2022年上海高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺復(fù)習(xí)訓(xùn)練專題2

2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案(上海專用)

專題2.4分類與整合思想中的五種題型

題型一：三角函數(shù)與解三角形

[n兀

tanx,xe!--

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=,若f(x)在

一?^^?x+3后,xe

n

區(qū)間。上的最大值存在，記該最大值為(｛。｝,則滿足等式K｛lOM)｝=3-K｛[a,2a]｝的實(shí)數(shù)a

的取值集合是.

2.(2022?上海市松江二中高三開學(xué)考試)某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣

污染狀況后，建立了一個(gè)預(yù)測(cè)該市一天中的大氣污染指標(biāo)八，)與時(shí)間f(單位：小時(shí))之

間的關(guān)系的函數(shù)模型：〃f)=g(f)+，+2a,問0,24),其中g(shù)(f)=；sin(切180，代

表大氣中某類隨時(shí)間f變化的典型污染物質(zhì)的含量，參數(shù)“代表某個(gè)已測(cè)定的環(huán)境氣象指

標(biāo)，且“e0,-?現(xiàn)環(huán)保部門欲將/①的最大值M(a)作為每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)予以發(fā)

布.

(1)求g(/)的值域；

(2)若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,請(qǐng)求出"(a)的表達(dá)式，并預(yù)

測(cè)該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會(huì)超標(biāo)？請(qǐng)說明理由.

題型二：數(shù)列

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))若數(shù)列｛叫,也｝的通項(xiàng)公式分別為%XT)"/，，

/-\n+2OI9

2=2+W—，且/<2對(duì)任意〃wN.恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

n

()

A.[-2,1)B.-2,|^C.D.[-1,1)

2.(2020?上海閔行?一模)已知各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列｛%｝滿足。e=4%，有以下

兩個(gè)結(jié)論:①若見>出，則數(shù)列｛q｝是遞增數(shù)列；②數(shù)列｛《,｝奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列則

()

A.①對(duì)②錯(cuò)B.①錯(cuò)②對(duì)C.①②均錯(cuò)誤D.①②均正確

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/?sinx各項(xiàng)均不相等的數(shù)列出｝滿足

|%區(qū)](，=1,2,31.,").令F(〃)=區(qū)+*2+1+x?)-[f(xl)+f(x2)+L+/(x.)](〃eN*).給出下列

三個(gè)命題：(1)存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列｛x,J,使得尸5)=0；(2)若數(shù)列*“｝的通項(xiàng)公式為

%=(-；)"(〃eN")，則F(2&)>0對(duì)％eV恒成立；(3)若數(shù)列優(yōu)｝是等差數(shù)列，貝IJ

F(〃)20對(duì)〃eN*恒成立，其中真命題的序號(hào)是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

4.(2022?上海?高三專題練習(xí))對(duì)于數(shù)列｛4｝,如果存在最小的一個(gè)常數(shù)7(TeN*),

使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有4,r=a“成立，則稱數(shù)列｛q｝是周期為T的周期數(shù)列.設(shè)

m=qT+%(m,q,T,reN*),數(shù)列前九T"項(xiàng)的和分別記為S,“,Sr，S,,則力上.,*三者的關(guān)系

式;已知數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式為4=1〃-131,那么滿足％+%+…+4”=102

的正整數(shù)女=.

5.(2022?上海師大附中高三階段練習(xí))已知｛%｝是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，若存在

sinXj+sinx2+sinx3+…+sin/=0

實(shí)數(shù)為,與滿足方程組:,則d

aAsinx}+a2sin/+%sin芻+???+%sin耳=25

的最小值為___________

6.(2022?上海楊浦?二模)已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列｛4｝滿足：①4=。；②

："一3若存在一個(gè)非零常數(shù)TWNI對(duì)任意〃eN*,都成

4-4%<3、>

立，則稱數(shù)列｛〃”｝為周期數(shù)列.

(1)當(dāng)。=3時(shí)，求q+。2+%+%的值;

(2)求證：存在正整數(shù)〃，使得04443；

(3)設(shè)S“是數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a滿足：①數(shù)列｛。,｝為周期數(shù)列；②存在正

奇數(shù)A，使得耳=2&.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，說明理由.

7.(2022?上海寶山?一模)已知函數(shù)/(x)=2-|x|,無窮數(shù)列｛%｝滿足4M=/0),

neN”.

(1)若q=2,寫出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式(不必證明)；

(2)若q>0,且外,%,%成等比數(shù)列，求4的值；問｛“"｝是否為等比數(shù)列，并說明理

由；

(3)證明：%,%,L,%,L成等差數(shù)列的充要條件是q=1.

8.(2022?上海?高三專題練習(xí))對(duì)于數(shù)列｛七｝,若存在meN*,使得與**=々對(duì)任意

1女42吁1("都成立，則稱數(shù)列｛%｝為折疊數(shù)列”.

