初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè) 21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(3)面積問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)

初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(3)面積問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(3)面積問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)21.3節(jié)“實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(3)面積問(wèn)題”，主要圍繞利用一元二次方程解決實(shí)際生活中的面積問(wèn)題，包括矩形、正方形等圖形的面積計(jì)算。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課涉及的知識(shí)點(diǎn)與之前學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)、一元二次方程的解法密切相關(guān)。學(xué)生需要運(yùn)用已掌握的矩形、正方形等圖形的面積公式，以及一元二次方程的求解方法，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求解問(wèn)題。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生將學(xué)會(huì)將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為一元二次方程模型，提升數(shù)學(xué)抽象能力；在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，鍛煉邏輯推理能力；同時(shí)，通過(guò)將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際情境，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

①理解并掌握如何將實(shí)際面積問(wèn)題抽象為一元二次方程。

②學(xué)會(huì)解一元二次方程，并能夠?qū)⒔饣卮綄?shí)際問(wèn)題中，得到具體的面積數(shù)值。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

①學(xué)生在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時(shí)，可能難以準(zhǔn)確識(shí)別和應(yīng)用面積公式。

②在解決一元二次方程時(shí)，學(xué)生可能會(huì)混淆根的判別式的應(yīng)用，以及在方程有實(shí)數(shù)解的情況下如何正確地選擇合適的解。

③學(xué)生可能不熟悉如何將方程的解與實(shí)際問(wèn)題的背景相結(jié)合，從而得出正確的面積結(jié)果。教學(xué)方法與策略1.選擇講授與案例研究相結(jié)合的教學(xué)方法，通過(guò)講解基本概念和步驟，然后呈現(xiàn)具體案例，引導(dǎo)學(xué)生理解和應(yīng)用。

2.設(shè)計(jì)小組討論活動(dòng)，讓學(xué)生在小組內(nèi)共同探討如何將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，促進(jìn)學(xué)生的互動(dòng)和合作學(xué)習(xí)。

3.利用多媒體工具展示實(shí)際面積問(wèn)題的圖形和方程建立過(guò)程，增強(qiáng)直觀性，幫助學(xué)生更好地理解問(wèn)題和解題思路。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)面積問(wèn)題的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開(kāi)場(chǎng)提問(wèn)：“你們?cè)谏钪杏龅竭^(guò)需要計(jì)算圖形面積的問(wèn)題嗎？這些問(wèn)題通常是如何解決的？”

展示一些關(guān)于不同圖形面積問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，如房間裝修、土地測(cè)量等，讓學(xué)生初步感受面積問(wèn)題與生活的密切聯(lián)系。

簡(jiǎn)短介紹本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的一元二次方程在解決面積問(wèn)題中的應(yīng)用，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.一元二次方程基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解一元二次方程的基本概念、解法及其在解決面積問(wèn)題中的應(yīng)用。

過(guò)程：

講解一元二次方程的定義，包括其標(biāo)準(zhǔn)形式、根的判別式等。

詳細(xì)介紹一元二次方程的解法，如配方法、公式法等。

3.面積問(wèn)題案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解一元二次方程在解決面積問(wèn)題中的實(shí)際應(yīng)用。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的面積問(wèn)題案例進(jìn)行分析，如矩形場(chǎng)地設(shè)計(jì)、正方形花園規(guī)劃等。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、問(wèn)題轉(zhuǎn)化過(guò)程和解決方法，讓學(xué)生全面了解一元二次方程在面積問(wèn)題中的應(yīng)用。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例中一元二次方程的建立和解法，以及如何將解回代到實(shí)際問(wèn)題中。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)面積問(wèn)題案例進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該案例的解決過(guò)程，包括方程的建立、解法選擇和解的驗(yàn)證。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)面積問(wèn)題解決的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括案例的解決過(guò)程和最終結(jié)果。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)一元二次方程在解決面積問(wèn)題中的重要性。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括一元二次方程的基本概念、解法以及其在面積問(wèn)題中的應(yīng)用。

