2021年江蘇省中考三輪沖刺數(shù)學訓練-專題10四邊形

2021年江蘇中考數(shù)學沖刺專題訓練一一專題10四邊形

一.選擇題（共20小題）

1.（2021春?濱湖區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCC中，AD//BC,AD=5cm,BC=\0cm,點

P從點4出發(fā)，以lev/心的速度向。運動，同時，點。從點C以相同的速度向8運動.當

點戶運動到點。時，點。隨之停止運動.若設(shè)運動的時間為，秒，以點A、B、C、D、

P、。任意四個點為頂點的四邊形中同時存在兩個平行四邊形，則f的值是（）

2.（2021春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABC。中，過點A作AGLBC于G,

作A4LCO于“，且NG4H=45°,AG=2,AH=3,則平行四邊形的面積是（）

A.6V2B.12V2C.6D.12

3.（2021春?鼓樓區(qū)期中）下列說法不正確的是（）

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

C.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

4.（2021春?鎮(zhèn)江期中）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，平行四邊形48CZ）的頂點在格

點上，平行四邊形EFGH的頂點E、F在邊CD上，且AD//EH,AD=EH,AG交CD

于點O,則S陰影為（）

A.7平方單位B.8平方單位C.14平方單位D.無法確定

5.（2021春?江陰市期中）如圖，線段AB的長為10,點。在AB上，是邊長為3的

等邊三角形，過點D作與CD垂直的射線DP,過DP上一動點G（不與。重合）作矩形

CDGH,記矩形CCGH的對角線交點為O,連接則線段80的最小值為（）

C.3V3D.4V3

6.（2021?江都區(qū)模擬）如圖：四個形狀大小相同的等腰三角形△ABE,△4OF,ACDG,

△BC”按如圖擺放在正方形ABC。的內(nèi)部，順次連接E、/、G、，得到四邊形ErGH.若

NAEB=NAFD=NCGD=NBHC=12O°,且￡4=n一或，則BC的長為（）

A.V6+V2B.4V3-4C.2V3D.2

7.（2021春?江陰市校級月考）下列敘述錯誤的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分

B.矩形的對角線相等

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等的四邊形是矩形

8.（2021春?廣州校級期中）下列說法正確的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.矩形的對角線互相垂直

C.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等的平行四邊形是矩形

9.（2021春?亭湖區(qū)校級期中）如圖，四邊形A8CZ）的對角線AC、3。相交于點O,下列條

件中，一定能判定四邊形A8C。是平行四邊形的是（）

A.0A=OC,OB=ODB.AD//BC

C.AB=C￡>,AD//BCD.AC1.BD

10.（2021?順德區(qū)一模）如圖，E是平行四邊形ABC。邊4。延長線上一點，S.DE=AD,

連接BE、CE、BD.若A8=BE,則四邊形8CED是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

11.（2021春?濟南期中）如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC、相交于點O,下列條

件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（）

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,ZDAB=ZDCB

C.AO=CO,AB=DCD.AB//DC,DO=BO

12.（2020秋?秦都區(qū)期末）如圖，在四邊形A8CO中，對角線4C、8。互相平分，若添加

一個條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個條件可以是（)

C.ACA.BDD.AC=BD

13.（2020秋?蘇州期末）如圖，四邊形A8CD中，以對角線AC為斜邊作RtaACE,連接

BE、DE,BELDE,AC,8。互相平分.若2AB=BC=4,則8。的值為（）

14.（2021春?下城區(qū)期中）如圖，平行四邊形4BC。中，E,尸是對角線BO上的兩點，如

果添加一個條件使四邊形AECF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）

A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED./l=/2

15.（2021春?江都區(qū)月考）如圖，矩形A8CZ）中，AB=10,A￡>=4,點E從。向C以每秒

1個單位的速度運動，以AE為一邊在AE的右下方作正方形AEFG.同時垂直于CD的

直線也從C向。以每秒2個單位的速度運動，當經(jīng)過（）秒時，直線MN和正

A.2B.2.5C.3D.3.5

16.（2021?自貢模擬）如圖，已知AB=8,尸為線段AB上的一個動點，分別以AP,PB為

邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE,點P,C,E在一條直線上，/D4P=60°.M,

N分別是對角線AC,BE的中點.當點P在線段AB上移動時，點M,N之間的距離最短

D.3

17.（2021春?惠山區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCZ）邊長為1,連接AC、BD,CE平分N

