湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜卜=1082（2—x）},5={y[y=2*—",則4B=（）

A.（0,2）B,[0,2]C.（0,+動(dòng)D.（-oo,2]

K答案XA

k解析》A集合表示函數(shù)y=log2（2—力的定義域，則4=卜卜＜2},

8集合表示函數(shù)y=244的值域，則§={,?＞0},

故A6=（0,2）.

故選：A.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則復(fù)數(shù)z7°25對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

[答案工D

k解析》復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，設(shè)2=。+歷，則。＜0力＜。,

z.i2°25=z-i=—b+ai，由一人＞0,。＜0,則復(fù)數(shù)[?產(chǎn)必對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

故選：D.

3.設(shè)機(jī)，”是兩條不同的直線，名尸是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若根_L",_L。，則nlla

B.若La,則〃J_a

C.若mJIa,mlI/3,則M//?

D.“直線a,b不相交”是“直線a,b為異面直線”的充分不必要條件

[答案XB

K解析X對(duì)于A,若mJ■外加_L。，則〃〃。或“ua,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若根〃”,m_La,則〃_Ler,故B正確；

對(duì)于C,若“2〃％加〃尸，則a〃4或a與夕相交，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,直線不相交，則直線a/平行或異面,

故“直線a,b不相交”是“直線a,b為異面直線”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

4.設(shè)/（力=￡-2ta+4（xeR）,則關(guān)于x的不等式““＜。有解的一個(gè)必要不充分條

件是（）

A.—2<a<0B.。＜—2或々＞2C.|a|>4D.|?|^2

（答案ID

k解析U/（x）=f—2依+4＜0有解，即對(duì)于方程/一2依+4=0的A=4〃—16＞0,

則網(wǎng)＞2；可知D選項(xiàng)為一個(gè)必要不充分條件.

故選：D.

5.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F,G分別滿足

3.3

AF=-AD,BG=-BC,設(shè)A3=a,A￡>=b,若EFLEG,貝I()

44

A.忖=；同B.|^|=|^|C,|/?|=j|a|D.忖=2,

K答案1C

3-1-13-

k解析UEF=AF-AE=-b——a,EG=EB+BG=-a+-b,

4224

由跖,EG=0，得■萬+g@]=0，得9b2=4。2,即得忖=|■問，

則C選項(xiàng)正確.

故選：C.

6.在直三棱柱ABC-46。中，NB4c=90。且3與=4,已知該三棱柱的體積為26，

且該三棱柱的外接球表面積為20K,若將此三棱柱掏空（保留表面，不計(jì)厚度）后放入一個(gè)

球，則該球最大半徑為（）

D.^1

A.1B.昱

222

k答案UB

k解析》設(shè)5。中點(diǎn)為。，4G中點(diǎn)為2，。2中點(diǎn)為。,

外接球球心在中點(diǎn)。處,

設(shè)AB=x,AC=y,BC=z,

該三棱柱的體積為2后,54=4,

?s-真rv-A/3

,?—2，人）—Y'，

■該三棱柱的外接球表面積為20兀，

外接球半徑R=即OC=J?,BC=2,x2+y~=4,

:.AB=6，AC=1,

底面ABC內(nèi)切圓半徑r=2s冬BC=_立〒=1二1,

x+y+z1+2+J32

正口＜2,因此該球最大半徑為叵口.

22

故選：B.

7.矩形的周長(zhǎng)為16cm，把一Afi。沿AC向八位）。折疊，A3折過去

后交。C于點(diǎn)尸，則△ADP的最大面積為（）

A.48-1672B.48-320

C.108-7272D.192-12872

K答案1B

K解析［設(shè)AB=X,AD=8—X,CF=Q,其中0VXV8,則。P=x-〃,AP=a,

在直角八40?中，由勾股定理得：（8-x）2+（x-a）2=?2,

爐—8x+328x-32

解得:a=---------------DP=x—a=

xx

.-.5ADp=l(8-x)-DP=48-4x--<48-2^4x-=48-3272,

192—

當(dāng)且僅當(dāng)4x=—,即x=40時(shí)等號(hào)成立.

x

故選：B.

