湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)市2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

瀏陽(yáng)市2024年上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷八年級(jí)數(shù)學(xué)一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）一、單選題1.下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的概念，被開(kāi)方數(shù)不含分母、被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．【詳解】解：A．不最簡(jiǎn)二次根式；B．不是最簡(jiǎn)二次根式；C．不是最簡(jiǎn)二次根式；D．是最簡(jiǎn)二次根式．故選：D．2.如圖，點(diǎn)M（﹣3，4）到原點(diǎn)的距離是（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的幾何意義，及兩點(diǎn)間的距離公式便可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，4），∴點(diǎn)M離原點(diǎn)的距離是=5．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握設(shè)有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離為AB=．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】A、，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、與不能合并，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，所以C選項(xiàng)正確；D、，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4.如圖，為測(cè)量池塘邊A、B兩點(diǎn)的距離，小宇同學(xué)在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得的中點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E，且米，則A、B兩點(diǎn)的距離是（）A.9米 B.18米 C.36米 D.54米【答案】C【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用，根據(jù)D、E是、的中點(diǎn)，即是的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解．【詳解】解：∵D、E是、的中點(diǎn)，即是的中位線，∴，∴（米）．故選：C．5.如圖，平行四邊形中，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又，∴．故選：D．6.如圖，已知線段和射線，且，在射線上找一點(diǎn)C，使得四邊形是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（）A.過(guò)點(diǎn)D作與交于點(diǎn)CB.在下方作與交于點(diǎn)C，使C.在上截取，使，連接D.以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與交于點(diǎn)C，連接【答案】D【解析】【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的判定．根據(jù)基本作圖和平行四邊形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．由作法得，由得，則，所以，則四邊形是平行四邊形，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．由作法得，而，則四邊形不一定是平行四邊形，所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．7.如圖，在四邊形中，為直角，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，，，則四邊形的面積為（）A60 B.30 C.90 D.96【答案】A【解析】【分析】本題考查平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，先證明四邊形是矩形，再利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求得即可．證明四邊形是矩形是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵為直角，∴四邊形是矩形，∵，，∴，則，∴四邊形的面積為．故選：A．8.如圖，中，，，，線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在邊，上滑動(dòng)，且，若點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B.2.5 C.3 D.3.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，明確、、在同一直線上時(shí)，取最小值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，，由當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最小值，即可求得的最小值為2．【詳解】解：如圖，連接、，，，，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最小值，的最小值為：．故選：A．9.如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，且，下列說(shuō)法不正確是（）A.若，那么四邊形是矩形B.若平分，那么四邊形是菱形C.若且，那么四邊形是菱形D.若，那么四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的判定，菱形的判定，解答即可，本題考查了矩形，菱形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵∴四邊形是平行四邊形，A.若，那么四邊形是矩形，正確，不符合題意；B.若平分，那么四邊形是菱形，正確，不符合題意；C.若且，那么四邊形是菱形，正確，不符合題意；D.若，不能得出四邊形是矩形，錯(cuò)誤，符合題意；故選D．10.如圖，在矩形紙片中，，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為．則的長(zhǎng)為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)可知，，，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，可求，則，如圖，作于，則四邊形是矩形，，，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，，∵矩形，∴，∴，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴，如圖，作于，則四邊形是矩形，∴，∴，由勾股定理得，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，等角對(duì)等邊，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握矩形與折疊，等角對(duì)等邊，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11.二次根式有意義，則x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】此題考查了二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)大于等于零，據(jù)此得到，即可求出答案．【詳解】解：∵次根式有意義，∴，解得，故答案為：．12.已知菱形的兩條對(duì)角線分別是4和6，則其面積是________．【答案】12【解析】【分析】此題考查了菱形面積的求解方法：①底乘以高，②對(duì)角線積的一半．根據(jù)菱形面積的求解方法求解即可．【詳解】∵菱形的兩條對(duì)角線分別是4和6，∴其面積是．故答案為：12．13.若x，y為實(shí)數(shù)，且，則__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的非負(fù)性以及二次根式有意義的條件，根據(jù)，得出，再分別計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵，且∴∴解得∴故答案為：14.古今中外的不少學(xué)者對(duì)三角形面積的計(jì)算做出了諸多思考，尤其值得一提的是古希臘幾何學(xué)家海倫和我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶均提出了類(lèi)似的計(jì)算辦法：若三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，記，則三角形的面積為，因此后人將他們的發(fā)現(xiàn)合稱為海倫-秦九韶公式，請(qǐng)你利用海倫-秦九韶公式計(jì)算以下的面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的意義，先根據(jù)題意求出，再根據(jù)公式代值計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得，，∴，故答案為：．15.如圖，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是3，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，那么的值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理，以及完全平方式，由題意可得，，，進(jìn)而可得，再根據(jù)即可求解，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，，，由可得，，∴，∴，∴，∴，負(fù)值舍去，故答案為：．16.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則＝_____°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）.