數(shù)學(xué)例題與探究：排列與組合

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】用1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且不能被5整除的五位數(shù)？思路分析：組成符合條件的五位數(shù)可分兩步，首先確定個(gè)位數(shù)字，然后再確定其他各位數(shù)字；或按是否含有5這個(gè)特殊的數(shù)字，分為兩類;或由所有1-6這6個(gè)數(shù)組成的五位數(shù)，去掉1—6這6個(gè)數(shù)組成可被5整除的五位數(shù)。解法一:不能被5整除，末位只能從1、2、3、4、6五個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有種方法；再?gòu)挠嘞?個(gè)數(shù)字中選4個(gè)放在其他數(shù)位，有種方法.由乘法原理，所求五位數(shù)有=600(個(gè))。解法二：不含有數(shù)字5的五位數(shù)有個(gè)；含有數(shù)字5的五位數(shù)，末位不選5有種方法，其余數(shù)位有種選法，含有5的五位數(shù)有個(gè).因此可組成不能被5整除的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有+=600(個(gè)）。解法三：由1—6組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有個(gè)，其中能被5整除的有個(gè)。因此，所求的五位數(shù)共有—=720-120=600(個(gè)）。綠色通道:若從最高位數(shù)字開始考慮，則問題就無法解決.被5整除的數(shù)，個(gè)位數(shù)字必須是0或5，因此,被5整除的問題，一般從個(gè)位數(shù)字開始考慮.變式訓(xùn)練1用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且能被5整除的五位數(shù)？思路解析：分為兩類：一類是個(gè)位數(shù)字為0，再?gòu)挠嘞碌?個(gè)數(shù)字中選4個(gè)放在其余數(shù)位上有種方法;另一類是個(gè)位數(shù)字為5，由于0不能放在首位，所以在1、2、3、4中選一個(gè)數(shù)放在首位有4種方法,然后從余下的4個(gè)數(shù)中選3個(gè)放在中間三個(gè)數(shù)位上有種方法，此時(shí)有4種方法。故由加法原理可得能被5整除的五位數(shù)有+4=216（個(gè))。答案：216。變式訓(xùn)練2用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？思路解析:分為兩類：一類是個(gè)位數(shù)字為0，再?gòu)挠嘞碌?個(gè)數(shù)字中選4個(gè)放在其余數(shù)位上有種方法；另一類是個(gè)位數(shù)字為2或4，由于0不能放在首位，所以余下4個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在首位有4種方法，然后余下的4個(gè)數(shù)選3個(gè)放在中間三個(gè)數(shù)位上有,此時(shí)有2×4×種方法.故由加法原理可得五位偶數(shù)有+2×4×=312(個(gè))。答案:312.【例2】從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有(）A.140種B.84種C.70種D.35種思路解析:取出的3臺(tái)電視機(jī)中要求至少有甲型與乙型各1臺(tái)，它包括兩種可能：2臺(tái)甲型與1臺(tái)乙型、1臺(tái)甲型與2臺(tái)乙型，所以可用分類原理和分步原理來解決,另外也可以用間接法解決。方法一：從4臺(tái)甲型電視機(jī)中取2臺(tái)和5臺(tái)乙型電視機(jī)中取1臺(tái)有·種取法；從4臺(tái)甲型電視機(jī)中取1臺(tái)和5臺(tái)乙型電視機(jī)中取2臺(tái)有·種取法。所以共有·+·=70(種)，故應(yīng)選C.方法二：從所有的9臺(tái)電視機(jī)中取3臺(tái)有種取法，其中全部為甲型的有種取法，全部為乙型的有種取法，則至少有甲型與乙型各1臺(tái)的取法共有—-=70(種)，故應(yīng)選C。答案:C黑色陷阱：解決這類問題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是產(chǎn)生重復(fù)，比如首先從4臺(tái)甲型電視機(jī)與乙型電視機(jī)中各取1臺(tái)，有·種取法，再在剩下的7臺(tái)電視機(jī)中任取1臺(tái)，有種取法，所以不同的取法共有··=140種。這種看起來很不錯(cuò)的解法實(shí)際上是錯(cuò)誤的,因?yàn)樗a(chǎn)生了重復(fù)。避免產(chǎn)生重復(fù)的方法就是“先分類后分步”.變式訓(xùn)練1假設(shè)200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(）A.種B.（）種C。種D。（+）種思路解析：已知200件產(chǎn)品中有3件次品,197件合格品，則至少有2件次品的抽法為2件次品、3件合格品或3件次品、2件合格品，所以其抽法有。