專題33旋轉綜合題中的線段問題(原卷版+解析)

專題33旋轉綜合題中的線段問題【題型演練】一、單選題1．（2022·山西省運城市實驗中學九年級階段練習）如圖，在中，，點D，E分別是，上的一點，將沿直線折疊，點A落在處，若四邊形是菱形，則的度數為（

）．A． B． C． D．2．（2022·廣東佛山·九年級期中）如圖，在正方形中，，點E，F分別在邊上，，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（）A．1 B． C． D．23．（2022·安徽·懷遠縣劉圩初級中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點A落在E處．若，，則的度數為(

)A． B． C． D．5．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）如圖，矩形ABCD沿EF折疊后，若∠DEF＝70°，則∠1的度數是（）A．70° B．55° C．40° D．35°6．（2022·廣西·平果市教研室九年級期末）如圖，在中，，，，，點D在邊上，連接，如果將沿翻折后，點B的對應點為點E，那么點E到直線的距離為（

）A． B．4 C． D．7．（2022·重慶·忠縣花橋鎮(zhèn)初級中學校九年級階段練習）如圖，在中，，，點D是邊上一點（點D不與點B，C重合），將沿翻折，點C的對應點為點E，交于點F，若，則點B到線段的距離為（）A． B． C． D．8．（2022·重慶·西南大學附中九年級階段練習）如圖，在中，，，點D是AB的中點，將沿著CD翻折到的位置，若，則（

）A． B．10 C．15 D．9．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標軸上，點B的坐標為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標是（

）A． B． C． D．10．（2022·河南洛陽·二模）如圖，正方形的邊長為4，點F為邊的中點，點P是邊上不與端點重合的一動點，連接．將沿翻折，點A的對應點為點E，則線段長的最小值為（

）A． B． C． D．11．（2022·吉林·長春力旺實驗初級中學九年級階段練習）在如圖所示的紙片中，，D是斜邊AB的中點，把紙片沿著CD折疊，點B到點E的位置，連接AE．若，，則等于（

）A． B． C． D．12．（2022·全國·九年級期中）如圖，四邊形是邊長為的正方形紙片，為邊上的點，，將紙片沿某條直線折疊，使點落在點處，點的對應點為，折痕分別與，邊交于點、，則的長是（

