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，．在四邊形中，，∴．∵，∴．∵，∴．∵，，∴，∵，∴，∴．∴．∴．∵，∴，∴．(2)解：補全圖形，如圖．，理由如下：證明：如圖，在AE延長線上取一點P，使得AE=EP，連接BP，∵線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，．又∵，，∴，∴．在四邊形中，，，∴．∵，∴．∵D是中點，，∴，∴，∴．在與中，∵，∴，∴，∵，∴，即．∵，∴．∵D是中點，，∴，∵，，∴，即．【點睛】本題考查了中位線性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的證明，其中構(gòu)造中位線從而證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．18．（2022·北京順義·二模）如圖，在中，，，P，D為射線AB上兩點（點D在點P的左側(cè)），且，連接CP．以P為中心，將線段PD逆時針旋轉(zhuǎn)得線段PE．(1)如圖1，當四邊形ACPE是平行四邊形時，畫出圖形，并直接寫出n的值；(2)當時，M為線段AE的中點，連接PM．①在圖2中依題意補全圖形；②用等式表示線段CP與PM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)畫圖見解析,的值為(2)①畫圖見解析；②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得的值；（2）①根據(jù)題意補全圖形，延長至點,使,連接、交于點，證明四邊形是平行四邊形，，進而可得,即有垂直平分，根據(jù)，即可求解．(1)當四邊形是平行四邊形時,畫出圖形,如圖在中,四邊形是平行四邊形，即的值為45(2)①當時,為線段的中點,在圖2中依題意補全圖形如下:②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系,證明如下:延長至點,使,連接、交于點,如圖，為線段的中點，四邊形是平行四邊形，，，而，，，，，在和中，，，，，,即有垂直平分，，而，【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．19．（2022·北京昌平·二模）如圖，已知，是的平分線，點A是射線上一點，點A關(guān)于對稱點在射線上，連接交于點，過點A作的垂線，分別交，于點，，作的平分線，射線與，分別交于點，．(1)①依題意補全圖形；②求度數(shù)；（用含的式子表示）(2)寫出一個的值，使得對于射線上任意的點A總有（點A不與點重合），并證明．【答案】(1)見解析，；(2)，證明見解析．【解析】【分析】（1）①在ON上取，根據(jù)垂線，角平分線的畫法作圖即可；②求出，再證明即可；（2）證明為等腰直角三角形，再證明，得到，進一步得到，證明為等腰直角三角形，得到，即可得到．(1)解：①作圖如下：②∵，是的平分線，∴，∵點A、關(guān)于對稱，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，(2)解：當時，對任意的點A總有，理由如下：∵A、B關(guān)于OP對稱，且OP平分，∴OP垂直平分AB，即，，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，由（1）可知：，即，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∵AQ平分，為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，即．【點睛】本題考查作圖，角平分線，等腰直角三角形，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法及性質(zhì)，垂線的作法，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)．20．（2022·北京海淀·二模）已知AB=BC，∠ABC=90°，直線l是過點B的一條動直線（不與直線AB，BC重合），分別過點A，C作直線l的垂線，垂足為D，E．(1)如圖1，當45°＜∠ABD＜90°時，①求證：CE+DE=AD；②連接AE，過點D作DH⊥AE于H，過點A作AF∥BC交DH的延長線于點F．依題意補全圖形，用等式表示線段DF，BE，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)在直線l運動的過程中，若DE的最大值為3，直接寫出AB的長．【答案】(1)①見解析；②補全圖形見解析；線段DF，BE，DE的數(shù)量關(guān)系為．證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）①根據(jù)ASA證明△ABD≌△BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到．

