專項(xiàng)23三角形的內(nèi)心與外心(原卷版+解析)

專項(xiàng)23三角形的內(nèi)心與外心考點(diǎn)1三角形的內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓：在三角形內(nèi)部且與三角形三邊都相切的圓；（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，實(shí)質(zhì)是三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)；【解題技巧】（3）見到三角形的內(nèi)心就想以下兩點(diǎn)：①角平分線：內(nèi)心與頂點(diǎn)的連線必然平分三角形的內(nèi)角.如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，連接AO、BO、CO，必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB②等距：內(nèi)心到三角形三邊的距離必定相等.如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作三邊的垂線，必有OD=OE=OF.注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。BOAD（3）S△ABC=BOAD（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C考點(diǎn)2三角形的外心（1）三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫作三角形的外接圓；（2）三角形的外心：三角形外接圓的圓心，實(shí)質(zhì)是三角形的三條邊的垂直平分線交點(diǎn)；【解題技巧】（3）見到三角形的外心就想以下兩點(diǎn)：①垂直平分線：外心到三角形三邊的垂線必然平分三條邊.如圖，點(diǎn)P為△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，必有AD=CD，BE=CE.②等距：外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離必然相等.如圖，點(diǎn)P為△ABC的外心，連接PA、PB、PC，必有PA=PB=PC.（4）與三角形外心有關(guān)的角度問題：①外心在三角形的內(nèi)部三角形為銳角三角形三個(gè)角都小于90°②外心在三角形的邊上三角形為直角三角形有一個(gè)角為90°；③外心在三角形的外部三角形為鈍角三角形有一個(gè)角大于90°.【考點(diǎn)1三角形的內(nèi)心】【典例1】（2022?河池模擬）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB＝14，BC＝13，CA＝9，則AD的長是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【變式1-1】（2022?五華區(qū)校級三模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知△ABC的周長為36，AB＝9，BC＝14，則AF的長為（）A．4 B．5 C．9 D．13【典例2】（2019秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F．若AD＝10，BC＝5，則OB的長為（）A．4 B． C． D．【變式2-1】（2021秋?南丹縣期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，AC，BC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則⊙O的半徑等于．【變式2-2】（2021秋?南開區(qū)期末）圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F，若BF＝2，AF＝3，則△ABC的面積是．【典例3】（2019秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，若△ABC的周長與△ADE的周長的差等于12，則BC的長為（）A．12 B．10 C．8 D．6【變式3-1】（2021秋?陵城區(qū)期末）如圖，△ABC周長為20cm，BC＝6cm，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長為（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm【變式3-2】（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為．【典例4】（2022?黃石模擬）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是步．【變式6】（2022?石家莊模擬）如圖，已知△ABC的周長是20，點(diǎn)O為三角形內(nèi)心，連接OB、OC，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝3，則△ABC的面積是（）A．20 B．25 C．30 D．35【典例7】（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，已知⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是內(nèi)心，若∠A＝28°，則∠BIC等于（）A．100° B．104° C．105° D．114°【變式7-1】（2021秋?大余縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°【變式7-2】（2020秋?曲靖期末）如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，則∠EDF的度數(shù)是（）A．65° B．140° C．55° D．70°【考點(diǎn)2三角形的外心】【典例8】（2022?沈陽模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝45°，AB＝6，則⊙O的半徑長為（）A． B．2 C．3 D．4【變式8-1】（2022?東營模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠A＝α，AB為∠OBC的角平分線，則∠BCA等于（）A． B． C． D．【變式8-2】（2022?瓜州縣校級模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直徑．則∠DAB的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【典例9】（2022?邵陽）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB＝3，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．【變式9-1】（2022?懷寧縣模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B＝60°，OP⊥AC于點(diǎn)P，，則⊙O的直徑為（）A． B． C．6 D．12【變式9-2】（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【典例10】（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【變式10】（2021秋?鹽都區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）1．（2021秋?鄞州區(qū)期末）直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，則該直角三角形的周長是（）A．12 B．14 C．16 D．182．（2021秋?蘭山區(qū)期末）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：23．（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，則△OBC的面積是（）A． B． C．2 D．44．（2022?梧州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，B重合），連接BD，AD，則∠BAD+∠ABD的度數(shù)是（）A．60° B．62° C．72° D．73°5．（2022?衢州一模）如圖，BD是△ABC外接圓的直徑，BE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD．若∠ABE＝40°，則∠CBD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（2022?寧津縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點(diǎn)，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．7．（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交?O于點(diǎn)A，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（）A．40° B．55° C．70° D．110°8．（2022?朝陽區(qū)校級一模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，且AB為⊙O的直徑，若OC＝AC＝5，則BC長為（）A．10 B．9 C．8 D．59．（2022?云南模擬）如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑．若OA＝3，則劣弧BD的長是（）A． B．π C． D．2π10．（2021秋?長樂區(qū)期末）在《九章算術(shù)》卷九中記載了一個(gè)問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為步．11．（2022?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若∠ACB＝40°，則∠DOE＝．12．（2022?常州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，則⊙O的半徑是．13．（2022?玉林）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來．14．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm．C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB＝60°，則AB的長為cm．15．（2022?玉林模擬）如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝60°，則∠ACB＝．16．（2021秋?烏蘭察布期末）如圖，⊙O分別切△ABC的三條邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的長．17．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的圓與BC相交于點(diǎn)E，連接AE．（1）求證：△ABE是等邊三角形．（2）F是上一點(diǎn)，且FA＝FC，連接EF．求證：EF＝BC．專項(xiàng)23三角形的內(nèi)心與外心考點(diǎn)1三角形的內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓：在三角形內(nèi)部且與三角形三邊都相切的圓；（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，實(shí)質(zhì)是三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)；【解題技巧】（3）見到三角形的內(nèi)心就想以下兩點(diǎn)：①角平分線：內(nèi)心與頂點(diǎn)的連線必然平分三角形的內(nèi)角.如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，連接AO、BO、CO，必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB②等距：內(nèi)心到三角形三邊的距離必定相等.如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作三邊的垂線，必有OD=OE=OF.注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。BOAD（3）S△ABC=BOAD（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C考點(diǎn)2三角形的外心（1）三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫作三角形的外接圓；（2）三角形的外心：三角形外接圓的圓心，實(shí)質(zhì)是三角形的三條邊的垂直平分線交點(diǎn)；【解題技巧】（3）見到三角形的外心就想以下兩點(diǎn)：①垂直平分線：外心到三角形三邊的垂線必然平分三條邊.如圖，點(diǎn)P為△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，必有AD=CD，BE=CE.②等距：外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離必然相等.如圖，點(diǎn)P為△ABC的外心，連接PA、PB、PC，必有PA=PB=PC.（4）與三角形外心有關(guān)的角度問題：①外心在三角形的內(nèi)部三角形為銳角三角形三個(gè)角都小于90°②外心在三角形的邊上三角形為直角三角形有一個(gè)角為90°；③外心在三角形的外部三角形為鈍角三角形有一個(gè)角大于90°.【考點(diǎn)1三角形的內(nèi)心】【典例1】（2022?河池模擬）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB＝14，BC＝13，CA＝9，則AD的長是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】D【解答】解：設(shè)AD＝x，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AF＝AD，CE＝CF，BD＝BE，∵AB＝14，BC＝13，CA＝9，∴BD＝BE＝14﹣x，CF＝CE＝9﹣x，∵CE+BE＝BC＝13，∴9﹣x+14﹣x＝13，∴x＝5，∴AD＝5．故選：D．【變式1-1】（2022?五華區(qū)校級三模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知△ABC的周長為36，AB＝9，BC＝14，則AF的長為（）A．4 B．5 C．9 D．13【答案】A【解答】解：設(shè)AF＝a，∵△ABC的周長為36，AB＝9，BC＝14，∴AC＝13，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，∵AB＝9，BC＝14，CA＝13，∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，∵BD+CD＝BC＝14，∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14，解得：a＝4，即AF＝4．故選：A．【典例2】（2019秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F．若AD＝10，BC＝5，則OB的長為（）A．4 B． C． D．【答案】C【解答】解：連接OE、OF，如圖所示：∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，∴AD＝AF＝10，BD＝BE，CE＝CF，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴四邊形OECF是正方形，∴OE＝CE＝CF，設(shè)BD＝BE＝x，則OE＝CF＝CE＝5﹣x．AC＝AF+CF＝10+5﹣x＝15﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：52+（15﹣x）2＝（10+x）2，解得：x＝3，∴BE＝3，OE＝2，∴OB＝＝＝；故選：C．【變式2-1】（2021秋?南丹縣期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，AC，BC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則⊙O的半徑等于．【答案】2【解答】解：如圖，連結(jié)OD，OE，OF，設(shè)⊙O半徑為r，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點(diǎn)D，F(xiàn)，E，∴AC⊥OE，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四邊形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OF＝r，∴AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝8﹣r，∵AD+BD＝AB＝10，∴6﹣r+8﹣r＝10，∴r＝2．