實戰(zhàn)演練12 排列組合的常見考法技巧（7大?？键c歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實戰(zhàn)演練12排列組合的常見考法技巧①特殊元素（位置）法②捆綁法③插空法④倍縮法⑤排數(shù)問題⑥分組分配問題⑦涂色問題一、排列組合中常見問題及其技巧1.對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．2.對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法3.定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法．4.分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配．(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個數(shù)都相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解．5.涂色問題常用方法（1）根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理區(qū)域涂色問題的基本方法；（2）根據(jù)共用了多少種顏色，分別計算出各種情形的種數(shù)，再利用分類計數(shù)原理求出不同的涂色方法種數(shù)；（3）根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色進行分類討論，從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，再利用分類計數(shù)原理求出不同涂色方法種數(shù).二、方法技巧分類①特殊元素（位置）法對有限制條件的元素（或位置）要優(yōu)先考慮，位置優(yōu)先法和元素優(yōu)先法是解決排列組合問題最常用的方法。若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。②捆綁法捆綁法指將聯(lián)系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個整體，再與其他元素進行排列，同時要注意合并后內(nèi)部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對待，能大大降低分析問題的難度.采用捆綁法分析排列組合問題,剩余元素的處理應(yīng)考慮其是排列問題還是組合問題,對于組合問題需將“順序”帶來的影響消除掉.③插空法插空法在分析元素不相鄰問題時較為常用，即先將無特殊要求的元素排列好，而后看其產(chǎn)生多個滿足題意的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿足題目的相關(guān)要求.④倍縮法部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問題，稱之為定序（排列）問題．定序問題可以用倍縮法.⑤排數(shù)問題對于有限制條件的數(shù)字排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時注意隱含條件：0不能在首位.⑥分組、分配問題①整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．②局部均分問題，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．③不等分問題，只需先分組，后排列，分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．⑦涂色問題解決涂色問題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析．(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”等問題，用分類加法計數(shù)原理分析．(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題①特殊元素（位置）法一、單選題1．（2024·廣東佛山·二模）勞動可以樹德、可以增智、可以健體、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動實踐比賽，已知冠軍是甲、乙當(dāng)中的一人，丁和戊都不是最差的，則這5名同學(xué)的名次排列（無并列名次）共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計數(shù)問題列式計算即得.【詳解】依題意，排第1名，有種方法，排丁和戊，有種方法，排余下2人，有種方法，所以這5名同學(xué)的名次排列（無并列名次）共有（種）.故選：B2．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，則不同的排法種數(shù)為（

）A．240 B．720 C．432 D．216【答案】C【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法計數(shù)原理計算.【詳解】3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，先排左右兩端，有種排法，再排中間4個位置，有種排法，所以不同的排法種數(shù)為種.故選：C.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）中國戲曲中人物角色的行當(dāng)分類，可以有生、旦、凈、末、丑五大行當(dāng)．現(xiàn)有3名男生和2名女生，每人要扮演某戲曲中的一個角色，五個行當(dāng)均有人扮演，且生行、凈行由男生扮演，旦行由女生扮演，則不同的人物角色扮演方式共有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【答案】C【分析】根據(jù)“特殊元素（位置）優(yōu)先法”，先安排生行、凈行和旦行，再安排其他行即可.【詳解】由題意，生行、凈行由男生扮演，則從3名男生中選2人，再全排列，有種扮演方式；旦行由女生扮演，則從2名女生中選1人，有種扮演方式；剩下的2人有種扮演方式，故共有（種）不同的人物角色扮演方式．故選：C4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）某學(xué)校組隊參加辯論賽，在1名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔(dān)任一辯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由排列數(shù)的計算以及古典概型概率計算公式即可得解.【詳解】在1名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔(dān)任一辯的概率是.故選：A.5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）甲乙丙丁戊5名同學(xué)坐成一排參加高考調(diào)研，若甲不在兩端且甲乙不相鄰的不同排列方式的個數(shù)為（

