勾股定理7大模型專項訓練(35題)-【重要筆記】2021-2022學年八年級數(shù)學下學期重要考點精講精練(人教版)(原卷版+解析)

勾股定理7大模型專項訓練（35題）一．模型1：直角三角形中的銳角平分線模型（共5小題）1．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，則EB′＝．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，若CD＝3，則點D到AB邊的距離為（）A．1 B． C．2 D．33．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE∥AB交AC于點E，已知CE＝3，CD＝4，則AD長為（）A．7 B．8 C．4 D．44．如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，現(xiàn)將邊AC沿過點A的直線折疊，使它落在AB邊上．若折痕交BC于點D，點C落在點E處，你能求出BD的長嗎？請寫出求解過程．5．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點A，B，P是網(wǎng)格交點）．A．30 B．45 C．60 D．75二．模型2：風吹荷花模型（共4小題）6．一根新生的蘆葦高出水面1尺，一陣風吹過，蘆葦被吹倒一邊，頂端齊至水面，蘆葦移動的水平距離為5尺，則水池的深度和蘆葦?shù)拈L度各是尺．7．有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一陣大風把它吹歪，使花朵剛好落在水面上，此時花朵離原位置的水平距離為3尺，此水池的水深有多少尺？8．小紅在荷塘邊觀看荷花，突然想測試池塘的水深，她把一株豎直的荷花（如圖）拉到岸邊，花柄正好與水面成60°夾角，測得AB長1m，則荷花處水深OA為（）A．1m B．2m C．3m D．m9．如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．三．模型3：等邊三角形中的378和578模型（共5小題）10．如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC邊上的高．11．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝7，BC＝8，則△ABC的面積是．12．若一個等腰三角形的周長為16cm，一邊長為6cm，則該等腰三角形的面積為cm2．13．當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是．14．邊長為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）A．90° B．150° C．135° D．120°四．模型4：大樹折斷模型（共3小題）15．如圖，一次“臺風”過后，一根旗桿被臺風從離地面2.8米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部9.6米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？16．如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．17．如圖所示，一棵36m高的樹被風刮斷，樹頂落在離樹根24m處，求折斷處的高度AB．五．模型5：趙爽弦圖（共6小題）18．如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，則EF的長是（）A．7 B．8 C．7 D．719．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝2.5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，若△BCD的周長是15，則這個風車的外圍周長是．20．公元3世紀切，中國古代書學家趙爽注《周牌算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，勾a＝3，弦c＝5，則小正方形ABCD的面積為（）A．1 B．3 C．4 D．921．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝107，大正方形的面積為57，則小正方形的邊長為．22．我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關系的有關問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學方法．請你用等面積法來探究下列兩個問題：（1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，請你用它來驗證勾股定理；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的長度．23．如圖，小明用4個圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．六．模型6：折疊模型（共7小題）24．如圖，三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折疊△ABC使點A與點B重合，DE為折痕，求DE的長．25．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為（）A．cm B．cm C．cm D．無法確定26．如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．627．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2．28．如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，折疊紙片的一角，使點B與點A重合，展開得折痕DE，求DE的長．29．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點B恰好落在斜邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，求AC和EB′的長．30．如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF的長為．七．模型7：螞蟻行程模型（共5小題）31．長方體的長為15，寬為10，高為20，點B在棱上與點C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則需要爬行的最短距離是（）A． B． C．25 D．32．如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．33．如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm34．如圖，有一個圓柱形倉庫，它的高為10m，底面半徑為4m，在圓柱形倉庫下底面的A處有一只螞蟻，它想吃相對一側中點B處的食物，螞蟻爬行的速度是50cm/min，那么螞蟻吃到食物最少需要min．（π取3）35．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．勾股定理7大模型專項訓練（35題）一．模型1：直角三角形中的銳角平分線模型（共5小題）1．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，則EB′＝3．【分析】設EB′＝x，根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)翻折變換的性質用x表示出EC、EB′、CB′，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：設EB′＝x，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，由折疊的性質可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，則CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴EB′＝3．故答案為：3．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，若CD＝3，則點D到AB邊的距離為（）A．1 B． C．2 D．3【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，故選：D．3．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE∥AB交AC于點E，已知CE＝3，CD＝4，則AD長為（）A．7 B．8 C．4 D．4【分析】根據(jù)勾股定理求出DE，根據(jù)平行線的性質、角平分線的定義得到∠CAD＝∠ADE，得出AE＝DE＝5，進而求出AC，根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，由勾股定理得：DE＝＝＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝5，∴AC＝AE+EC＝8，∴AD＝＝＝4，故選：D．4．如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，現(xiàn)將邊AC沿過點A的直線折疊，使它落在AB邊上．若折痕交BC于點D，點C落在點E處，你能求出BD的長嗎？請寫出求解過程．【分析】由勾股定理的逆定理可得∠C＝90°，由折疊可得CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°，再根據(jù)勾股定理可求BD的長．