②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性質(zhì)推出∠HED=∠ADF．進而證明△ADF≌△BEA．得到DF=AE．利用勾股定理證得，由此得到．

（2）當直線l在∠ABC外部時，由（1）知△ABD≌△BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，設(shè)AD=x，則BE=x，DB=DE-BE=3-x，推出AB2=，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答(1)①證明：∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．∵CE⊥l，∴∠CEB=90°．∴∠CBD+∠C=90°．∴∠ABD=∠C．

∵AD⊥l，∴∠ADB=90°=∠CEB．∵AB=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE．∵，∴．

②補全圖形如圖：線段DF，BE，DE的數(shù)量關(guān)系為．

證明如下：∵AF∥BC，∴∠BAF+∠ABC=180°．∵∠ABC=90°，∴∠BAF=90°．∴∠BAD+∠DAF=90°．∵AD⊥l，∴∠ADB=90°．∴∠BAD+∠ABD=90°．∴∠ABD=∠DAF．∵DF⊥AE于H，∴∠DHE=90°．∴∠HDE+∠HED=90°．∵∠ADE=∠ADF+∠HDE=90°，∴∠HED=∠ADF．∵由（1）中全等，有AD=BE，∴△ADF≌△BEA．∴DF=AE．∵在中，，∴．(2)當直線l在∠ABC外部時，由（1）知△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE，∴DE=DB+BE=DB+AD，設(shè)AD=x，則BE=x，DB=DE-BE=3-x，∴==∴當x=時，AB2有最小值，即AB=．故當DE取最大值3時，AB為【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）如圖，正方形ABCD中，P為BD上一動點，過點P作交CD邊于點Q．(1)求證：；(2)用等式表示PB、PD、AQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)點P從點B出發(fā)，沿BD方向移動，若移動的路徑長為4，則AQ的中點M移動的路徑長為（直接寫出答案）．【答案】(1)見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）過P點作垂足分別為E、F，由正方形性質(zhì)和同角余角相等，易證得：，即可得證（2）延長FP，交AB于G，則，由等腰直角三角形和勾股定理以及等量代換即可求得．（3）根據(jù)題意，畫出運動后的M點位置，再根據(jù)三角形中位線定理即可求得．(1)證明：過P點作垂足分別為E、F，∵正方形ABCD，，，，則四邊形PEDF為正方形，，，，在和中，，；，(2)延長FP，交AB于G，∵正方形ABCD，，，為等腰直角三角形，，正方形ABCD，∴四邊形BGFC為矩形，四邊形GAEP為矩形，，為等腰直角三角形，，由（1）得，是等腰直角三角形，，在直角三角形AGP中，，．，；(3)當P在B點時，Q應該在C點，所以M應與O點重合，所以當P移動使得BP=4時，OM即為AQ中點移動的距離，由（2）可得：CF=BG=，∵正方形ABCD，，O是AC中點，，，在等腰三角形PCQ中，，，∵O是AC中點，M是AQ中點，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理以及勾股定理，并且考查了等量代換和動點問題，綜合掌握以上性質(zhì)和判定，并能熟練運用是解題關(guān)鍵．22．（2022·北京·東直門中學模擬預測）在中，，．D為邊BC上一動點，點E在邊AC上，．點D關(guān)于點B的對稱點為點F，連接AD，P為AD的中點，連接PE，PF，EF．(1)如圖1，當點D與點B重合時，寫出線段PE與PF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當點D與點B，C不重合時，判斷（1）中所得的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請舉出反例．【答案】(1)，(2)成立，證明見解析【解析】【分析】（1）由題意知三點重合，則，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位線，有，，，然后求出比值即可；（2）如圖2，連接，作于，軸，過作交于，交于，由題意知，是的中位線，，是等邊三角形，四邊形是矩形，設(shè)，，則，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，進而可得的值，根據(jù)與的數(shù)量關(guān)系判斷與的位置關(guān)系即可．