ACD交BD于點E,則OE長為（）

C.2-V2D.V2-1

18.（2020秋?新蔡縣期末）如圖，在坐標系中放置一菱形。4BC,已知NA8C=60°,點8

在），軸上，04=1.將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻

轉(zhuǎn)2020次，點8的落點依次為81,82,仍，…，則B2020的坐標為（）

V3

B.（1345.5,一）

2

艮

C.（1346,0）D.（1346.5,一）

2

19.（2020秋?青山區(qū)期末）如圖，在菱形488中，AB=5cm,NAOC=120°,點E、尸

同時由A、C兩點出發(fā)，分別沿A3、C8方向向點8勻速移動（到點8為止），點七的速

度為點尸的速度為2cm/s,經(jīng)過1秒△OEF為等邊三角形，貝心的值為（）

20.（2021春?越秀區(qū)期中）如圖，正方形ABCQ中，點E、F、H分別是AB、BC、C。的

中點，CE、DF交于G,連接AG、HG.下列結(jié)論：?CE±DF；②AG=A。；③NCHG

=ND4G；?HG=^AD.其中正確的有（）

A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④

二.填空題（共3小題）

21.（2021?秦淮區(qū)一模）如圖，在矩形ABCO中，AD=6,48=4,NBA。的平分線交8c

22.（2021春?崇川區(qū)校級月考）如圖，以平行四邊形4BCD的邊AB、BC、CD、。4為斜

邊，分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H,順次連接這四個點，

得四邊形EFG”，當/AQC=a（0°<a<90°）時，有以下結(jié)論：①/GCF=180°-a；

②N/ME=90°+a；③HE=HG；④四邊形EPG”是正方形；⑤四邊形EFG”是菱形.則

結(jié)論正確有

H

23.（2021春?蘇州期中）己知：如圖，在矩形ABCD中，點￡在A。邊上，且EC平分/

BED,若AB=1,BC=V2,則NEC￡>=°.

24.（2021春?蘇州期中）定義：有兩組鄰邊相等的四邊形叫做箏形.

（1）［理解］菱形箏形（填“是”或“不是”）；

（2）［證明］如圖1,在正方形ABCC中，E是對角線延長線上一點，連接AE,CE.求

證：四邊形A8CE是箏形：

（3）［探究］如圖2,在箏形ABC。中，AB=BC,AD=CD,對角線AC,8。交于點O.

①請寫出兩條箏形ABCD對角線的性質(zhì)（不要說明理由）；

②若AC=8,AD=5,且NAQC=2NABC,求AB的長.

25.（2021春?鎮(zhèn)江期中）如圖，將矩形紙片A8C。折疊，折疊后點B與點。重合，設(shè)折痕

為EF,點、E、尸分別是折痕與A。、BC的交點.

（1）用直尺與圓規(guī)，作出折痕EE（作圖痕跡請用黑色筆描黑加粗）

（2）連接BE、DF,判斷四邊形EBFC的形狀并說明理由.

(3)若A8=4,BC=8,則EF=

備用圖

26.（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，矩形A8CZ）的對角線AC、BO相交于點。，點E與點。關(guān)

于CD對稱.

（1）連接CE、DE,求證：四邊形CEDO是菱形；

（2）若AB=2,/AOB=60°,求點E、O之間的距離.

27.（2021?鼓樓區(qū)一模）【問題提出】為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉庫的自動換氣窗采用

了以下設(shè)計：

如圖①，窗子的形狀是一個五邊形，它可看作是由一個矩形A8CC和一個△CCE組成,

該窗子關(guān)閉時可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度也可以自動打開窗子上的通風口換

氣.通風口是一個矩形形狀的聯(lián)動裝置，頂點P、只能在邊框AB上滑動，頂點M、N可

在其它邊框上滑動，聯(lián)動裝置的四邊都是長度可自動伸縮的金屬桿，當金屬桿上下

移動時，其他金屬桿也隨之移動，圖①、圖②是通風口打開時的兩種不同情況，試確定

金屬桿的位置，使通風口（矩形PQNM）面積最大.

圖①圖②

設(shè)窗子的邊框43、AQ分別為a成，bm,窗子的高度（窗子的最高點到邊框A8的距離）

為cm.

