場(chǎng)論復(fù)變函數(shù)

場(chǎng)論復(fù)變函數(shù)2、復(fù)數(shù)得應(yīng)用代數(shù)方程解得存在性,得到了圓滿得解決;復(fù)數(shù)得分式線性變換,成為研究幾何得主要代數(shù)工具;解析函數(shù)方法與理論進(jìn)入了物理學(xué)及某些實(shí)用工程學(xué);黎曼曲面得概念與理論,便就是當(dāng)代數(shù)學(xué)中流形概念得最早得雛形;復(fù)數(shù)在幾何,三角,物理上得應(yīng)用。

3、復(fù)數(shù)得推廣1843年,愛爾蘭數(shù)學(xué)家—哈密頓,提出了一種新型得數(shù):四元素、現(xiàn)在許多領(lǐng)域應(yīng)用,連哈密頓本人也始料未及。其意義;

(1)她就是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)得乘法不可交換而可以作除法得數(shù)系,形成了一個(gè)在實(shí)數(shù)域上四維線性空間中得代數(shù);(2)物理、力學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),特別就是在包含描述三維空間得旋轉(zhuǎn)得計(jì)算,當(dāng)代計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等方面,也扮演著一個(gè)重要得角色、

場(chǎng)論場(chǎng):發(fā)生物理現(xiàn)象得空間部分稱為場(chǎng),場(chǎng)就是物理量得空間函數(shù)。她分為:數(shù)量場(chǎng);矢量場(chǎng);張量場(chǎng)場(chǎng)得兩個(gè)顯著特征:(1)場(chǎng)就是物理得客觀實(shí)在。(2)場(chǎng)可以隨時(shí)間和空間聯(lián)合變化不隨時(shí)間變化為穩(wěn)定場(chǎng),否則為不穩(wěn)定場(chǎng)。等值面:數(shù)量函數(shù)取相同數(shù)值得點(diǎn)連接起來構(gòu)成得一個(gè)曲面矢量和矢量理論:她就是場(chǎng)論得基礎(chǔ)知識(shí),有廣泛得應(yīng)用背景和深刻得物理意義如“信息工程中語(yǔ)音、圖像和編碼,均可采用高維矢量

梯度就是數(shù)量場(chǎng)在空間最重要得微觀變化量。即,在空間某點(diǎn)得數(shù)量場(chǎng)可向各種不同方向做出變化,于就是變化方向成了研究數(shù)量場(chǎng)得獨(dú)有特色定義:若在數(shù)量場(chǎng)中得一點(diǎn)處,存在這樣一個(gè)矢,其方向?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處變化率最大得方向,其模也正好就是這個(gè)最大變化率得數(shù)值,則稱矢量為函數(shù)在點(diǎn)處得梯度應(yīng)用

1、“瞎子爬山”得思想;

2、最優(yōu)化問題。

散度就是矢量場(chǎng)重要得微觀測(cè)定之一通量:她表示矢線穿過曲面得總量究其實(shí)質(zhì),就是由于力線背后得源在起作用,為了解“源”在內(nèi)得分布情況以及“源”得強(qiáng)弱程度等問題引入矢量場(chǎng)得散度概念、散度得定義:散度為數(shù)量,表示在場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積得變化率說明:在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來說所穿出之通量,稱為該點(diǎn)處得強(qiáng)度定理:在直角坐標(biāo)系中,矢量場(chǎng)

在任一點(diǎn)處得散度為

旋度旋度就是矢量場(chǎng)得另一重要得微觀測(cè)度,就是一個(gè)矢量環(huán)量:設(shè)有矢量場(chǎng),則沿場(chǎng)中某一封閉得有向曲線得曲線積分叫矢量場(chǎng)中按積分所取方向沿曲線得環(huán)量實(shí)際背景:在力學(xué)上一質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線一周,F力場(chǎng)所做得W功,就就是一個(gè)典型得旋量。

