實(shí)戰(zhàn)演練12 排列組合的常見(jiàn)考法技巧（7大?？键c(diǎn)歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁(yè)實(shí)戰(zhàn)演練12排列組合的常見(jiàn)考法技巧①特殊元素（位置）法②捆綁法③插空法④倍縮法⑤排數(shù)問(wèn)題⑥分組分配問(wèn)題⑦涂色問(wèn)題一、排列組合中常見(jiàn)問(wèn)題及其技巧1.對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類(lèi)過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法．2.對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法3.定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法．4.分組、分配問(wèn)題是排列組合的綜合問(wèn)題，解題思想是先分組后分配．(1)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題，常見(jiàn)的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個(gè)數(shù)都相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題，常見(jiàn)的分配方法有三種：①相同元素的分配問(wèn)題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問(wèn)題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配；③有限制條件的分配問(wèn)題，采用分類(lèi)求解．5.涂色問(wèn)題常用方法（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色，這是處理區(qū)域涂色問(wèn)題的基本方法；（2）根據(jù)共用了多少種顏色，分別計(jì)算出各種情形的種數(shù)，再利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出不同的涂色方法種數(shù)；（3）根據(jù)某兩個(gè)不相鄰區(qū)域是否同色進(jìn)行分類(lèi)討論，從某兩個(gè)不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，再利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出不同涂色方法種數(shù).二、方法技巧分類(lèi)①特殊元素（位置）法對(duì)有限制條件的元素（或位置）要優(yōu)先考慮，位置優(yōu)先法和元素優(yōu)先法是解決排列組合問(wèn)題最常用的方法。若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其他條件。②捆綁法捆綁法指將聯(lián)系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個(gè)整體，再與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)要注意合并后內(nèi)部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對(duì)待，能大大降低分析問(wèn)題的難度.采用捆綁法分析排列組合問(wèn)題,剩余元素的處理應(yīng)考慮其是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,對(duì)于組合問(wèn)題需將“順序”帶來(lái)的影響消除掉.③插空法插空法在分析元素不相鄰問(wèn)題時(shí)較為常用，即先將無(wú)特殊要求的元素排列好，而后看其產(chǎn)生多個(gè)滿(mǎn)足題意的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿(mǎn)足題目的相關(guān)要求.④倍縮法部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問(wèn)題，稱(chēng)之為定序（排列）問(wèn)題．定序問(wèn)題可以用倍縮法.⑤排數(shù)問(wèn)題對(duì)于有限制條件的數(shù)字排列問(wèn)題，先滿(mǎn)足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時(shí)注意隱含條件：0不能在首位.⑥分組、分配問(wèn)題①整體均分問(wèn)題，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．②局部均分問(wèn)題，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．③不等分問(wèn)題，只需先分組，后排列，分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．⑦涂色問(wèn)題解決涂色問(wèn)題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析．(2)以顏色為主分類(lèi)討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線(xiàn)段”等問(wèn)題，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分析．(3)將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題①特殊元素（位置）法一、單選題1．（2024·廣東佛山·二模）勞動(dòng)可以樹(shù)德、可以增智、可以健體、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐比賽，已知冠軍是甲、乙當(dāng)中的一人，丁和戊都不是最差的，則這5名同學(xué)的名次排列（無(wú)并列名次）共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，排第1名，有種方法，排丁和戊，有種方法，排余下2人，有種方法，所以這5名同學(xué)的名次排列（無(wú)并列名次）共有（種）.故選：B2．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，則不同的排法種數(shù)為（

）A．240 B．720 C．432 D．216【答案】C【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.【詳解】3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，先排左右兩端，有種排法，再排中間4個(gè)位置，有種排法，所以不同的排法種數(shù)為種.故選：C.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)戲曲中人物角色的行當(dāng)分類(lèi)，可以有生、旦、凈、末、丑五大行當(dāng)．現(xiàn)有3名男生和2名女生，每人要扮演某戲曲中的一個(gè)角色，五個(gè)行當(dāng)均有人扮演，且生行、凈行由男生扮演，旦行由女生扮演，則不同的人物角色扮演方式共有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【答案】C【分析】根據(jù)“特殊元素（位置）優(yōu)先法”，先安排生行、凈行和旦行，再安排其他行即可.【詳解】由題意，生行、凈行由男生扮演，則從3名男生中選2人，再全排列，有種扮演方式；旦行由女生扮演，則從2名女生中選1人，有種扮演方式；剩下的2人有種扮演方式，故共有（種）不同的人物角色扮演方式．故選：C4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校組隊(duì)參加辯論賽，在1名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔(dān)任一辯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由排列數(shù)的計(jì)算以及古典概型概率計(jì)算公式即可得解.【詳解】在1名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔(dān)任一辯的概率是.故選：A.5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）甲乙丙丁戊5名同學(xué)坐成一排參加高考調(diào)研，若甲不在兩端且甲乙不相鄰的不同排列方式的個(gè)數(shù)為（