【初步探究】

（1）若a=2,b=l,c=2（即點E到AB的距離為2）,MN與AB之間的距離為x/n,通

風口的面積為"上

①分別求出當和1WXW2時y與尤之間的函數(shù)表達式；

②金屬桿MN移動到什么位置時，通風口面積最大，最大面積是多少？

【深入探究】

（2）若金屬桿WN移動到高于C。所在位置的某一處時通風口面積達到最大值.

①C需要滿足的條件是，通風口的最大面積是/M2.（用含4、6、C的

代數(shù)式表示）

②用直尺和圓規(guī)在圖③中作出通風口面積最大金屬桿所在的位置.（保留作圖痕跡,

不寫作法）

（3）若將窗子的上部分邊框改為以AB的中點O為圓心的圓?。–D）形狀（如圖④所

示），其他條件不變，金屬桿MN移動到什么位置時，通風口面積最大.（直接寫出答案，

不必說明理由）

圖③

28.（2021?南京一模）如圖，在回ABC。中,E、F分別為A。、BC的中點，點M、N在對

角線AC上，且AM=CN.

（1）求證四邊形EMFN是平行四邊形:

（2）若A8_LAC,求證國EMFN是菱形.

29.（2021春?靖江市月考）問題情境

（1）如圖1,已知正方形ABCD,點E在CQ的延長線上，以CE為邊構(gòu)造正方形CEFG,

連接BE和DG,則BE和DG的關(guān)系為.

繼續(xù)探究

(2)如圖2,若正方形ABCD的邊長為3,點E是A。邊上的一個動點，以CE為邊在

CE的右側(cè)作正方形CEFG,連接￡>G、BE.

①求證：DGVBE.

②連接BG,若AE=1,求BG長.

圖1圖2

30.(2021春?亭湖區(qū)校級月考)己知△ABC的三邊AB=3,AC=4,BC=5,如圖，P為

BC邊上一動點，于點“，PNLAC于點、N.

(1)求證：四邊形AMPN是矩形；

(2)在點P的運動過程中，MN的長度是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不

存在，請說明理由.

BC

2021年江蘇中考數(shù)學沖刺專題訓練一一專題10四邊形

參考答案與試題解析

選擇題（共20小題）

1.【解答】解：A.f=2時，AP=2cm,PD=3cm,CQ=2c，n,BQ^Scm,因AO〃BC,此

時構(gòu)成一個平行四邊形APC。，不符合題意；

B.1=3時;AP=3cm,PD=2cm,CQ=3cm,BQ=lcm,因AD〃BC,此時構(gòu)成一個平

行四邊形APCQ，不符合題意；

C.f=4時，AP=4cm,PD=\cm,CQ=4a〃，BQ=6cm,因AO〃8C,此時只構(gòu)成一個

平行四邊形APC0,不符合題意.

D.f=5時，AP=5cm,CQ=5cm,BQ=5cm,貝"CQ=8Q=A￡）,因A￡>〃BC,此時有2

個平行四邊形：平行四邊形ACCQ和平行四邊形AQQB,符合題意.

故選：D.

2.【解答】解：；4GJ_BC于G,于“且NG44=45°,

二四邊形AGC”中，NC=135°,

■:ABHCD,

；.NB=180°-135°=45°,

又?.?NAGB=90°,

...△A8G是等腰直角三角形，

，A8=V2AG=2V2,

又：AH_LC。，AH=3,

二平行四邊形ABCD的面積=A8XAH=6VL

故選：A.

3.【解答］解：A、：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，

選項A不符合題意；

8、?.?一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，

選項8符合題意；

c、?.?一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

選項C不符合題意；

?一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，

?,?選項。不符合題意;

故選：B.

4.【解答】解：,??四邊形48CD是平行四邊形，

???S平行四邊形ABCD=7義2=14（平方單位），

V四邊形EFGH是平行四邊形，

:.EH=GF,EH//GF,

9：AD//EH,AD=EH,

：.AD//GF,AD=GFf

：.ZDAO=ZFGO,

在△AO。和aGO尸中，

（ZDAO=ZFGO

J^AOD=Z.GOF，

[AD=GF

：.AAOD^AGOF（AAS）,

SAAOD=SAGOF,

??S陰影=S/iAOC=如平行四邊形ABCD=7（平方單位）,

故選：A.