(1)若4=|25〃-200|(“eN),判斷數(shù)列｛4｝是否是“加-折疊數(shù)列”，如果是，指出機(jī)

的值，如果不是，請(qǐng)說明理由；

(2)若怎=夕"(〃€”)，求所有的實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列｛斗｝是3-折疊數(shù)列；

(3)給定常數(shù)peN*,是否存在數(shù)列｛%｝,使得對(duì)所有〃?eN”,｛七｝都是P"?-折疊數(shù)歹lj,

且｛七｝的各項(xiàng)中恰有P+1個(gè)不同的值，請(qǐng)說明理由.

9.（2022?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知無窮數(shù)列｛6,｝與無窮數(shù)列他,｝滿

足下列條件：①a“e｛0,l,2｝,〃eN；②導(dǎo)=（T）"?弓4eN'.記數(shù)列也）的

前〃項(xiàng)積為T”.

（1）若q=4=1=。，“3=2，4=1,求3；

（2）是否存在4,%，%，4，使得4也也也成等差數(shù)列?若存在，請(qǐng)寫出一組4,%,生，%；

若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若a=1,求3必的最大值.

10.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知用為正整數(shù)，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列｛《,｝滿足:

%+尸字""媯偶數(shù)，記數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和為s”.

a“為奇數(shù)

（1）若4=8,機(jī)=2,求邑的值；

（2）若〃7=5,邑=25,求《的值；

（3）若4=1㈤為奇數(shù)，求證：“限＞〃1”的充要條件是“。”為奇數(shù)”.

11.（2020?上海楊浦?一模）已知無窮數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,,若對(duì)于任意的正整數(shù)

?,均有$T20,邑,40,則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P.

（1）判斷首項(xiàng)為1,公比為-2的無窮等比數(shù)列｛〃,,｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

（2）已知無窮數(shù)列｛4,,｝具有性質(zhì)P,且任意相鄰四項(xiàng)之和都相等,求證：邑=。；

,、心（〃為奇數(shù)）

（3）已知勿=2"-l（〃wN*）,數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列，〃“=%6為偶數(shù)，，若無窮數(shù)列㈤｝

.2

具有性質(zhì)P,求的取值范圍.

12.（2020?上海市大同中學(xué)高三階段練習(xí)）如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它得前

一項(xiàng)得差都大于2,則稱這個(gè)數(shù)列為數(shù)列.

（1）若數(shù)列｛4｝為“。數(shù)列"，且4=^-3,a2=-,仆=4,求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

mfn

（2）是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛4｝為“D,數(shù)列”，且其前〃項(xiàng)和5?滿足S?<n2+n?

若存在，請(qǐng)求出｛6｝的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）已知等比數(shù)列｛q｝的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且｛q｝為“2數(shù)列"，b“=J,

%=（〃+?2”-5,當(dāng)數(shù)列｛4｝不是數(shù)列”時(shí)，試判斷數(shù)列｛q｝是否為“。數(shù)列”，并

說明理由.

13.（2021?上海虹口?二模）若數(shù)列｛q｝滿足“對(duì)任意正整數(shù)i,都存在正

整數(shù)k,使得ak=q?%”,則稱數(shù)列｛4｝具有“性質(zhì)P”.

（1）判斷各項(xiàng)均等于。的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說明理由；

（2）若公比為2的無窮等比數(shù)列｛q｝具有“性質(zhì)P”，求首項(xiàng)4的值；

（3）若首項(xiàng)q=2的無窮等差數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)P”，求公差d的值.

14.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知正整數(shù)數(shù)列｛。,｝滿足:a2=b,

a?+2026

a?2=~~

+%+1

（1）已知%=2,ab=1013,求4和b的值;

(2)若a=l,求證|4,+2-4歸-\"

(3)求a+b的取值范圍.

15.（2021?上海?華師大二附中高三階段練習(xí)）已知無窮數(shù)列（“J滿

足：4=°,a“H=a：+c

(nwN：ceR).對(duì)任意正整數(shù)”22,記％=｛。1VM｛1,2,3,…，*⑷交｝,

A/=(c|VieN\|a,.|<2|.

(1)寫出M?,M,；

(2)當(dāng)c>!時(shí)，求證：數(shù)列｛〃“｝是遞增數(shù)列，且存在正整數(shù)3使得c《M?；

4

(3)求集合

16.(2019?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)｛4｝是無窮正項(xiàng)等比數(shù)列，公比為4.對(duì)于

正整數(shù)集N*的子集T,若T=0,定義*=0；若7=乜冉,…，力，定義

ST=ali+a,2+---+a,i.

(1)若4=1,4=3,T=｛2,4,5｝,求6；

(2)設(shè)0<夕［.若A、B是N*的非空有限子集且AnB=0,求證：SA^SB；

(3)若對(duì)N*的任意非空有限子集C、。，只要12〉，就有品+%2225。，求公比4的

取值范圍.

17.(2020?上海普陀?三模)已知數(shù)列6,，，…M。滿足：對(duì)任意的

/,./€｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,若i/j,則。產(chǎn)方,且€｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,設(shè)集合

A=｛a,.+aM+aM\i=1,2,3,4,5,6,7,8),集合力中元素最小值記為前A),集合4中元素最大值

記為“(A),如數(shù)列：7,6,2,8,3,4,9,1,5,10時(shí)，A=｛13,14,15,16),/n(A)=13,n(A)=16.