）A． B． C． D．13．（2022·山西·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點D在AC上運動，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點E，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題14．（2022·山東濟南·九年級期中）如圖，在矩形中，，點E在上，將矩形沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，則的值為_____．15．（2022·重慶一中九年級開學考試）如圖，在三角形中，，，，點、點分別為線段、上的點，連接．將沿折疊，使點A落在的延長線上的點處，此時恰好有，則的長度為__．16．（2022·廣東·豐順縣建橋中學九年級階段練習）如圖，已知在菱形中，，，點是上的一個動點，過點作交于點，交于點，將沿折疊，使點落在點處，當是直角三角形時，的長為____．三、解答題17．（2022·山西省運城市實驗中學九年級階段練習）綜合與實踐問題情境：如圖1，在中，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．獨立思考：(1)在圖1中，若，，則的長為______；實踐探究：(2)在圖1中，請你判斷與的位置關系，并說明理由；問題解決：(3)如圖2，在中，，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．請判斷四邊形的形狀，并說明理由．18．（2022·四川·成都西川中學九年級階段練習）如圖1，在正方形中，，分別為，的中點，連接，，交點為．(1)求證：；(2)將沿對折，得到（如圖，延長交的延長線于點，求的值．19．（2022·河南·鄭州外國語中學九年級期中）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在上的點處，折痕交于點E，連接．(1)請確定四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，過點作于F，連接交于點M，連接：①四邊形的面積為_______；②=_______．20．（2022·廣東·豐順縣北斗鎮(zhèn)千頃中學九年級階段練習）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與，重合），折痕為，若，，則的長為____．21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，，，．(1)求∠ABC的度數；(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，過點A作，垂足為F，求證：；(3)在（2）的條件下，連接DE，若四邊形ABCD的面積為45，，求DE的長．22．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學三模）（1）如圖，在正方形中，是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連接，并延長交于點求證：；（2）在（1）的條件下，如圖，延長交邊于點若，求的值；（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長分別交于兩點，若，則的值為___________（直接寫出結果）23．（2022·浙江·寧波外國語學校九年級階段練習）已知一個直角三角形紙片，其中，，，點、分別是、邊上的一動點，連接，將紙片的一角沿折疊．(1)若折疊后點落在邊上的點處（如圖，且，求的長；(2)若，折疊后點的對應點為點（如圖，連結．①若點恰好在邊上（如圖，求的長．②求的最小值．24．（2022·吉林·長春市第一〇八學校九年級期中）[教材呈現]如圖是華師版九年級上冊數學教材第103頁的部分內容．例2如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．證明：延長至點E，使，連接．(1)請根據教材提示，結合圖1，寫出完整的證明過程．(2)[結論應用]如圖2，直角三角形紙片中，，點D是邊上的中點，連接，將沿折疊，點A落在點E處，此時恰好有．若，那么．(3)如圖3，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，G是的中點，．若，則．25．（2020·新疆師范大學附屬中學九年級期中）在平行四邊形中，，已知，將沿翻折至，連接交邊于點O．(1)如圖，若，求的度數；(2)若，①當的長為多少時，四邊形是矩形．②設，求y與x的關系式，并寫出自變量x的取值范圍．專題33旋轉綜合題中的線段問題【題型演練】一、單選題1．（2022·山西省運城市實驗中學九年級階段練習）如圖，在中，，點D，E分別是，上的一點，將沿直線折疊，點A落在處，若四邊形是菱形，則的度數為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由折疊的性質，可得，由菱形的性質可得，由等腰三角形的性質即可求解．【詳解】解：將沿直線折疊，點A落在處，，四邊形是菱形，，．故選：B．【點睛】本題主要考查了折疊的性質、菱形的性質和等腰三角形的性質，解題的關鍵是利用靈活應用相關性質解題．2．（2022·廣東佛山·九年級期中）如圖，在正方形中，，點E，F分別在邊上，，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由正方形的性質得出，由折疊的性質得出，設，則，由直角三角形的性質可得：，解方程求出x即可得出答案．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，∴，∵將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，∴，∴，∴，∴，設，則，∴，解得．故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，含角的直角三角形的性質等知識點，能綜合性運用性質進行推理是解此題的關鍵．3．（2022·安徽·懷遠縣劉圩初級中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BF交ED于點0，設EF與AC交于點G．根據菱形的性質可得點F在∠ABC的平分線上運動，從而得到當AF⊥BF時，AF的長最?。僮C明△BEO∽△BAF，可得，再證明△AGE∽△ACB，，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點O，設EF與AC交于點G．∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點F在∠ABC的平分線上運動，∴當AF⊥BF時，AF的長最?。诹庑蜝EFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴，∴，∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，準確得到點F在∠ABC的平分線上運動是解題的關鍵．4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點A落在E處．若，，則的度數為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據平行四邊形的性質，得出，根據平行線的性質，得出，根據折疊得出，根據三角形內角和得出∠A的度數即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，根據折疊可知，，∴，，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，三角形內角和定理，折疊性質，根據已知條件求出是解題的關鍵．5．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）如圖，矩形ABCD沿EF折疊后，若∠DEF＝70°，則∠1的度數是（）A．70° B．55° C．40° D．35°【答案】C【分析】根據矩形的性質可得，根據平行線的性質可得，根據折疊的性質以及平角的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵∠DEF＝70°，∴，∵折疊的性質，∴∠1．故選：C．【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，平行線的性質，掌握折疊的性質與平行線的性質是解題的關鍵．6．（2022·廣西·平果市教研室九年級期末）如圖，在中，，，，，點D在邊上，連接，如果將沿翻折后，點B的對應點為點E，那么點E到直線的距離為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】先證是等邊三角形，可得，由折疊的性質可得，，由直角三角形的性質可求解．【詳解】解：如圖，過點E作于N，∵，，∴，∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵將沿翻折后，點B的對應點為點E，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即點E到直線的距離為，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了翻折變換，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．7．（2022·重慶·忠縣花橋鎮(zhèn)初級中學校九年級階段練習）如圖，在中，，，點D是邊上一點（點D不與點B，C重合），將沿翻折，點C的對應點為點E，交于點F，若，則點B到線段的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過A作于G，過B作于H，依據等腰三角形的性質，平行線的性質以及折疊的性質，即可得到的長，再根據勾股定理即可得到的長，最后依據面積法即可得出的長，進而得到點B到線段的距離．【詳解】解：如圖，過A作于G，過B作于H，∵，∴，，∵，∴，，由折疊的性質得：，，∴，∴，，∴，∴，∴中，，∵，∴故選：B．【點睛】本題考查了翻折變換的性質、勾股定理的運用，二次根式的除法運算，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．8．（2022·重慶·西南大學附中九年級階段練習）如圖，在中，，，點D是AB的中點，將沿著CD翻折到的位置，若，則（