8.定義在R上的函數(shù)“X)滿足"％+2)為偶函數(shù)，且〃力在(2,+8)上單調(diào)遞增，若

%e[l,3],不等式/(依)</(1—2)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.B.(1,5)C.D.(-1,0)

k答案1A

K解析X定義在R上的函數(shù)/(%)滿足〃x+2)為偶函數(shù)，所以“X)關(guān)于x=2對(duì)稱，

/(%)在(2,+“)上單調(diào)遞增，則/(%)在(-8,2)上單調(diào)遞減，

所以/(%)越靠近對(duì)稱軸x=2函數(shù)值越小，

由2)^|tzx-2|<|x-2-2|,

由于xe[l,3],所以％_4<0,4—%>0,

故元一4〈依一2<4-%，

0A9f\

可得1一一<a<——1,即]6[1,3]時(shí)1一一<a<——1恒成立，

XXXX

可得---j<6Z<f--1j,

V冗/max〈X/min

2rT△211

由于y=l——在xe[l,3]時(shí)單調(diào)遞增，1一一=-,此時(shí)x=3,

%Vmax3

>=屋1xe[1,3]時(shí)單調(diào)遞減，g_i

1，此時(shí)x=3f

X一\X/mmiiln

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識(shí)答題比賽，對(duì)參賽的2000名考生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖

所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間

值作為代表值，則下列說法中正確的是（）

頻率

0.030-----............-|—?

0.020..............T-J-l—i

0.015……廠

0.010……-------------------

0.005—1—

10506070809060，績(jī)

A.考生參賽成績(jī)的平均分約為72.8分

B.考生參賽成績(jī)的第75百分位數(shù)約為82.5分

C.分?jǐn)?shù)在區(qū)間[60,70）內(nèi)的頻率為0.2

D.用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間[70,80）應(yīng)

抽取30人

[答案XBC

K解析》對(duì)A,平均成績(jī)?yōu)?/p>

元=45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.2+95x0.1=72.5,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由頻率分布直方圖知第75百分位數(shù)位于[80,90）內(nèi)，

075—07

則第75百分位數(shù)為80+=82.5,故B正確；

0.02

對(duì)C,分?jǐn)?shù)在區(qū)間[60,70）內(nèi)的頻率為0.02義10=0.2,故C正確；

對(duì)D,區(qū)間[70,80）應(yīng)抽取200x0.3=60人，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.己知向量a=(l,2),b=(—2,2),c=(4,左)，則下列說法正確的是()

A.若(a+b)〃c,則左=一16

B.a在方上的投影向量為1一萬,萬］

C.若a與c的夾角為銳角，則左＞—2

D.若要使卜+可最小，貝曠=一：

(答案UABD

(解析》對(duì)于A：因?yàn)閍=(1,2)力=(—2,2),所以。+沙=(一1,4),

又C=(4㈤，且(a+b)〃c,所以—％=16,解得：k=—16,故A正確;

對(duì)于B：由a=(1,2),6=(—2,2),則同='『+22=6利=J(—2『+22=2拒,

a-b

所以〃在人上的投影向量為-故B正確;

對(duì)于C：當(dāng)〃與。共線時(shí)，有左二8,此時(shí)〃與c方向相同,

當(dāng)。與G的夾角為銳角，有a?c=4+2左＞0,解得左＞—2,

所以上＞—2且左。8時(shí)，。與。的夾角為銳角，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由a+%=(1—2/,2+2，)，,+或={(1-21)+(2+2%)=+4/+5,

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，/=-4時(shí)取最小值，故D正確.

4

故選：ABD.

11.如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角一ABC沿向上翻折，得三棱錐

A—BCD.設(shè)8=2,點(diǎn)E產(chǎn)分別為棱3C,的中點(diǎn)，M為線段AE上的動(dòng)點(diǎn).下列說法

正確的是()

A,翻折過程中存在某個(gè)位置，使A3,CD

B.當(dāng)時(shí)，A。與平面ABC所成角的正弦值為好

5

C.在翻折過程中，三棱錐A-BCD體積的最大值為2

D.當(dāng)A3=AD時(shí)，CM+FM的最小值為“+2夜

（答案1ACD

k解析》對(duì)于A：當(dāng)平面ABC1平面時(shí)，AB1CD,

證明如下：因?yàn)槠矫鍭BC1平面BCD,平面ABCc平面3cD=3C,

BC^CD,CDu平面BCD,則CD,平面ABC,

因?yàn)锳5u平面ABC,所以A6LCD,故A正確；

對(duì)于B：當(dāng)AELEF時(shí)，等腰直角中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，有AEL3C,

EF\BC=E,跖,3。匚平面5。。，則4￡，平面6。。，

AEu平面ABC，有平面ABCJ_平面BCD,由A選項(xiàng)知CDJ_平面ABC,

所以/ZMC是直線A￡＞與平面ABC所成的角；

由CD=2,有BC=26，AE=EC=5AC=#，BD=4,

AD7AC"=回'則加/加0=器=5=半'故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：當(dāng)三棱錐A-BCD體積取得最大值時(shí)，平面ABC,平面BC。,

即AE是三棱錐A—BCD的高,^A-BCD=§S&BCD,AE=2,故C正確;