5.【解答】解：連接A。，

11

:.CG=DH,OC=|CG,OD=^DH,

：?OC=OD,

???△AC。是等邊三角形，

：.AC=AD,NCAO=60°,

在△AC。和△AO。中，

AC=AD

AO=A0,

CO=DO

A(555),

：.ZOAB=ZCAO=30°,

.?.點O一定在NC4B的平分線上運動，

...當OB_LAO時，0B的長度最小，

；NOA8=30°,乙4OB=90°，

.,.<?B=|AB=1xlO=5,

即08的最小值為5.

故選：B.

6.【解答】解：,??△ABE,AADF,ACDG,△8CH是四個形狀大小相同的等腰三角形,

:.XNBE9AADF^△CDG學ABCH,

：./EBH=NHCG=/GDF=/FAE,AF=AE=BE=BH=CH=CG=DG=DF,

：.AAEF^△BEHQXCHG空ADGF,

:.EF=FG=GH=EH9

VZAEB=ZAFD=ZCGD=ZBHC=120°,

：.ZCBH=ZABE=30°,

.\ZEBH=30°,

:?/BEH=/AEF=75°,

：?/HEF=9U0,

???四邊形EFG"是正方形，

在△BEH中,

設(shè)8C=JG連接EG并延長交CO于點M延長GE交A8于點M,

：.ZBEM=\S0°-45°-75°=60°,

：.ZBEM=ZA￡M=60°,

C.EMLAB,且點M是A5的中點，

B

H

-------------------------

Y

:.BM=當

Y

：.ME=^tan300,

：.MN=x=|tan30°x2+V2(V6-V2),

解得：x=2百，

故選：C.

7.【解答】解：A、；平行四邊形的對角線互相平分，

???選項A不符合題意；

8、：矩形的對角線相等，

二選項8不符合題意；

c、?.?對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

二選項C不符合題意；

。、：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，

；?選項力符合題意；

故選：D.

8.【解答】解：A、：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形,

選項A不符合題意；

8、???矩形的對角線互相平分且相等，

選項8不符合題意；

C、???兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，

選項C不符合題意；

。、：對角線相等的平行四邊形是矩形，

???選項。符合題意；

故選：D.

9.【解答】解：一定能判定四邊形A5CQ是平行四邊形的是O4=OC,OB=OD,理由如下:

???OA=OC,OB=OD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

故選：A.

10?【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,AB=DC,

：.DE//BC,

9

\DE=ADf

:?DE=BC,

???四邊形BCED是平行四邊形，

9：AB=BE,

:.BE=DC,

???I2BCEQ是矩形，

故選：B.

11.【解答】解：k、VABHOAD//BC,

???四邊形A3。是平行四邊形，故此選項不符合題意；

B、VAB//DC,

.\ZDAB+ZADC=180°,

?:NDAB=NDCB,

：.ZDCB+ZADC=\S0°,

J.AD//BC,

???四邊形A8CO是平行四邊形，故此選項不符合題意；

9

C、：AO=CO,AB=DC,ZAOB=ZCODf不能判定△AOBg△C。。，

:.不能得到NOAB=ZOCD,

???不能得到A3〃C￡),

???不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；

D、?:AB〃DC,

：.ZOAB=ZOCDf

在ZVIOB和△C。。中,

(ZOAB=NOCD

1Z.AOB=乙COD>

(B0=DO

AAOB^ACOD(A45),

：.AB=DC,

又,：ABHDC、

四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項不符合題意;

故選：C.

12.【解答］解：添加一個條件為ACLBO,理由如下:

：四邊形ABC。中，對角線AC、BO互相平分，

...四邊形ABCD是平行四邊形，

\'AC±BD,

.??平行四邊形AB。是菱形.

故選：C.

13?【解答】解：連接OE,如圖所示：

；24B=8C=4,

：.AB=2,

-：AC,8?；ハ嗥椒郑?/p>

；.OA=OC,OB=OD,四邊形ABCD是平行四邊形,

以AC為斜邊作RtAACE,

：.OE=OA=OC=^AC,

:BELDE,

：.OE=OB=OD=1BD,

：.AC=BD,

四邊形ABC。是矩形，

.\AD=BC=4,/BAO=90°,

：.BD=7AB2+AD2=V22+42=2遍,

故選：A.