）A． B．10 C．15 D．【答案】C【分析】設相交于點O，根據直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半可得：，由翻折的性質得，根據平行線的性質可得，利用可得,則，根據勾股定理求出，即可得的值．【詳解】解：設相交于點O，如圖所示：在中，，，點D是AB的中點，，由翻折得，，，在和中，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查翻折變換，直角三角形的斜邊中線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握其相關的性質．9．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標軸上，點B的坐標為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作軸于點，延長交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質可知，，，則，，證明，則，即，計算求出、的長，進而可得點坐標．【詳解】解：如圖，過作軸于點，延長交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質可知，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，解得，，∴，故選A．【點睛】本題考查了翻折的性質，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質．解題的關鍵在于構造、，利用相似的判定與性質求出線段、的長．10．（2022·河南洛陽·二模）如圖，正方形的邊長為4，點F為邊的中點，點P是邊上不與端點重合的一動點，連接．將沿翻折，點A的對應點為點E，則線段長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先確定線段EF的最小值的臨界點，然后結合正方形的性質，折疊的性質，以及勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：連接BF，則EF≥BF－BE，當點B、E、F在同一條直線上時，EF的長度有最小值，如圖由翻折的性質，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，∵點F為邊的中點，∴CF=2，∴，∴；故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，最短路徑問題，解題的關鍵掌握所學的知識，正確找出線段最小值的臨界點，從而進行解題．11．（2022·吉林·長春力旺實驗初級中學九年級階段練習）在如圖所示的紙片中，，D是斜邊AB的中點，把紙片沿著CD折疊，點B到點E的位置，連接AE．若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知CD=BD=AD，根據折疊的性質可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根據平行線的性質，可得出∠AED=∠EDC，根據等邊對等角即可求得∠EAD的度數，最后=∠EAD-∠CAD即可求出．【詳解】∵D是斜邊AB的中點，△ABC為直角三角形，∴CD=BD=AD，∵△CDE由△CDB沿CD折疊得到，∴△CDE≌△CDB，則CD=BD=AD=ED，∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，∴∠EDC=180°-2，∵，∴∠AED=∠EDC=180°-2，∵ED=AD，∴∠EAD=∠AED=180°-2，∵∠B=，△ABC為直角三角形，∴∠CAD=90°-，∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，故選：B．【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，折疊的性質，等腰三角形的性質以及直角三角形兩個銳角互余，熟練地掌握相關知識是解題的關鍵．12．（2022·全國·九年級期中）如圖，四邊形是邊長為的正方形紙片，為邊上的點，，將紙片沿某條直線折疊，使點落在點處，點的對應點為，折痕分別與，邊交于點、，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BM，，，依據MN垂直平分，即可得到，設AM＝x，則DM＝9?x，依據勾股定理可得方程92＋x2＝62＋（9?x）2，即可得到AM的長．【詳解】解：如圖，連接BM，，，由折疊可得，B，關于MN對稱，即MN垂直平分，∴，設AM＝x，則DM＝9?x，∵，∴，∵Rt△ABM中，BM2＝92＋x2，中，，∴92＋x2＝62＋（9?x）2，解得x＝2，∴AM＝2，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理以及軸對稱的性質的運用，解題時，我們常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．13．（2022·山西·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點D在AC上運動，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點E，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作AF⊥BC，利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC，再利用△ABE∽△ACB求出AE，從而利用求出DE和CD，作BG⊥AC，求出BG，即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∵∠C＝45°，∴AF＝CF，ACCF，∵AB＝5，BC＝4，∴BF＝BC﹣CF＝4CF，在Rt△ABF中，AB2＝BF2+AF2，即52＝（4CF）2+CF2，解得：CF或，∵AB＜AC，∴AF＝CF，∴ACCF＝7，∵△BCD沿BD折疊得到△BC′D，∴，，∵C′DAB，∴∠ABE＝∠C′＝45°，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，∴∠ABC＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE，∴C′D＝CD＝CE﹣DEDE，∵C′DAB，∴，∴，即，解得：DE，∵S△ABCAF?BC414，如圖，過點B作BG⊥AC于點G，∵S△ABCAC?BG，∴147×BG，∴BG＝4，∴S陰影部分DE?BG4．