(1)已知數(shù)列：10,6,1,2,7,8,3,9,5,4,寫出集合加⑷及〃(A)；

(2)求證：不存在鞏A)注18,

(3)求"(A)的最大值以及“(A)的最小值，并說明理由.

18.(2020?上海青浦?一模)若無窮數(shù)列｛%｝和無窮數(shù)列｛2｝滿足：存在正常數(shù)/,使得

對(duì)任意的〃eN*,均有0-切4A,則稱數(shù)列｛叫與也｝具有關(guān)系P(A).

⑴設(shè)無窮數(shù)列｛%｝和也｝均是等差數(shù)列，且%=2",d=〃+2(〃N*),問：數(shù)列｛4｝

與他｝是否具有關(guān)系尸⑴？說明理由；

(2)設(shè)無窮數(shù)列｛(｝是首項(xiàng)為1,公比為g的等比數(shù)列，b,=a^+\,“eN*,證明：數(shù)列

｛■與｛仇｝具有關(guān)系P(A),并求力的最小值；

(3)設(shè)無窮數(shù)列｛〃“｝是首項(xiàng)為1,公差為d("eR)的等差數(shù)列，無窮數(shù)列出｝是首項(xiàng)為2,

公比為q(9eN")的等比數(shù)列，試求數(shù)列｛《,｝與也｝具有關(guān)系P(4)的充要條件.

19.(2020?上海?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛七｝,若存在〃?eN*,使得毛1=々對(duì)任意

1442〃L1(&CM)都成立，則稱數(shù)列伉｝為“機(jī)-折疊數(shù)列”.

⑴若%=塌(〃42021,“€曠)，a="2-2019〃-l(〃eM),判斷數(shù)列｛4｝,｛〃｝是否是

“機(jī)-折疊數(shù)列”，如果是，指出加的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；

(2)若X"=q"(neN"),求所有的實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列優(yōu)｝是3-折疊數(shù)列；

(3)給定常數(shù)peN*,是否存在數(shù)列｛%｝,使得對(duì)所有〃?eV,｛七｝都是？〃一折疊數(shù)

列，且｛%｝的各項(xiàng)中恰有0+1個(gè)不同的值，證明你的結(jié)論.

20.(2020?上海閔行?一模)己知數(shù)列｛叫滿足

4=1,出=a(a>1),|為+2-%+i|T%+i_4,|+4neN*

(1)當(dāng)d=a=2時(shí)，寫出為所有可能的值；

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，若%>%-且見“>%”+1對(duì)任意we"恒成立，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(3)記數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S.,若他“｝,｛%才分別構(gòu)成等差數(shù)列，求反“.

題型三：不等式

一、解答題

1.（2021?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三期中）已知關(guān)于x的不等式—＜0的解集為

x+2

M,不等式的解集為N.

⑴若歷求實(shí)數(shù)〃的值和解集N.

（2）若“xeN”是“xe/”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

2.（2020?上海?高三專題練習(xí)）解下列不等式:

(1)2<x+i；

X

(2)(x—1),Jx+2..0；

(3)log/0.2<log,(_40.2；

(4)1。&1,（爐一1）＞1；

(5)

（x-i）2（x+i）a-2）

(6)＜Q

x+4

3.（2020?上海?高三專題練習(xí)）解不等式：2，+泗士2點(diǎn).

4.(2020?上海?高三專題練習(xí))已知a>0,b>0,〃wN.求證:

(1)■卜圖1豆+物;

(2)

a"b"ab

5.(2016?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí))已知關(guān)于x的不等式(依-公-4)(x-4)>0的解

集為A,其中ZwR；

(1)若5eA,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)求不等式的解集A；

(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得上述不等式的解集A中只有有限個(gè)整數(shù)？若存在，求出使得

A中整數(shù)個(gè)數(shù)最少的k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

6.(2016?上海市晉元高級(jí)中學(xué)高三期中)關(guān)于x的不等式x2_(2a+l)x+(/+“-2)>0,

x2-(a2+〃)x+/<0的解集分別為"和N

(1)試求M和N；

（2）若McN=0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7.（2021?上海市建平中學(xué)高三開學(xué)考試）提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高

峰期間的交通狀況.在一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）和車流密度

60,0<x<20

x（單位：輛/千米）滿足關(guān)系式：v=k“.研究表明：當(dāng)隧道

70------,20<x<120

I140-x

內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車道速度是0千米/小時(shí).

（1）若車流速度v不小于50千米/小時(shí)，求車流密度x的取值范圍；

（2）隧道內(nèi)的車流量）（單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足）

求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時(shí)），并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度（精確

到1輛/千米）.

8.（2022?上海?高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列｛4｝,若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之

前的所有項(xiàng)的和，則稱他“｝為P數(shù)列.

