實(shí)戰(zhàn)演練02 三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（4大?？键c(diǎn)歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁(yè)實(shí)戰(zhàn)演練02三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)①三次函數(shù)的零點(diǎn)②三次函數(shù)的極值、極值點(diǎn)③三次函數(shù)的切線④三次函數(shù)的對(duì)稱性一、三次函數(shù)概念定義：形如fxf'x=當(dāng)Δ>0時(shí)，令f二、三次函數(shù)的圖像及單調(diào)性注：三次函數(shù)要么無(wú)極值點(diǎn)，要么有兩個(gè)，不可能只有一個(gè)！系數(shù)關(guān)系式fxf'fxaf'fx在Rfxaf'fx在Rfxa增區(qū)間?∞，減區(qū)間xfx極大值fx1a增區(qū)間x減區(qū)間?∞，fx極大值fx2三、三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)若三次函數(shù)fx性質(zhì)三次函數(shù)圖像說(shuō)明aa零點(diǎn)個(gè)數(shù)三個(gè)bf兩個(gè)極值異與圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)bf有一個(gè)極值為0圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)存在極值時(shí)一個(gè)bf不存在極值時(shí)，函數(shù)單調(diào)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)四、三次函數(shù)的韋達(dá)定理設(shè)fx=a(1)x(2)x(3)x(4)1五、三次函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)論1三次函數(shù)fx=ax3+b結(jié)論2已知三次函數(shù)fx=ax3+結(jié)論3若y=fx圖像關(guān)于點(diǎn)m，n點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是軸對(duì)稱函數(shù)，軸對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)①三次函數(shù)的零點(diǎn)一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得，解得即可.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，即在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，根據(jù)題意可得，即，解得.故選：A2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】由題意可得函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件為且，逐個(gè)選項(xiàng)分析其是否為且的充分不必要條件即可得.【詳解】，有，若有三個(gè)零點(diǎn)，則有且，故函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件為：且，對(duì)A：，且，則當(dāng)時(shí)，有，不符，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：可能，不符，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：且，則，不符，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，且，則，即由，且能得到且，但且并不意味著，且，故，且是且的充分不必要條件，即是函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件，故D正確.故選：D.3．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，有以下四種說(shuō)法：①②③存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等差數(shù)列④存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等比數(shù)列則其中正確的說(shuō)法有（

）種.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意設(shè)，根據(jù)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合分析，根據(jù)可判斷①，根據(jù)函數(shù)的極大值可判斷②，根據(jù)三次函數(shù)的對(duì)稱性可判斷③，舉例可判斷④.【詳解】由，得，設(shè)，則，則的極小值為，極大值為．對(duì)①，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，①正確．對(duì)②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，所以未必成立，②錯(cuò)誤．對(duì)③，設(shè)，令有，則有，故圖象存在對(duì)稱中心，所以存在實(shí)數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，③正確．對(duì)④，因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，④正確．故選：C.4．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恒成立C．當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，記為，則【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性可得A錯(cuò)誤；畫出函數(shù)的圖象可求得BC錯(cuò)誤，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可求得，令再利用三角函數(shù)值域以及倍角公式即可求得D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)，令，則；當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，作出函數(shù)的大致圖象如圖，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由A選項(xiàng)可知，易知，又易知時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，不一定成立，例如當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，不一定成立，故B錯(cuò)；對(duì)于C，方程的根即為與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由A可知，函數(shù)在時(shí)取得極大值1，在時(shí)取得極小值；作出函數(shù)的圖象如圖，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)；對(duì)于D，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則可得，且；記，令，則，所以，于是，故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的范圍限定在上，再利用倍角公式即可得出結(jié)論.二、多選題5．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知三次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為B．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為C．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，恒成立，則a的取值范圍為【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間單調(diào)性判斷A、B，由函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則有一個(gè)極值為0，易得或判斷C；將不等式恒成立化為恒成立，對(duì)右側(cè)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可判斷D.【詳解】，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，所以在上單調(diào)遞減區(qū)間，A正確，B錯(cuò)誤；要使函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則有一個(gè)極值為0，由上分析知：或，而時(shí)，不滿足題意；所以，有，化簡(jiǎn)可得，C正確；當(dāng)時(shí)恒成立，即恒成立，令，則，故，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，∴，故，D正確．故選：ACD6．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù).則（

