物質(zhì)世界的非線性效應(yīng)

物質(zhì)世界的非線性效應(yīng)

人類對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)從蒙昧、理性到科學(xué)的漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程。宇宙之大，微觀粒子之小。天地萬(wàn)物、自然之復(fù)雜，物質(zhì)世界的奧妙是無(wú)窮的，人類對(duì)物質(zhì)世界的探索也是無(wú)窮的。本講座將介紹物理學(xué)對(duì)宇宙世界的基本認(rèn)識(shí)。提綱：物質(zhì)世界的層次、形態(tài)與基本相互作用物理學(xué)與宇宙觀物質(zhì)世界的對(duì)稱性與統(tǒng)一性物質(zhì)世界的非線性效應(yīng)物理學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系及物理學(xué)認(rèn)識(shí)的真理性

第4講物質(zhì)世界的非線性效應(yīng)

什么是非線性呢？數(shù)學(xué)上，把函數(shù)對(duì)自變量的比例關(guān)系稱為線性關(guān)系如y=ax+b。如果y與x不呈比例關(guān)系，如y=ax2+bx+c或其它復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，則y與x的關(guān)系是非線性的。線性關(guān)系只有一種，非線性關(guān)系則無(wú)法窮舉。另外反映物質(zhì)運(yùn)動(dòng)與變化的微分方程也有線性和非線性之分。線性方程與非線性方程的本質(zhì)差別在于：線性方程的任何兩個(gè)解可以加在一起構(gòu)成一個(gè)新解即服從線性疊加原理，而非線性方程的兩個(gè)解（如果有解的話）不能線性相加在一起構(gòu)成另一個(gè)新解。

自然界一些非線性因素將導(dǎo)致一些特殊但卻普遍存在的變化、運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)象，如自組織、混沌和孤子現(xiàn)象。本節(jié)將對(duì)此作簡(jiǎn)要介紹。

4.1物質(zhì)世界的自組織現(xiàn)象耗散結(jié)構(gòu)

熱力學(xué)第二定律指出，一切自然過(guò)程都是不可逆的。不可逆過(guò)程的后果是使一部分能量不能再用于做有用功，這種現(xiàn)象叫做能量的耗散。

從微觀上理解，不可逆過(guò)程意味著,孤立系統(tǒng)中的自發(fā)過(guò)程將使系統(tǒng)的分子運(yùn)動(dòng)向無(wú)序性增加的方向進(jìn)行，最后達(dá)到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，初始的某種有序或差異（非平衡態(tài)）將逐漸消失過(guò)渡到最終無(wú)序的狀態(tài)（平衡態(tài)）。如果將此結(jié)論推廣到宇宙，宇宙最終將走向除了只有分子熱運(yùn)動(dòng)外而沒有任何宏觀差異和宏觀運(yùn)動(dòng)的死亡狀態(tài)。

各種生物都是由各種細(xì)胞按精確的規(guī)律組成的高度有序的機(jī)構(gòu)。

事實(shí)上，我們所看到的現(xiàn)實(shí)宇宙充滿了由無(wú)序向有序的發(fā)展與變化，展現(xiàn)在人們面前的是一幅千差萬(wàn)別、生機(jī)勃勃的景象。一種觀點(diǎn)認(rèn)為宇宙是無(wú)限的，不是孤立系統(tǒng)，孤立系統(tǒng)的演變規(guī)律不能推廣到宇宙。

如人的大腦就是由150億個(gè)神經(jīng)細(xì)胞組成的極其精密有序的裝置，樹葉、花朵、動(dòng)物皮毛等呈現(xiàn)出漂亮的圖案，這些都是生物體的空間有序的例子。

生物體的時(shí)間有序特征也是十分明顯的，表現(xiàn)為隨時(shí)間作周期性變化的振蕩行為或者生物鐘有節(jié)奏的變化。例如，生物體有規(guī)律的新陳代謝、“日出而作，日落而息”，候鳥的冬去春來(lái)，對(duì)蝦每年按季節(jié)在渤海沿岸巡游，中華鱘秋季到長(zhǎng)江上游產(chǎn)卵、幼魚返回長(zhǎng)江下游生活。

另外，生物體的生長(zhǎng)和進(jìn)化則更明顯地體現(xiàn)從無(wú)序到有序的發(fā)展。生物體的生長(zhǎng)發(fā)育都是從少數(shù)細(xì)胞發(fā)展成為各種有序的器官，而細(xì)胞則是由許多無(wú)序的原子組成的。

地球上的各種各樣的物種都是經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的年代由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低級(jí)到高級(jí)或者說(shuō)由較為有序向更加有序、精確有序發(fā)展進(jìn)化而形成的。

在無(wú)生命世界中，也常?？梢姷皆S多自發(fā)形成的有序結(jié)構(gòu)。如，云彩可排列成帶狀或魚鱗狀，高空中的水氣可凝結(jié)成六角形雪花，皮蛋上出現(xiàn)漂亮的松花。實(shí)驗(yàn)中也能見到有序結(jié)構(gòu)的自發(fā)形成。如，在一定條件下的某些化學(xué)反應(yīng)，會(huì)出現(xiàn)有規(guī)律的沉淀區(qū)，有的反應(yīng)介質(zhì)會(huì)出現(xiàn)顏色的周期性變化，稱為B-Z反應(yīng)。

