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2024屆天津市河西區(qū)實驗中學高三年級第五次月考數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.102.如圖是一個算法流程圖,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.3.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點,則的最大值是()A. B.1 C. D.24.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位5.已知,則()A. B. C. D.6.已知函數(shù)(),若函數(shù)在上有唯一零點,則的值為()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或07.網(wǎng)絡(luò)是一種先進的高頻傳輸技術(shù),我國的技術(shù)發(fā)展迅速,已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機,現(xiàn)調(diào)查得到該款手機上市時間和市場占有率(單位:%)的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中,橫軸1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測該款手機市場占有率的變化趨勢,則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%(精確到月)()A.2020年6月 B.2020年7月 C.2020年8月 D.2020年9月8.已知,,則()A. B. C.3 D.49.已知是雙曲線的兩個焦點,過點且垂直于軸的直線與相交于兩點,若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.10.已知,且,則的值為()A. B. C. D.11.橢圓的焦點為,點在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.12.世紀產(chǎn)生了著名的“”猜想:任給一個正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果是奇數(shù),則將它乘加,不斷重復(fù)這樣的運算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到.如圖是驗證“”猜想的一個程序框圖,若輸入正整數(shù)的值為,則輸出的的值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.14.設(shè)為數(shù)列的前項和,若,,且,,則________.15.等邊的邊長為2,則在方向上的投影為________.16.已知,則______,______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,,,且的面積為.(1)求;(2)求的周長.18.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點,點在第一象限,為左頂點,為下頂點,交軸于點,交軸于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若,求點的坐標.19.(12分)運輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時,每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(),運輸?shù)穆烦虨镾(千米).設(shè)用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達式;(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.20.(12分)在三棱錐S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點,SA=2(I)證明:SD⊥BC;(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.21.(12分)已知非零實數(shù)滿足.(1)求證:;(2)是否存在實數(shù),使得恒成立?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由22.(10分)設(shè),,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點中心對稱是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】
執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計算結(jié)果,故選A.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
如圖所示建立直角坐標系,設(shè),則,計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系,則,,,設(shè),則.當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了向量的計算,建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】
直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位.故選:D.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可.【詳解】,本題正確選項:【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計算能力.6、C【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當時,只需,即,令,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,即可求出參數(shù)的值,當時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷;【詳解】解:∵(),∴,∴當時,由得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是極小值,∴只需,即.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵,∴;當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,∵,,函數(shù)在上有且只有一個零點,∴的值是1或0.故選:C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,零點存在性定理的應(yīng)用,屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)圖形,計算出,然后解不等式即可.【詳解】解:,點在直線上,令因為橫軸1代表2019年8月,所以橫軸13代表2020年8月,故選:C【點睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實際應(yīng)用,基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征,求出和,再利用復(fù)數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以,解得則.故選:A.【點睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì),考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.10、A【解析】
由及得到、,進一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的的值.【詳解】,輸入,,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)不成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,成立,跳出循環(huán),輸出的值為.故選:C.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、,,【解析】
化簡函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.14、【解析】
由題可得,解得,所以,,上述兩式相減可得,即,因為,所以,即,所以數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以.15、【解析】
建立直角坐標系,結(jié)合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系,由題意可知:,,,則:,,且,,據(jù)此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算,向量投影的定義與計算等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解析】
利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程,即可求出的值,然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值,進而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】,,,.故答案為:;.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計算,考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用,難度不大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理對式子化簡求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面積,求解三角形的周長即可.【詳解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周長為【點睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,也考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)【解析】
(1)由題意得,求出,進而可得到橢圓的方程;(2)由(1)知點,坐標,設(shè)直線的方程為,易知,可得點的坐標為,聯(lián)立方程,得到關(guān)于的一元二次方程,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,可用表示的坐標,進而由三點共線,即,可用表示的坐標,再結(jié)合,可建立方程,從而求出的值,即可求得點的坐標.【詳解】(1)由題意得,解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知點,,由題意可設(shè)直線的斜率為,則,所以直線的方程為,則點的坐標為,聯(lián)立方程,消去得:.設(shè),則,所以,所以,所以.設(shè)點的坐標為,因為點三點共線,所以,即,所以,所以.因為,所以,即,所以,解得,又,所以符合題意,計算可得,,故點的坐標為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查平行線的性質(zhì),考查學生的計算求解能力,屬于難題.19、(1),,.(2)當時,此時選擇火車運輸費最??;當時,此時選擇飛機運輸費用最省;當時,此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】
(1)將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.(2)作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比較與的大小關(guān)系即可,令,故當,即時,,即,此時選擇火車運輸費最省,當,即時,,即,此時選擇飛機運輸費用最省.當,即時,,,此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【點睛】本題考查了常見函數(shù)的模型,考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.20、(I)證明見解析;(II)1【解析】
(I)過D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到證明.(II)過點D作DF⊥SE于F,證明DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,計算夾角得到答案.【詳解】(I)過D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)角度的垂直關(guān)系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根據(jù)余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD?平面SED,故SD⊥BC.(II)過點D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF?平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【點睛】本題考查了線線垂直,線面夾角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21、(1)見解析(2)存在,【解析】
(1)利用作差法即可證出.(2)將不等式通分化簡可得,討論
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