（1）若數(shù)列1,2,x,8是P數(shù)列，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)設(shè)數(shù)列q,0，的，…，4。是首項(xiàng)為T、公差為"的等差數(shù)列，若該數(shù)列是P數(shù)

列，求d的取值范圍；

(3)設(shè)無窮數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為“、公比為4的等比數(shù)列，有窮數(shù)列｛2｝、｛%｝是從｛七｝中

取出部分項(xiàng)按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項(xiàng)和分別記為刀、T2,求證：當(dāng)。＞0

且1=7；時(shí)，數(shù)列｛4｝不是戶數(shù)列.

9.(2019?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)A是由〃個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記

作：AY4%…,知…其中q(i=12L,")稱為數(shù)組A的“元”，i稱為《的下標(biāo)，如

果數(shù)組S中的每個(gè)“元”都是來自數(shù)組A中不同下標(biāo)的“元”，則稱S為A的子數(shù)組.定義

兩個(gè)數(shù)組4=3,生,…,4),8=(偽也，…也)的關(guān)系數(shù)為C(A,8)=她+2a+L+“也.

(1)若A=8=(-1/,2,3),設(shè)S是B的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，求C(AS)的最

大值；

(2)若A=^44,B=(0,a,b,c),且〃2+〃+c'2=l,S為B的含有三個(gè)“元”的子

\7

數(shù)組，求C(A,S)的最大值；

(3)若數(shù)組A=(4，4g)中的“元”滿足。；+嫉+"；=1，設(shè)數(shù)組紇＞=l,2,3,L,〃)含有四

個(gè)“元”%也“2?3,04,且%+%+%+%=機(jī)，求A與紇的所有含有三個(gè)“元”的子

數(shù)組的關(guān)系數(shù)C(AB,“)(加=1,2,3L,〃)的最大值.

題型四：解析幾何

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)集合A=｛“直線與y=2x直線相交且以交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為斜率｝.

(1)點(diǎn)(-2,0)到A中哪條直線距離最?。?/p>

(2)設(shè)P(-2,a),點(diǎn)P到A中直線距離的最小值設(shè)為d(a),求d(a).

雙曲線.

2.(2021?上海?高三專題練習(xí))=1的實(shí)軸為44,點(diǎn)p是雙曲線上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引曲2,4尸，A。與&Q的交點(diǎn)為Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程.

22

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))定義：已知橢圓［+與=l(a>b>0),把圓

a2b~

f+y2=率二稱為該橢圓的協(xié)同圓.設(shè)橢圓C：E+f=1的協(xié)同圓為圓。(。為坐標(biāo)系原

CT+b-42

點(diǎn))，試解決下列問題：

(1)寫出協(xié)同圓圓。的方程；

(2)設(shè)直線/是圓。的任意一條切線，且交橢圓C于45兩點(diǎn)，求西?麗的值；

(3)設(shè)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OMLON,過點(diǎn)。作交直線MN于

H點(diǎn)，求證：點(diǎn)”總在某個(gè)定圓上，并寫出該定圓的方程.

題型五：計(jì)數(shù)原理

1.(2020?上海?復(fù)旦附中青浦分校高三階段練習(xí))甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙

組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有2名女

同學(xué)的概率為.

2.(2022?上海市青浦高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))如圖，由6x6=36個(gè)邊長為1個(gè)單位的小

正方形組成一個(gè)大正方形.某機(jī)器人從C點(diǎn)出發(fā)，沿若小正方形的邊走到。點(diǎn)，每次可以向

右走一個(gè)單位或者向上走一個(gè)單位.如果要求機(jī)器人不能接觸到線段A8,那么不同的走

法共有種.

3.(2020?上海?高三專題練習(xí))分別從集合A={1,3,5,7}和集合8={0,2,4,6,8}中各取兩

個(gè)數(shù)字，問：

(1)可組成多少個(gè)四位數(shù)？

(2)可組成多少個(gè)四位偶數(shù)？

2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）

專題2.4分類與整合思想中的五種題型

題型一：三角函數(shù)與解三角形

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=若/（x）在

區(qū)間。上的最大值存在，記該最大值為K｛O｝,則滿足等式長｛［0,。）｝=3/｛［420|｝的實(shí)數(shù)2

的取值集合是.

【答案】

【分析】先確定f（x）在區(qū)間［0,。）上有最大值6目（《不贄，因此f（x）在區(qū)間［〃,2司

上的最大值為3.然后按〃x）在x="處或x=2a處取最大值由分類討論，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)

33

而可得結(jié)果.

【詳解】依題意可知，〃x）在區(qū)間［0,上有最大值必然為百，且awr與｝所以“X）

在區(qū)間上勿］上的最大值為4.

（1）若f（x）在*處取最大值且，即一色叵.“+3目=走，解得a=萼，此時(shí)

3萬39

2a=三＜彳，所以。=笠適合題意;

969

⑵若加在.勿處取最大值東即tan"#,解得T，此時(shí)a與所以

74

〃適合題意.