答案：D變式訓(xùn)練2某計(jì)算機(jī)商店有6臺(tái)不同的品牌機(jī)和5臺(tái)不同的兼容機(jī),從中選購(gòu)5臺(tái),且至少有品牌機(jī)和兼容機(jī)各2臺(tái),則不同的選購(gòu)方法有（）A.1050種B.700種C.350種D.200種思路解析:分兩類:(1）從6臺(tái)不同的品牌機(jī)中選3臺(tái)和從5臺(tái)不同的兼容機(jī)中選2臺(tái)；(2)從6臺(tái)不同的品牌機(jī)中選2臺(tái)和從5臺(tái)不同的兼容機(jī)中選3臺(tái)。所以不同的選購(gòu)方法有+=350（種）。答案:C【例3】（1）寫出從5個(gè)元素a，b,c,d,e中任取三個(gè)元素的所有組合，并求出其組合數(shù)。思路分析:考慮畫出如下樹形圖,注意按給出字母從左到右的順序來考慮.解：根據(jù)樹形圖，所有組合為abc，abd,abe,acd,ace，ade,bcd，bce，bde，cde.組合數(shù)為=10（個(gè)）。（2)將A,B，C,D四名同學(xué)按一定順序排成一行,要求自左向右，且A不排在第一,B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四。試寫出他們四人所有不同的排法。思路分析:由于A不排在第一，所以第一只能排B，C，D中的一個(gè).據(jù)此可分為三類,作樹圖可得解:所有的排法為BADC，BCDA,BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.綠色通道：寫符合條件的組合或排列要運(yùn)用樹圖,利用它可以具體列出各種情況,從而避免重復(fù)或遺漏，能把抽象問題具體化,使解題思路明朗。其中排列的樹形圖與組合的樹形圖是有區(qū)別的，排列的樹形圖中其元素不能重復(fù)出現(xiàn)但可任意排列，而組合的樹形圖中其元素也不能重復(fù)出現(xiàn),但元素出現(xiàn)的次序一般按照從左到右的順序來考慮，否則容易出現(xiàn)重復(fù)或遺漏。變式訓(xùn)練1a思路分析:作出樹圖。圖中,有4層分枝的樹葉，對(duì)應(yīng)一個(gè)合要求的排列,共有14個(gè)。解：badc,bcda,bdac,bdca，cadb,cbda,cdab,cdba，dabc，dacb，dbac,dbca，dcab,dcba.變式訓(xùn)練2利用樹圖，寫出用數(shù)字1、2組成的所有四位數(shù)。（數(shù)字可以重復(fù)）思路分析：因?yàn)槊總€(gè)數(shù)位上的數(shù)字只可能是1或2,所以在樹圖中,每個(gè)分枝都只有兩個(gè)分叉，左邊寫1右邊寫2，經(jīng)過四次分叉即可寫出全部的四位數(shù).圖中，共有16片“樹葉”，對(duì)應(yīng)著16個(gè)四位數(shù)。解：1111，1112,1121,1122，1211，1212，1221，1222，2111，2112,2121，2122，2211，2212，2221，2222.【例4】三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排,（1）如果女生必須全排在一起,可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開,可有多少種不同的排法?(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？思路分析:（1)（捆綁法)因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體,這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素,排成一排有種不同排法.對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有種不同的排法，因此共有·=4320（種）不同的排法。（2)（插空法）要保證女生全分開,可先把五個(gè)男生排好,每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空當(dāng).這樣共有4個(gè)空當(dāng)，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有種方法,因此共有·=14400（種）不同的排法。(3)方法一：（位置分析法）因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有·=14400(種)不同的排法。方法二：（間接法）3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的·種排法和女生排在末位的·種排法,但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有·種不同的排法，所以共有—2·+·=14400種不同的排法.方法三：（元素分析法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來讓3個(gè)女生排入，有種不同的排法,對(duì)于其中的任意一種排法，其余5個(gè)位置又都有種不同的排法，所以共有·=14400種不同的排法。（4）方法一:因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?所以如果首位排了男生，則末位就不再受條件限制了，這樣可有·種不同的排法；如果首位排女生,有種排法，這時(shí)末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有··種不同排法。因此共有·+··=36000種不同的排法。