∴⊙O的半徑等于2．故答案為：2．【變式2-2】（2021秋?南開區(qū)期末）圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F，若BF＝2，AF＝3，則△ABC的面積是．【答案】6【解答】解：連接DO，EO，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3，又∵∠C＝90°，∴四邊形OECD是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，設(shè)EO＝x，則EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2，故（x+2）2+（x+3）2＝52，解得：x＝1，∴BC＝3，AC＝4，∴S△ABC＝×3×4＝6，故答案為：6．【典例3】（2019秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，若△ABC的周長與△ADE的周長的差等于12，則BC的長為（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】D【解答】解：如圖，設(shè)⊙I與DE的切點(diǎn)為點(diǎn)M，⊙I與△ABC三邊的切點(diǎn)分別為N、G、H，∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，∴DM＝DN，EM＝EH，BN＝BG，CH＝CG，∵△ABC的周長與△ADE的周長的差等于12，∴AB+AC+BC﹣（AD+DE+AE）＝12，即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC﹣（AD+DM+EM+AE）＝12，∴2BC＝12，∴BC＝6；故選：D．【變式3-1】（2021秋?陵城區(qū)期末）如圖，△ABC周長為20cm，BC＝6cm，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長為（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm【答案】B【解答】解：∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N，∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，∵△ABC周長為20cm，BC＝6cm，∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），∴△AMN的周長為AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），故選：B．【變式3-2】（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為．【答案】7cm【解答】解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn)，∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故答案為：7cm．【典例4】（2022?黃石模擬）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是步．【答案】6【解答】解：設(shè)三角形為△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝＝＝17，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則S△ABC＝（AB+BC+CA）?r，∴AC?BC＝（AB+BC+CA）?r，即×8×15＝×（8+15+17）?r，解得r＝3，∴內(nèi)切圓的直徑是6步，故答案為：6．【變式6】（2022?石家莊模擬）如圖，已知△ABC的周長是20，點(diǎn)O為三角形內(nèi)心，連接OB、OC，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝3，則△ABC的面積是（）A．20 B．25 C．30 D．35【答案】C【解答】解：如圖，連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，∵點(diǎn)O為三角形內(nèi)心，OD⊥BC，∴OD＝OE＝OF＝3，∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝AB?OE+AC?OF+BC?OD＝×OD（AB+AC+BC）＝3×20＝30．故選：C．【典例7】（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，已知⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是內(nèi)心，若∠A＝28°，則∠BIC等于（）A．100° B．104° C．105° D．114°【答案】B【解答】解：∵∠A＝28°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°，∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是內(nèi)心，∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝76°，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣76°＝104°，故選：B．【變式7-1】（2021秋?大余縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°【答案】A【解答】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．故選：A．【變式7-2】（2020秋?曲靖期末）如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，則∠EDF的度數(shù)是（）A．65° B．140° C．55° D．70°【答案】D【解答】解：連接IE、IF，如圖，∵內(nèi)切圓I和邊AC、AB分別相切于點(diǎn)E、F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，∴∠AEI＝∠AFI＝90°，∴∠A＝180°﹣∠EIF，∵∠EDF＝∠EIF，∴∠EDF＝90°﹣∠A，∵∠B＝65°，∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∴∠EDF＝90°﹣×40°＝70°．故選：D．【考點(diǎn)2三角形的外心】【典例8】（2022?沈陽模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝45°，AB＝6，則⊙O的半徑長為（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如圖，連接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，∴2OA2＝36，∴OA＝3，即⊙O的半徑是3，故選：C．【變式8-1】（2022?東營模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠A＝α，AB為∠OBC的角平分線，則∠BCA等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：連接OC，∵∠A＝α，∴∠O＝2∠A＝2α，∵OB＝OC，∴∠OBC＝×（180°﹣∠O）＝90°﹣α，∵AB為∠OBC的角平分線，∴∠ABC＝OBC＝45°﹣，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣α﹣（45°﹣）＝135°﹣α，故選：C．【變式8-2】（2022?瓜州縣校級模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直徑．則∠DAB的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【答案】B【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠C＝35°，∴∠D＝∠C＝35°，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．故選：B．【典例9】（2022?