）A．36種 B．48種 C．54種 D．64種【答案】A【分析】利用間接法，先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數(shù)，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數(shù)，結(jié)合排列數(shù)運算求解.【詳解】先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數(shù)，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數(shù)，所以總數(shù)為種，故選：A.6．（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）有4名學(xué)生和2名老師站成一排拍照，若2名老師不站兩端，則不同排列方式共有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．576種【答案】C【分析】首先將名老師排在中間個位置中的個位置，再將其余名學(xué)生全排列，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】首先將名老師排在中間個位置中的個位置，再將其余名學(xué)生全排列，故不同排列方式共有（種）.故選：C7．（2024·四川成都·三模）成實外教育集團自2000年成立以來，一直行走在民辦教育的前端，致力于學(xué)生的全面發(fā)展，對學(xué)生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團已開辦29所K-12學(xué)校和兩所大學(xué)，其中高中教育學(xué)校有11所.集團擬召開綜合考評會.經(jīng)考評后，11所學(xué)校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所學(xué)校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學(xué)校代表去交流發(fā)言的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率結(jié)合組合數(shù)的計算求解即可.【詳解】從11所學(xué)校中任選3所學(xué)校共有種選法.其中排名為第一名或第五名的學(xué)校，可以分為三種情況：第一類：只含有排名為第一名的學(xué)校的有種選法；第二類：只含有排名為第五名的學(xué)校的有種選法；第三類：同時含有第一名和第五名學(xué)校的有種選法；共種選法.根據(jù)概率公式可得.故選：D.8．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)有甲、乙、丙三個研學(xué)基地供選擇，每個學(xué)校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用兩個原理，結(jié)合排列、組合應(yīng)用列式計算即可.【詳解】①A校去乙地有種；②A校與另一所學(xué)校去丙地有種，③A校單獨去丙地有種，所以共有種，故選：B．9．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）某單位春節(jié)共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁、戊、己六人選出四人值班，每名員工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（

）A．192種 B．252種 C．268種 D．360種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計數(shù)問題列式計算即得.【詳解】若甲乙不值班，值班安排有種；若甲乙只有一人不值班，值班安排有種；若甲乙都值班，值班安排有種，所以值班安排共有252種.故選：B10．（2024·全國·模擬預(yù)測）“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個數(shù)字相乘時，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字中任選4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個數(shù)是（

）A．87 B．129 C．132 D．138【答案】A【分析】按千位數(shù)分別是5，7，8進行分類討論即可.【詳解】若千位數(shù)字是5，則百位數(shù)字不能是1，故共有（個）；（①一個四位數(shù)為偶數(shù)，則其個位上的數(shù)字一定是偶數(shù)；②組成的四位數(shù)要大于5200，則其千位上的數(shù)字是5，7或8）若千位數(shù)字是7，則共有（個）；若千位數(shù)字是8，則共有（個）．故符合條件的四位數(shù)共有（個）．故選：A②捆綁法一、單選題1．（2024·江西九江·三模）考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【答案】D【分析】利用捆綁法、全排列和分步乘法計數(shù)原理即可解答.【詳解】第一步：將三個偶數(shù)看成一個整體，與三個奇數(shù)進行全排列共種排法；第二步：將三個偶數(shù)進行全排列共；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.2．（24-25高三·上?！ふn堂例題）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，則不同的安排方案共有（

）A．1440種 B．1360種； C．720種 D．960種【答案】A【分析】運用捆綁法，結(jié)合排列定義進行求解即可.【詳解】把甲、乙捆綁在一起，相當(dāng)于一個人，再與剩下的五人一起全排列，所以不同的安排方案共有種，故選：A3．（24-25高三·上?！ふn堂例題）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有（

）個．（用數(shù)字作答）A．128 B．256 C．576 D．684【答案】C【分析】利用捆綁法、插空法可得答案.【詳解】1和2，3與4，5與6，分別捆綁在一起，看作三個元素進行排列，7與8利用插空法，可得故選：C.4．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學(xué)一個寢室6位同學(xué)慕名而來，游覽結(jié)束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種【答案】C【分析】結(jié)合捆綁法與全排列，并消除和的順序即可求解.【詳解】站在一起有種，將看成一個整體與進行全排列，共有種，同時要求在的左邊，共有種．故選：.5．（24-25高三上·上?！ふn后作業(yè)）現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】先把3個男生排列在一起，再排列6名女生，最后插空安排2組男生結(jié)合乘法原理計算即可.【詳解】根據(jù)題意，分3步進行分析：①將4名男生分成1、3的兩組，將3個相鄰的男生捆在一起，看成1個男生，有種，這樣與第4個男生看成是2組男生；②將6名女生全排列，有種情況，排好后有7個空位；③將分好的2組安排到7個空位中，有種情況，則不同的排法有種．故選:D．6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個小型聯(lián)歡會要安排1個詩詞朗誦類節(jié)目，2個獨唱類節(jié)目，2個歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種【答案】B【分析】利用間接法，首先將五個節(jié)目全排列，減去獨唱類節(jié)目相鄰，再減去歌舞類節(jié)目相鄰，最后加上獨唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰的情況即可.【詳解】依題意五個節(jié)目全排列有種排法；若獨唱類節(jié)目相鄰，則有種排法；若歌舞類節(jié)目相鄰，則有種排法；若獨唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰，則有種排法；綜上可得同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有種.故選：B③插空法一、單選題1．（2024·山東·模擬預(yù)測）某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法種數(shù)為（