方法二：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中減去兩端都是女生排法·種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)。因此共有-·=36000種不同的排法。解:（1)·=4320(種)。(2)·=14400（種）.(3）·=14400（種）或-2·+·=14400(種）或·=14400(種）.（4）·+··=36000（種）或-·=36000(種）.綠色通道：解決排列、組合應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置,有兩個(gè)以上約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其他條件.若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其他的元素。間接法也稱做排除法或排異法，有時(shí)用這種方法解決問題來得簡(jiǎn)單、明快.捆綁法、插入法對(duì)于有的問題的確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用。變式訓(xùn)練1某小組6個(gè)人排隊(duì)照相留念.(1)若分成兩排照相，前排2人，后排4人,有多少種不同的排法?(2）若分成兩排照相，前排2人,后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法?(3)若排成一排照相，甲、乙兩人必須在一起,有多少種不同的排法?（4）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生,且男生不能相鄰,有多少種不同的排法？解：（1)分兩排照相實(shí)際上與排成一排照相一樣，只不過把第3—6個(gè)位子看成是第二排而已,所以實(shí)際上是6個(gè)元素的全排列問題.故有=720種。先確定甲的排法,有種；再確定乙的排法,有種;最后確定其他人的排法,有種,因?yàn)檫@是分步的問題,所以用乘法原理，有··=2×4×24=192種不同排法。采用“捆綁法”，即先把甲、乙兩人看成一人,這樣有種不同排法，然后甲、乙兩人之間再排隊(duì),有種排法,因?yàn)槭欠植絾栴},應(yīng)當(dāng)用分步計(jì)數(shù)原理，所以有·=120×2=240種排法.（4）采用“插入法”，把3個(gè)女生的位子拉開,在兩端和她們之間放進(jìn)4張椅子,如___________女___________女___________女___________,再將3個(gè)男生放到這4個(gè)位子上,就保證任何兩個(gè)男生都不會(huì)相鄰了。這樣，男生有種排法,女生有種排法，因?yàn)槭欠植絾栴},應(yīng)當(dāng)用乘法原理,所以共有·=24×6=144種排法。變式訓(xùn)練25名男生、2名女生站成一排照相.(1)兩名女生要在兩端，有多少種不同的站法？（2）兩名女生都不站在兩端,有多少不同的站法?（3)兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？(4)女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？解:(1）兩端的兩個(gè)位置，女生任意排,中間的五個(gè)位置男生任意排:·=240（種）.（2）中間的五個(gè)位置任選兩個(gè)排女生，其余五個(gè)位置任意排男生：·=2400（種）。(3）把男生任意全排列,然后在六個(gè)空中（包括兩端）有順序地插入兩名女生：·=3600（種）.（4）七個(gè)位置中任選五個(gè)排男生,問題就已解決，因?yàn)榱粝聝蓚€(gè)位置女生排法是既定的:=2520（種）。【例5】解方程:(1）3Ax8=4·；（2).思路分析:利用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，消掉，轉(zhuǎn)化為x的代數(shù)方程再求解;同時(shí)注意排列數(shù)或組合數(shù)的方程或不等式中未知數(shù)的取值范圍;對(duì)于排列數(shù)或組合數(shù)公式的兩種形式能合理運(yùn)用:一般連乘形式用于求值，而階乘形式常用于化簡(jiǎn)和證明。解：（1)由排列數(shù)公式,原方程可化為,化簡(jiǎn)得x2—19x+78=0,解得x1=6，x2=13.因?yàn)閤≤8且x-1≤9,x∈N＊,所以原方程的解是x=6.（2）由組合數(shù)公式，原方程可化為.化簡(jiǎn)得6—（6-x）=,解得x1=2，x2=21。因?yàn)閤≤5且x≤6,x≤7，x∈N*,所以原方程的解是x=2。變式訓(xùn)練1解方程:.解：由排列數(shù)公式，得3x(x—1)（x—2）=2（x+1）x+6x（x-1)。因?yàn)閤≥3,所以3（x—1）(x-2)=2(x+1）+6（x-1),3x2-17x+10=0。解之,得x=5，x=,所以x=5.變式訓(xùn)練2解不等式:。解：由組合數(shù)公式，原方程可化為.化簡(jiǎn)得n2-9n—10＜0，解得-1＜n＜10.因?yàn)閚≥6,n∈N*,所以不等式的解集為｛6,7,8,9｝.問題探究問題1:在解決排列和組合問題中都用到“樹圖”,它起到什么作用？導(dǎo)思：樹圖法雖然在解決排列和組合問題中不是用的很多或許有時(shí)根本不去理會(huì)它，但是它在教材中還是占有一定的比例去介紹,對(duì)教材前后內(nèi)容的聯(lián)系起著鋪墊的作用，是解決排列和組合問題的基礎(chǔ)方法。雖然解決排列和組合問題的方法很多，但都是一些技巧性較強(qiáng)、適用性