對(duì)于D：當(dāng)A3=A。時(shí)，因?yàn)镻為3。的中點(diǎn)，所以A戶"LBD,則寸■=。6—4=后,

又因石為的中點(diǎn)，所以跖=,。。=1,

2

又AE=+,所以所2+A產(chǎn)2=4石2,所以

如圖將AAEF沿AE旋轉(zhuǎn)，得到AAEF',使其與△ACfi在同一平面內(nèi)且尸'在AAEB內(nèi),

則當(dāng)C,M,尸三點(diǎn)共線時(shí)，QW+9=QW+F'M最小，即aw+9的最小值為CF',

AF'_46

在RtAAEF'中，sinZAEF'=

~AE~~T

A/6

則cosNCEF'=cos(NAEP+ZAEC)=-sinZAEF'

一3

所以在qCE尸中，由余弦定理得CF=

所以CM+府的最小值為“+2叵，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知角a滿足2sinIcif——I—cosI<7+—I=1,則tanI——I=.

K答案工±巫

4

K解析I***2sinf——j—cos[or+—j=1,

71兀r

???2sinc^---cosa+-=1,

I3~~2

13.已知函數(shù)/'(x)='"，則關(guān)于％的方程/(/(x))=l的不等實(shí)根的個(gè)數(shù)為

inIx+1),%>U

K答案H2

k解析』由題意得，當(dāng)y(x)wo時(shí)，/(%)+i=i,即y(x)=o,

即xVO時(shí)X+1=O,解得％=—1W0,符合題意；

尤>0時(shí)In(%+1)=0,解得x=0,舍；

當(dāng)〃x)>0時(shí)，如(〃x)+l)=l,gp/(x)=e-l,

尤<0時(shí)x+l=e-l,解得x=e-2>0,舍;

%>。時(shí)，ln(x+l)=e-l,解得％=eeT-l>0，符合題意;

綜上，關(guān)于X的方程/■(/■(力)=1的不等實(shí)根為1=—1和％=6,-1—1,共2個(gè).

故[答案X為：2.

14.在銳角ABC中，角A5C的對(duì)邊為。，"c,S為二ABC的面積，且2s=力—9—蛾,

5b+c

則-----的取值范圍為.

a

K答案》(5,5A/2]

K解析U由2s二片一(b—of=—(02+/)+2bc,則hcsinA=2Z?c-2Z?ccosA,

所以sinA=2-2cosA,BP(sinA)2=1-cos2A=4cos2A-8cosA+4,

c34

即58$271—88524+3=0'解得cosA二1或cosA=1(舍去)，可得sinA二二,

5b+c_5sinB+sinC=：(5sin(A+C)+sinC)=^(4cosC+3sinC+sinC)=50sin

asinA

0<C<-

兀兀K

271471713343371

因?yàn)橐籄5c是銳角三角形，則有，所以9C+-e--A,—,

,-714(4444)

A+C〉—

2

sinA=g,樂鴻,貝嚀<A<?有泮乎人苫

,-r,5KV6+A/2A/2.3K

田十sin——=-------->----=sin——，

12424

故k答案』：(5,572].

四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.己知關(guān)于x的不等式212+x>2av+a(aeR).

(1)若。=1,求不等式的解集；

(2)解關(guān)于*的不等式.

解：⑴由2*+%>2依+。,.”(2%+1)>。(2%+1),.，.(％—0)(2%+1)>0,

當(dāng)a=l時(shí)，可得解集為1x|x〉l或x<-g}.

(2)對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為a,-一，

2

當(dāng)。=---時(shí)，原不等式的解集為<XXH---->,

2[2

當(dāng)a〉—Q時(shí)，原不等式的解集為“xx<—5或x>a},

當(dāng)a<—!■時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a或X〉一：}.

16.如圖，在梯形ABCD中，48=2。。,/比1。=90。,43=AD=2,E為線段5C中點(diǎn),

記AB=a,AD=b.

(1)用表示向量AE；

(2)求AK的值；

(3)求AE與RD夾角的余弦值.

解：(1)AE——(AB+AC——\cib—〃]二—OH—b.

2、>2[2J42

(2)由于/BAD=90，可得o力=0，又有=2,W=2,

咐、一不2(31-Y9.23?71,29/1/13

所以AE=—a+—b=—a+—a-b+—b2=——x4+—x4=—?

<42J16441644

(3)由于/BAD=90，可得〃./?=0，又有=2,W=2,

所以|-(Z?-a\=--a2+—/?2=--x4+—x4=-l,

142戶>4242

由正=9,可得網(wǎng)=平,

AEBDV26

/.cosAC,BD=

|AE|.|B￡)|叵2血

2

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是正方形，叢，5。,3。，面上鉆，且

上旬的面積為2a.

（1）求證：。。，面24￡）；

（2）當(dāng)四棱錐P-A5CD的外接球體積最小時(shí)，求平面PCD與平面PBC所成二面角的余

弦值.