）A．36種 B．48種 C．54種 D．64種【答案】A【分析】利用間接法，先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數(shù)，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數(shù)，結(jié)合排列數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數(shù)，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數(shù)，所以總數(shù)為種，故選：A.6．（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）有4名學(xué)生和2名老師站成一排拍照，若2名老師不站兩端，則不同排列方式共有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．576種【答案】C【分析】首先將名老師排在中間個(gè)位置中的個(gè)位置，再將其余名學(xué)生全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】首先將名老師排在中間個(gè)位置中的個(gè)位置，再將其余名學(xué)生全排列，故不同排列方式共有（種）.故選：C7．（2024·四川成都·三模）成實(shí)外教育集團(tuán)自2000年成立以來(lái)，一直行走在民辦教育的前端，致力于學(xué)生的全面發(fā)展，對(duì)學(xué)生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團(tuán)已開(kāi)辦29所K-12學(xué)校和兩所大學(xué)，其中高中教育學(xué)校有11所.集團(tuán)擬召開(kāi)綜合考評(píng)會(huì).經(jīng)考評(píng)后，11所學(xué)校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所學(xué)校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學(xué)校代表去交流發(fā)言的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算求解即可.【詳解】從11所學(xué)校中任選3所學(xué)校共有種選法.其中排名為第一名或第五名的學(xué)校，可以分為三種情況：第一類(lèi)：只含有排名為第一名的學(xué)校的有種選法；第二類(lèi)：只含有排名為第五名的學(xué)校的有種選法；第三類(lèi)：同時(shí)含有第一名和第五名學(xué)校的有種選法；共種選法.根據(jù)概率公式可得.故選：D.8．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用兩個(gè)原理，結(jié)合排列、組合應(yīng)用列式計(jì)算即可.【詳解】①A校去乙地有種；②A(yíng)校與另一所學(xué)校去丙地有種，③A校單獨(dú)去丙地有種，所以共有種，故選：B．9．（23-24高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）某單位春節(jié)共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁、戊、己六人選出四人值班，每名員工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（

）A．192種 B．252種 C．268種 D．360種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式計(jì)算即得.【詳解】若甲乙不值班，值班安排有種；若甲乙只有一人不值班，值班安排有種；若甲乙都值班，值班安排有種，所以值班安排共有252種.故選：B10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱(chēng)為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A．87 B．129 C．132 D．138【答案】A【分析】按千位數(shù)分別是5，7，8進(jìn)行分類(lèi)討論即可.【詳解】若千位數(shù)字是5，則百位數(shù)字不能是1，故共有（個(gè)）；（①一個(gè)四位數(shù)為偶數(shù)，則其個(gè)位上的數(shù)字一定是偶數(shù)；②組成的四位數(shù)要大于5200，則其千位上的數(shù)字是5，7或8）若千位數(shù)字是7，則共有（個(gè)）；若千位數(shù)字是8，則共有（個(gè)）．故符合條件的四位數(shù)共有（個(gè)）．故選：A②捆綁法一、單選題1．（2024·江西九江·三模）考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【答案】D【分析】利用捆綁法、全排列和分步乘法計(jì)數(shù)原理即可解答.【詳解】第一步：將三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)整體，與三個(gè)奇數(shù)進(jìn)行全排列共種排法；第二步：將三個(gè)偶數(shù)進(jìn)行全排列共；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.2．（24-25高三·上?！ふn堂例題）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，則不同的安排方案共有（

