專題06勾股定理的證明(原卷版+解析)

專題06勾股定理的證明知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航必備知識(shí)點(diǎn)1．勾股定理的性質(zhì)定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即：在Rt△ABC中，如果a，b為直角邊，c為斜邊，那么。）勾股定理的變式：、、、勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．題型精煉題型精煉1．如圖，“趙爽弦圖”是吳國(guó)的趙爽創(chuàng)制的．以直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)得到一個(gè)正方形，該正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成，在一次游園活動(dòng)中，數(shù)學(xué)小組制作了一面“趙爽弦圖鑼”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，則陰影部分的面積是（）cm2．A．169 B．25 C．49 D．642．如圖，是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為12的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．148 B．100 C．196 D．1443．如圖，2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)其原型是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面積是18，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，且a2+b2＝ab+10，那么小正方形的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．54．我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若AE＝3，BF＝2，則正方形DECF的邊長(zhǎng)等于（）A． B．1 C． D．5．同學(xué)們都學(xué)習(xí)過(guò)“趙爽弦圖”，如圖所示，若大正方形的面積為5，小正方形的面積為1，則每個(gè)直角三角形的兩直角邊的乘積為（）A．1 B．2 C． D．6．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．7．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．現(xiàn)分別在DG，BE上取點(diǎn)N，M（如圖2），使得DN＝BM＝EF，連接AM，CM，AN，CN．記△ADN的面積為S1，△AMB的面積為S2，若正方形ABCD的面積為，且NF+DF＝5，則S2﹣S1的值為（）A．1 B．2 C． D．38．如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD．連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M．若＝，則的值為（）A． B． C． D．9．意大利著名畫(huà)家達(dá)?芬奇用下圖所示的方法證明了勾股定理．若設(shè)左圖中空白部分的面積為S1，右圖中空白部分的面積為S2，則下列表示S1，S2的等式成立的是（）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab10．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．11．如圖所示的正方形圖案是用4個(gè)全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列三個(gè)結(jié)論：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12．其中正確的是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）12．我國(guó)古代著作《周髀算經(jīng)》中記載了“趙爽弦圖”．如圖，若勾AE＝6，弦AD＝10，則小正方形EFGH的面積是．13．我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積為25，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和為7，則中間小正方形的邊長(zhǎng)．14．如圖1是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”．將圖2的矩形分割成四個(gè)全等三角形和一個(gè)正方形，恰好能拼成這樣一個(gè)“勾股圓方圖”，則該矩形與拼成的正方形的周長(zhǎng)之比為．15．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，如果S1+S2+S3＝48，那么S2的值是.16．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第117頁(yè)的部分內(nèi)容．把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，利用此圖的面積表示式證明勾股定理．（1）請(qǐng)結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；（2）如圖②，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝2，P是射線BC上一點(diǎn)，以AP為直角邊在AP邊的右側(cè)作△APD，使∠APD＝90°，AP＝PD．過(guò)點(diǎn)D，作DE⊥BC于點(diǎn)E，當(dāng)DE＝4時(shí)，則BD＝．17．如圖，小明用4個(gè)圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．18．如圖是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分別為a、b（b＞a），斜邊為c，中間是正方形，請(qǐng)你利用這個(gè)圖來(lái)驗(yàn)證勾股定理．19．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，也可以用面積法來(lái)證明勾股定理，請(qǐng)完成證明過(guò)程．（提示：BD和AC都可以分割四邊形ABCD）20．我們根據(jù)圖形的移、拼、補(bǔ)可以簡(jiǎn)單直觀地推理驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式，這種方法稱之為“無(wú)字證明”，它比嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理．下面是用三塊全等的直角三角形移、拼、補(bǔ)所形成的“無(wú)字證明”圖形．（1）此圖可以用來(lái)證明你學(xué)過(guò)的什么定理？請(qǐng)寫(xiě)出定理的內(nèi)容；（2）已知直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，圖1、圖2的面積相等，請(qǐng)你根據(jù)此圖證明（1）中的定理．專題06勾股定理的證明知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航必備知識(shí)點(diǎn)1．勾股定理的性質(zhì)定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即：在Rt△ABC中，如果a，b為直角邊，c為斜邊，那么。）勾股定理的變式：、、、勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．題型精煉題型精煉1．如圖，“趙爽弦圖”是吳國(guó)的趙爽創(chuàng)制的．以直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)得到一個(gè)正方形，該正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成，在一次游園活動(dòng)中，數(shù)學(xué)小組制作了一面“趙爽弦圖鑼”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，則陰影部分的面積是（）cm2．