解：（1）證明：5。_1_面尸48,24匚面245,，5。，？4,

又PA工BD,BCBD=B,BC、

CD在面ABCD內(nèi)，；.PALCD,

.底面ABCD是正方形，.?.ADLCD,

又A。PA^A,AD.PAu面HW,\CDA面B4ZZ

（2）因?yàn)樯?,平面ABC。，ABu平面ABCD，

所以

設(shè)PA=x,AB=y,SAPAB=3孫=2虛，

設(shè)四棱錐P-A6CD的外接球的半徑為R,

則（2R『=必+丁+J=尤2+2y2>2及xy=16

（當(dāng)且僅當(dāng)x=J5y,即x=20,y=2取等號(hào)）,

可得AB=AD=2,PA=2A/2-故PD=PB=26

過B作BHLPC交PC于H,連接DH,

由.PBC=PDC(SSS),則DHLPC,

故ZBHD為平面PCD與平面PBC所成的二面角的平面角,

由(1)知CD,面QA￡),PDu面QA。，故CDLPD,

在R/VPCD中，可得pc=4PD?+CD)=4,

由等面積可得BH=DH=PDxCD=232=百

PC4

又BD=y)AB2+AD2=2及，

BH?+DH?-BD?3+3—8]_

/.cos/BHD=

2BHxDH26?百3

平面PC。與平面PBC所成二面角的余弦值為-g.

18.已知函數(shù)=sin(o尤+2。)+百cosox—2cos((za+ebsine(oeN*),若函數(shù)

在（0,71）上恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間;

JT

（2）當(dāng)xe0,-時(shí)，關(guān)于x方程/（%）=/律有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍;

(3)在_ABC中，設(shè)內(nèi)角A、AC所對(duì)的邊分別為。、氏c,其中

/國(guó)=①。=而。=2,/B4C的角平分線交5C于O,求線段A。的長(zhǎng)度.

解：(1)/(x)=sin(69%+^+^)-2cos(69%+0^?sin^+A/3COS^A:

=sin(s+6〉cos。一cos(s+8)?sin。+A/5coss

=sin^x+6CGS①x=2sin(vx+—,

I3j

由JV￡(0,71)得§<G%+g*<①兀+g"'

冗58

由函數(shù)/(%)在(0,兀)上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)得2n<am+-<3n,-<a)<-,

CDGN；：.3=2,

：./(x)=2sin[2x+1]，

兀兀兀

由—5+2EV2x+,<5+2E/eZ,

57rir

得函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-石+E,歷+E，攵eZ.

八兀，令—y，則打釁,

(2)xG0,一

2

兀4兀.、

由題意得2sin%=根在，ey,—上有兩個(gè)不同的頭根,

—e-,1me[^,2).

2L2J

(3)由/[m]=2sin[A+1]=G得sin[A+g)=曰,;<A+g<F，

,71271.71

...AH—=—,A=一

333

因?yàn)椤?巫,c=2,則由a?二/+。2-2/?℃osA=6=〃+4—2人=/?2一2人一2二0,

解得：人=省+1,

=

由SBACSBAD+SDAC,

得工x2(6+1^=—x2ADxsin巴+—x(6+1)xADxsin—,

:.AD=2.

19.己知函數(shù)/(%)和g(x)的定義域分別為2和2,若對(duì)任意演6。1，恰好存在九個(gè)不

同的實(shí)數(shù)玉，龍2,?，當(dāng)用。2,使得g(%)=〃Xo)(其中i=l,2,…,〃,〃eN*),則稱g(%)

為/(%)的“”重覆蓋函數(shù)

(1)判斷g(x)=產(chǎn)—4卜GR)是否為“耳=》—4卜44,8))的“〃重覆蓋函數(shù)”，如果

是，求出”的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；

⑵若g(x)=iJJ為〃x)=log,的“3重覆蓋函數(shù)”,

V7[|x-l|,x>0八)62eA+l

求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若8("=5足"-個(gè)]卜€(wěn)[0,2兀])為/3=一^卜?0,+8))的“2024重覆蓋

函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：(1)因?yàn)間(x)=b*-4，xwR,/(x)=x-4,xe(4,8),

則〃口?。,4),

任取代(0,4),令產(chǎn)—4卜/,

可得e*-4=±z.

即e，=4+/e(4,8)或e*=4—fe(O,4),

可得x=ln(4+f),或x=ln(4-f),

所以對(duì)于任意飛?4,8),能找到兩個(gè)王，使得卜否—4|=%—4,

所以g(x)是八％)的"〃重覆蓋函數(shù)"，且〃=2.

(2)可得/("=1。82'|7^|=1。82,+最片)的定義域?yàn)榭冢?/p>

即對(duì)任意x()eR,存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)%