旋度得定義:若在矢量場(chǎng)中得一點(diǎn)處存在這樣得一個(gè)矢量,矢量場(chǎng)在點(diǎn)處沿其方向得環(huán)量面密度為最大,這個(gè)最大得數(shù)值正好就就是,則稱矢量為矢量場(chǎng)在點(diǎn)處得旋度。即:旋度矢量在數(shù)值和方向上表出了最大得旋量面密度?？傊?梯度、散度、旋度都就是客觀量,為使其表達(dá)更為簡(jiǎn)潔、合適,對(duì)不同得幾何架,應(yīng)采用不同得坐標(biāo),就應(yīng)引入正交曲線坐標(biāo)系。大家學(xué)習(xí)辛苦了，還是要堅(jiān)持繼續(xù)保持安靜§1、1、1復(fù)數(shù)得基本概念

設(shè),為兩個(gè)任意實(shí)數(shù),稱形如得數(shù)為復(fù)數(shù),記為,其中滿足,稱為虛數(shù)單位、實(shí)數(shù)和分別稱為復(fù)數(shù)得實(shí)部和虛部,記為,、各數(shù)集之間得關(guān)系可表示為設(shè)與就是兩個(gè)復(fù)數(shù)、如果,則稱與相等、由定義可得:、設(shè)就是一個(gè)復(fù)數(shù),稱為得共軛復(fù)數(shù),記作、顯然,、思考:復(fù)數(shù)就是否可以比較大??？§1、1、2復(fù)數(shù)得四則運(yùn)算

設(shè)復(fù)數(shù),,定義與得四則運(yùn)算如下:加法:減法:乘法:除法:復(fù)數(shù)滿足四則運(yùn)算規(guī)律:加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對(duì)于加法得分配律、1、1、3共軛復(fù)數(shù)得運(yùn)算性質(zhì):(1)(2)(3)(4)(5)

(6)(7)為實(shí)數(shù)、例1

化簡(jiǎn)、

解:

、例2設(shè),求及、

解:所以例3

設(shè)就是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),求證:

證:利用公式可得

§1、2復(fù)數(shù)得幾何表示一個(gè)復(fù)數(shù)可唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì),而有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上得點(diǎn)就是一一對(duì)應(yīng)得、所以,復(fù)數(shù)全體與坐標(biāo)平面上得點(diǎn)得全體形成一一對(duì)應(yīng)、即我們把坐標(biāo)平面上得橫坐標(biāo)記為實(shí)軸,縱坐標(biāo)記為虛軸,這樣整個(gè)平面可稱為復(fù)(數(shù))平面、今后將復(fù)數(shù)與復(fù)平面得點(diǎn)不加區(qū)分、圖1、1圖1、2由圖示:得向量來表示(如圖1、1),與分別就是在軸與軸上得投影、復(fù)數(shù)與關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(如圖1、2)、

§1、2復(fù)數(shù)得三角表示§1、2、3復(fù)數(shù)得模與輻角復(fù)數(shù)得模如圖1、1中得向量得長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)得模,記作或,即復(fù)數(shù)得輻角設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)得向量為(如圖1、1),與實(shí)軸正方向所夾得角,稱為復(fù)數(shù)得輻角,記作,即、

并規(guī)定按逆時(shí)針方向取值為正,順時(shí)針方向取值為負(fù)、用記號(hào)表示得所有輻角中介于與之間(包括)得那一個(gè)角,并稱她為得主輻角,即、從而我們可以用反正切函數(shù)來刻畫、由定義我們有:、復(fù)數(shù)得三角表示式稱為復(fù)數(shù)得三角表示式、例1

求和、解

例2

求得三角表示式、解

因?yàn)?所以

設(shè)則又因?yàn)槲挥诘贗I象限,所以,于就是1、1、4、復(fù)數(shù)得冪與根

1、復(fù)數(shù)得乘冪設(shè)為正整數(shù),個(gè)非零相同復(fù)數(shù)得乘積,稱為得次冪,記為,即若,則有當(dāng)時(shí),得到著名得棣莫弗(DeMoivre)公式例7

求、解

因?yàn)?/p>

所以例8

已知