44

綜上可知，。的取值集合是

417汽1

故答案為:

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于確定/*)在區(qū)間［0,4)上有最大值心，且

。e停當(dāng))進(jìn)而可得/(x)在區(qū)間［a,2a］上的最大值為爭(zhēng)

2.(2022?上海市松江二中高三開學(xué)考試)某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣

污染狀況后，建立了一個(gè)預(yù)測(cè)該市一天中的大氣污染指標(biāo)外。與時(shí)間f(單位：小時(shí))之

間的關(guān)系的函數(shù)模型：〃r)=g(f)+g-a+2a,問0,24),其中g(shù)(f)=；sin(卦-180，代

表大氣中某類隨時(shí)間，變化的典型污染物質(zhì)的含量，參數(shù)。代表某個(gè)已測(cè)定的環(huán)境氣象指

標(biāo)，且0?.現(xiàn)環(huán)保部門欲將/(，)的最大值M(a)作為每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)予以發(fā)

布.

⑴求g(f)的值域；

(2)若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,請(qǐng)求出〃(。)的表達(dá)式，并預(yù)

測(cè)該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會(huì)超標(biāo)？請(qǐng)說明理由.

’57

a+—,0<a<一

【答案】⑴。(2)M(a)=612,不會(huì)超標(biāo)，理由見解析.

3124

【分析】(1)由題設(shè)可得盤”18閆0,弓］,理由正弦函數(shù)的性質(zhì)求g(f)的值域即可.

(2)令〃=刈+人日肩，討論〃，。的大小關(guān)系求出他)=|〃-4+%的分段函數(shù)形式，

336

在討論。的范圍求對(duì)應(yīng)M(a)表達(dá)式，并判斷M(a)的值域，由其最大值與2的大小關(guān)系判

斷是否會(huì)超標(biāo).

⑴由題設(shè)，”18月0,18］,則去”1800,苧,

所以g(f)=；sin像18|卜［0,；］,即g?)的值域?yàn)椋?,；］.

⑵由(1)知：〃=g⑺+：€E,斗，則版〃)=/?)=|〃一4+為，

336

所以/?(［〃u+a),u>=a:,

\3a-<a

當(dāng)時(shí)，加〃)=〃+〃在43上遞增，故M(a)=A)=a+2；

33666

當(dāng)g<a41時(shí),“")氣5此時(shí)在B，〃)上例⑷=〃(g)=3a-g在[。,會(huì)上

o

p+a,a<JJ<—

M(?)=//(|)=a+|；

517

a+-,-<a<—

］5776312

而3ci-----ci—=2a—=0得：a——,故M(a)=<

36612.17,3

3a——,—<a<—

3124

57

〃+—,0<a<—

612

綜上，M^)=，易知：M(a)<2.0恒成立，故該市目前的大氣環(huán)境綜合

公17/r3

3124

指數(shù)不會(huì)超標(biāo).

題型二：數(shù)列

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))若數(shù)列㈤},也}的通項(xiàng)公式分別為4,=(-1廣加%,

2=2+且!-----月.4<〃,對(duì)任意”cN*恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

n

()

A.[-2,1)B.C.D.[-1,1)

【答案】B

【分析】由凡<勿可得(-1廣球[。+￡)<2,分別討論“為奇數(shù)和〃為偶數(shù)的情況,即可求解.

【詳解】因?yàn)?.<4,則㈠產(chǎn)〃<2+㈠廠,即（一1）"2。［+￡］<2,

因?yàn)閷?duì)任意〃eN*恒成立，

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，a>-2-L貝！1（-2-』］<-2,所以aZ-2；

nk"Znax

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),"2」，則（2」］=2一；=［,所以"之

n\〃人i?222

故一2,目，

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，考查分類討論思想.

2.（2020?上海閔行?一模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列｛4｝滿足=4%,有以下

兩個(gè)結(jié)論:①若出>4，則數(shù)列｛q｝是遞增數(shù)列；②數(shù)列｛4｝奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列則

（）

A.①對(duì)②錯(cuò)B.①錯(cuò)②對(duì)C.①②均錯(cuò)誤D.①②均正確

【答案】D

【解析】按照4>1和0<%<1分類討論，分別判斷①②即可得解.

【詳解】???｛%｝為各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列，..?4〉（）且

⑴當(dāng)4>1時(shí)，顯然｛a,,｝為遞增數(shù)列，①②均正確；

（2）當(dāng)0<%<1時(shí)一，2=6"'€（4，1）,“3=4《€（?,,<,）,不滿足①的前提%>%；

4=%%e（a/,a/，）=（%，%）,as=a\*《"）=（6，％），

依此類推，”（味，*），即偶數(shù)項(xiàng)遞減，奇數(shù)項(xiàng)遞增.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

3.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x2.sinx各項(xiàng)均不相等的數(shù)列｛X,,｝滿足

rr

|七區(qū)彳（i=1,2,3,….令F（n）=（X,+X2+L+X?）.［/（XI）+/（X2）+L+/（x?）］（nwN*）.給出下列

三個(gè)命題：（1）存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列｛x.｝,使得P（〃）=0；（2）若數(shù)列｛x,,｝的通項(xiàng)公式為