故選：D．【點睛】本題考查圖形折疊的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，三角形的面積，解題的關鍵是正確作出輔助線，依次求出AF，AC，DE，BG．二、填空題14．（2022·山東濟南·九年級期中）如圖，在矩形中，，點E在上，將矩形沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，則的值為_____．【答案】##【分析】先根據矩形的性質得，再根據折疊的性質得，在中，利用勾股定理計算出，則，設，則，然后在中根據勾股定理得到，解方程即可得到x，進一步得到的長，再根據正弦函數的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，∵矩形沿直線折疊，頂點D恰好落在邊上的F處，∴，在中，，∴，設，則，在中，，∴，解得，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，矩形的性質，軸對稱的性質，銳角三角函數的應用，熟練的掌握軸對稱的性質結合方程思想解題是關鍵．15．（2022·重慶一中九年級開學考試）如圖，在三角形中，，，，點、點分別為線段、上的點，連接．將沿折疊，使點A落在的延長線上的點處，此時恰好有，則的長度為__．【答案】【分析】過點作于點，由勾股定理得出，設，利用含30度角的直角三角形的性質得出，，利用折疊的性質得出，，再由相似三角形的判定和性質及圖中線段間的數量關系求解即可．【詳解】解：過點作于點，，，，，設，，，，由折疊得：，，∵，，，，解得：，，，，．故答案為：．【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性質，折疊的性質，含30度角的直角三角形的性質等，理解題意，綜合運用這些知識點并結合圖形求解是解題關鍵．16．（2022·廣東·豐順縣建橋中學九年級階段練習）如圖，已知在菱形中，，，點是上的一個動點，過點作交于點，交于點，將沿折疊，使點落在點處，當是直角三角形時，的長為____．【答案】或【分析】分兩種情形①當與O重合時，是直角三角形，此時．②當時，是直角三角形，此時，列出方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接交于O．∵四邊形是菱形，∴，∵，是由翻折得到，∴，①當與O重合時，是直角三角形，此時．②當時，是直角三角形，此時，∴，∴，∴，綜上所述，滿足條件的的長為或．【點睛】本題考查翻折變換、菱形的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，是由中考填空題中的壓軸題．三、解答題17．（2022·山西省運城市實驗中學九年級階段練習）綜合與實踐問題情境：如圖1，在中，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．獨立思考：(1)在圖1中，若，，則的長為______；實踐探究：(2)在圖1中，請你判斷與的位置關系，并說明理由；問題解決：(3)如圖2，在中，，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．請判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)四邊形是菱形，理由見解析【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到的長，再根據勾股定理即可求解；（2）根據折疊的性質以及等腰三角形等邊對等角可得，，，結合三角形的內角和即可得出結論；（3）先根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形為平行四邊形，再根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得出結論．【詳解】（1）解：∵在中，點D是的中點，∴，根據勾股定理可得：，故答案為：．（2）．理由如下：方法一：∵，，∴．∴，．設，則，．∴．由折疊可得：，，∴，．∴．∴．∴．∴．方法二：∵，，∴．∴．設，則，．由折疊可得：，，∴，．∴．∴．∴．（3）四邊形CDAE是菱形方法一：∵，，∴．∵，∴是等邊三角形．∴，．∴．由折疊可得：，，∴，．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．方法二：∵，，∴．∴．∵，∴，是等邊三角形．∴，．∴．由折疊可知：，，∴，．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，折疊的性質，等腰三角形的性質，以及平行線的判定和菱形的判定；解題的關鍵是熟練掌握各個知識點，明確折疊前后對應邊對應角相等，等腰三角形等邊對等角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及平行線的判定定理和菱形的判定定理．18．（2022·四川·成都西川中學九年級階段練習）如圖1，在正方形中，，分別為，的中點，連接，，交點為．(1)求證：；(2)將沿對折，得到（如圖，延長交的延長線于點，求的值．【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）運用，再利用角的關系求得求證；（2）沿對折，得到，利用角的關系求出，解出，求解．【詳解】（1）證明：∵，分別是正方形邊，的中點，∴，在和中，，∴，，又∵，∴，∴，∴．（2）解：根據題意得，，，，∵，∴，∴，∴，令，點是的中點，則，在中，設，則，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查正方形的性質，勾股定理，銳角三角函數的計算，解題的關鍵是掌握正方形的性質，全等三角形的判斷，解直角三角形的綜合應用．19．