14?【解答】解：???四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AB=CDfNABD=NCDB；

又?：BE=DF,

：.AABE^ACDF(SAS),

：.AE=CF,NAEB=/CFD,

：.NAEF=NCFE；

：.KEHCF\

???四邊形AECE是平行四邊形，故3正確；

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CDfNABD=/CDB；

XVBF=DE,

：.BF-EF=DE-EFf

:.BE=DF,

：.AABE^ACDF(SAS),

：.AE=CF,ZAEB=ZCFD；

：.ZAEF=ZCFE；

：.AE//CF；

???四邊形AECr是平行四邊形，故C正確；

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CDfNABD=/CDB；

又?.?N1=N2,

A(ASA),

：.AE=CFtNAEB=/CFD；

???ZAEF=ZCFE；

：.AE//CF；

???四邊形4EC/是平行四邊形，故。正確；

添加AE=C/后，不能得出進而得不出四邊形AEC廠是平行四邊形,

故選：A.

15?【解答】解：過點尸作bQ_LC。于點Q,

??,在正方形AEFG中，NAEF=90°,AE=EF,

：.ZAED+ZFEQ=90°,

*：ZDAE+ZAED=90Q,

：.ZDAE=ZFEQf

在△AOE和△EQF中，

(ZD=/FQE

\z-DAE=Z-FEQ^

UF=EF

：./\ADE^/\EQF(AAS),

：.AD=EQ=49

當直線MN和正方形AMG開始有公共點時：QQ+CM210,

**?f+4+2f210,

解得：后2,

故當經(jīng)過2秒時.直線MN和正方形AEFG開始有公共點.

故選：A.

16?【解答】解：連接PM、PN.

E

DC.

ApB

,四邊形APCD,四邊形PBFE是菱形，/D4P=60°,

.?.乙4PC=120°,NEPB=60°,

'：M,N分別是對角線AC,BE的中點，

1i

：.ZCPM=^ZAPC=60°,NEPN=^NEPB=30。,

：.ZMPN=60Q+30°=90°,

設(shè)物=2m則PB=8-2a,PM=a,PN=V3(4-a),

:.MN=Ja2+[V3(4-a)]2=V4a2-24a+48=J4(a-3：+12,

，a=3時，MN有最小值，最小值為2百，

故選：B.

17.【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，AB=8C=CD=D4=1,

：.ZBCD=90°,

：.BD=y/BC2+CD2=\/2,

為正方形A8C￡＞的對角線，CE平分NACD,

：.ZBCE=61.5°,ZDCE=22.5°,

VZBEC=ZEDC+ZDCE=450+22.5°=67.5°,

：.NBEC=NBCE,

:.BC=BE,

：.DE=BD-BE=^2-I,

故選：D.

18.【解答】解：連接AC,如圖所示.

?.?四邊形0ABe是菱形，

：.OA^AB=BC=OC.

；N4BC=60°,

.?.△ABC是等邊三角形.

：.AC=AB.

：.AC=OA.

；OA=1,

；.AC=1.

畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示.

由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4.

：2020=336X6+4,

...點84向右平移1344（即336X4）到點52020.

：員的坐標為（2,0）,

...82020的坐標為（2+1344,0）,

...82020的坐標為（1346,0）.

：四邊形A8CC是菱形，

1

：.AB=AD,ZADB=^ZADC=60",

???△A3。是等邊三角形，

：.AD=BD,

又???△/)￡/是等邊三角形，

：.ZEDF=ZDEF=60°,

又???乙4。8=60°,

???NADE=/BDF,

fZADE=/BDF

在和△BOb中，lAD=BD

、4A=乙DBF

:?△ADEqdBDF(ASA),

：.AE=BF,

VAE=r,CF=2tf

：.BF=BC-CF=5-2r,

：.t=5-2t

20.【解答】解：,??四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,NB=/BCD=90°,

,:點、E、F、H分別是A3、BC、CO的中點,

:.4BCE烏/\CDF,

:?/ECB=/CDF,

?；NBCE+NECD=90°,

.*.ZECD+ZCDF=90°,

/.ZCGD=90°,

：.CE±DFf故①正確；

在RtZXCGO中，H是CO邊的中點，

：.HG=1C￡>=1/1D,故④正確；

連接A”，

同理可得：A//1DF,

1

■:HG=HD=iCD,

:.DK=GK,

???A”垂直平分DG,

：.AG=AD,故②正確；

:?/DAG=2/DAH,

同理：l\ADH9l\DCF,

：?NDAH=/CDF,

GH=DH,

：.ZHDG=ZHGD,

：.NGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,

：.4CHG=NDAG.故③正確.