X,,=（T（〃GN"）,則尸（26>°對(duì)?恒成立；⑶若數(shù)列㈢｝是等差數(shù)列，則

F(〃)*0對(duì)〃eN,恒成立，其中真命題的序號(hào)是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

TT

【解析】由題意，函數(shù)/a)=/.sinx是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在xw0,萬的性質(zhì)，此時(shí)

y=x2,y=sinx都是增函數(shù)，所以f(x)=f.sinx在XW0看上也是增函數(shù)，即石+/工。

冗TT

時(shí)，(占+%)?"(用)+/(々)]>0，對(duì)于(1),-y<^=-x3<y,x2=0,即可判斷；對(duì)于

(2),運(yùn)用等比數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對(duì)于(3),運(yùn)用等差數(shù)

列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)/(X)的單調(diào)性，即可判斷；

【詳解】由題意得/(-JC)=(-X)2-sin(-x)=-x°.sinX=-/(x),所以/(x)=x?.sinx是奇函

數(shù)，只需考查函數(shù)在xw0,1的性質(zhì)，此時(shí)y=V,y=sinx都是增函數(shù)，所以

冗冗冗

/(x)=d.sinx在xe0,—上也是增函數(shù)，即函數(shù)/(x)=/-sinx在xe-y,y上也是增函

數(shù)，設(shè)為，與e

若"+々<。，則占<-*2,BP/(xl)+/(x,)<0

若再+々>0,則為>-々，，f(xJ>/(—x2)=—/(X2),即/(為)+/(%2)>0

所以占+通*0時(shí),(&+々)?"(玉)+/(毛)]>0,

7FTT

對(duì)于(1),HX-—=-x3=0,F(3)=(%!+x2+x3)-[/(%l)+/(x2)+/(x,)]=o,故

(1)正確：

令(3)=2a,則，=-4sin(3)+sin^=-4sin2a+sina

=-8sinacosa+sina=sina(l-8cosa)

又AwN*,知0<a?,，則sina>0,cos—<cosa<1,貝lj一7<l-8cosaW1—8cos',

444

八TV(7T7r\7171.71.710+Jd1

Qcos—=cos-----=cos—cos—+sin—sin—=-------->-,

12<34J343448

又y=cosx在10,工]上單減，「.cos2>cos±,BPcos—>-,/.l-8cos—<0

k2)412484

sina(l-8cosa)<0,即+sin^<0,則/(七*_1)+/(x2*)<0,

由k的任意性可知,/(X)+/(七)+L+f(x2k)<0,

又為+石+L+x2k<0,所以尸(2&)=(X]+X2+L+x2k)-[f(xt)+f(x2)+L+/(x2J]>0,故

(2)正確；

對(duì)于(3),數(shù)列*,,｝是等差數(shù)列，

若%+%+…+x“=0,則尸5)=0；

若看+%>0,即3>F，又/(x)是奇函數(shù)也是增函數(shù)有/(為)>/(-%)=-/(%),可得

/(4)+/(怎)>0；同理:

若馬+%>0,可得〃巧)+八)>0;

若3+%2>0,可得/*3)+/(加)>0；

LL

相加可得:若為+%+L+七>0,可得/(%)+若％)+L+/(x“)>0,gpF(n)>0;

同理若演+±+L+x“<0,可得f(%)+/(%)+L+。4)<0,即尸(〃)>0,故(3)正確;

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查真假命題的判斷，關(guān)鍵是要理解新定義的函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查了

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的問題，考查了等差等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推

理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.

4.（2022?上海?高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列如果存在最小的一個(gè)常數(shù)7（TeN*）,

使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有4+r=4成立，則稱數(shù)列｛%｝是周期為T的周期數(shù)列.設(shè)

m=qT+r,（m,q,T,reN1,數(shù)列前機(jī),T,/?項(xiàng)的和分別記為,則三者的關(guān)系

式;已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4,=1〃-131,那么滿足ak+磯+…+=102

的正整數(shù)（=.

【答案】S,?=qST+Sr%=2或％=5

【分析】利用前利用前〃項(xiàng)和的定義展開，然后每T項(xiàng)分一組，最后剩下，?項(xiàng)，結(jié)合周期

數(shù)列的性質(zhì)即可求得5m=qST+S,；

先求出｛q｝的前〃項(xiàng)和，然后將問題轉(zhuǎn)化為-^-1=102,通過討論后413與女＞13兩種

情況下求得方程的根，即可得到女的值.

【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列｛q｝是周期為T的周期數(shù)列，，”=勺7+，-，則

S,”=（%+々2+…+%）+31+/+。2+7,+…+。27）+…+（4+（9-1）/+。2+（9-1）7^4"）

+(〃k"+。2+"+…+&呵)=QST+Sr，

所以與=%+斗.

故答案為：Sm=qST+Sr.

,..一f13-71,77<13

⑵因?yàn)閝=|"T3|,所以%=｛,

[,2-13,n>13

所以當(dāng)〃<13時(shí)，｛可｝的前〃項(xiàng)和為5,,="要，

當(dāng)”>13時(shí)，｛《,｝的前”項(xiàng)和為5,,=幾+止上|^^=3(/-25〃+312)；

滿足4+4+i+…+4+19=102,

即ak+4+1+…+%+19=S"[9-5卜]=102,k￡N*.