）A．120 B．72 C．64 D．48【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用不相鄰的排列問題列式計算即得.【詳解】依題意，兩名老師不相鄰，所以不同的站法種數(shù)為.故選：B2．（2024·浙江金華·三模）從數(shù)字1，2，3，4中選出3個不同的數(shù)字構(gòu)成四位數(shù)，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不相同，則這樣的四位數(shù)個數(shù)為（

）A．36 B．54 C．60 D．72【答案】D【分析】利用分步計數(shù)原理與插空法即可求解.【詳解】根據(jù)題意，完成這件事可分三部：第一步，選數(shù)字，有種；第二步，將選好的三個數(shù)字確定一個重復(fù)的數(shù)字，有種；第三步，安排這三個數(shù)字在三個位置上，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不同，即先安排兩個不同的數(shù)字，再讓兩個相同的數(shù)字取插空，則有種排序方法；由分步計數(shù)原理可得這樣的四位數(shù)共有個.故選：D3．（2024·海南海口·二模）某記者與參加會議的5名代表一起合影留念（6人站成一排），則記者站兩端，且代表甲與代表乙不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．72 B．96 C．144 D．240【答案】C【分析】分三步，首先除代表甲與代表乙以外的3名代表全排，其次將代表甲與代表乙插入3名代表排好后產(chǎn)生的4個空位，最后安排記者在兩端，由分步計數(shù)，相乘可得結(jié)果.【詳解】第一步除代表甲與代表乙以外的3名代表的排法有種，第二步由代表甲與代表乙不相鄰，利用插空法，將代表甲與代表乙插入其他3名代表排好后產(chǎn)生的4個空位，方法為種，第三步將記者安排在兩端有種，所以共有種排法.故選：C.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（

）A．72 B．120 C．144 D．3【答案】B【分析】先排歌舞類節(jié)目，然后將三個歌舞類節(jié)目中間的兩個空位排滿，分成兩種情況：第一種，插入的是兩個小品類節(jié)目，第二種，插入的是一個小品一個相聲，進而求得排法總數(shù).【詳解】先排歌舞類節(jié)目方法數(shù)為，然后將三個歌舞類節(jié)目中間的兩個空位排滿，分成兩種情況：第一種，插入的是兩個小品類節(jié)目，方法數(shù)為；第二種，插入的是一個小品一個相聲，方法數(shù)為．所以總的排法種數(shù)為故選：B5．（2024·云南·二模）某學(xué)校組織學(xué)生到敬老院慰問演出，原先準備的節(jié)目單上共有5個節(jié)目(3個歌唱節(jié)目和2個舞蹈節(jié)目).根據(jù)實際需要，決定將原先準備的節(jié)目單上的5個節(jié)目的相對順序保持不變，再在節(jié)目單上插入2個朗誦節(jié)目，并且朗誦節(jié)目在節(jié)目單上既不排第一，也不排最后，則不同的插入方法一共有（