）A．B．若成等差數(shù)列，則C．若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由題意可得有兩個(gè)不同實(shí)根，則由即可判斷；對(duì)于B，若成等差數(shù)列，則，從而結(jié)合即可判斷；對(duì)于C，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則或必為極值點(diǎn)，分類討論即可判斷；對(duì)于D，由韋達(dá)定理即可判斷.【詳解】，，，對(duì)稱中心為，對(duì)A：因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以必有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，，A正確；對(duì)B，由成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，所以，又，故，所以，所以，故B正確；對(duì)C：，即，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則或必為極值點(diǎn)；若為極值點(diǎn)，則該方程的三個(gè)根為，，，由一元三次方程的韋達(dá)定理可知：；若為極值點(diǎn)，同理可得，故C錯(cuò)；對(duì)D：由韋達(dá)定理，得，即，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)得關(guān)鍵是得出或必為極值點(diǎn)，由此即可順利得解.三、填空題7．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）函數(shù)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中各段函數(shù)的單調(diào)性，分成，兩種情況并結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.函數(shù)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，所以，在有兩個(gè)零點(diǎn)且此時(shí)，而在上有一個(gè)零點(diǎn)，如圖，所以，解得，且，所以．所以.當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，且此時(shí)，又在上恒成立，所以此時(shí)不合題意.綜上，，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍常用的方法：（1）分離參數(shù)法：通常解法為從中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分類討論法：通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.8．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)和極值點(diǎn)求出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得的取值范圍.【詳解】∵且，∴，.則方程必有兩個(gè)不等的實(shí)根.設(shè)，則，.則必有，且①.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.由于，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則②.聯(lián)立①②得，解得，∴.令，令，則.從而，解得.因此.故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.因此.故答案為：②三次函數(shù)的極值點(diǎn)一、單選題1．（2024·福建泉州·一模）已知，是函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，解方程得出極值點(diǎn)，計(jì)算可判斷選項(xiàng).【詳解】，令，解得，所以，故AB不正確；，故C正確D錯(cuò)誤.故選：C2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．或C． D．【答案】D【分析】借助極值點(diǎn)定義可得，即可得或，再分類進(jìn)行討論排除極小值情況即可得.【詳解】，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處有極小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處有極大值，符合題意．綜上可得，.故選：D.3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件與韋達(dá)定理即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，又是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)根，故，又，則，即，則，則，所以，解得，此時(shí).故選：C．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令且恒成立，根據(jù)的極值點(diǎn)得到矛盾，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用三次函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，令，若恒成立，易知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)．設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則，結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：，在、上，單調(diào)遞減，在、上，單調(diào)遞增，是的極大值點(diǎn)，符合題意，此時(shí)需，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D.5．（2024·河北秦皇島·三模）已知0是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分類討論、與三種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的定義即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，可得或，?dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不滿足題意；綜上，，即的取值范圍為.故選：A.6．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）若為函數(shù)（其中）的極小值點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】時(shí)為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)不符合題意；令有兩根為或，分、討論，根據(jù)為極小值點(diǎn)需滿足的條件，結(jié)合不等式性質(zhì)可得答案.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.由于，且，故有兩根為或①當(dāng)時(shí)，若為極小值點(diǎn)，則需滿足：，故有，可得；②當(dāng)時(shí)，若為極小值點(diǎn)，則需滿足：，故有：，可得.