而S*+i9=([(&+19y-25*+19)+312]=；(二+13%+198),

127

⑴當(dāng)*—1413時(shí)，51=一23+萬4-13,

1177

2

所以St+I9--(^+13A:+198)-+y-13)=102,

解得女=2或氏=5；

⑵當(dāng)A:-1>13時(shí)，Sp=-1y-25(%-1)+312]=3(/-27%+338),

所以S"19-Si=g(r+13k+198)-；(A:2-21k+338)=102,

解得k不是整數(shù)，舍去.

故答案為：Z=2或4=5.

【點(diǎn)睛】此題兩個(gè)小問，第一小問解題的關(guān)鍵是弄清楚數(shù)列求和的定義，利用定義將各前

〃項(xiàng)和求出化簡(jiǎn)即可；第二小問通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值符號(hào)，所以需要用到分類討論的思

想，分別求出h

5.(2022?上海師大附中高三階段練習(xí))已知｛〃,,｝是公差為以">0)的等差數(shù)列，若存在

sin+sinx+sinx,H---bsin/=0

實(shí)數(shù)X1,演，芻，…，X)滿足方程組:2

qsinx,+a2sin+a3sinx34----+(79sin^=25'、

的最小值為—

【答案

【分析】把方程組中的都用。5和d表示，求得d的表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)有界性可得出

答案.

【詳解】解：把方程組中的。“都用附和d表示得：

(%-4d)sin玉+(%-3d)sin%2+(%-2J)sin^+...+(%+4J)sin^=25,

把sin%+$皿々+…+sin/=0代入得:

25

d=

-4sinXj-3sinx2-2sinx3-sinx4+sinx6+2sinx7+3sinx8+4sinx9'

要使d最小，則-4sin%-3$而%+…+4sin4要最大,

因?yàn)閟in+sin毛+…+sin/=0,

所以sin%5=0,

sinxj=sinx2=sinx3=sinxA=-Lsinx6=sinx7=sin/=sinx9=1時(shí)分母取最大值20

所以“2之，

所以d的最小值為2.

4

故答案為：I

6.(2022?上海楊浦?二模)已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足：①《二“；②

4川=[："一3""：：(〃右^).若存在一個(gè)非零常數(shù)7€^,對(duì)任意〃eN*,4.”=4,都成

[4-%《43、

立，則稱數(shù)列數(shù),｝為周期數(shù)列.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求q+4+”3+4的值；

(2)求證：存在正整數(shù)〃，使得。4443；

(3)設(shè)S”是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a滿足：①數(shù)列｛〃“｝為周期數(shù)列；②存在正

奇數(shù)A,使得&=24.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)8(2)證明見解析(3)存在，2

【分析】(1)根據(jù)題意分別求出4,%，%，%，即可得解；

(2)當(dāng)。＞3時(shí)，4川=4,-3.可知在數(shù)列｛q｝中直到第一個(gè)小于等于3的項(xiàng)出現(xiàn)之前，數(shù)

列｛《,｝是以。為首項(xiàng)，-3為公差的遞減的等差數(shù)列.寫出通項(xiàng)公式，可得當(dāng)〃足夠大時(shí)，

總可以找到"，使。4。“43,當(dāng)〃43,易證得04%43；

(3)分和。＞3兩種情況討論，結(jié)合(2)可得當(dāng)a＞3時(shí)，不合題意，再根據(jù)當(dāng)

時(shí)，數(shù)列的周期性，即可得出結(jié)論.

⑴解：當(dāng)a=3時(shí)，a,=3,a2=4-3=1,a3=4-1=3,a4=4-3=1,

所以4+%+%+%=8；

⑵證明：當(dāng)。＞3時(shí),a?+l=a?-3,

所以，在數(shù)列｛4｝中直到第一個(gè)小于等于3的項(xiàng)出現(xiàn)之前，數(shù)列｛4｝是以。為首項(xiàng)，-3為公

差的遞減的等差數(shù)列，

艮[]4“=a+(n—1)(—3)=4+3-3〃,

所以，當(dāng)“足夠大時(shí)，總可以找到"，使04443,

'與。=3時(shí)，則存在〃=1,使得0443,

當(dāng)。＜3時(shí)，則存在〃=1,使得04443,

綜上所述存在正整數(shù)〃，使得43；

(3)解：當(dāng)時(shí)，q，4=4-4,4=q,a4=4-q,

故此時(shí)數(shù)列｛為｝是以2為周期的周期數(shù)列，

當(dāng)。＞3時(shí)，則4＞3,

由(2)得，存在正整數(shù)〃，使得OVq,43,

因此此時(shí)不存在不存在％=4,

所以此時(shí)數(shù)列數(shù)列｛q｝不是周期數(shù)列，

所以a43時(shí)，數(shù)列｛《,｝是以2為周期的周期數(shù)列，

q=a,a2=4-a,

所以$2,+|=〃(q+%)+4=4n+a,

又因5*=2&,

所以4〃+a=2(2〃+l),

所以4=2,

所以存在a=2,使得&=2k.