）A．1440種 B．1360種； C．720種 D．960種【答案】A【分析】運(yùn)用捆綁法，結(jié)合排列定義進(jìn)行求解即可.【詳解】把甲、乙捆綁在一起，相當(dāng)于一個(gè)人，再與剩下的五人一起全排列，所以不同的安排方案共有種，故選：A3．（24-25高三·上?！ふn堂例題）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有（

）個(gè)．（用數(shù)字作答）A．128 B．256 C．576 D．684【答案】C【分析】利用捆綁法、插空法可得答案.【詳解】1和2，3與4，5與6，分別捆綁在一起，看作三個(gè)元素進(jìn)行排列，7與8利用插空法，可得故選：C.4．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學(xué)一個(gè)寢室6位同學(xué)慕名而來(lái)，游覽結(jié)束后，在門(mén)前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種【答案】C【分析】結(jié)合捆綁法與全排列，并消除和的順序即可求解.【詳解】站在一起有種，將看成一個(gè)整體與進(jìn)行全排列，共有種，同時(shí)要求在的左邊，共有種．故選：.5．（24-25高三上·上?！ふn后作業(yè)）現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】先把3個(gè)男生排列在一起，再排列6名女生，最后插空安排2組男生結(jié)合乘法原理計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①將4名男生分成1、3的兩組，將3個(gè)相鄰的男生捆在一起，看成1個(gè)男生，有種，這樣與第4個(gè)男生看成是2組男生；②將6名女生全排列，有種情況，排好后有7個(gè)空位；③將分好的2組安排到7個(gè)空位中，有種情況，則不同的排法有種．故選:D．6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩(shī)詞朗誦類(lèi)節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類(lèi)節(jié)目，2個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種【答案】B【分析】利用間接法，首先將五個(gè)節(jié)目全排列，減去獨(dú)唱類(lèi)節(jié)目相鄰，再減去歌舞類(lèi)節(jié)目相鄰，最后加上獨(dú)唱類(lèi)節(jié)目相鄰且歌舞類(lèi)節(jié)目也相鄰的情況即可.【詳解】依題意五個(gè)節(jié)目全排列有種排法；若獨(dú)唱類(lèi)節(jié)目相鄰，則有種排法；若歌舞類(lèi)節(jié)目相鄰，則有種排法；若獨(dú)唱類(lèi)節(jié)目相鄰且歌舞類(lèi)節(jié)目也相鄰，則有種排法；綜上可得同類(lèi)節(jié)目不相鄰的安排方式共有種.故選：B③插空法一、單選題1．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法種數(shù)為（

）A．120 B．72 C．64 D．48【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用不相鄰的排列問(wèn)題列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，兩名老師不相鄰，所以不同的站法種數(shù)為.故選：B2．（2024·浙江金華·三模）從數(shù)字1，2，3，4中選出3個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成四位數(shù)，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不相同，則這樣的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．36 B．54 C．60 D．72【答案】D【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理與插空法即可求解.【詳解】根據(jù)題意，完成這件事可分三部：第一步，選數(shù)字，有種；第二步，將選好的三個(gè)數(shù)字確定一個(gè)重復(fù)的數(shù)字，有種；第三步，安排這三個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置上，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不同，即先安排兩個(gè)不同的數(shù)字，再讓兩個(gè)相同的數(shù)字取插空，則有種排序方法；由分步計(jì)數(shù)原理可得這樣的四位數(shù)共有個(gè).故選：D3．（2024·海南?？凇ざ＃┠秤浾吲c參加會(huì)議的5名代表一起合影留念（6人站成一排），則記者站兩端，且代表甲與代表乙不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．72 B．96 C．144 D．240【答案】C【分析】分三步，首先除代表甲與代表乙以外的3名代表全排，其次將代表甲與代表乙插入3名代表排好后產(chǎn)生的4個(gè)空位，最后安排記者在兩端，由分步計(jì)數(shù)，相乘可得結(jié)果.【詳解】第一步除代表甲與代表乙以外的3名代表的排法有種，第二步由代表甲與代表乙不相鄰，利用插空法，將代表甲與代表乙插入其他3名代表排好后產(chǎn)生的4個(gè)空位，方法為種，第三步將記者安排在兩端有種，所以共有種排法.故選：C.4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目、2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（

