2025屆江蘇省東臺(tái)市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆江蘇省東臺(tái)市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若動(dòng)點(diǎn)在方程所表示的曲線上，則以下結(jié)論正確的是（）①曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；②動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的取值范圍為；③動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的最小距離為；④動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④2．過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點(diǎn)B，D恰好重合，記為點(diǎn)P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.4．設(shè)集合或，，則（）A. B.C. D.5．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.6．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C與相等 D.7．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.8．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.9．已知空間向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A.1 B.C. D.10．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-311．將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.12．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若，與的等差中項(xiàng)為12，則等于_______.14．已知數(shù)列滿足，則的最小值為_(kāi)_________．的前20項(xiàng)和為_(kāi)_______15．對(duì)于下面這個(gè)等式我們除了可以用等比數(shù)列的求和公式獲得，還可以用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行證明“”，那么在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，當(dāng)驗(yàn)證是否成立時(shí)，左邊的式子應(yīng)該是_______16．在一村莊正西方向處有一臺(tái)風(fēng)中心，它正向東北方向移動(dòng)，移動(dòng)速度的大小為，距臺(tái)風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)將受到影響，若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢(shì)不變，則村莊所在地大約有_______小時(shí)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響．（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若E為棱上的中點(diǎn)，求直線BE到平面的距離.18．（12分）命題p：關(guān)于x的不等式對(duì)一切恒成立；命題q：函數(shù)在上遞增，若為真，而為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).請(qǐng)判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知是等差數(shù)列，其n前項(xiàng)和為，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知：對(duì)任意，都有；：存在，使得（1）若“且”為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“或”為真，“且”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍22．（10分）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)分別在棱、上·（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】將原方程等價(jià)變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可判斷②和③；取特殊點(diǎn)可判斷④.【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于，即，對(duì)于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，故①正確；對(duì)于②，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，因?yàn)?，所以，故②正確；對(duì)于③，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故④不正確.綜上所述：結(jié)論正確的是：①②.故選：A2、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B3、A【解析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則由，，，得，解得，則設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因?yàn)锳C與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A4、B【解析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：B.5、C【解析】根據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.6、D【解析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義分析判斷即可【詳解】因?yàn)閽仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對(duì)立，也不相等，，所以ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D7、D【解析】設(shè)AA1=2AB=2，因?yàn)椋援惷嬷本€A1B與AD1所成角，，故選D.8、D【解析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱?，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.9、D【解析】由＝0可求解【詳解】由題意，故選：D10、C【解析】由，結(jié)合兩直線一般式有列方程求解即可.【詳解】由知：,解得：或故選：C.11、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線C上任一點(diǎn)，其在上對(duì)應(yīng)在的點(diǎn)為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設(shè)，則，兩方程相減整理得，因?yàn)锳B中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A12、C【解析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、128【解析】先根據(jù)條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為，由已知，得，①，又，②，由①②得，故答案為：128.14、①②.【解析】由題設(shè)可得，應(yīng)用累加法求的通項(xiàng)公式，由基本不等式及確定的最小值，再應(yīng)用裂項(xiàng)求和法求的前20和.【詳解】由題設(shè)，，∴，…，，又，∴將上式累加可得：，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，故最小，則或5，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴的最小值為.由上知：，∴前20項(xiàng)和為.故答案為：8，.15、【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的定義，即可求解.【詳解】當(dāng)，，故此時(shí)式子左邊=.故答案為：.16、4【解析】結(jié)合勾股定理求得正確答案.【詳解】如圖，設(shè)村莊為A，開(kāi)始臺(tái)風(fēng)中心的位置為B，臺(tái)風(fēng)路徑為直線，因?yàn)辄c(diǎn)A到直線的距離為，∴村莊所在地受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間約為：（小時(shí)）.故答案為：本卷包括必考題和選考題兩部分．第17題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明計(jì)算作答.(2)利用(1)中坐標(biāo)系，證明平面，再求點(diǎn)B到平面的距離即可作答.【小問(wèn)1詳解】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，因E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)，，而，，即，所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，點(diǎn)，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，顯然有，則，而平面，因此，平面，于是有直線BE到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，所以直線BE到平面的距離是.18、【解析】依題意，可分別求得p真、q真時(shí)m的取值范圍，再由p∨q為真，而p∧q為假求得實(shí)數(shù)a的取值范圍即可【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4＞0對(duì)一切x∈R恒成立；①若命題p正確，則△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；②命題q：函數(shù)f（x）＝logax在（0，+∞）上遞增?a＞1，∵p∨q為真，而p∧q為假，∴p、q一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，有，∴﹣2＜a≤1；當(dāng)p假q真時(shí)，有，∴a≥2∴綜上所述，﹣2＜a≤1或a≥2即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣2，1]∪[2，+∞）【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，分別求得p真、q真時(shí)m的取值范圍是關(guān)鍵，考查理解與運(yùn)算能力，屬于中檔題19、（1）（2）是定值，定值為【解析】(1)由拋物線的準(zhǔn)線求標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與拋物線相交求定值，解聯(lián)立方程消未知數(shù)，利用韋達(dá)定理，求線段長(zhǎng)，再求它們的倒數(shù)的平方和.【小問(wèn)1詳解】由題意，可得，即，故拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】為定值，且定值是.下面給出證明.證明：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線有，消去得，則，又，.得因此為定值，且定值是.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，結(jié)合已知條件，列出方程組，求得首項(xiàng)和公差，即可寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合裂項(xiàng)求和法，即可求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，其n前項(xiàng)和為，已知，設(shè)其公差為，故可得：，，解得，又，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又，故.即.21、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均為真命題，分別求得為真命題，為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，再由集合的交集運(yùn)算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式組，求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椤扒摇睘檎婷}，所以，均為真命題若為真命題，則，解得；若為真命題，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)故實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】解：若“或”為真，“且”為假，則，一真一假當(dāng)真，假時(shí)，則得；當(dāng)假，真時(shí)，則得故實(shí)數(shù)的取值范圍為22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算知，即可證得結(jié)論；（2）利用空間向量結(jié)合已知的面面角余弦值可求得，再利用線面平行的已知條件求得，再將四面體視為以為底面的三棱錐，利用錐體的體積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若是的中點(diǎn)，則，，，于是，∴，即【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)知，，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量設(shè)是平面的一個(gè)法