）A．18種 B．20種 C．30種 D．34種【答案】B【分析】本題根據(jù)排列組合的基本原理，相鄰問題采用“捆綁法”，不相鄰問題采用“插空法”.由題意，原5個節(jié)目安排好以后，中間產(chǎn)生四個空檔，然后對新插入的兩個朗誦節(jié)目分為相鄰和不相鄰兩種情況插入即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得：（1）新插入的兩個朗誦節(jié)目相鄰時：有種方法，（2）新插入的兩個朗誦節(jié)目不相鄰時：有種方法，綜上得：共有種方法.故選：B.6．（2024·安徽·三模）某年級在元旦活動中要安排6個節(jié)目的表演順序，其中有3個不同的歌唱節(jié)目和3個不同的舞蹈節(jié)目，要求第一個和最后一個都必須安排舞蹈節(jié)目，且不能連續(xù)安排3個歌唱節(jié)目，則不同的安排方法有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．24種【答案】B【分析】先排第一及最后一個節(jié)目，再排歌唱節(jié)目，最后用插空法計算即可得.【詳解】先從3個不同的舞蹈節(jié)目選出2個分別安排在第一及最后一個，有種，再將3個不同的歌唱節(jié)目排成一列，有種，3個不同的歌唱節(jié)目中間有2個空，從中選1個安排最后一個節(jié)目，有種，故共有.故選：B.④倍縮法一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）今有2個紅球，3個黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5個球排成一行，則不同的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將5個球全排列，再除以2個紅球全排列數(shù)和3個黃球全排列數(shù).【詳解】因為5個球有種排法，因為同色球不加以區(qū)分，2個紅球有種排法，3個黃球排有種排法，所以共有種排法．故選：D．2．（2024·新疆·一模）在古典名著《紅樓夢》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干接連下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需要加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）種A．72 B．36 C．12 D．6【答案】C【分析】利用排列數(shù)公式，以及順序一定問題，列式求解.【詳解】將香菌、新筍、豆腐干看成一個元素，且順序一定，茄子凈肉和雞胸肉順序一定，所以不同的排序方法有種方法.故選：C3．（2024·北京石景山·一模）中國民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個音，排成一個沒有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】先排宮、徽、羽三個音節(jié)，然后商、角兩個音階插空即可求解.【詳解】解：先將宮、徽、羽三個音節(jié)進行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有，再將商、角插入4個空中的2個，有，所以共有種．故選：C．4．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）用2個0，2個1和1個2組成一個五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（

）A．8個 B．12個 C．18個 D．24個【答案】C【分析】分首位為2、1計算出每種情況的結(jié)果數(shù)，再相加即可.【詳解】當(dāng)首位為2時，這樣的五位數(shù)有個；當(dāng)首位為1時，這樣的五位數(shù)有個.綜上，這樣的五位數(shù)共有個.故選：C.5．（23-24高三上·江蘇·開學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（

）A．360 B．480 C．600 D．720【答案】B【分析】先求得六人的全排列數(shù)，結(jié)合題意，利用定序排列的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，其中甲、乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為種.故選：B.⑤排數(shù)問題一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）對于各數(shù)位均不為0的三位數(shù)，若兩位數(shù)和均為完全平方數(shù)，則稱具有“性質(zhì)”，則具有“性質(zhì)”的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】完全平方數(shù)、新定義問題【詳解】因為兩位數(shù)的完全平方數(shù)有（提示：完全平方數(shù)指一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式），所以具有“性質(zhì)”的三位數(shù)有，共4個．故選：D.2．（2024·廣西·三模）已知這個數(shù)字，從中取三個不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有（

）A．55個 B．70個 C．40個 D．35個【答案】A【分析】分有和沒有兩種情況討論，選項出數(shù)字，再排列.【詳解】若這三個數(shù)字里沒有，則共有個，若這三個數(shù)字里有，則共有個，則共有個.故選：A.3．（2024·四川雅安·三模）從三個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中任取一個數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出組成無重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)，再求出是偶數(shù)的三位數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概型求出概率即可.【詳解】因為由1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為；，由1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的偶數(shù)的個數(shù)為：，所以由1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從中任取一個為偶數(shù)的概率為.故選：D4．（2024·四川雅安·三模）從五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中任取一個數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分類討論分別求沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)，結(jié)合古典概型運算求解.【詳解】若選擇的4個數(shù)中有0，則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個；若選擇的4個數(shù)中無0，則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個；所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有個.若個位數(shù)為0，則沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)有個；若個位數(shù)不為0，則沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)有個；所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有個.綜上所述：該數(shù)為偶數(shù)的概率為.故選：C.5．（2024·海南·模擬預(yù)測）將“1，2，2，3，4，5”這6個數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個區(qū)域填一個數(shù)字，1不在區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（