故選：D.

二.填空題（共3小題）

21.【解答]解：如圖，過點E作EFLAO于點凡

在矩形ABC￡>中，ZB=ZBAD=90°,

是NBA。的平分線，

.../a4B=/EAF=45°,

N4EB=45°,

：.AB=BE,

矩形ABEF是正方形，

：.AB=BE=EF=AF=4,

：.DF=AD-AF=6-4=2,

：.DE=ylEF2+DF2=[16+4=275.

故答案為：2遍.

22?【解答】解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

AZABC=ZADC=a,NBAD=NBCD,AB=CD,AD=BC,AD//BC,AB//CD,

???平行四邊形ABC。的邊AB、BC、CD、D4為斜邊，分別向外側(cè)作等腰直角三角形,

直角頂點分別為E、F、G、H,

：.BE=AE=CG=DG,AH=DH=BF=CF,/ABE=NEAB=NFBC=/FCB=NGCD

=ZGDC=ZHAD=ZEDA=45°,

9：AB//CD,

：.ZBAD=ZBCD=\SO0-a,

：.ZEAH=360°-45°-45°-(1800-a)=90°+a,NGCr=360°-45°-45°

-(180°-a)=90°+a,

???①錯誤；②正確；

ZHDG=45°+45°+a=90°+a,NFBE=45°+45°+a=900+a,

I.NHAE=/HDG=ZFCG=NFBE,

在AFBE、△”AE、AHDG、△FCG中，

(BF=AH=DH=CF

\^FBE=/.HAE=Z.HDG=乙FCG,

(BE=AE=DG=CG

:?XFBE9XHAE9XHDGQXFCG(SAS),

AZBFE=ZGFC,EF=EH=HG=GF,

???四邊形EFG〃是菱形，

VZBFC=90°=/BFE+NEFC=NGFC+NCFE,

：.ZEFG=90°,

???四邊形EFG"是正方形，

???②③④⑤正確；

故答案為：②③④⑤.

23.【解答】解：過點C作CMJ_8E交8E于M,如圖，

:EC平分NBED,

:?/CEM=NCED,

在△EMC和中

/CEM=/CED

J/.EMC=乙EDC=90°>

(EC=EC

:,叢EMC迫XEDC(A4S),

：.NDCE=NMCE,MC=DC=1,

在RtABA/C中，BM=y/BC2-BM2=1=MC,

.?.△BMC為等腰直角三角形，

...NMC￡>=45°,

：.ZMCD=45°

：.ZECD=ZMCE=22.5°.

故答案為：22.5.

三.解答題(共7小題)

24?【解答】解：(1)???菱形有兩組鄰邊相等，故菱形是箏形,

故答案為：是；

(2)是正方形的對角線，

故NEBA=NE8C=45°,

"：AB=BC,BA=BE,

：./\EBC^/\EBA(SAS),

：.EC=EA,

'：AB=BC,

四邊形ABCE是拳形；

(3)①由箏形的定義，可知其性質(zhì)：箏形對角線互相垂直；箏形A8C￡＞是軸對稱圖形,

直線80是其一條對稱軸(答案不唯一)；

②如圖，過點C作于點”，

A

由①知，箏形對角線互相垂直，故NOOC=90°,

???AC=8,則OC=4,

而AD=CD=5,

由①知，直線8。是箏形的一條對稱軸，則乙4。8=/(?。8=2入4。。，

?.?ZADC=2ZABC,

：.ZODC=ZABCt

ZDOC=ZBHC=90°,

：?l\ODCs[\HBC,

.迫_旺_里即坦_竺_些

ODOCCD345

設(shè)HB=3x,則HC=4x,8C=5x,

貝ljAH=AB-BH=BC-BH=5x-3x=2x,

在RtZ\AHC中，AC2=A//2+CW2,即82=(2r)2+(4x)2,

解得x=警，

則AB=BC=5x=4Vl

25?【解答】解：(1)連接B。，作8。的垂直平分線，如圖1所示:

(2)四邊形EBFQ為菱形，理由：

由折疊知，BE=DE,FB=FD,NBFE=NDFE,

?.?四邊形ABC。為矩形,

J.AD//BC,ZDEF=ZBFE,

：.NDEF=ZDFE,

：.DE=DF,

JEB=ED=FB=FD,

即四邊形為菱形；

（3）折疊后的圖形如圖2所示,

；四邊形為菱形，故設(shè)BE=DE=x,貝ljAE=8-x,

在RtZ\A8E中，BE1=AE2+AB2,B|J42+(8-%)解得x=5,

：.BE=5,

設(shè)BD交EF于點0,則BDLEF,

而BD=-JAD2+AB2=V82+42=46=2B0,

則B0=2煙,

在RtABEO中，E0=\IBE2-BO2=J52-(2>/5)2=V5=^EF,

則EF=2瓜

故答案為：2b.

