第2章 專題三 一元二次方程根的判別式的應(yīng)用(習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì))2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)通(北師大版)

第2章專題三一元二次方程根的判別式的應(yīng)用(習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì))2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)通(北師大版)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）第2章專題三一元二次方程根的判別式的應(yīng)用(習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì))2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)通(北師大版)教材分析《第2章專題三一元二次方程根的判別式的應(yīng)用》是北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課程中的重要組成部分，本章主要圍繞一元二次方程根的判別式進(jìn)行深入探討。通過學(xué)習(xí)判別式的計(jì)算與應(yīng)用，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確判斷一元二次方程的根的情況，進(jìn)一步理解一元二次方程的解的性質(zhì)，為解決實(shí)際問題奠定基礎(chǔ)。課程設(shè)計(jì)注重與課本內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性，緊密聯(lián)系實(shí)際，選取典型習(xí)題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)二、核心素養(yǎng)目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。使學(xué)生能夠運(yùn)用判別式對(duì)一元二次方程的根進(jìn)行分類討論，提高數(shù)據(jù)分析和問題解決能力；引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為一元二次方程模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維；通過解決實(shí)際應(yīng)用問題，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的意識(shí)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)知識(shí)：在進(jìn)入本章節(jié)學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已掌握一元二次方程的基本概念、解法和性質(zhì)，能夠求解標(biāo)準(zhǔn)形式的一元二次方程，并理解判別式的定義及其基本性質(zhì)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：九年級(jí)學(xué)生正處于青春期，對(duì)邏輯推理和問題解決具有較高興趣，具備一定的抽象思維能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，但學(xué)習(xí)風(fēng)格各異，部分學(xué)生擅長(zhǎng)理論分析，另一部分學(xué)生則更傾向于實(shí)際操作。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)判別式應(yīng)用過程中，學(xué)生可能對(duì)如何將實(shí)際問題抽象為一元二次方程模型感到困惑；此外，對(duì)于復(fù)雜的一元二次方程，學(xué)生在運(yùn)用判別式進(jìn)行分類討論時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤或理解偏差等問題。部分學(xué)生可能對(duì)判別式在不同情境下的應(yīng)用感到不適應(yīng)，需要教師在教學(xué)中關(guān)注并給予指導(dǎo)。教學(xué)資源準(zhǔn)備四、教學(xué)資源準(zhǔn)備：1.教材：確保每位學(xué)生備有北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材，提前布置學(xué)生預(yù)習(xí)本章內(nèi)容。2.輔助材料：準(zhǔn)備一元二次方程根的判別式的應(yīng)用實(shí)例圖片、圖表以及相關(guān)教學(xué)視頻，以便于學(xué)生直觀理解。3.實(shí)驗(yàn)器材：無需特殊實(shí)驗(yàn)器材。4.教室布置：將教室劃分為講解區(qū)、討論區(qū)和學(xué)生展示區(qū)，便于開展小組討論和問題解答活動(dòng)，同時(shí)設(shè)置黑板或投影儀用于展示教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)一元二次方程根的判別式的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場(chǎng)提問：“你們知道一元二次方程的根的判別式是什么嗎？它在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有什么重要作用？”

展示一些關(guān)于一元二次方程根的判別式的應(yīng)用實(shí)例圖片，讓學(xué)生初步感受判別式的實(shí)際意義。

簡(jiǎn)短介紹判別式的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.判別式基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生掌握一元二次方程根的判別式的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解判別式的定義，包括其數(shù)學(xué)表達(dá)形式和含義。

詳細(xì)介紹判別式的組成部分及其在一元二次方程求解過程中的作用，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

通過實(shí)例，讓學(xué)生更好地理解判別式在判斷一元二次方程根的性質(zhì)時(shí)的實(shí)際應(yīng)用。

3.判別式案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解判別式的特性和重要性。

過程：

選擇幾個(gè)典型的一元二次方程根的判別式案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、計(jì)算過程和結(jié)論，讓學(xué)生全面了解判別式的應(yīng)用方法。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際生活和學(xué)習(xí)的意義，以及如何運(yùn)用判別式解決實(shí)際問題。