【解答】解：能∵BC2+AC2＝225，AB2＝225∴AB2＝BC2+AC2．∴∠C＝90°∵折疊∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°∴BE＝AB﹣AE＝6cm在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2．∴BD2＝（12﹣BD）2+36∴BD＝5．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點A，B，P是網(wǎng)格交點）．A．30 B．45 C．60 D．75【分析】延長AP交格點于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質即可得到結論．【解答】解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故選：B．二．模型2：風吹荷花模型（共4小題）6．一根新生的蘆葦高出水面1尺，一陣風吹過，蘆葦被吹倒一邊，頂端齊至水面，蘆葦移動的水平距離為5尺，則水池的深度和蘆葦?shù)拈L度各是12，13尺．【分析】仔細分析題意得出：此題中水深、蘆葦長及蘆葦移動的水平距離構成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：若高水池深度為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12尺，即水池深度為12尺，則蘆葦長度為13尺．7．有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一陣大風把它吹歪，使花朵剛好落在水面上，此時花朵離原位置的水平距離為3尺，此水池的水深有多少尺？【分析】關鍵是水深、荷花徑移動的水平距離及荷花徑的長度構成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：設水深x尺，那么荷花徑的長為（x+1）尺，由勾股定理得：x2+32＝（x+1）2．解得：x＝4．答：水池的水深有4尺．8．小紅在荷塘邊觀看荷花，突然想測試池塘的水深，她把一株豎直的荷花（如圖）拉到岸邊，花柄正好與水面成60°夾角，測得AB長1m，則荷花處水深OA為（）A．1m B．2m C．3m D．m【分析】由圖可看出，三角形OAB為一直角三角形，已知一直角邊和一角，則可求另兩邊．【解答】解：在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1m，則OA＝m．故選：D．9．如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．【分析】設秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，設秋千的繩索長為xm，則AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：繩索AD的長度是8.5m．三．模型3：等邊三角形中的378和578模型（共5小題）10．如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC邊上的高．【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)勾股定理列方程求出CD，根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1，則BC邊上的高AD＝＝4．11．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝7，BC＝8，則△ABC的面積是．【分析】作AD⊥BC于點D，設BD＝x，則CD＝BC﹣BD＝8﹣x，由勾股定理有AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即9﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，解得x＝．由勾股定理可求AD＝，最后根據(jù)求得△ABC的面積．【解答】解：如圖所示，作AD⊥BC于點D，設BD＝x，則CD＝BC﹣BD＝8﹣x，在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即9﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，解得：x＝．則AD＝＝＝，故△ABC的面積為＝＝．故答案為：．12．若一個等腰三角形的周長為16cm，一邊長為6cm，則該等腰三角形的面積為8或12cm2．【分析】題目給出等腰三角形有一條邊長為6cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：當腰為6cm時，底邊長＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能構成三角形，其他兩邊長為6cm，4cm，∴等腰三角形的底邊上的高為（cm），∴該等腰三角形的面積為（cm2）；當?shù)诪?cm時，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能構成三角形，其他兩邊長為5cm，5cm，∴等腰三角形的底邊上的高為（cm），∴該等腰三角形的面積為（cm2）；故答案為：8或12．13．當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是16．【分析】根據(jù)海倫公式分別求出兩個三角形的面積，再相加即可．【解答】解：當三角形的邊長為：3，7，8時，P＝，∴S＝＝＝；當三角形的邊長為：5，7，8時，P＝，∴S＝＝＝，則兩個三角形的面積之和為：．故答案為：．14．邊長為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）A．90° B．150° C．135° D．120°【分析】過點A作AD⊥BC于D，設CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝5﹣x，由勾股定理得72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，得出CD＝4，則CD＝AC，再證∠CAD＝30°，則∠C＝60°，然后由三角形內角和定理即可求解．【解答】解：如圖，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，過點A作AD⊥BC于D，設CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝5﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，故選：D．四．模型4：大樹折斷模型（共3小題）15．如圖，一次“臺風”過后，一根旗桿被臺風從離地面2.8米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部9.6米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由旗桿高度＝AB+BC即可解答．【解答】解：∵旗桿剩余部分、折斷部分與地面正好構成直角三角形，∴BC＝＝＝10m，∴旗桿的高＝AB+BC＝2.8+10＝12.8m．答：這根旗桿被吹斷裂前至少有12.8米高．16．如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處與根部的距離CB是x米，則斜邊為（8﹣x）米．利用勾股定理解題即可．【解答】解：由題意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴設BC長為x米，則AC長為（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．17．如圖所示，一棵36m高的樹被風刮斷，樹頂落在離樹根24m處，求折斷處的高度AB．【分析】根據(jù)題意構造直角三角形，設AB＝x米，則AC＝（36﹣x）米，BC＝24米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由勾股定理得：x2+242＝（36﹣x）2，解得：x＝10；答：折斷處的高度AB是10m．五．模型5：趙爽弦圖（共6小題）18．如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，則EF的長是（）A．7 B．8 C．7 D．7【分析】12和5為兩條直角邊長時，求出小正方形的邊長7，即可利用勾股定理得出EF的值．【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5為兩條直角邊長時，小正方形的邊長＝12﹣5＝7，∴EF＝；故選：C．19．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝2.5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，若△BCD的周長是15，則這個風車的外圍周長是38．【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風車的一個輪子，進一步求得四個．【解答】解：依題意，設“數(shù)學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，AC＝y(tǒng)，則x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周長是15，∴x+2y+2.5＝15則x＝6.5，y＝3．