）A．20種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理列式計算即得.【詳解】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法，與1同列的只能是3或4，有2種方法，最后兩個區(qū)域，填兩個數(shù)字有2種方法，所以不同填法種數(shù)是.故選：B6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則數(shù)字3在五位數(shù)中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出基本事件總數(shù)n，再求出數(shù)字3在五位數(shù)中位于1和5之間的基本事件數(shù)m，利用古典概型的概率公式計算即可.【詳解】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，基本事件總數(shù)，數(shù)字3在五位數(shù)中位于1和5之間的基本事件個數(shù)，則數(shù)字3在五位數(shù)中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為．故選：D．7．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）數(shù)列共有項，且，，，則這樣的數(shù)列有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】根據(jù)題目該數(shù)列相鄰兩項之差或，因為，已確定，所以只需先判斷到相鄰兩項之差有幾個和幾個及其排列方法數(shù)，就能對應(yīng)得到中間七項可能的排列方法數(shù).計算可得相鄰兩項之差中有個和個，利用排列組合可得.【詳解】設(shè)，因為，所以或.可設(shè)，…，中有個2和個,則，解得，，即，…，中有個和個，因此這樣的數(shù)列共有個.故選：A8．（2024·河北·模擬預(yù)測）用能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個.A．212 B．213 C．224 D．225【答案】D【分析】先對數(shù)字位數(shù)分類討論，在對五位數(shù)的首位數(shù)字進行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分數(shù)字位數(shù)討論：一位數(shù)5個；兩位數(shù)有個；三位數(shù)有個；四位數(shù)有個；五位數(shù)分以下兩種情況討論：①首位數(shù)字為1或2，此時共有個；②首位數(shù)字為3，則千位數(shù)從0或1中選擇一個，其余三個數(shù)位任意排列，此時共有個.綜上所述，共有個比小的數(shù).故選：D.⑥分組分配問題一、單選題1．（2024高三下·江西新余·專題練習(xí)）將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出將5本不同的書分成三份的方法數(shù)，再求出將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)即可根據(jù)分步乘法計算原理求解.【詳解】由題可先將5本不同的書分成三份，共有種方法，再將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)有種，所以將5本不同的書分給3位同學(xué)共有種分法.故選：C.2．（24-25高三上·山西·開學(xué)考試）基礎(chǔ)學(xué)科對于一個國家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門，至少選一門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】根據(jù)分組分配問題，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】先將五門課程分成3,1,1和2,2,1這樣兩種情況，再安排到三個學(xué)年中，則共有種選修方式故選：A3．（2024·江西·模擬預(yù)測）某校羽毛球隊的4名男生和4名女生分成四組，參加四場混合雙打比賽（每名隊員只限參加一場比賽），則組隊方法的總數(shù)為（

）A．24 B．288 C．576 D．1152【答案】A【分析】根據(jù)條件，先將男生分成四組，有1種分法，再將女生分到四組有種分法，再利用分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知，先將男生平均分成四組有：種方法，再將女生安排到四組有：種方法，所以組隊方法的總數(shù)為.故選：A.4．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）某企業(yè)舉辦職工運動會，有籃球、足球、羽毛球、乒乓球4個項目.現(xiàn)有，兩個場地承擔(dān)這4個項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（

）A．10種 B．12種 C．14種 D．20種【答案】C【分析】分一個場地承辦一個項目，另一個場地承辦三個項目與每個場地都承辦兩個項目兩種情況討論，按照先分組，再分配的方法計算可得.【詳解】若一個場地承辦一個項目，另一個場地承辦三個項目，則有種安排；若每個場地都承辦兩個項目，則有種安排；綜上可得一共有種不同的安排方法.故選：C5．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）有4名醫(yī)學(xué)畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘校醫(yī)工作，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為（

）．A．40種 B．60種 C．80種 D．120種【答案】B【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，②四人都被錄取，再由分類加法計數(shù)原理即可求．【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，有種不同的錄用情況；②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；所以共有種不同的錄用情況．故選：B．6．（2024·貴州貴陽·三模）第33屆夏季奧運會預(yù)計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增霹靂舞、滑板、攀巖、沖浪四個比賽項目及兩個表演項目.現(xiàn)有三個場地，B，C分別承擔(dān)這6個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，其中兩個表演項目不在一個場地舉辦，則不同的安排方法有（

