2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊（配湘教版）教學(xué)課件 4.4.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)4.4.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)課標(biāo)要求1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象,理解函數(shù)零點(diǎn)的定義,并會求簡單函數(shù)的零點(diǎn).2.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系,能借助函數(shù)圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).3.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn),理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1.二次函數(shù)的零點(diǎn):一元二次方程ax2+bx+c=0的根,就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn),也就是該函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).過關(guān)自診函數(shù)f(x)=x2-1的零點(diǎn)是(

)A.(±1,0) B.(1,0)C.0 D.±1D解析

解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函數(shù)f(x)=x2-1的零點(diǎn)是±1.知識點(diǎn)二零點(diǎn)存在定理一般地,當(dāng)x從a到b逐漸增加時(shí),如果f(x)連續(xù)變化且有f(a)·f(b)<0,則存在點(diǎn)x0∈(a,b),使得f(x0)=0.名師點(diǎn)睛定理要求具備兩個(gè)條件:①函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的;②f(a)·f(b)<0.兩個(gè)條件缺一不可.過關(guān)自診1.函數(shù)f(x)=x3+2x+1的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間上(

)A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]B解析

因?yàn)閒(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間[-1,0]上.2.方程3x-x2=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有沒有解?為什么?提示

設(shè)函數(shù)f(x)=3x-x2,在區(qū)間[-1,0]上有f(-1)=3-1-(-1)2=<0,f(0)=30-02=1>0.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3x-x2的圖象是一條連續(xù)的曲線,所以由零點(diǎn)存在定理可知方程f(x)=0在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有解,即在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有解,故方程3x-x2=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有解.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求函數(shù)的零點(diǎn)【例1】

判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請求出零點(diǎn).(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函數(shù)的零點(diǎn)為2.規(guī)律方法

1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以求函數(shù)的零點(diǎn)通常有兩種方法:一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過求方程f(x)=0的解求得函數(shù)的零點(diǎn);二是幾何法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).2.求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)要注意零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域內(nèi).變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點(diǎn)是1和2,求函數(shù)y=logn(mx+1)的零點(diǎn).解

由題意知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點(diǎn)為1和2,則1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的實(shí)數(shù)解.所以函數(shù)y=logn(mx+1)的解析式為y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函數(shù)y=log2(-2x+1)的零點(diǎn)為0.探究點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷【例2】

判斷下列函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù):(1)f(x)=(x2-4)log2x;解

令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.又因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?0,+∞),所以x=-2不是函數(shù)的零點(diǎn),故函數(shù)有2和1兩個(gè)零點(diǎn).(2)f(x)=x2-;在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象如圖所示.由圖象可知,兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.解

(方法1)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在實(shí)根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在區(qū)間(-1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).(方法2)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出h(x)與g(x)的圖象如圖所示.由圖象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn).規(guī)律方法

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0的不相等實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)直接作出函數(shù)f(x)的圖象,圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,則兩個(gè)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(4)若證明一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)唯一,也可先由零點(diǎn)存在定理判斷出函數(shù)有零點(diǎn),再證明該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào).變式訓(xùn)練2(1)若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞)B解析

由題知,函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點(diǎn),即方程x2+2x+a=0沒有實(shí)數(shù)解,即Δ=4-4a<0,解得a>1,故選B.(2)函數(shù)f(x)=lnx+x2-3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1

C.2

D.3B解析

函數(shù)對應(yīng)的方程為ln

x+x2-3=0,所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=ln

x與y=3-x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一平面直角坐標(biāo)系下,作出兩函數(shù)的圖象(如圖所示).由圖象知,函數(shù)y=3-x2與y=ln

x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),即方程ln

x+x2-3=0有一個(gè)根,故函數(shù)f(x)=ln

x+x2-3有一個(gè)零點(diǎn).探究點(diǎn)三判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間【例3】

(1)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)B解析

f(1)=2-6<0,f(2)=4+ln

2-6<0,f(3)=6+ln

3-6>0,f(4)=8+ln

4-6>0,f(2)f(3)<0,則f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,3).故選B.(2)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的曲線,且有如下的對應(yīng)值:x123456y113-35-4811.5-5.67.8則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有(

)A.2個(gè)

B.3個(gè)

C.4個(gè)

D.5個(gè)C解析

由零點(diǎn)存在定理可知,連續(xù)函數(shù)y=f(x)在(1,2),(3,4),(4,5),(5,6)上至少各有一個(gè)零點(diǎn).故選C.規(guī)律方法

1.若函數(shù)連續(xù)不間斷,則判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間可直接使用函數(shù)零點(diǎn)存在定理,反之,若函數(shù)解析式中含參數(shù),則可以利用零點(diǎn)所在的區(qū)間的端點(diǎn)建立不等式求參數(shù)的取值范圍.2.涉及方程h(x)=g(x)的解所在的區(qū)間時(shí),若能直接解方程,則求出根后判斷,若不能夠解方程,則通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=h(x)-g(x),結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn).3.函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間即為函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間.變式訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)=x2--1在區(qū)間(k,k+1)(k∈N)內(nèi)有零點(diǎn),則k=(

)A.1 B.2

C.3

D.4A探究點(diǎn)四已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍【例4】

已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)F(x)=2(f(x))2-mf(x),且函數(shù)F(x)有6個(gè)零點(diǎn),則非零實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-2,0)∪(0,16)B.(2,16)C.[2,16)D.(-2,0)∪(0,+∞)C規(guī)律方法

已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)的方法(1)直接法:根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組),通過解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法:先對f(x)的解析式變形,將f(x)=0轉(zhuǎn)化為h(x)=g(x)[h(x),g(x)的圖象易畫出],在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)h(x),g(x)的圖象,然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解.變式訓(xùn)練4已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-a,若函數(shù)y=f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(1,+∞)解析

函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=2|x-1|+x與y=a的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).分別作出函數(shù)y=2|x-1|+x與y=a的圖象,如圖所示.由圖易知,當(dāng)a>1時(shí),兩函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234561.函數(shù)f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(-2,-1) D.(1,2)A解析

∵函數(shù)f(x)=2x+3x是R上的連續(xù)函數(shù),且單調(diào)遞增,f(-1)=2-1+3×(-1)=-2.5<0,f(0)=20+0=1>0,∴f(-1)f(0)<0.∴f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為(-1,0).故選A.1234562.若函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m的零點(diǎn)都在(0,+∞)內(nèi),則m的取值范圍是(

)A.(0,1] B.(0,2)C.(-3,0) D.(-1,3)A1234563.設(shè)函數(shù)f(x)=-log2x,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,+∞)B又因?yàn)楹瘮?shù)是(0,+∞)上的連續(xù)函數(shù),由零點(diǎn)存在定理得函數(shù)f(x)