邵陽）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB＝3，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：連接OB，過點(diǎn)O作OE⊥BC，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，∴OB平分∠ABC，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴BE＝BC＝AB＝，在Rt△OBE中，cos30°＝，∴，解得：OB＝，故選：C．【變式9-1】（2022?懷寧縣模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B＝60°，OP⊥AC于點(diǎn)P，，則⊙O的直徑為（）A． B． C．6 D．12【答案】B【解答】解：∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵OP⊥AC，∴∠APO＝90°，在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，∴OA＝2OP＝4，∴圓O的直徑為8．故選：B．【變式9-2】（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，∴BC＝2BD，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，∴∠BOC＝×360°＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，∵⊙O的半徑為2，∴OB＝2，∴BD＝OB?cos∠OBD＝2×cos30°＝2×＝，OD＝OB＝1，∴BC＝2．∴等邊△ABC的面積為3S△BCO＝3×BC?OD＝3××1＝3．故選：D．【典例10】（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【答案】D【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)O′即為所求．∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，1）．故選：D．【變式10】（2021秋?鹽都區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）【答案】D【解答】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（1，4），（5，4），∴線段AB的垂直平分線方程為x＝3，同理，線段AC的垂直平分線方程為y＝1，∴△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），故選：D．1．（2021秋?鄞州區(qū)期末）直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，則該直角三角形的周長是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解答】解：如圖，設(shè)⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，連接IE，IF，ID，則∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，∴四邊形CDIF是正方形，∴CD＝CF＝1，由切線長定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，∵直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，∴AB＝6＝AE+BE＝BF+AD，即△ABC的周長是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝6+1+1+6＝14，故選：B．2．（2021秋?蘭山區(qū)期末）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2【答案】B【解答】解：如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為r，作AH⊥BC于H，∵△ABC為等邊三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴點(diǎn)O在AH上，∴OH＝r，連接OB，∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為1：2：3．故選：B．3．（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，則△OBC的面積是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BO的延長線于點(diǎn)H，∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，∴∠COH＝60°，∵OB＝2，OC＝4，∴OH＝2∴CH＝2，∴△OBC的面積＝OB?CH＝2×2＝2．故選：B．4．（2022?梧州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，B重合），連接BD，AD，則∠BAD+∠ABD的度數(shù)是（）A．60° B．62° C．72° D．73°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，故選：C．5．（2022?衢州一模）如圖，BD是△ABC外接圓的直徑，BE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD．若∠ABE＝40°，則∠CBD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：∵BD是△ABC外接圓的直徑，BE⊥AC，∴＝，AE＝CE，∴AB＝CB，∴∠CBD＝∠ABE＝40°，故選B．6．（2022?寧津縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點(diǎn)，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四邊形ABOC為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB為⊙D的直徑，∴D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB＝AB＝2，∴OA＝OB＝∴A（，0），B（0，2），∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．故選：B．7．（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交?O于點(diǎn)A，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（）A．40° B．55° C．70° D．110°【答案】B【解答】解：連接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°，∵OA⊥BC，∴∠COA＝，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣70°）＝55°，故選：B．8．（2022?朝陽區(qū)校級一模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，且AB為⊙O的直徑，若OC＝AC＝5，則BC長為（）A．10 B．9 C．8 D．5【答案】D【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵OC＝AC＝5，∴AB＝2OC＝10，∴BC＝＝＝5．故選：D．9．（2022?云南模擬）如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑．若OA＝3，則劣弧BD的長是（）A． B．π C． D．2π【答案】B【解答】解：連接OB、BD，如圖：∵△ABC為等邊三角形，∴∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵半徑OA＝3，∴劣弧BD的長為＝π，故選：B．10．（2021秋?長樂區(qū)期末）在《九章算術(shù)》卷九中記載了一個(gè)問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為步．【答案】6【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊AB＝＝17，∴內(nèi)切圓直徑＝8+15﹣17＝6（步），故答案為：6．11．（2022?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若∠ACB＝40°，則∠DOE＝．【答案】130°【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∵⊙O是R