）A．462種 B．300種 C．402種 D．390種【答案】D【分析】分情況分別求出安排種數(shù)，再根據(jù)分類加法原理相加即可.【詳解】若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排；若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排；若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排，綜上，不同的安排方法共有種.故選：D.7．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了名即將畢業(yè)的大學(xué)生進行教學(xué)實習(xí)活動，現(xiàn)將他們分配到高一年級的，，三個班實習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先把名大學(xué)生按照分成三組，再將三個組分到個班，計算可得答案．【詳解】將名大學(xué)生分配到高一年級的個班實習(xí)，每班至少名，最多名，則將名大學(xué)生分成三組，一組人，另兩組都是人，有種方法，再將組分到個班，共有種不同的分配方案，故選：B．8．（2024·河南·二模）將甲，乙等5人全部安排到四個工廠實習(xí)，每人只去一個工廠，每個工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠，則不同的安排方法有（

）A．72種 B．108種 C．126種 D．144種【答案】C【分析】利用分類加法計數(shù)原理，結(jié)合分組分配問題和排列組合知識求解．【詳解】由題意可知，分兩種情況討論，①工廠安排1人，有種，②工廠安排2人，有種，所以不同的安排方法有種．故選：C．9．（2024·遼寧葫蘆島·二模）某校要派4名教師到甲、乙兩個社區(qū)開展志愿者服務(wù)，若每個教師只去一個社區(qū)，且兩個社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有（

）A．20種 B．14種 C．10種 D．7種【答案】B【分析】按照分組，分配的方法，結(jié)合組合和排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】第一步：將4名教師分成兩組，有兩種情況：一種情況是1組1人、1組3人，一種情況是每組2人，共有種分法；第二步：將第一步得到的兩個不同組分給兩個不同社區(qū)，有種分法，則不同的安排方法有（種）.故選：B.10．（24-25高三上·山西大同·期末）五一小長假期間，某旅游公司為助力大同旅游事業(yè)的發(fā)展，計劃將2名金牌導(dǎo)游和5名銀牌導(dǎo)游分別派往云岡石窟?古城華嚴寺?北岳恒山三個景區(qū)承擔(dān)義務(wù)講解任務(wù)，要求每個景區(qū)都要有銀牌導(dǎo)游前往，則不同的分配方法種數(shù)有（

）A．360 B．640 C．1350 D．1440【答案】C【分析】根據(jù)題意按照或分類分組，結(jié)合排列組合求出種類，最后相加即可.【詳解】解析：將2名金牌導(dǎo)游分配到3個景區(qū)，有種分配方法，若每個風(fēng)景區(qū)都要有銀牌導(dǎo)游，則將銀牌導(dǎo)游分成三組，各組人數(shù)分別為或.當(dāng)銀牌導(dǎo)游分成三組的人數(shù)為時，此時共有種；當(dāng)銀牌導(dǎo)游分成三組的人數(shù)為時，此時共有種分配方法.所以不同分配方法有種.故選:C.⑦涂色問題一、單選題1．（2024·四川成都·二模）現(xiàn)有兩種不同的顏色要對如圖形中的三個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（

）①②③A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布計數(shù)乘法原理及古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】依題意，對三個部分著色由分布計數(shù)乘法原理共有種不同的方法，設(shè)“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”,事件A共有種不同方法，由古典概型的概率公式,故選：A.2．（23-24高三上·河北·期末）中國刺繡是我國民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕，它是在同一塊底料上，在同一繡制過程中，繡出正反兩面圖案對稱而色彩不一樣的繡技．某中學(xué)為弘揚中國傳統(tǒng)文化開設(shè)了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線可選，且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設(shè)計方法有（

）種

A．144 B．264 C．288 D．432【答案】B【分析】先求出正面區(qū)域的可能的色彩設(shè)計方法，再求出反面區(qū)域的可能的色彩設(shè)計方法，由分步乘法計數(shù)原理即可得出答案.【詳解】4種色彩設(shè)為1、2、3、4，正面相鄰區(qū)域不能同色必定用三種顏色，則有種不同方法，對于中的一種再考慮反面設(shè)計，如正面用三色為1、2、3，則反面顏色也可選1、2、3，但與正面不能同色，故對應(yīng)為2、3、1和3、1、2兩種．反面顏色也能選1、2、4，與正面1、2、3對應(yīng)分別為2、1、4，2、4、1，4、1、2三種．同理反面顏色選1、3、4也為3種，反面選2、3、4也為3種，則正面用三色為1、2、3，反面顏色對應(yīng)有11種，所以雙面繡不同色彩設(shè)計方法共有種．故選：B．3．（2024·四川成都·二模）現(xiàn)有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意