故A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，綜合①②有：.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)為極小值點(diǎn)得到的關(guān)系再結(jié)合不等式的性質(zhì)解題.7．（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)都大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題，，則方程的兩根都大于2，由根的分布知識(shí)可得答案.【詳解】，對(duì)于方程，設(shè)方程兩根為，由韋達(dá)定理，.因的兩個(gè)極值點(diǎn)都大于2，則方程的兩根都大于2，則.結(jié)合，可得.故選：D8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為函數(shù)（其中）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，若不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，為對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩根，由，代入函數(shù)解析式，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋裕趾瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以解法一：由，得，即．將的值代入（*）式，得，解得，故選：A．解法二：函數(shù)為奇函數(shù)，圖象的對(duì)稱中心為，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為設(shè)，，比較系數(shù)，有，解得所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，即若存在兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，則其對(duì)稱中心為點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)，即．由題設(shè)得，即，即，所以解得.故選:A．二、多選題9．（23-24高三上·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，若過(guò)點(diǎn)和的直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為，則直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由題意有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則求參數(shù)a范圍，再根據(jù)代入、確定已知點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求截距并列方程求a值．【詳解】由題意有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，所以，即或，由即，，同理有，所以、均在上，令，則，令，則，則直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積，即，即，綜上，，，因?yàn)榧椿?，故，得，故選：BC10．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）函數(shù)有三個(gè)不同極值點(diǎn)，且.則（

）A． B．C．的最大值為3 D．的最大值為1【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A可根據(jù)求導(dǎo)后分析單調(diào)性，得到的最小值大于1恒成立可得；選項(xiàng)B可由分析求出；選項(xiàng)C可由及求出；選項(xiàng)D可由和求出；【詳解】對(duì)于A：有三個(gè)不同極值點(diǎn)，則有三個(gè)不等實(shí)根為，則定有三個(gè)解.設(shè)，當(dāng)，恒成立，得單調(diào)遞增，不會(huì)有三個(gè)解，所以，，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.定有三個(gè)解恒成立，因?yàn)椋院愠闪?即，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，故，，，故，故D正確；對(duì)于B：又，故B正確；對(duì)于C：又，，，則，又，放，的最大值為3，故C正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題A選項(xiàng)關(guān)鍵在于由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，得到的最小值大于1恒成立從而得到的范圍；選項(xiàng)BCD根據(jù)方程根的特征求解.11．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且滿足，，對(duì)任意的恒有，且為的極值點(diǎn)，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，可得分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，由此求出，再逐項(xiàng)判斷即可得解..【詳解】由，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得極大值，在時(shí)，取得極小值，對(duì)任意的恒有，，，又當(dāng)且滿足，，則分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則，由，得，即，解得，由，得，即，解得，對(duì)于A，由，求導(dǎo)得，顯然是的變號(hào)零點(diǎn)，即，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD12．（2024·山西太原·三模）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的對(duì)稱中心為 B．C． D．【答案】AC【分析】利用，可判斷A；令，解得，代入可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性并求出極值點(diǎn)，結(jié)合圖像分情況由解出，可得可判斷C；利用C選項(xiàng)，若，，得出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋缘膶?duì)稱中心為，故A

正確；對(duì)于B，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，可得，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，解得，當(dāng)或時(shí)，，是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在時(shí)有極大值，在時(shí)有極小值，如下圖，當(dāng)時(shí)，若，則，可得，即，解得，所以；當(dāng)時(shí)，如下圖，若，則，可得，即，解得，所以；綜上所述，，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知，若，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn).三、填空題13．（23-24高三上·山西臨汾·階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為3，且是的極值點(diǎn)，則函數(shù)的另一個(gè)極值點(diǎn)為.【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知有，且，求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定另一個(gè)極值點(diǎn)即可.【詳解】由題設(shè)，則，且，所以，即，當(dāng)，，則上遞增；當(dāng)，，則上遞減；所以、都是的極值點(diǎn)，故另一個(gè)極值點(diǎn)為.故答案為：14．