）A．72 B．120 C．144 D．3【答案】B【分析】先排歌舞類(lèi)節(jié)目，然后將三個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目中間的兩個(gè)空位排滿(mǎn)，分成兩種情況：第一種，插入的是兩個(gè)小品類(lèi)節(jié)目，第二種，插入的是一個(gè)小品一個(gè)相聲，進(jìn)而求得排法總數(shù).【詳解】先排歌舞類(lèi)節(jié)目方法數(shù)為，然后將三個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目中間的兩個(gè)空位排滿(mǎn)，分成兩種情況：第一種，插入的是兩個(gè)小品類(lèi)節(jié)目，方法數(shù)為；第二種，插入的是一個(gè)小品一個(gè)相聲，方法數(shù)為．所以總的排法種數(shù)為故選：B5．（2024·云南·二模）某學(xué)校組織學(xué)生到敬老院慰問(wèn)演出，原先準(zhǔn)備的節(jié)目單上共有5個(gè)節(jié)目(3個(gè)歌唱節(jié)目和2個(gè)舞蹈節(jié)目).根據(jù)實(shí)際需要，決定將原先準(zhǔn)備的節(jié)目單上的5個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序保持不變，再在節(jié)目單上插入2個(gè)朗誦節(jié)目，并且朗誦節(jié)目在節(jié)目單上既不排第一，也不排最后，則不同的插入方法一共有（

）A．18種 B．20種 C．30種 D．34種【答案】B【分析】本題根據(jù)排列組合的基本原理，相鄰問(wèn)題采用“捆綁法”，不相鄰問(wèn)題采用“插空法”.由題意，原5個(gè)節(jié)目安排好以后，中間產(chǎn)生四個(gè)空檔，然后對(duì)新插入的兩個(gè)朗誦節(jié)目分為相鄰和不相鄰兩種情況插入即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得：（1）新插入的兩個(gè)朗誦節(jié)目相鄰時(shí)：有種方法，（2）新插入的兩個(gè)朗誦節(jié)目不相鄰時(shí)：有種方法，綜上得：共有種方法.故選：B.6．（2024·安徽·三模）某年級(jí)在元旦活動(dòng)中要安排6個(gè)節(jié)目的表演順序，其中有3個(gè)不同的歌唱節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，要求第一個(gè)和最后一個(gè)都必須安排舞蹈節(jié)目，且不能連續(xù)安排3個(gè)歌唱節(jié)目，則不同的安排方法有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．24種【答案】B【分析】先排第一及最后一個(gè)節(jié)目，再排歌唱節(jié)目，最后用插空法計(jì)算即可得.【詳解】先從3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目選出2個(gè)分別安排在第一及最后一個(gè)，有種，再將3個(gè)不同的歌唱節(jié)目排成一列，有種，3個(gè)不同的歌唱節(jié)目中間有2個(gè)空，從中選1個(gè)安排最后一個(gè)節(jié)目，有種，故共有.故選：B.④倍縮法一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）今有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5個(gè)球排成一行，則不同的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將5個(gè)球全排列，再除以2個(gè)紅球全排列數(shù)和3個(gè)黃球全排列數(shù).【詳解】因?yàn)?個(gè)球有種排法，因?yàn)橥虿患右詤^(qū)分，2個(gè)紅球有種排法，3個(gè)黃球排有種排法，所以共有種排法．故選：D．2．（2024·新疆·一模）在古典名著《紅樓夢(mèng)》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干接連下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需要加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋?lái)樞蚬灿校?/p>

）種A．72 B．36 C．12 D．6【答案】C【分析】利用排列數(shù)公式，以及順序一定問(wèn)題，列式求解.【詳解】將香菌、新筍、豆腐干看成一個(gè)元素，且順序一定，茄子凈肉和雞胸肉順序一定，所以不同的排序方法有種方法.故選：C3．（2024·北京石景山·一模）中國(guó)民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音，排成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】先排宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)，然后商、角兩個(gè)音階插空即可求解.【詳解】解：先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有，再將商、角插入4個(gè)空中的2個(gè)，有，所以共有種．故選：C．4．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）用2個(gè)0，2個(gè)1和1個(gè)2組成一個(gè)五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（