小組討論：讓學(xué)生分組討論判別式在解決一元二次方程問題中的其他潛在應(yīng)用，并提出創(chuàng)新性的想法或建議。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與一元二次方程根的判別式相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的數(shù)學(xué)原理、實(shí)際應(yīng)用和可能的拓展問題。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)判別式的認(rèn)識(shí)和理解。

過程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的理解、應(yīng)用和拓展。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)判別式的重要性和意義。

過程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括判別式的定義、計(jì)算方法、案例分析和小組討論。

強(qiáng)調(diào)判別式在解決一元二次方程問題中的關(guān)鍵作用，鼓勵(lì)學(xué)生在日常生活中發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)模型。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于一元二次方程根的判別式的應(yīng)用短文，以鞏固學(xué)習(xí)效果。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

為學(xué)生提供與一元二次方程根的判別式相關(guān)的拓展學(xué)習(xí)資源，包括：

-數(shù)學(xué)故事：介紹一元二次方程的歷史發(fā)展和數(shù)學(xué)家故事，如古埃及的“萊因德紙草書”中的二次方程解法。

-數(shù)學(xué)游戲：設(shè)計(jì)一些包含一元二次方程根的判別式的數(shù)學(xué)游戲，如“判別式猜猜看”等，提高學(xué)生興趣。

-實(shí)際問題：收集一些涉及一元二次方程根的判別式的實(shí)際問題，如物體自由落體運(yùn)動(dòng)中的最大高度計(jì)算等。

-數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目：選取一些與判別式相關(guān)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目，提升學(xué)生的解題技巧和思維能力。

2.拓展建議：

針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提供以下拓展學(xué)習(xí)建議：

-對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生：重點(diǎn)復(fù)習(xí)一元二次方程的基本概念和解法，通過多做練習(xí)題來鞏固判別式的計(jì)算和應(yīng)用。

-對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生：鼓勵(lì)他們探索判別式在其他數(shù)學(xué)分支（如代數(shù)、幾何等）中的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

-對(duì)于對(duì)數(shù)學(xué)有深厚興趣的學(xué)生：推薦閱讀一些數(shù)學(xué)家關(guān)于一元二次方程的研究論文或著作，了解判別式在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位和作用。

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)社團(tuán)或競(jìng)賽小組，與小組成員共同探討一元二次方程根的判別式的高級(jí)問題和拓展題目，提升團(tuán)隊(duì)協(xié)作和問題解決能力。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-一元二次方程的一般形式

-判別式的定義與計(jì)算公式

-判別式與方程根的關(guān)系

-判別式的應(yīng)用場(chǎng)景

②重點(diǎn)詞、句：

-判別式（Discriminant）

-根的性質(zhì)（兩個(gè)根、一個(gè)根、無實(shí)根）

-實(shí)例分析（具體案例的判別式計(jì)算）

-解決實(shí)際問題（運(yùn)用判別式解決實(shí)際方程）

③藝術(shù)性與趣味性：

-使用不同顏色的粉筆，突出重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵詞。

-判別式的計(jì)算公式用大號(hào)字體書寫，并配以圖形或箭頭，指示計(jì)算步驟。

-設(shè)計(jì)有趣的判別式“猜猜看”游戲，將游戲規(guī)則和結(jié)果以圖表形式展示在板書上。

-結(jié)合實(shí)際案例，用簡(jiǎn)筆畫或漫畫形式展示問題情境，增加趣味性。

-在板書邊緣或空白處，添加與一元二次方程相關(guān)的數(shù)學(xué)名言或趣味數(shù)學(xué)小故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

1.一元二次方程根的判別式是判斷方程根性質(zhì)的重要工具，其計(jì)算公式為：Δ=b2-4ac。

2.根據(jù)判別式的值，一元二次方程的根可以分為三種情況：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（Δ>0），兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（Δ=0），無實(shí)數(shù)根（Δ<0）。

3.通過實(shí)際案例的分析，我們學(xué)會(huì)了如何將實(shí)際問題抽象為一元二次方程模型，并運(yùn)用判別式解決問題。

4.小組討論加深了對(duì)判別式的理解，也鍛煉了我們的合作能力和問題解決能力。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.請(qǐng)寫出判別式的計(jì)算公式，并解釋其中每個(gè)字母的含義。