（2024·云南·一模）已知在上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】求導(dǎo)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，則在上有唯一解，且左右函數(shù)值異號(hào).即，令則，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，故，解得.故答案為：.15．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，記，．點(diǎn)B，D在的圖象上，滿足，均垂直于y軸．若四邊形為菱形，則．【答案】【分析】令得，四邊形為菱形，由得，又，得，由，代入函數(shù)解析式求的值.【詳解】函數(shù)，，若，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意，時(shí)，，得，則，，四邊形為菱形，則，，故，，，則，，由，化簡(jiǎn)得，令，則，即，解得，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是用好四邊形為菱形，由對(duì)角線互相垂直利用直線斜率得，利用對(duì)角線互相平分有，求出，由求的值.③三次函數(shù)的切線一、單選題1．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先由奇偶性求得時(shí)的解析式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】因?yàn)?，，，又由是偶函?shù)，，令，則，根據(jù)是偶函數(shù)，，得到時(shí)，，所以，時(shí)，，，故曲線在處的切線方程為，即.故選：C.2．（2024·寧夏銀川·二模）已知點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，且過(guò)點(diǎn)僅有一條直線與的圖象相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線和曲線相切得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得答案.【詳解】點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，則，即，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象相切于，則切線的斜率，整理可得，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)零點(diǎn)，且，令，可得或，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值，要使僅有一個(gè)零點(diǎn)，或故選：B3．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，得到切線方程，將代入切線方程，得到，故有三個(gè)實(shí)數(shù)根，令，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和極值點(diǎn)情況，從而得到不等式，求出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，，故，且切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，故，整理得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線三條切線，故有三個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，則，由得，或，因?yàn)椋傻没?，此時(shí)單調(diào)遞增，由得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，故要有三個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件為，即，解得.故選：D【點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)已知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)已知切線過(guò)某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.二、多選題4．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．方程有3個(gè)解C．當(dāng)時(shí)，D．曲線有且僅有一條過(guò)點(diǎn)的切線【答案】AC【分析】直接驗(yàn)證可判斷A，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行變換，可判斷B和C，直接給出兩條符合條件的切線，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由于，從而，故A正確；對(duì)于B，由于當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，故方程在上無(wú)解；而當(dāng)時(shí)有，故在上遞增，從而方程在上至多有一個(gè)解.所以方程總共至多有一個(gè)解，不可能有3個(gè)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由有，且由有，從而，故C正確；對(duì)于D，由于，故，.而，，故曲線在和處的切線分別是和，這兩條切線均過(guò)點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于從多種角度研究三次函數(shù)的性質(zhì).三、填空題5．（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．【答案】18【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得的表達(dá)式，由此化簡(jiǎn)推出，結(jié)合說(shuō)明，繼而利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故則的最小值為18，故答案為：18【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式推出，并說(shuō)明，然后利用基本不等式求最值即可.④三次函數(shù)的對(duì)稱性一、單選題1．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的對(duì)稱中心為，利用對(duì)任意恒成立，即可求出和.【詳解】設(shè)的對(duì)稱中心為，則對(duì)任意恒成立，代入解析式，有，即對(duì)任意恒成立，所以，解得，故對(duì)稱中心為.故答案為：B.2．（23-24高三上·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（

）A．36 B．24 C．20 D．18【答案】D【分析】先根據(jù)解析式求出對(duì)稱中心，再結(jié)合等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解即可.【詳解】，所以曲線的對(duì)稱中心為，即，因?yàn)?，易知?shù)列為等差數(shù)列，，，所以，所以.故選:D.3．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知曲線與曲線交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由和可確定兩曲線均關(guān)于中心對(duì)稱；利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和極值，結(jié)合的單調(diào)性可確定兩曲線在上的圖象，由此可確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合對(duì)稱性可求得結(jié)果.【詳解】令，則，，，關(guān)于中心對(duì)稱；，關(guān)于中心對(duì)稱；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，極大值為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，；作出與在時(shí)的圖象如下圖所示，由圖象可知：與在上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由對(duì)稱性可知：與在上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的解析式，確定兩函數(shù)關(guān)于同一對(duì)稱中心對(duì)稱，結(jié)合兩函數(shù)圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)后，即可根據(jù)對(duì)稱性求得交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和.4．（2023·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，又，，，解得：，.故選：D.5．（23-24高三上·北京大興·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且，下面四個(gè)判斷，正確的個(gè)數(shù)為（