（2022·河南·鄭州外國語中學九年級期中）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在上的點處，折痕交于點E，連接．(1)請確定四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，過點作于F，連接交于點M，連接：①四邊形的面積為_______；②=_______．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)①2；②【分析】（1）依題意，又，則，則，則，則四邊相等，可得四邊形CDC′E是菱形；（2）①過點D作，根據菱形的性質以及含30度的直角三角形性質即可得出，進而求出菱形的面積；②根據菱形的性質得出，根據勾股定理得出，然后可知，根據勾股定理可得，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進而可得．【詳解】（1）四邊形是菱形．理由如下：根據折疊的性質，可得：，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形（2）①過點D作，∵，四邊形為菱形，∴，∴，∴菱形的面積為，故答案為：2．②∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，折疊的性質，正確理解題意是解題的關鍵．20．（2022·廣東·豐順縣北斗鎮(zhèn)千頃中學九年級階段練習）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與，重合），折痕為，若，，則的長為____．【答案】##【分析】過點作于，根據菱形的性質可證明是等邊三角形，進而可得到，，設，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點作于，則由折疊性質得，∵在菱形中，，∴,，∴是等邊三角形，∴，，即，∴，，設，則，，，在中，，由得，解得，∴．【點睛】本題考查了菱形的性質、折疊性質、等邊三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，，，．(1)求∠ABC的度數；(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，過點A作，垂足為F，求證：；(3)在（2）的條件下，連接DE，若四邊形ABCD的面積為45，，求DE的長．【答案】(1)(2)見解析(3)12【分析】（1）以點A為圓心，AC為半徑作圓A，根據題意得，即可得點B在圓A上，根據圓的性質得，則是等腰直角三角形，即可得；（2）過點A作交BD于點G，則，由等腰直角三角形的性質得，，由折疊的性質得，，，，設，則，，根據得，即可得，利用AAS可證，即，即可得；（3）作交于點M，交于點N，延長BC交DE于點H，則，根據題意運用勾股定理即可得，即可得三角形ABC的面積，即可得CN的長度，在中，根據勾股定理即可得AN的長度，用AAS證明，即可得，即可得三角形BCD的面積為，可得，即可得．【詳解】（1）解：如圖所示，以點A為圓心，AC為半徑作圓A，∵，，∴，∴點B在圓A上，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（2）證明：如圖所示，過點A作交BD于點G，則，由（1）得，，，∴，，由折疊的性質得，，，，設，則，，∵，∴，∴，∴，在和，∴（AAS），∴，∴；（3）解：如圖所示，作交于點M，交于點N，延長BC交DE于點H，則，∵，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∵四邊形ABCD的面積為45，∴在中，根據勾股定理得，，∵，∴，∴，在和中，∴（AAS），∴，∴，∴，即，，即．【點睛】本題考查了翻折的性質，圓的性質，圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形面積問題，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與性質和翻折的性質，本題綜合性強．22．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學三模）（1）如圖，在正方形中，是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連接，并延長交于點求證：；（2）在（1）的條件下，如圖，延長交邊于點若，求的值；（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長分別交于兩點，若，則的值為___________（直接寫出結果）【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】根據證明三角形全等即可；如圖中，連接根據，求出即可解決問題；如圖中，連接由，可以設，根據相似三角形的判定和性質可得，則，利用勾股定理構建方程求解即可．【詳解】證明：如圖中，是由折疊得到，，，四邊形是正方形，，，，在和中，，；解：如圖中，連接．，，由折疊可知，，四邊形是正方形，，，，，，，設，則，，設，，由折疊可知，，，，或舍棄，，；解：如圖中，連接．由，設，由知，，由折疊可知，，，，，，，，，，，，，或舍棄，，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．23．（2022·浙江·寧波外國語學校九年級階段練習）已知一個直角三角形紙片，其中，，，點、分別是、邊上的一動點，連接，將紙片的一角沿折疊．(1)若折疊后點落在邊上的點處（如圖，且，求的長；(2)若，折疊后點的對應點為點（如圖，連結．①若點恰好在邊上（如圖，求的長．②求的最小值．【答案】(1)(2)①，②【分析】（1）由折疊的性質得出，，得出，由已知得出，證明，得出，即可求出的長；（2）①如圖3中，漏解交于點．證明四邊形是菱形，求出菱形的邊長，再利用相似三角形的性質求解即可；②由①可知，四邊形是菱形，推出，推出點的運動軌跡是的角平分線，推出當時，的值最?。驹斀狻浚?）如圖1中，的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，，，，，，在中，，，，，，，，即，；（2）①如圖3中，連接交于點．，，，，四邊形是菱形，，，，，設，，，，

