2025屆甘肅省武威市武威十八中數(shù)學高二上期末檢測試題含解析

2025屆甘肅省武威市武威十八中數(shù)學高二上期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.2．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.3．正方體中，E、F分別是與的中點，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B.C. D.5．已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.7．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．焦點坐標為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.410．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.11．若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.12．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知長軸長為，短軸長為的橢圓的面積為．現(xiàn)用隨機模擬的方法來估計的近似值，先用計算機產(chǎn)生個數(shù)對，，其中，均為內(nèi)的隨機數(shù)，再由計算機統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)其中滿足條件的數(shù)對有個，由此可估計的近似值為______________14．雙曲線的左頂點為，虛軸的一個端點為，右焦點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為__________.15．已知函數(shù)，則___________.16．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知點在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點，過點的直線l與橢圓E相交于M，N兩點，直線與交于點T，求證：18．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數(shù)；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應該按那一檔電價收費，說明理由.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是，已知（1）求角B的大??；（2）求三角形ABC的面積.20．（12分）已知函數(shù).（1）求的導數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程.21．（12分）已知圓，點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交直線于點，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點，動圓，且點在圓外，過點作圓的兩條切線分別交曲線于點，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點，且時，求直線的方程.22．（10分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面不計剪裁和拼接損耗，設矩形的邊長|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫出體積V關于x的函數(shù)關系式，并指出定義域；（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負數(shù)且最小或為正數(shù)且最大，進而求出最大值.【詳解】①，當時，，當時，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當是公差為2的等差數(shù)列，且時，最小，最大，此時，所以，此時；當且是公差為2的等差數(shù)列時，最大，最大，此時，所以，此時綜上：的最大值為20故選：C【點睛】方法點睛：數(shù)列相關的最值求解，要結合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進行求解.2、A【解析】設F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，根據(jù)圓的切線性質(zhì)和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，如圖所示:因為PF是圓O的切線，所以OE⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯(lián)想到雙曲線的另一個焦點，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問題的有效方法.3、A【解析】以A為原點建立空間直角坐標系，求出E,F,D,D1點的坐標，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎題.4、A【解析】應用空間向量坐標的線性運算求、的坐標，根據(jù)空間向量平行有，即可求的值.【詳解】由題設，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A5、B【解析】根據(jù)曲線方程，結合充分、必要性的定義判斷題設條件間的關系.【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B6、A【解析】求出函數(shù)圖象的對稱中心，結合函數(shù)圖象平移變換可得結果.【詳解】因為，所以，，所以，函數(shù)圖象的對稱中心為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象向下平移個單位長度，可得到奇函數(shù)的圖象，即函數(shù)為奇函數(shù).故選：A7、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.8、D【解析】依次確定選項中各個拋物線的焦點坐標即可.【詳解】對于A，的焦點坐標為，A錯誤；對于B，的焦點坐標為，B錯誤；對于C，焦點坐標為，C錯誤；對于D，的焦點坐標為，D正確.故選：D.9、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.10、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.11、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點睛】解答本題的關鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面12、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由，，根據(jù)表示的數(shù)對對應的點在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，求出滿足條件的點的概率，再轉(zhuǎn)化為幾何概型的面積類型求解【詳解】，，表示的數(shù)對對應的點在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，其面積為，故，得故答案為：.【點睛】本題主要考查了幾何型概率應用，解題關鍵是掌握幾何型概率求法，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.14、【解析】根據(jù)雙曲線左頂點和虛軸端點的定義，結合點到直線距離公式、雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】不妨設在縱軸的正半軸上，由雙曲線的標準方程可知：，右焦點的坐標為，直線的方程為：，因為右焦點到直線的距離為，所以有，即雙曲線的離心率為，故答案為：15、【解析】先求導數(shù)，代入可得.【詳解】因為所以，則，故.故答案為：16、【解析】利用導數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)性，比較極小值與兩端點，的大小求出在上的最大值.【詳解】因為，則，令，即時，函數(shù)單調(diào)遞增.令，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值也是函數(shù)的最小值.，兩端點為，，即最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點在橢圓E上建立方程，結合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點的坐標，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過韋達定理證明直線和的斜率相等即可.【小問1詳解】由點在橢圓E上，得：又，即解得：【小問2詳解】依題意，得，且直線l與x軸不會平行設直線l的方程為，，由方程組消去x可得：則有：，且直線的方程為，直線的方程為由方程組可得：設直線的斜率分別是，則有：可得：又可得：故【點睛】（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系（2）涉及到直線方程時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分18、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應該按第二檔電價收費，理由見解析【解析】（1）在區(qū)間對應的小矩形最高，由此能求出眾數(shù)；（2）利用各個區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數(shù)的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區(qū)間內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點175作為眾數(shù)的估計值，所以眾數(shù)的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數(shù)的估計值為：，則月均用電量的平均數(shù)的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應該按第二檔電價收費.19、（1）B=300（2）【解析】分析：（1）由同角三角函數(shù)關系先求，由正弦定理可求值，從而可求的值；（2）先求得的值，代入三角函數(shù)面積公式即可得結果.詳解：(1)由正弦定理又∴B為銳角sinA=,由正弦定理B=300(2),∴.點睛：以三角形和為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.20、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則直接計算作答.(2)求出，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，所以函數(shù).【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程是.21、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過幾何關系可知，且,由此可知點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設點，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線的定義可知，點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，即，，，則點的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設點，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點，∴，由已知條件得直線和直線關于對稱，則，即，整理得，，，，即，則或，當，直線方程為，此直