）A．8個(gè) B．12個(gè) C．18個(gè) D．24個(gè)【答案】C【分析】分首位為2、1計(jì)算出每種情況的結(jié)果數(shù)，再相加即可.【詳解】當(dāng)首位為2時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè)；當(dāng)首位為1時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè).綜上，這樣的五位數(shù)共有個(gè).故選：C.5．（23-24高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀(guān)看電影《封神榜》，恰好買(mǎi)到了六張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（

）A．360 B．480 C．600 D．720【答案】B【分析】先求得六人的全排列數(shù)，結(jié)合題意，利用定序排列的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，其中甲、乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為種.故選：B.⑤排數(shù)問(wèn)題一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于各數(shù)位均不為0的三位數(shù)，若兩位數(shù)和均為完全平方數(shù)，則稱(chēng)具有“性質(zhì)”，則具有“性質(zhì)”的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】完全平方數(shù)、新定義問(wèn)題【詳解】因?yàn)閮晌粩?shù)的完全平方數(shù)有（提示：完全平方數(shù)指一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式），所以具有“性質(zhì)”的三位數(shù)有，共4個(gè)．故選：D.2．（2024·廣西·三模）已知這個(gè)數(shù)字，從中取三個(gè)不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個(gè)位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有（

）A．55個(gè) B．70個(gè) C．40個(gè) D．35個(gè)【答案】A【分析】分有和沒(méi)有兩種情況討論，選項(xiàng)出數(shù)字，再排列.【詳解】若這三個(gè)數(shù)字里沒(méi)有，則共有個(gè)，若這三個(gè)數(shù)字里有，則共有個(gè)，則共有個(gè).故選：A.3．（2024·四川雅安·三模）從三個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出組成無(wú)重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，再求出是偶數(shù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型求出概率即可.【詳解】因?yàn)橛?，2，3組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為；，由1，2，3組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為：，所以由1，2，3組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從中任取一個(gè)為偶數(shù)的概率為.故選：D4．（2024·四川雅安·三模）從五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分類(lèi)討論分別求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【詳解】若選擇的4個(gè)數(shù)中有0，則沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)；若選擇的4個(gè)數(shù)中無(wú)0，則沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)；所以沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有個(gè).若個(gè)位數(shù)為0，則沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)有個(gè)；若個(gè)位數(shù)不為0，則沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)有個(gè)；所以沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有個(gè).綜上所述：該數(shù)為偶數(shù)的概率為.故選：C.5．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）將“1，2，2，3，4，5”這6個(gè)數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域填一個(gè)數(shù)字，1不在區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（

）A．20種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得.【詳解】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法，與1同列的只能是3或4，有2種方法，最后兩個(gè)區(qū)域，填兩個(gè)數(shù)字有2種方法，所以不同填法種數(shù)是.故選：B6．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則數(shù)字3在五位數(shù)中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出基本事件總數(shù)n，再求出數(shù)字3在五位數(shù)中位于1和5之間的基本事件數(shù)m，利用古典概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，基本事件總數(shù)，數(shù)字3在五位數(shù)中位于1和5之間的基本事件個(gè)數(shù)，則數(shù)字3在五位數(shù)中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為．故選：D．7．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列共有項(xiàng)，且，，，則這樣的數(shù)列有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)題目該數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差或，因?yàn)?，已確定，所以只需先判斷到相鄰兩項(xiàng)之差有幾個(gè)和幾個(gè)及其排列方法數(shù)，就能對(duì)應(yīng)得到中間七項(xiàng)可能的排列方法數(shù).計(jì)算可得相鄰兩項(xiàng)之差中有個(gè)和個(gè)，利用排列組合可得.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以?可設(shè)，…，中有個(gè)2和個(gè),則，解得，，即，…，中有個(gè)和個(gè)，因此這樣的數(shù)列共有個(gè).故選：A8．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）用能組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個(gè).A．212 B．213 C．224 D．225【答案】D【分析】先對(duì)數(shù)字位數(shù)分類(lèi)討論，在對(duì)五位數(shù)的首位數(shù)字進(jìn)行分類(lèi)討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分?jǐn)?shù)字位數(shù)討論：一位數(shù)5個(gè)；兩位數(shù)有個(gè)；三位數(shù)有個(gè)；四位數(shù)有個(gè)；五位數(shù)分以下兩種情況討論：①首位數(shù)字為1或2，此時(shí)共有個(gè)；②首位數(shù)字為3，則千位數(shù)從0或1中選擇一個(gè)，其余三個(gè)數(shù)位任意排列，此時(shí)共有個(gè).綜上所述，共有個(gè)比小的數(shù).故選：D.⑥分組分配問(wèn)題一、單選題1．（2024高三下·江西新余·專(zhuān)題練習(xí)）將5本不同的書(shū)分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書(shū)的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出將5本不同的書(shū)分成三份的方法數(shù)，再求出將分好的三份書(shū)籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)即可根據(jù)分步乘法計(jì)算原理求解.【詳解】由題可先將5本不同的書(shū)分成三份，共有種方法，再將分好的三份書(shū)籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)有種，所以將5本不同的書(shū)分給3位同學(xué)共有種分法.故選：C.2．（24-25高三上·山西·開(kāi)學(xué)考試）基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)于一個(gè)國(guó)家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競(jìng)爭(zhēng)力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門(mén)選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門(mén)，至少選一門(mén)，且已選過(guò)的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門(mén)選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】根據(jù)分組分配問(wèn)題，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】先將五門(mén)課程分成3,1,1和2,2,1這樣兩種情況，再安排到三個(gè)學(xué)年中，則共有種選修方式故選：A3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）某校羽毛球隊(duì)的4名男生和4名女生分成四組，參加四場(chǎng)混合雙打比賽（每名隊(duì)員只限參加一場(chǎng)比賽），則組隊(duì)方法的總數(shù)為（