，則，，，，，，，，，，，，

，，，；②如圖，由①中圖形可知，四邊形是菱形，，，點的運動軌跡是的角平分線，當時，的值最小，此時．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、菱形的判定和性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似和運用勾股定理得出方程是解決問題的關鍵，屬于中考?？碱}型．24．（2022·吉林·長春市第一〇八學校九年級期中）[教材呈現]如圖是華師版九年級上冊數學教材第103頁的部分內容．例2如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．證明：延長至點E，使，連接．(1)請根據教材提示，結合圖1，寫出完整的證明過程．(2)[結論應用]如圖2，直角三角形紙片中，，點D是邊上的中點，連接，將沿折疊，點A落在點E處，此時恰好有．若，那么．(3)如圖3，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，G是的中點，．若，則．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）如圖1中，延長到E，使，連接、，證得四邊形是矩形，根據矩形的性質即可證得結論；（2）如圖2中，設交于點O．證明，求出，證明，可得結論；（3）連接，證明，利用等腰三角形的三線合一的性質證明，利用勾股定理求出，可得結論．【詳解】（1）證明：延長到E，使，連接，∴則．∵是斜邊上的中線，∴，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴平行四邊形是矩形，∴，∴；（2）解：如圖2中，設交于點O．∵，∴，∴．由翻折的性質可知．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．故答案為：；（3）解：如圖3中，連接．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了矩形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解決問題．25．（2020·新疆師范大學附屬中學九年級期中）在平行四邊形中，，已知，將沿翻折至，連接交邊于點O．(1)如圖，若，求的度數；(2)若，①當的長為多少時，四邊形是矩形．②設，求y與x的關系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)∠ACB=45°；(2)①當BC=4時，四邊形是矩形；②．【分析】（1）由題意及平行四邊形的性質可得∠ACB=∠ACB'=∠CB'D=∠AB'D?∠AB'C=∠AB'D?∠B=75°?30°=45°；（2）①由四邊形是矩形可得∠BAC=90°或∠BCA=90°，再根據直角三角