強(qiáng)調(diào)一元二次方程在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生選擇一個(gè)面積問(wèn)題，嘗試建立一元二次方程模型并求解，撰寫(xiě)解題報(bào)告。

7.課后作業(yè)布置（5分鐘）

目標(biāo)：鞏固學(xué)生對(duì)一元二次方程解決面積問(wèn)題的理解。

過(guò)程：

布置具有挑戰(zhàn)性的課后作業(yè)，要求學(xué)生在生活中尋找面積問(wèn)題，并用一元二次方程解決。

鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的解題方法，并分享解題過(guò)程中的心得體會(huì)。

提醒學(xué)生按時(shí)提交作業(yè)，并預(yù)告下一節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）歷史背景：介紹一元二次方程的發(fā)展歷史，包括古代數(shù)學(xué)家如何解決類似問(wèn)題，以及一元二次方程在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要地位。

（2）實(shí)際應(yīng)用：收集和分析更多實(shí)際生活中的面積問(wèn)題案例，如建筑設(shè)計(jì)、工程預(yù)算、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。

（3）數(shù)學(xué)文化：介紹一元二次方程在數(shù)學(xué)文化中的地位，包括它在數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)游戲中的應(yīng)用，以及與一元二次方程相關(guān)的數(shù)學(xué)趣聞。

（4）數(shù)學(xué)工具：介紹一些用于解決一元二次方程的數(shù)學(xué)工具，如計(jì)算器、圖形計(jì)算器、數(shù)學(xué)軟件等，以及它們的使用方法和技巧。

（5）數(shù)學(xué)思維：探討一元二次方程解決過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維方法，如邏輯推理、模型構(gòu)建、抽象思維等。

2.拓展建議：

（1）自主探究：鼓勵(lì)學(xué)生自主尋找生活中的面積問(wèn)題，嘗試建立一元二次方程模型，并獨(dú)立求解。

（2）小組合作：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，共同探討一元二次方程在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，以及如何將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題解決方案。

（3）實(shí)踐操作：利用教具或軟件，讓學(xué)生動(dòng)手操作，直觀感受一元二次方程的求解過(guò)程，加深對(duì)解法的理解。

（4）學(xué)術(shù)閱讀：推薦學(xué)生閱讀一些與一元二次方程相關(guān)的數(shù)學(xué)書(shū)籍、文章，以拓展知識(shí)面，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（5）數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，通過(guò)解決競(jìng)賽中的面積問(wèn)題，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力。

（6）跨學(xué)科學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生將一元二次方程與物理、化學(xué)、生物等學(xué)科知識(shí)相結(jié)合，探討其在跨學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用。

（7）社會(huì)調(diào)查：組織學(xué)生進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，收集實(shí)際生活中的面積問(wèn)題案例，分析問(wèn)題的解決過(guò)程，了解一元二次方程在實(shí)際生活中的重要作用。

（8）學(xué)術(shù)講座：邀請(qǐng)數(shù)學(xué)專家或教師舉辦關(guān)于一元二次方程的學(xué)術(shù)講座，讓學(xué)生更深入地了解一元二次方程的理論和應(yīng)用。

（9）科技制作：鼓勵(lì)學(xué)生利用科技手段，如編程、3D建模等，制作一元二次方程的動(dòng)畫(huà)或模型，直觀展示方程的求解過(guò)程。

（10）持續(xù)關(guān)注：提醒學(xué)生關(guān)注一元二次方程在未來(lái)的學(xué)術(shù)發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用中的動(dòng)態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。教學(xué)反思與總結(jié)這節(jié)課我們從實(shí)際生活中的面積問(wèn)題出發(fā)，學(xué)習(xí)了如何將這些問(wèn)題抽象為一元二次方程，并通過(guò)解方程找到了解決問(wèn)題的方法。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，我深感教學(xué)方法的靈活運(yùn)用和學(xué)生的積極參與對(duì)于課堂效果的重要性。