）A．24 B．288 C．576 D．1152【答案】A【分析】根據(jù)條件，先將男生分成四組，有1種分法，再將女生分到四組有種分法，再利用分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知，先將男生平均分成四組有：種方法，再將女生安排到四組有：種方法，所以組隊(duì)方法的總數(shù)為.故選：A.4．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）某企業(yè)舉辦職工運(yùn)動(dòng)會(huì)，有籃球、足球、羽毛球、乒乓球4個(gè)項(xiàng)目.現(xiàn)有，兩個(gè)場(chǎng)地承擔(dān)這4個(gè)項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（

）A．10種 B．12種 C．14種 D．20種【答案】C【分析】分一個(gè)場(chǎng)地承辦一個(gè)項(xiàng)目，另一個(gè)場(chǎng)地承辦三個(gè)項(xiàng)目與每個(gè)場(chǎng)地都承辦兩個(gè)項(xiàng)目?jī)煞N情況討論，按照先分組，再分配的方法計(jì)算可得.【詳解】若一個(gè)場(chǎng)地承辦一個(gè)項(xiàng)目，另一個(gè)場(chǎng)地承辦三個(gè)項(xiàng)目，則有種安排；若每個(gè)場(chǎng)地都承辦兩個(gè)項(xiàng)目，則有種安排；綜上可得一共有種不同的安排方法.故選：C5．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）有4名醫(yī)學(xué)畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘校醫(yī)工作，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為（

）．A．40種 B．60種 C．80種 D．120種【答案】B【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，②四人都被錄取，再由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求．【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，有種不同的錄用情況；②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；所以共有種不同的錄用情況．故選：B．6．（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增霹靂舞、滑板、攀巖、沖浪四個(gè)比賽項(xiàng)目及兩個(gè)表演項(xiàng)目.現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地，B，C分別承擔(dān)這6個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，其中兩個(gè)表演項(xiàng)目不在一個(gè)場(chǎng)地舉辦，則不同的安排方法有（

）A．462種 B．300種 C．402種 D．390種【答案】D【分析】分情況分別求出安排種數(shù)，再根據(jù)分類(lèi)加法原理相加即可.【詳解】若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排；若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排；若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，綜上，不同的安排方法共有種.故選：D.7．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來(lái)了名即將畢業(yè)的大學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)將他們分配到高一年級(jí)的，，三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先把名大學(xué)生按照分成三組，再將三個(gè)組分到個(gè)班，計(jì)算可得答案．【詳解】將名大學(xué)生分配到高一年級(jí)的個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少名，最多名，則將名大學(xué)生分成三組，一組人，另兩組都是人，有種方法，再將組分到個(gè)班，共有種不同的分配方案，故選：B．8．（2024·河南·二模）將甲，乙等5人全部安排到四個(gè)工廠(chǎng)實(shí)習(xí)，每人只去一個(gè)工廠(chǎng)，每個(gè)工廠(chǎng)至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠(chǎng)，則不同的安排方法有（