7.(2022?上海寶山?一模)已知函數(shù)函x)=2-⑶,無窮數(shù)列｛〃“｝滿足。向=/0),

neN*.

(1)若囚=2,寫出數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式(不必證明)；

(2)若4>0,且％,電，生成等比數(shù)列，求q的值；問｛七｝是否為等比數(shù)列，并說明理

由；

(3)證明：卬，出,L,a?,L成等差數(shù)列的充要條件是q=L

【答案】⑴a」"為奇數(shù)?

lu，4⑴"[0,”為偶數(shù)，

⑵q=l,為等比數(shù)列；a,=2+72,不為等比數(shù)列，理由見解析；

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系寫出前兒項(xiàng)，直接得到通項(xiàng)公式；

(2)0<a,<2H-L由q,出，的成等比數(shù)列可求出6=1判斷數(shù)列即可，4>2時(shí)同理可

求出4=2+行，由等比數(shù)列定義判斷即可；

(3)結(jié)合(2)先證明充分性，再分別討論《<0,0<a,<2,%>2證明必要性即可.

(1)

因?yàn)?=，(%)，所以%=°，“3=2,%=。，

_/2,〃為奇數(shù)

所以""-jo,〃為偶數(shù)；

(2)

因?yàn)?=2一同=2一4,43=2一|七|=2-|2一4|」？(。："；；］.

當(dāng)0<4?2時(shí)，由a；=qx%=(2—q)2=a；=%=1,

所以4=%=%=1，

所以鄉(xiāng)=1,即4=1為等比數(shù)列;

當(dāng)q>2時(shí)，由/=qx%=(2—aj~=4(4—aj=%=2+&(%=2-0舍)?

所以％=-V5,q=2-0,4=8，

因?yàn)?=*=*包=

42-V2a2-V2

所以數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列；

綜上，當(dāng)。<%42時(shí)，｛4｝是等比數(shù)歹IJ,當(dāng)《>2時(shí)，不是等比數(shù)列；

(3)

充分性：當(dāng)4=1時(shí),由⑵知《,=1,此時(shí)｛4｝為等差數(shù)列;

必要性：當(dāng)4?0時(shí)，4=2+%,所以4=g-4=2,

所以，數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，

易知，存在4“>0,此時(shí)d=。皿+1-《“=2-2《“<2,與d=2矛盾，舍去；

當(dāng)0<4?2時(shí),由2a2=4+a3n2(2-q)=2qnq=1,所以q=%=%=l,

所以，d=\,即4=1為等差數(shù)列；

當(dāng)q>2時(shí),由2a2=4+%n2(2—q)=q+(4-q)=>q=0與q=1不符,舍去；

綜上，q,4，L,a“，L成等差數(shù)列的充要條件是q=l.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：注意在涉及數(shù)列的證明求解過程中，分類討論方法的應(yīng)用，本題求解

過程一定要分別考慮。的范圍對(duì)解題的影響，分為0<〃陷2,q>2,。陷0去考慮問題即

可.

8.(2022?上海?高三專題練習(xí))對(duì)于數(shù)列｛玉｝,若存在me9,使得馬1=4對(duì)任意

1女42吁1("N")都成立，則稱數(shù)列｛%｝為“吁折疊數(shù)列”.

(1)若4=|25〃-200|(衣2),判斷數(shù)列｛4｝是否是“加-折疊數(shù)列”，如果是，指出機(jī)

的值，如果不是，請(qǐng)說明理由;

(2)若怎=q"(”eN*),求所有的實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列｛斗｝是3-折疊數(shù)列；

(3)給定常數(shù)pe",是否存在數(shù)列｛七｝,使得對(duì)所有meN",｛七｝都是折疊數(shù)列，

且｛七｝的各項(xiàng)中恰有P+1個(gè)不同的值，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)｛4｝是“機(jī)-折疊數(shù)列"，機(jī)=8；(2)g=0或4=1或4=-1；(3)存在，

證明見解析.

【分析】(1)結(jié)合給的定義列出關(guān)于用的方程，判斷方程是否有解，可判斷數(shù)列｛《,｝是

否是“m-折疊數(shù)列”，

/

(2)根據(jù)題中的定義，列方程得到、=(/,再討論q是否為o可得出結(jié)果，

(3)只需列舉出例子即可證明，結(jié)合定義，數(shù)列｛與｝的圖像有無數(shù)條對(duì)稱軸，可聯(lián)想三

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角函數(shù)求解，設(shè)乙=COS—X,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性即可證明

P

【詳解】解：(1)若存在msN',使得對(duì)任意14442m-都成立，可知

數(shù)列｛xn｝tE\<n<2m-1內(nèi)關(guān)于n=m對(duì)稱即嘰

?產(chǎn)、|200-25n,l<n<8,//G^

因?yàn)?|25〃-200|(〃EN)=<