高等數(shù)學(xué)-下學(xué)期-D10-線面積分習(xí)題課

習(xí)題課一、曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束線面積分的計(jì)算

第十章一、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類(對(duì)弧長(zhǎng))第二類(對(duì)坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終練習(xí)題:P184題3(1),(3),(6)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解答提示:

計(jì)算其中L為圓周提示:

利用極坐標(biāo),原式=說(shuō)明:若用參數(shù)方程計(jì)算,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P1843(1)P184

3(3).計(jì)算其中L為擺線上對(duì)應(yīng)t從0到2

的一段弧.提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P1843(6).計(jì)算其中由平面y=z

截球面提示:

因在上有故原式=從z軸正向看沿逆時(shí)針?lè)较?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算;(2)利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.計(jì)算其中

為曲線解:

利用輪換對(duì)稱性,有利用重心公式知(

的重心在原點(diǎn))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

計(jì)算其中L

是沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽c(diǎn)為中心,解法1令則這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān),故a

為半徑的上半圓周.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解法2

它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計(jì)算下述積分:(1)若L改為順時(shí)針?lè)较?如何計(jì)算下述積分:則添加輔助線段機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考題解答:(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束計(jì)算其中L為上半圓周提示:沿逆時(shí)針?lè)较?練習(xí)題:P184題3(5);P185題6;103(5).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P185

6

.設(shè)在右半平面x>0內(nèi),力構(gòu)成力場(chǎng),其中k為常數(shù),證明在此力場(chǎng)中場(chǎng)力所作的功與所取的路徑無(wú)關(guān).提示:令易證F

沿右半平面內(nèi)任意有向路徑L

所作的功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P185

10.求力沿有向閉曲線

所作的功,其中為平面x+y+z=1

被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三提示:方法1從

z

軸正向看去沿順時(shí)針?lè)较?利用對(duì)稱性角形的整個(gè)邊界,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?/p>

,方向向上,則方法2利用斯托克斯公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考題1)二重積分是哪一類積分?答:

第一類曲面積分的特例.2)設(shè)曲面問(wèn)下列等式是否成立?

不對(duì)!

對(duì)坐標(biāo)的積分與的側(cè)有關(guān)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.基本技巧(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束練習(xí):P185題4(3)

其中為半球面的上側(cè).且取下側(cè),提示:以半球底面原式=P185題4(2),P185題9

同樣可利用高斯公式計(jì)算.記半球域?yàn)?/p>

,高斯公式有計(jì)算為輔助面,利用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)為簡(jiǎn)單閉曲面,a

為任意固定向量,n

為的機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.計(jì)算曲面積分其中,解:思考:

本題

改為橢球面時(shí),應(yīng)如何計(jì)算?提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)是曲面解:

取足夠小的正數(shù)

,

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),為xoy

平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計(jì)算則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式計(jì)算,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.計(jì)算曲面積分中

是球面解:利用對(duì)稱性用重心公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.設(shè)L是平面與柱面的交線從z

軸正向看去,L為逆時(shí)針?lè)较?計(jì)算解:

記

為平面上

L

所圍部分的上側(cè),D為

在xoy

面上的投影.由斯托克斯公式公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束D

的形心機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P1843(2),(4);3(2)5;8機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)在任一固定時(shí)刻,此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是備用題

地球的一個(gè)偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像,若地球半徑為R,衛(wèi)星距地球表面高度為H=0.25R,衛(wèi)星繞地球一周的時(shí)間為T(mén),試求(2)在解:

如圖建立坐標(biāo)系.的時(shí)間內(nèi),衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少?多少?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)利用球坐標(biāo),任一固定時(shí)刻監(jiān)視的地球表面積為(2)在時(shí)間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為點(diǎn)擊圖片任意處