）個(gè).①；②若，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③若，則對(duì)于R，；④若，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】對(duì)于①，求函數(shù)，代入驗(yàn)證符號(hào)得出結(jié)果；對(duì)于②，根據(jù)對(duì)稱性結(jié)論驗(yàn)證是否成立；對(duì)于③展開(kāi)，根據(jù)二次函數(shù)最值進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果；對(duì)于④利用作差比較法得出結(jié)果.【詳解】由已知，對(duì)于①，，因?yàn)?，所以，，故①正確；對(duì)于②，若，則，因?yàn)?，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，將展開(kāi)可得，又拋物線開(kāi)口向上，故，當(dāng)時(shí)，，所以，則對(duì)于R，，故③正確；對(duì)于④，，因?yàn)橛傻?，即，由得，所以，即，故④正確.故選：D.二、多選題6．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心C．有三個(gè)零點(diǎn)D．直線是曲線的一條切線【答案】ABD【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義可判斷A；由為奇函數(shù)，根據(jù)平移變換可判斷B；由的單調(diào)性和最值可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】由題意，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)兩個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故B正確；因?yàn)?，所以，函?shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D正確，故選：ABD.7．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上的最小值為B．的圖象與軸有3個(gè)公共點(diǎn)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．的圖象過(guò)點(diǎn)的切線有3條【答案】ABD【分析】將原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出，即為：，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，然后即可判斷出函數(shù)在上的最值，將原函數(shù)的極大值與極小值求出，即可畫出函數(shù)圖象，判斷出函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)于C選項(xiàng)，只需判斷出即能說(shuō)明的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D選項(xiàng)需求過(guò)點(diǎn)的切線方程，注意區(qū)分過(guò)某點(diǎn)的切線方程和在某點(diǎn)的切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，A選項(xiàng)中，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，所以在上的最小值為，A正確；因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，如圖所示：

所以的圖象與軸有3個(gè)公共點(diǎn)，B正確；若的圖象關(guān)于對(duì)稱，則有，因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，設(shè)的切點(diǎn)為，所以，所以在切點(diǎn)處的切線方程為：，當(dāng)切線過(guò)時(shí)，即：，整理得：，設(shè)，則所以時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，或，單調(diào)遞增，所以，所以的圖象如圖所示：

所以由圖象知有三個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)根，所以的圖象過(guò)點(diǎn)的切線有3條，D正確.故選：ABD8．（23-24高二下·江西南昌·期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn)B．C．不等式的解集為D．當(dāng)時(shí)，【答案】BD【分析】對(duì)于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；對(duì)于B：根據(jù)解析式代入運(yùn)算即可；對(duì)于C：取特值檢驗(yàn)即可；對(duì)于D：分析可得，結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)于不等式，因?yàn)?，即為不等式的解，但，所以不等式的解集不為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，且，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：BD.9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.【詳解】A：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，不是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，使得，故B正確；C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以若為的極小值點(diǎn)時(shí)，在上先遞增再遞減，故C錯(cuò)誤；D：，而，則，所以點(diǎn)為的對(duì)稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，故D正確.故選：BD．10．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AB【分析】根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，可得“拐點(diǎn)”，而“拐點(diǎn)”同時(shí)也滿足函數(shù)解析式，這樣就可以得到參數(shù)的值，進(jìn)而根據(jù)三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得正確答案.【詳解】由，可得，，令，得，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心為，因此，解得，，故選項(xiàng)A正確；由以上過(guò)程可知，，且當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是在和上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的極大值與極小值之和為，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)楹瘮?shù)極小值，由三次函數(shù)的性質(zhì)知，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：AB.11．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，，由此分析可得由