(1)解：，．理由如下：由題意知三點重合∴，∵∴，∵∴∴為線段的中點∵是中點∴是的中位線∴，∴∴．(2)解：，的關(guān)系仍成立．證明：如圖2，連接，作于，軸，過作交于，交于，由題意知，是的中位線，，是等邊三角形，四邊形是矩形，設(shè)，∴，，，，，，，，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴∵∴∴．【點睛】本題考查了含30°的直角三角形，中位線，勾股定理及勾股定理的逆定理，等邊三角形、矩形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于表示出與的長度．23．（2022·北京·二模）在中，，CD是AB邊的中線，于E，連接CD，點P在射線CB上（與B，C不重合）(1)如果①如圖1，DE與BE之間的數(shù)量關(guān)系是______②如圖2，點P在線段CB上，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，補全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖3，若點P在線段CB的延長線上，且，連接DP，將線段DP繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接BF，請直接寫出DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【答案】(1)①DE=BE

②CP=BF(2)BF-BP=2DEtanα【解析】【分析】(1)①利用60°的角的正切值計算即可；②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),證明△CDP≌△BDF即可；(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),證明△CDP≌△BDF即可．(1)①DE與BE之間的數(shù)量關(guān)系是DE=BE．理由如下：如圖，∵，，，∴∠B=60°，∴tan60°=，∴DE與BE之間的數(shù)量關(guān)系是DE=BE，故答案為：DE=BE．②CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系是CP=BF．理由如下：∵，，CD是AB邊的中線，，∴CD=AD=DB，∠B=60°，∴△CDB是等邊三角形，∴∠CDB=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠PDF=60°，DP=DF，∵∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，∵CD=BD，DP=DF，∴△CDP≌△BDF，∴CP=BF．(2)DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系是BF-BP=2DEtanα．理由如下：∵，，CD是AB邊的中線，，∴CD=AD=DB，∠CDB=2α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠PDF=2α，DP=DF，∴2α+∠PDB=2α+∠PDB，故∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，∵CD=BD，DP=DF，∴△CDP≌△BDF，∴CP=BF，∴BF=BC+BP，∵CD=DB，，，∴BC=2CE=2BE，DE∥AC，∴∠EDB=α，∴tanα=，即BE=DEtanα，∴BC=2BE=2DEtanα，∴BF-BP=2DEtanα．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直徑上全等的判定和性質(zhì)，靈活運用銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．24．（2022·北京門頭溝·二模）我們規(guī)定：如圖，點在直線上，點和點均在直線的上方，如果，，點就是點關(guān)于直線的“反射點”，其中點為“點”，射線與射線組成的圖形為“形”．在平面直角坐標系中，(1)如果點，，那么點關(guān)于軸的反射點的坐標為；(2)已知點，過點作平行于軸的直線．①如果點關(guān)于直線的反射點和“點”都在直線上，求點的坐標和的值；②是以為圓心，為半徑的圓，如果某點關(guān)于直線的反射點和“點”都在直線上，且形成的“形”恰好與有且只有兩個交點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①，；②或．