∴這個風車的外圍周長是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案是：38．20．公元3世紀切，中國古代書學家趙爽注《周牌算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，勾a＝3，弦c＝5，則小正方形ABCD的面積為（）A．1 B．3 C．4 D．9【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式可求解．【解答】解：如圖，∵勾a＝3，弦c＝5，∴股b＝＝4，∴小正方形的邊長＝4﹣3＝1，∴小正方形的面積＝12＝1，故選：A．21．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝107，大正方形的面積為57，則小正方形的邊長為．【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝107，大正方形的面積為57，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案．【解答】解：如圖所示：∵（a+b）2＝107，∴a2+2ab+b2＝107，∵大正方形的面積為57，∴2ab＝107﹣57＝50，∴小正方形的面積為57﹣50＝7，故小正方形的邊長為．故答案為：．22．我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關系的有關問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學方法．請你用等面積法來探究下列兩個問題：（1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，請你用它來驗證勾股定理；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的長度．【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式．（2）先由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積求CD的長即可．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為ab，小正方形面積為：（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理，得：AB＝＝5∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CD∴CD＝．23．如圖，小明用4個圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．【分析】由題意可得：S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，再根據(jù)S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，即可證得結論．【解答】證明：∵四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，∴（a+b）2＝c2+4××ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．六．模型6：折疊模型（共7小題）24．如圖，三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折疊△ABC使點A與點B重合，DE為折痕，求DE的長．【分析】由翻折可知AE＝EB，設AE＝EB＝x，在RT△ECB中利用勾股定理求出x，再在RT△AED中即可求出ED．【解答】解：∵△DEB是由△DEA翻折，∴AE＝EB，AD＝DB，設AE＝EB＝x，∵AC＝8，BC＝6，∴EC＝8﹣x，在RT△EBC中，EB2＝EC2+BC2，∴x2＝（8﹣x）2+62，∴x＝，∵∠C＝90°，∴AB＝＝10，∴AD＝DB＝5，在RT△AED中，∵ED＝，∴ED＝＝．25．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為（）A．cm B．cm C．cm D．無法確定【分析】設CD＝xcm，則BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根據(jù)折疊的性質得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根據(jù)勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．【解答】解：設CD＝xcm，則BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，∵△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，∴AD＝BD＝8﹣x，在△ACD中，∠C＝90°，∴AD2＝AC2+CD2，∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x＝，即CD的長為cm．故選：C．26．如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先根據(jù)翻折變換的性質得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再設DE＝x，則AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，進而得出DE的長．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，設DE＝x，則AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE與Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的長為5．故選：C．27．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為AA．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2．【分析】根據(jù)折疊的條件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：將此長方形折疊，使點B與點D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根據(jù)勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面積為3×4÷2＝6．故選A．28．如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，折疊紙片的一角，使點B與點A重合，展開得折痕DE，求DE的長．【分析】由題意可求AB＝10，根據(jù)折疊的性質可求AD＝BD，AE＝5，根據(jù)勾股定理可求AD的長，再勾股定理可求DE的長．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10∵折疊∴AE＝BE＝5，AD＝BD在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2．∴36+（8﹣AD）2＝AD2．∴AD＝在Rt△ADE中，DE＝＝29．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點B恰好落在斜邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，求AC和EB′的長．【分析】設EB′＝x，根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)翻折變換的性質用x表示出EC、EB′、CB′，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：設EB′＝x，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，由折疊的性質可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，則CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴EB′＝3．30．如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF的長為5cm．【分析】設AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，利用矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：設AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，∵矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5（cm）．故答案為：5cm七．模型7：螞蟻行程模型（共5小題）31．長方體的長為15，寬為10，高為20，點B在棱上與點C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則需要爬行的最短距離是（）A． B． C．25 D．【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側面展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝25；只要把長方體的右側表面剪開與上