2.給定一元二次方程ax2+bx+c=0，根據(jù)判別式Δ的值，判斷以下方程的根的情況：

-Δ=9，方程的根是什么？

-Δ=0，方程的根是什么？

-Δ=-4，方程的根是什么？

3.以下是一元二次方程的一個(gè)實(shí)際問題，請(qǐng)使用判別式幫助解決：

-某物體的自由落體運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系可以表示為h=5t2+10t+3，其中h是位移（米），t是時(shí)間（秒）。請(qǐng)計(jì)算物體在什么時(shí)間達(dá)到最高點(diǎn)。

4.小組討論題：如果你遇到了一個(gè)一元二次方程問題，但不知道如何應(yīng)用判別式，你會(huì)采取哪些步驟來解決這個(gè)問題？

答案與解析：

1.判別式計(jì)算公式：Δ=b2-4ac。其中a、b、c分別是一元二次方程ax2+bx+c=0的系數(shù)。

2.根據(jù)判別式Δ的值判斷方程根的情況：

-Δ=9，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

-Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

-Δ=-4，方程無實(shí)數(shù)根。

3.解答實(shí)際問題：

-將h=5t2+10t+3轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到h=5(t+1)2-2，由此可知物體在t=-1時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，但時(shí)間不能為負(fù)，所以這個(gè)問題在實(shí)際情況中無解，可能是題目設(shè)定有誤。

4.小組討論題：學(xué)生可以提出通過繪制圖像、使用求根公式、分解因式等方法來嘗試解決問題，并討論這些方法的優(yōu)缺點(diǎn)。教學(xué)反思在今天的課堂中，我們探討了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，我注意到學(xué)生們?cè)诶斫馀袆e式的基本概念上表現(xiàn)得相當(dāng)不錯(cuò)。他們能夠快速地掌握判別式的計(jì)算公式，并在實(shí)例分析中準(zhǔn)確地運(yùn)用它來判斷方程的根的性質(zhì)。這一點(diǎn)讓我感到很欣慰，因?yàn)榕袆e式的理解是一元二次方程學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

不過，我也發(fā)現(xiàn)了一些需要改進(jìn)的地方。在小組討論中，雖然學(xué)生們積極參與，但有些小組在討論問題的深度上還有所欠缺。我意識(shí)到，可能需要我在未來的教學(xué)中，更多地引導(dǎo)學(xué)生們?nèi)绾紊钊胨伎紗栴}，如何將理論知識(shí)與實(shí)際問題結(jié)合起來。

此外，我在課堂展示環(huán)節(jié)觀察到，一些學(xué)生在表達(dá)自己的觀點(diǎn)時(shí)顯得不夠自信。我想，這可能是因?yàn)樗麄冊(cè)跍?zhǔn)備過程中沒有得到足夠的支持和鼓勵(lì)。因此，我打算在接下來的課程中，更多地給予學(xué)生正面的反饋和鼓勵(lì)，幫助他們建立起自信。

我還注意到，判別式的藝術(shù)性和趣味性板書設(shè)計(jì)似乎激發(fā)了學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣。他們對(duì)于板書上的一些有趣的數(shù)學(xué)小故事和謎題表現(xiàn)出了極大的好奇心。這讓我意識(shí)到，在教學(xué)中融入趣味性元素對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性是非常有幫助的。

對(duì)于當(dāng)堂檢測(cè)的部分，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诨卮鹋袆e式的計(jì)算和應(yīng)用問題時(shí)表現(xiàn)得相對(duì)扎實(shí)，但在解決與實(shí)際生活相關(guān)的問題時(shí)，一些學(xué)生的思路還不夠清晰。這告訴我，在未來的教學(xué)中，我需要更多地引入實(shí)際情境，讓學(xué)生們學(xué)會(huì)如何將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到解決現(xiàn)實(shí)問題中去。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

-閱讀材料：《一元二次方程的歷史與發(fā)展》

-視頻資源：《一元二次方程在物理學(xué)中的應(yīng)用》

2.拓展要求：

-閱讀材料：要求學(xué)生閱讀并總結(jié)一元二次方程的歷史發(fā)展及其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的地位，思考一元二次方程的發(fā)展對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響。

-視頻資