【解析】【分析】（1）由題知，與關(guān)于直線對稱，由此求出的坐標；（2）①由題可知，點與點的縱坐標相同，又點在直線上，由此可求出的坐標，從而確定直線的位置，計算的值；②分析題意，可知“點”是直線與直線的交點，分析在什么位置時，“形”與恰有個交點，求出此時的取值范圍即可．(1)解：由題可知，點與點關(guān)于直線對稱，且，．故答案是：（3，3）；(2)解：①由軸可知，點與點的縱坐標相同，又，將代入，得，解得，．設(shè)點關(guān)于直線的“點”為，則點與點關(guān)于直線對稱，，點在直線上，．②由題可知，“點”是直線與直線的交點，點在直線上，設(shè)，則直線與直線關(guān)于直線對稱，如圖．與關(guān)于直線對稱，設(shè)的表達式為，當直線與相切時，設(shè)切點為，則圓心的切點的距離為，整理得，此時直線與相切，關(guān)于的方程有唯一解，令，解得，當直線與相切時，直線的表達式為或．聯(lián)立，解得，；聯(lián)立，解得，．點到圓心的距離等于半徑，且點在直線上，點是與直線的一個交點，且為兩個交點中靠下方的交點，即．“形”與有且僅有兩個交點，

分析圖象可知，當且僅當或時符合題意．或．【點睛】本題考查了對稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，兩點之間距離公式，一元二次方程的判別式，二元一次方程組與一次函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．25．（2022·北京房山·二模）對于平面直角坐標系中的圖形和圖形．給出如下定義：在圖形上存在兩點A，B（點A，B可以重合），在圖形上存在兩點M，N，（點M、N可以重合）使得，則稱圖形和圖形滿足限距關(guān)系(1)如圖1，點，點P在線段上運動（點P可以與點C，E重合），連接．①線段的最小值為__________，最大值為__________；線段的取值范圍是__________；②在點O，點D中，點__________與線段滿足限距關(guān)系；(2)在（1）的條件下，如圖2，的半徑為1，線段與x軸、y軸正半軸分別交于點F，G，且，若線段與滿足限距關(guān)系，求點F橫坐標的取值范圍；(3)的半徑為，點H，K是上的兩個點，分別以H，K為圓心，2為半徑作圓得到和，若對于任意點H，K，和都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍．【答案】(1)①，，；②O(2)(3)【解析】【分析】（1）先根據(jù)、、，得到OC=，OD=1，OE=1，DE=2，再在Rt△COE中，利用勾股定理求出，解該直角三角形即可求出∠OCE=30°，∠OEC=60°，利用垂線段最短和已經(jīng)求出的角度即可求出OP、DP的最大值和最小值；根據(jù)上述的值結(jié)合限距關(guān)系的定義即可判斷；（2）根據(jù)，再結(jié)合（1）中的結(jié)果有可求得∠GFO=∠ECO=30°，∠OGF=∠OEC=60°，設(shè)F點坐標為(a,0)，分線段FG在⊙O內(nèi)部、線段FG與⊙O有交點和線段FG在⊙O外部三種情況討論，利用線段到圓上的最長距離不小于線段到圓上的最短距離的2倍來分別構(gòu)建不等式即可求解；（3）如圖，在不影響結(jié)論的情況下，設(shè)⊙K、⊙H的圓心在x軸上，且關(guān)于y軸對稱，根據(jù)⊙K、⊙H滿足限距關(guān)系，構(gòu)建不等式即可求解．(1)如圖，連接OP、DP，∵、、，∴OC=，OD=1，OE=1，∴DE=OE+OD=2，∴在Rt△COE中，，∴，，∴∠OCE=30°，∠OEC=60°，①當OP⊥EC時，OP最小，在Rt△OPE中，，即OP=，

當P點與C點重合時，OP最大，且OP=OC=，同理可求出的DP的最小值為，最大值為2，即DP的取值范圍為，②∵OP的最小值剛好等于最大值的一半，而DP的最小值大于其最大值的一半，∴根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段EC上存在兩點M、N，滿足OM=2ON，故點O與線段EC滿足限距關(guān)系，故答案為：①，，；②O；(2)∵，∴結(jié)合（1）中的結(jié)果有∠GFO=∠ECO=30°，∠OGF=∠OEC=60°，設(shè)F點的坐標為(a,0)，根據(jù)題意有a＞0，則有OF=a，分三種情況討論：第一種情況FG在⊙O內(nèi)部，即時，如圖，∵根據(jù)（1）的方法可得O點到線段FG的最小值為：OF×sin∠GFO=a，則⊙O到線段FG的最小值為：1-a，最大值為1+a，∵線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系，∴，解得，此時a的取值范圍為：，第二種情況，F(xiàn)G與⊙O有交點，如圖，根據(jù)限距關(guān)系的定義可知：此時線段FG與⊙O必滿足限距關(guān