【答案】45【解析】【分析】延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，則PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，即△PBD為等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的減法計(jì)算，二次根式乘法計(jì)算：（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算二次根式減法即可；（2）根據(jù)二次根式乘法計(jì)算法則求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：；【小問(wèn)2詳解】解：．18.如圖，在中，，D為邊上一點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形，連接．（1）求證：；（2）若點(diǎn)D是中點(diǎn)，說(shuō)明四邊形是矩形．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，結(jié)合等邊對(duì)等角，得到，利用證明即可；（2）根據(jù)三線合一，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，得到四邊形為平行四邊形，，即可得證．【小問(wèn)1詳解】證明：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴．【小問(wèn)2詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，點(diǎn)中點(diǎn)，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴四邊形為矩形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．19.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題．【答案】水池里水的深度是4米，蘆葦長(zhǎng)為米【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】．解：設(shè)水池里水的深度是x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，由題意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，x+1=13，米，米，答：水池里水的深度是4米，蘆葦長(zhǎng)為米【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程．（1）______的解答過(guò)程是錯(cuò)誤的（填“小亮”或“小芳”）；（2）錯(cuò)誤的解答過(guò)程原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：______（請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)）；（3）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）小亮（2）（或）（3）；2030【解析】【分析】此題考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行回答即可；（3）由m的值可知，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到化簡(jiǎn)結(jié)果，再把字母的值代入計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，小亮的解答過(guò)程是錯(cuò)誤的；故答案為：小亮【小問(wèn)2詳解】小亮錯(cuò)誤的解答過(guò)程原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)：（或），故答案為：（或）【小問(wèn)3詳解】原式，，，原式．21.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，，，，均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）判斷是否為直角：______．（填寫(xiě)“是”或“不是”）（2）直接寫(xiě)出四邊形的面積為_(kāi)_____．（3）找到格點(diǎn)，并畫(huà)出四邊形（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形面積相等．【答案】（1）不是（2）14（3）見(jiàn)解析（答案不唯一）【解析】【分析】（1）先利用勾股定理分別求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得；（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四邊形的性質(zhì)找到格點(diǎn)，再利用等高模型畫(huà)出圖形即可．【小問(wèn)1詳解】解：，，，，不是直角，故答案為：不是．【小問(wèn)2詳解】解：四邊形的面積為，故答案為：14．【小問(wèn)3詳解】解：如圖，點(diǎn)和四邊形即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于?？碱}型．22.如圖，在中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）當(dāng)滿足條件時(shí),四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.（1）由，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由為中點(diǎn)，得到，利用得到與全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，再由，等量代換得到，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；（2）由，為中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到由鄰邊相等的平行四邊為菱形，即可得證.【小問(wèn)1詳解】證明：∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形是菱形，理由為：由（1）可得四邊形平行四邊形；，是的中點(diǎn)，，∵四邊形為平行四邊形，，∴四邊形為菱形.23.如圖，矩形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，．（1）求證：四邊形是菱形．（2）若，，則菱形的面積為_(kāi)_____．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查了平行四邊形判定、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得出，由菱形的性質(zhì)得出，，、的長(zhǎng)，然后由菱形的面積公式即可得出結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形；【小問(wèn)2詳解】解：四邊形是矩形，，四邊形是菱形，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，．故答案為：．24.如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線于點(diǎn)F，求證．（提示：取的中點(diǎn)G，連接）【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．取中點(diǎn)，連接，得出，，進(jìn)而得到△BHE為等腰直角三角形即可得出的值，再利用補(bǔ)角的性質(zhì)得出，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，最后根據(jù)性質(zhì)判定和全等即可得出答案．【詳解】證明：取中點(diǎn)，連接又為的中點(diǎn)，四邊形是正方形∴，∴為等腰直角三角形∴，又∵，∴，∴又交正方形外角的平分線于點(diǎn)F∴，在和中∴∴．25.若四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“巧分線”，這個(gè)四邊形叫“巧妙四邊形”，若一個(gè)四邊形有兩條巧分線，則稱為“絕妙四邊形”．（1）下列四邊形一定是巧妙四邊形的是；（填序號(hào)點(diǎn)①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．初步應(yīng)用（2）在絕妙四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，則∠BCD＝；深入研究（3）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求證：梯形ABCD是絕妙四邊形．（4）在巧妙四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四邊形ABCD的巧分線，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BCD的度數(shù)．【答案】（1）③④；（2）140°或80°或160°；（3）見(jiàn)解析；（4）∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°【解析】【分析】（1）由巧妙四邊形的定義，即可得到菱形和正方形是巧妙四邊形；（2）根據(jù)絕妙四邊形的定義可知：兩條對(duì)角線都是巧分線，分情況畫(huà)圖進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)論；（3）首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后分別證明兩條對(duì)角線分成的三角形是等腰三角形即可；（4）根據(jù)AC是四邊形ABCD的巧分線，可知：△ACD和△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形時(shí)分三種情況畫(huà)圖進(jìn)行討論可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵菱形的四條邊相等，∴連接對(duì)角線能得到兩個(gè)等腰三角形，∴菱形是巧妙四邊形；正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四邊形；故答案是：③④；（2）分三種情況，①當(dāng)AC＝AD＝AB時(shí)，如圖1，∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAD＝80°，∴∠BAC＝∠DAC＝40°，∵AC＝AD＝AB，∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；②當(dāng)AD＝CD，AB＝BC時(shí)，如圖2，∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，∴AB＝AD＝CD＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴∠BCD＝∠BAD＝80°；③在四邊形ABCD中，AC＝CD＝BC，如圖3，∴∠CAD＝∠ADC＝40°∴∠ACD＝∠AC