?.?四邊形ABC。是矩形,

：.AC=BD,0C=|AC,OD=

OC=OD,

:點E與點。關(guān)于CD對稱.

CD垂直平分0E,

：.DO=DE,CO=CE,

:.DO=DE=CO=CE,

四邊形CEQO是菱形；

（2）?.?四邊形A8CZ）是矩形，

：.AB=CD=2,

'：OD=OC,

...△OQC是等腰三角形，

：NAOB=NCOO=60°,

.?.△OOC是等邊三角形，

AZODC=60°,

：.ZDOE=30°,

：.OD=DC=2,

?.,CD垂直平分OE,

：.DF=\,

：.OF=V3

OE=2OF=2>/3,

.?.點E、O之間的距離為2b.

27.【解答】解：（1）①如圖1,過E作EFJ_A8,垂足為凡E尸分別與CD、A/N相交于點

G、H,

當OWxWl時，y=2x,

當1WXW2時，

；四邊形4BCD是矩形，

：.AB=CD=2m,ZA=ZADC=90°,

VEFlAB,

/.ZAFG=90°,

，四邊形4DG尸是矩形，

：.AD=GF=lm,ZDGF=90Q,

???四邊形PQNM是矩形，

:.MN〃PQ,

.\ZEFA=ZEHM=90°,

由題意可知，EF=2m,HF=xm,

；?EG=lm,EH=(2-x)m,

?：MN//PQ//CDf

:.4EMNsAEDC,

又EH、EG分別是AEMN、△E7)C的對應高，

.四一空即旦-"

EGCD12

化簡，得：MN=(4-2r)m.

.,.y—x(4-2x)--2x1+4x.

②當OWxWl時，y=2x,

因此，當x=l時，y最大,最大值是2.

當1&W2時，y=-2?+4x=-2(x-1)2+2,

因此，當x=l時，y最大,最大值是2.

綜上所述，當x=l時，y最大，最大值是2.

因此，金屬桿MN移動到C。所在的位置時，通風口面積最大，最大面積是2,層.

(2)①如圖2,已知在△ABC中有內(nèi)接矩形，其中M、N在AB、AC邊上，P、。在BC

邊上，

易證當MN為中位線時，矩形PQMW的面積最大，且最大面積為△A3C面積的一半，

1

即:二?底?高，

4

在圖②中，延長即、EG交直線AB于F、G,

則MN為△EFG的中位線時，矩形PQNM的面積最大，

所以要想金屬桿移動到高于所在位置的某一處時通風口面積達到最大值，

只需△EFG與FG邊平行的中位線在CD上方即可，

即c>2b,此時的最大，面積為AFFG的面積的一半.

作￡S_LFG于S交C￡>于J,

'JCD//FG,

:.△EDCS/\EFG,

DCE]ac-b

...—=—,n即rt—=---

FGESFGC

：.FG=-^r(/?),

二矩形PQMW面積的最大值=面積的一半=扔7心=逐團(混).

QC2

故答案為：C*—

②如圖4,線段即為所求.

(3)當0VaW2Z;(等同于bCcwC-時，金屬桿MN移動到CD所在位置時，通風

口面積最大；

lV2

當“>26(等同于c>&8)時，金屬桿MN移動到與A8相距一cm時，通風口面積最大.

2

易知當M在4。上時，y隨x增大而增大，

當M在CZ)上時，如圖5,

OP=y/OM2—MP2=Vc2—x2CHI'),

則y—2MP,OP—1x\!c2—x2=2V—x4+c2x2=2J—(x2—^c2)2+

則當即匕WxV冬■時，y隨x增大而增大，

當孝c時，y隨x增大而減小.

V2「

???當—cKb,即人時：當OVxWZ?時，y隨無增大而增大；