)系，隨著FG向右平移的過程中，當F點與表示1的點重合時，F(xiàn)G開始與⊙O有交點，此時OF與⊙O的半徑相等，即OF=1，則a=1；當FG與⊙O相切時，此時圓心O到FG的距離為圓的半徑1，此時OF==2，即OF=2，則a=2；當相切之后，若FG再往右繼續(xù)平移，此時FG就在圓外，∴此時a的取值分為為：，第三種情況，當FG在⊙O外部，即時，如圖，∵根據(jù)（1）的方法可得O點到線段FG的最小值為：OF×sin∠GFO=a，則⊙O到線段FG的最小值為：a-1，最大值為a+1，∵線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系，∴，解得，此時a的取值范圍為：，綜上所述：F橫坐標的取值范圍為：，∴；(3)不影響結(jié)論的情況下，設(shè)⊙K、⊙H的圓心在x軸上，且關(guān)于y軸對稱，如圖，由圖可知⊙K、⊙H上的點相距的最近距離為，最遠的距離為，∵⊙K、⊙H滿足限距關(guān)系，∴，解得，∴r的取值范圍為：．【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了解直角三角形、垂線段最短、直線與圓的位置關(guān)系、限距關(guān)系的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用參數(shù)構(gòu)建不等式解決問題．26．（2022·北京市燕山教研中心一模）對于平面直角坐標系中的線段，給出如下定義：若存在使得，則稱為線段的“等冪三角形”，點R稱為線段的“等冪點”．(1)已知．①在點中，線段的“等冪點”是____________；②若存在等腰是線段的“等冪三角形”，求點B的坐標；(2)已知點C的坐標為，點D在直線上，記圖形M為以點為圓心，2為半徑的位于x軸上方的部分．若圖形M上存在點E，使得線段的“等冪三角形”為銳角三角形，直接寫出點D的橫坐標的取值范圍．【答案】(1)①，；②或(2)或【解析】【分析】（1）①根據(jù)定義求出三角形面積與OA2進行比較即可確定線段的“等冪點”；②根據(jù)定義可得，然后求出邊上的高為h，再結(jié)合△OAB為等腰三角形即可求出點B的坐標；（2）設(shè)半圓與x軸交于G，H兩點，過T作CH的平行線與半圓交于R，作CH的垂線交半圓于Q，直線y=x-3與y軸交于N，設(shè)D（x，x-3），過D作y軸平行線，與過C作x軸平行線交于F，求出N(0，-3),H(3，0)，可證△ONH為等腰直角三角形，點D運動分兩種情況，分別求出對應的取值范圍即可.(1)解：①，，=，P1是線段OA的“等冪點”．=，P2不是線段OA的“等冪點”．=，P3不是線段OA的“等冪點”．=，P4是線段OA的“等冪點”．∴是線段的“等冪點”的是，故答案為：；②如圖，∵是線段的“等冪三角形”，∴∵點，設(shè)中邊上的高為h，，∴，∴點B在直線或上，又∵是等腰三角形，∴點B在半徑為2的上，或在半徑為2的上，或線段的垂直平分線上，∴綜上，點B的坐標為或；(2)解：設(shè)半圓與x軸交于G，H兩點，過T作CH的平行線與半圓交于R，作CH的垂線交半圓于Q，直線y=x-3與y軸交于N，設(shè)D（x，x-3），過D作y軸平行線，與過C作x軸平行線交于F，當x=0時，y=-3,N(0，-3),當y=0時，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH為等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，點D運動分兩種情況，第一種情況點D在射線CH，去掉線段CH部分運動，∵TC⊥NH，∠OHN=45°，∴△TCH為等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因為△ECD為銳角三角形，點E在上運動，點E到CD的距離h的范圍是，CD=CF÷cos45°=CF=(x-2)，∵線段的“等冪三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(x-2)，∴，解得，點D在H右側(cè)，x>3，∴；第二種情況點D在射線CU上，去掉線段CU部分運動，點E在上運動，又因為△ECD為銳角三角形，GU=GH×cos45°=，∴，∵線段的“等冪三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(2-x)，則，解得，D的橫坐標的取值范圍為或．【點睛】本題考查新定義問題，仔細閱讀新定義，抓住三角形的高為底的二倍，涉及三角形面積，等腰三角形，線段垂直平分線，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，列雙邊不等式，解不等式等知識，難度較大，綜合較強，熟練掌握多方面知識才是解題關(guān)鍵．27．（2022·北京朝陽·一模）在平面直角坐標系中，對于直線，給出如下定義：若直線與某個圓相交