在教學(xué)方法的運(yùn)用上，我嘗試了講授與案例研究相結(jié)合的方式。通過(guò)講解一元二次方程的基本概念和求解方法，然后呈現(xiàn)具體的面積問(wèn)題案例，讓學(xué)生在實(shí)際情境中學(xué)習(xí)和應(yīng)用。我發(fā)現(xiàn)這樣的教學(xué)方法能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)，但我也發(fā)現(xiàn)自己在案例選擇上還可以更加貼近學(xué)生的生活實(shí)際，以提高他們的興趣和參與度。

在策略方面，我設(shè)計(jì)了小組討論環(huán)節(jié)，希望通過(guò)學(xué)生的合作和互動(dòng)來(lái)促進(jìn)他們的思考和理解。這個(gè)環(huán)節(jié)總的來(lái)說(shuō)是成功的，學(xué)生們?cè)谛〗M內(nèi)積極討論，能夠有效地分享和交流解題思路。但也有學(xué)生在這個(gè)環(huán)節(jié)中表現(xiàn)出不夠積極，可能是因?yàn)樗麄儗?duì)一元二次方程的理解還不夠深入，或者是缺乏自信。我應(yīng)該在今后的教學(xué)中更多地關(guān)注這些學(xué)生，給予他們更多的支持和鼓勵(lì)。

在教學(xué)管理方面，我發(fā)現(xiàn)課堂紀(jì)律整體良好，但仍有少數(shù)學(xué)生在討論環(huán)節(jié)分心。我應(yīng)該在課堂管理上更加細(xì)致，確保每個(gè)學(xué)生都能參與到課堂活動(dòng)中來(lái)。此外，我也注意到在課堂展示環(huán)節(jié)，一些學(xué)生的表達(dá)能力和自信心還有待提高。我計(jì)劃在未來(lái)的課程中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生表達(dá)能力的培養(yǎng)，通過(guò)更多的練習(xí)和反饋來(lái)提升他們的自信。

關(guān)于本節(jié)課的教學(xué)效果，我認(rèn)為學(xué)生在知識(shí)和技能方面有明顯的收獲。他們不僅掌握了一元二次方程的解法，而且能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。在情感態(tài)度方面，學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣有所提升，他們能夠感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值。

然而，我也注意到教學(xué)中存在的一些問(wèn)題。例如，在教學(xué)過(guò)程中，我可能過(guò)于注重知識(shí)的傳授，而忽視了學(xué)生個(gè)體差異。有些學(xué)生在理解一元二次方程方面有困難，我應(yīng)該在課堂上給予他們更多的個(gè)別指導(dǎo)。另外，我應(yīng)該在布置作業(yè)時(shí)更加注意難度和量的把握，確保作業(yè)既能鞏固知識(shí)，又不會(huì)給學(xué)生帶來(lái)過(guò)大的負(fù)擔(dān)。

為了改進(jìn)今后的教學(xué)，我計(jì)劃采取以下措施：

-更細(xì)致地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)背景和需求，以便更好地調(diào)整教學(xué)方法和內(nèi)容。

-在課堂上更多地鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)和表達(dá)，營(yíng)造一個(gè)更加開(kāi)放和互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境。

-加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的個(gè)別輔導(dǎo)，特別是對(duì)那些在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有困難的學(xué)生。

-在布置作業(yè)時(shí)，更加注重作業(yè)的質(zhì)量和針對(duì)性，確保作業(yè)能夠真正幫助學(xué)生鞏固知識(shí)。

-繼續(xù)探索和實(shí)踐更多的教學(xué)方法，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度。板書(shū)設(shè)計(jì)1.教學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