）A．72種 B．108種 C．126種 D．144種【答案】C【分析】利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分組分配問(wèn)題和排列組合知識(shí)求解．【詳解】由題意可知，分兩種情況討論，①工廠(chǎng)安排1人，有種，②工廠(chǎng)安排2人，有種，所以不同的安排方法有種．故選：C．9．（2024·遼寧葫蘆島·二模）某校要派4名教師到甲、乙兩個(gè)社區(qū)開(kāi)展志愿者服務(wù)，若每個(gè)教師只去一個(gè)社區(qū)，且兩個(gè)社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有（

）A．20種 B．14種 C．10種 D．7種【答案】B【分析】按照分組，分配的方法，結(jié)合組合和排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】第一步：將4名教師分成兩組，有兩種情況：一種情況是1組1人、1組3人，一種情況是每組2人，共有種分法；第二步：將第一步得到的兩個(gè)不同組分給兩個(gè)不同社區(qū)，有種分法，則不同的安排方法有（種）.故選：B.10．（24-25高三上·山西大同·期末）五一小長(zhǎng)假期間，某旅游公司為助力大同旅游事業(yè)的發(fā)展，計(jì)劃將2名金牌導(dǎo)游和5名銀牌導(dǎo)游分別派往云岡石窟?古城華嚴(yán)寺?北岳恒山三個(gè)景區(qū)承擔(dān)義務(wù)講解任務(wù)，要求每個(gè)景區(qū)都要有銀牌導(dǎo)游前往，則不同的分配方法種數(shù)有（

）A．360 B．640 C．1350 D．1440【答案】C【分析】根據(jù)題意按照或分類(lèi)分組，結(jié)合排列組合求出種類(lèi)，最后相加即可.【詳解】解析：將2名金牌導(dǎo)游分配到3個(gè)景區(qū)，有種分配方法，若每個(gè)風(fēng)景區(qū)都要有銀牌導(dǎo)游，則將銀牌導(dǎo)游分成三組，各組人數(shù)分別為或.當(dāng)銀牌導(dǎo)游分成三組的人數(shù)為時(shí)，此時(shí)共有種；當(dāng)銀牌導(dǎo)游分成三組的人數(shù)為時(shí)，此時(shí)共有種分配方法.所以不同分配方法有種.故選:C.⑦涂色問(wèn)題一、單選題1．（2024·四川成都·二模）現(xiàn)有兩種不同的顏色要對(duì)如圖形中的三個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（

）①②③A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布計(jì)數(shù)乘法原理及古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】依題意，對(duì)三個(gè)部分著色由分布計(jì)數(shù)乘法原理共有種不同的方法，設(shè)“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”,事件A共有種不同方法，由古典概型的概率公式,故選：A.2．（23-24高三上·河北·期末）中國(guó)刺繡是我國(guó)民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕，它是在同一塊底料上，在同一繡制過(guò)程中，繡出正反兩面圖案對(duì)稱(chēng)而色彩不一樣的繡技．某中學(xué)為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化開(kāi)設(shè)了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線(xiàn)可選，且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設(shè)計(jì)方法有（

）種

A．144 B．264 C．288 D．432【答案】B【分析】先求出正面區(qū)域的可能的色彩設(shè)計(jì)方法，再求出反面區(qū)域的可能的色彩設(shè)計(jì)方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出答案.【詳解】4種色彩設(shè)為1、2、3、4，正面相鄰區(qū)域不能同色必定用三種顏色，則有種不同方法，對(duì)于中的一種再考慮反面設(shè)計(jì)，如正面用三色為1、2、3，則反面顏色也可選1、2、3，但與正面不能同色，故對(duì)應(yīng)為2、3、1和3、1、2兩種．反面顏色也能選1、2、4，與正面1、2、3對(duì)應(yīng)分別為2、1、4，2、4、1，4、1、2三種．同理反面顏色選1、3、4也為3種，反面選2、3、4也為3種，則正面用三色為1、2、3，反面顏色對(duì)應(yīng)有11種，所以雙面繡不同色彩設(shè)計(jì)方法共有種．故選：B．3．（2024·四川成都·二模）現(xiàn)有四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意