A．169 B．25 C．49 D．64【分析】由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，則可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝＝12（cm），∴陰影部分正方形的邊長(zhǎng)為12﹣5＝7（cm），∴陰影部分正方形的面積為7×7＝49（cm2），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為12的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．148 B．100 C．196 D．144【分析】通過(guò)勾股定理可將“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊求出，然后可求出風(fēng)車外圍的周長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)將CA延長(zhǎng)到點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)題意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是37×4＝148．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來(lái)解答此類題．3．如圖，2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)其原型是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面積是18，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，且a2+b2＝ab+10，那么小正方形的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由正方形1性質(zhì)和勾股定理得a2+b2＝18，再由a2+b2＝ab+10，得ab+10＝18，則ab＝8，即可解決問(wèn)題．【解答】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為c，∵大正方形的面積是18，∴c2＝18，∴a2+b2＝c2＝18，∵a2+b2＝ab+10，∴ab+10＝18，∴ab＝8，∴小正方形的面積＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝18﹣2×8＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)以及完全平方公式等知識(shí)，求出ab＝8是解題的關(guān)鍵．4．我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若AE＝3，BF＝2，則正方形DECF的邊長(zhǎng)等于（）A． B．1 C． D．【分析】設(shè)正方形DECF的邊長(zhǎng)為x，則CF＝CE＝x，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AE，BF＝BG，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)正方形DECF的邊長(zhǎng)為x，則CF＝CE＝x，∵△AGD≌△AED，△BDF≌△BDG，∴AG＝AE，BF＝BG，∴AB＝AG+BG＝3+2＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3+x）2+（2+x）2＝52，∴x1＝﹣6（舍去），x2＝1，∴正方形DECF的邊長(zhǎng)等于1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．同學(xué)們都學(xué)習(xí)過(guò)“趙爽弦圖”，如圖所示，若大正方形的面積為5，小正方形的面積為1，則每個(gè)直角三角形的兩直角邊的乘積為（）A．1 B．2 C． D．【分析】根據(jù)所求問(wèn)題，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知條件得到ab的值即可．【解答】解：如圖，設(shè)兩直角邊為a，b，∵大正方形的面積為5，∴a2+b2＝5，由題意4×ab+1＝5，∴2ab＝4，∴ab＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是注意觀察圖形：發(fā)現(xiàn)各個(gè)圖形的面積和a，b的關(guān)系．6．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可．【解答】解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個(gè)部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵．7．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．現(xiàn)分別在DG，BE上取點(diǎn)N，M（如圖2），使得DN＝BM＝EF，連接AM，CM，AN，CN．記△ADN的面積為S1，△AMB的面積為S2，若正方形ABCD的面積為，且NF+DF＝5，則S2﹣S1的值為（）A．1 B．2 C． D．3【分析】如圖2中，設(shè)DN＝BM＝EF＝a，NG＝EM＝b，構(gòu)建方程組求出a2，即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖2中，設(shè)DN＝BM＝EF＝a，NG＝EM＝b，則有，解得a2＝2，∵S2﹣S1＝?a?（2a+b）﹣?a?（a+b）＝a2＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、弦圖，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．8．如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD．連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M．若＝，則的值為（）A． B． C． D．【分析】解：設(shè)AE＝1，由＝，可得BE＝3，所以EF＝BE﹣BF＝2，由勾股定理得AB＝，然后證明△AER∽△GFR，△AEN∽△AHD，△ARN∽△MRB，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)N，設(shè)BE與AM交于點(diǎn)R，設(shè)AE＝1，∵＝，∴BE＝3，∴EF＝BE﹣BF＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∵四個(gè)全等的直角三角形，∴AE＝DH＝CG＝BF＝1，∴FG＝EF＝2，∵AE∥FG，∴△AER∽△GFR，∴＝＝，∴ER＝FR，∴ER＝EF＝，F(xiàn)R＝2ER＝，∵BN∥DG，∴△AEN∽△AHD，∴＝＝，∴NE＝DH＝，∴BN＝BE+NE＝3+＝，∴AN＝＝＝，∵AN∥BM，∴△ARN∽△MRB，∴＝＝＝＝，∴BM＝AN＝，∴CM＝BC﹣BM＝AB﹣BM＝﹣＝，∴＝×＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，數(shù)學(xué)常識(shí)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圖形的全等，解決本題的關(guān)鍵是得到△AER∽△GFR．9．意大利著名畫(huà)家達(dá)?芬奇用下圖所示的方法證明了勾股定理．若設(shè)左圖中空白部分的面積為S1，右圖中空白部分的面積為S2，則下列表示S1，S2的等式成立的是（）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab【分析】根據(jù)直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算即可解決問(wèn)題．【解答】解：觀察圖象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．10．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個(gè)部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵．11．如圖所示的正方形圖案是用4個(gè)全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列三個(gè)結(jié)論：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12．其中正確的是①②③．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【分析】分別求出小正方形及大正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)面積關(guān)系得出x與y的關(guān)系式，依次判斷所給關(guān)系式即可．【解答】解：由題意可得小正方形的邊長(zhǎng)＝1，大正方形的邊長(zhǎng)＝5，∴x2+y2＝斜邊2＝大正方形的面積＝25，故①正確；∵小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴x﹣y＝1，故②正確；∵小正方形的面積+四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積，∴1+2xy＝25，∴xy＝12，故③正確；根綜上可得①②③正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明、正方形的性質(zhì)及直角三角形的知識(shí)，根據(jù)所給圖形，利用面積關(guān)系判斷a與b的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．12．我國(guó)古代著作《周髀算經(jīng)》中記載了“趙爽弦圖”．如圖，若勾AE＝6，弦AD＝10，則小正方形EFGH的面積是4．【分析】應(yīng)用勾股定理和正方形的面積公式可求解．【解答】解：如圖，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，∴股BE＝＝8，∴小正方形的邊長(zhǎng)＝8﹣6＝2，∴小正方形的面積＝22＝4．故答案是：4．【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了勾股定理和正方形的面積公式，關(guān)鍵是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．13．我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積為25，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和為7，則中間小正方形的邊長(zhǎng)1．【分析】可以設(shè)直角三角形的直角邊中長(zhǎng)邊為a，短邊為b，根據(jù)大正方形面積為25和a+b＝7列出方程組，解方程組即可解題．【解答】解：設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，則，解得，∴小正方形的邊長(zhǎng)為4﹣3＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，正方形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，正確列出方程組并且求解是解題的關(guān)鍵．14．如圖1是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”．將圖2的矩形分割成四個(gè)全等三角形和一個(gè)正方形，恰好能拼成這樣一個(gè)“勾股圓方圖”，則該矩形與拼成的正方形的周長(zhǎng)之比為（或）．【分析】設(shè)圖2的矩形分割成四個(gè)全等三角形的兩直角邊為a、b（a＞b），由圖1與圖2的兩個(gè)小正方形相同，得出a與b的關(guān)系，再求出矩形的邊長(zhǎng)和大正方形的邊長(zhǎng)，應(yīng)用周長(zhǎng)公式求得其周長(zhǎng)，最后便可求得其比值．【解答】解：設(shè)圖2的矩形分割成四個(gè)全等三角形的兩直角邊為a、b（a＞b），則大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為a﹣b，矩形的長(zhǎng)為2a+a﹣b＝3a﹣b，寬為b，∴矩形的周長(zhǎng)為：2（3a﹣b+b）＝6a，由圖2知，中間小正方形的邊長(zhǎng)為b，∴a﹣b＝b，∴a＝2b，∴大正方形的周長(zhǎng)為4＝4＝4b＝2a，∴該矩形與拼成的正方形的周長(zhǎng)之比：，故答案為：（或）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖形求得全等直角三角形的兩直角邊與矩形和大正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系．15．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，如果S1+S2+S3＝48，那么S2的值是16.【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．【解答】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且a＞b，由題意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，因?yàn)镾1+S2+S3＝48，即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝48，∴3（a2+b2）＝48，∴3S2＝48，∴S2的值是16．方法二：由題意可得S1﹣S2＝S2﹣S3，∴S1+S3＝2S2，∵S1+S2+S3＝48，∴S2＝16，故答案為16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的面積，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長(zhǎng)的變化表示面積．16．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第117頁(yè)的部分內(nèi)容．把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，利用此圖的面積表示式證明勾股定理．（1）請(qǐng)結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；（2）如圖②，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝2，P是射線BC上一點(diǎn)，以AP為直角邊在AP邊的右側(cè)作△APD，使∠APD＝90°，AP＝PD．過(guò)點(diǎn)D，作DE⊥BC于點(diǎn)E，當(dāng)DE＝4時(shí)，則BD＝4．【分析】（1）先證△BEC是等腰直角三角形，由面積和差關(guān)系可得結(jié)論；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求AH＝BH＝HC＝2，由“AAS”可證△APH≌△PDE，可得DE＝PH＝4，AH＝PE＝2，由勾股定理可求解．【解答】（1）證明：∵△ABE≌△DEC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∴S△BEC＝，∵S△BEC＝S梯形ABCD﹣2S△ABE，∴＝﹣2×∴c2＝a2+b2．（2）解：如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝2，∴AH＝BH＝CH＝2，∵∠APH+∠PAH＝90°＝∠APH+∠DPE，∴∠PAH＝∠DPE，在△APH和△PDE中，，∴△APH≌△PDE（AAS），∴DE＝PH＝4，AH＝PE＝2，∴BE＝BH+HP+PE＝8，∴BD＝＝＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．17．如圖，小明用4個(gè)圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．【分析】由題意可得：S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，再根據(jù)S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，即可證得結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△