①一元二次方程的定義與標(biāo)準(zhǔn)形式。

②面積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及其對(duì)應(yīng)的面積公式。

③一元二次方程的求解步驟和應(yīng)用。

2.關(guān)鍵詞：

①一元二次方程、面積、矩形、正方形。

②配方法、公式法、判別式。

③實(shí)際問(wèn)題、模型構(gòu)建、解方程。

3.重點(diǎn)句子：

①“將實(shí)際面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵?！?/p>

②“一元二次方程的求解需要掌握配方法和公式法?！?/p>

③“通過(guò)解一元二次方程，我們可以得到圖形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算出面積?！敝攸c(diǎn)題型整理題型一：建立一元二次方程解決面積問(wèn)題

題目：一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多3米，如果寬是x米，那么矩形的面積S是多少平方米？請(qǐng)建立一元二次方程并求解。

答案：矩形的面積S=長(zhǎng)×寬=(x+3)×x=x^2+3x。假設(shè)矩形面積為36平方米，則方程變?yōu)閤^2+3x=36。通過(guò)移項(xiàng)得到x^2+3x-36=0，解這個(gè)一元二次方程，得到x=4或x=-9。因?yàn)閷挾炔荒転樨?fù)數(shù)，所以寬x=4米。

題型二：利用一元二次方程求解正方形問(wèn)題

題目：一個(gè)正方形的面積是81平方厘米，求正方形的邊長(zhǎng)。

答案：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a厘米，根據(jù)面積公式得到a^2=81。解這個(gè)一元二次方程，得到a=9或a=-9。因?yàn)檫呴L(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)，所以邊長(zhǎng)a=9厘米。

題型三：結(jié)合實(shí)際情境建立方程

題目：一個(gè)農(nóng)民想要用30米的圍欄材料圍成一個(gè)矩形花園，其中一邊的長(zhǎng)度是y米，求矩形的最大面積。

答案：矩形的周長(zhǎng)是30米，所以長(zhǎng)加寬的和是15米，即長(zhǎng)=15-y米。矩形的面積S=長(zhǎng)×寬=y×(15-y)=15y-y^2。將面積公式寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程形式，得到-y^2+15y=0。解這個(gè)方程，得到y(tǒng)=0或y=15。因?yàn)殚L(zhǎng)度不能為0，所以y=15米，此時(shí)寬也是15米，面積最大，為15×15=225平方米。

題型四：一元二次方程的判別式應(yīng)用

題目：一個(gè)矩形的長(zhǎng)是寬的兩倍，如果矩形的寬是w米，求矩形的面積S是多少平方米？并討論面積S的取值范圍。

答案：矩形的長(zhǎng)是2w米，面積S=長(zhǎng)×寬=2w×w=2w^2。假設(shè)面積S為某個(gè)特定值，如18平方米，則方程變?yōu)?w^2=18。通過(guò)移項(xiàng)得到2w^2-18=0，即w^2-9=0。判別式Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4×2×(-18)=36。因?yàn)榕袆e式Δ>0，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，w=3或w=-3。因?yàn)閷挾炔荒転樨?fù)數(shù)，所以寬w=3米。面積S的取值范圍是w^2的最大值，當(dāng)w無(wú)限大時(shí)，S也無(wú)限大。

題型五：一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的逆向應(yīng)用

題目：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x米，如果將邊長(zhǎng)增加a米，那么新的正方形的面積比原來(lái)的面積增加了63平方米。求原正方形的邊長(zhǎng)x。

答案：原正方形的面積是x^2平方米，新的正方形邊長(zhǎng)是x+a米，面積是(x+a)^2平方米。根據(jù)題意，(x+a)^2-x^2=63。展開(kāi)方程得到x^2+2ax+a^2-x^2=63，簡(jiǎn)化得到2ax+a^2=63。因?yàn)樵黾拥拿娣e是由增加的邊長(zhǎng)a產(chǎn)生的，所以這個(gè)方程可以看作是關(guān)于a的一元二次方程。解這個(gè)方程，得到a=3或a=-21。因?yàn)樵黾?/p>