貝納特于1900年發(fā)現(xiàn)，在盤中加熱一薄層液體時(shí)，當(dāng)溫度梯度超過(guò)某臨界值時(shí)，原來(lái)靜止的液體中會(huì)出現(xiàn)許多像蜂窩的六角形對(duì)流格子，此時(shí)液體的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向宏觀的對(duì)流有序化。激光現(xiàn)象是一種典型的從無(wú)序到有序的過(guò)程，當(dāng)激光器的輸入功率小于某一臨界值時(shí)，其發(fā)光是混亂無(wú)序的，像普通燈泡一樣。當(dāng)輸入功率大于臨界值時(shí)，各原子似乎“集體組織”起來(lái)，朝一個(gè)方向發(fā)出頻率、相位都相同且亮度極高的光波。

以上這些例子說(shuō)明，無(wú)論是有生命還是無(wú)生命世界，都有一種系統(tǒng)的內(nèi)部由無(wú)序變?yōu)橛行蚴蛊渲写罅糠肿影匆欢ǖ囊?guī)律運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，稱之為自組織現(xiàn)象。

生命過(guò)程實(shí)際上是生物體持續(xù)進(jìn)行的自組織過(guò)程(系統(tǒng)內(nèi)不平衡的表現(xiàn))。自組織使系統(tǒng)從簡(jiǎn)單無(wú)序發(fā)展到復(fù)雜有序，系統(tǒng)從較高對(duì)稱性自發(fā)過(guò)渡到相對(duì)較低的對(duì)稱性，實(shí)際上是對(duì)稱性自發(fā)破缺的表現(xiàn)。

值得注意的是，發(fā)生自組織現(xiàn)象的系統(tǒng)都不是孤立系統(tǒng)（與外界環(huán)境無(wú)任何聯(lián)系的系統(tǒng)），而是封閉系統(tǒng)（與外界只有能量交換的系統(tǒng)）或開放系統(tǒng)（與外界既有能量交換也有物質(zhì)交換的系統(tǒng)）。

對(duì)于非孤立系統(tǒng)，熵的變化由兩部分構(gòu)成，一是系統(tǒng)內(nèi)部不可逆因素引起的熵變（叫熵產(chǎn)生，用diS表示），二是系統(tǒng)與外界交換能量或物質(zhì)引起的熵變（叫熵流，用deS表示），總熵變dS=diS+deS。系統(tǒng)的熵產(chǎn)生總有diS≥0。對(duì)孤立系統(tǒng)有deS=0，所以dS≥0。對(duì)于非孤立系統(tǒng)，熵流deS有不同的符號(hào)，如果deS＜0且︱deS︱＞diS,就會(huì)有dS＜0，表示系統(tǒng)的熵減少，系統(tǒng)將進(jìn)入更加有序的狀態(tài)。因此，對(duì)于封閉或開放系統(tǒng)存在著由無(wú)序轉(zhuǎn)化到有序的可能。

為了找出從無(wú)序到有序的轉(zhuǎn)化規(guī)律，需要研究系統(tǒng)在外界影響下偏離平衡的行為。

如果外界影響不大，系統(tǒng)對(duì)平衡態(tài)的偏離很小，外界影響與系統(tǒng)不可逆響應(yīng)呈線性關(guān)系，這樣的狀態(tài)叫做線性非平衡態(tài)。

研究表明，要產(chǎn)生自組織現(xiàn)象，系統(tǒng)必須處于遠(yuǎn)離平衡的狀態(tài)。此時(shí)，外界的影響劇烈，以致于在系統(tǒng)內(nèi)部引起非線性響應(yīng)。

一般來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)離平衡的狀態(tài)不能再用熵來(lái)描述，其過(guò)程發(fā)展方向已不能用純粹的熱力學(xué)方法來(lái)確定，必須考慮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)外界的影響和系統(tǒng)偏離平衡的程度達(dá)到某臨界值時(shí)（如激光器收入功率超過(guò)某定值），一個(gè)很小的擾動(dòng)就可引起系統(tǒng)的突變，系統(tǒng)將躍遷到兩個(gè)穩(wěn)定的分支方向上。

這兩個(gè)分支方向上的每一個(gè)點(diǎn)可能對(duì)應(yīng)某種時(shí)空有序狀態(tài)。由于這種有序狀態(tài)是在不可逆耗散響應(yīng)足夠強(qiáng)烈的情況下發(fā)生的，因而稱這種狀態(tài)叫耗散結(jié)構(gòu)。

耗散結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)于某種時(shí)空有序，從而破壞了原有的對(duì)稱性即出現(xiàn)對(duì)稱性破缺。隨著系統(tǒng)對(duì)平衡態(tài)的繼續(xù)遠(yuǎn)離，原來(lái)的兩個(gè)耗散結(jié)構(gòu)分支方向又將出現(xiàn)更多的越來(lái)越多的新的分支方向，出現(xiàn)很多不同的可能的耗散結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)處于那種結(jié)構(gòu)完全是隨機(jī)的，體系的瞬時(shí)狀態(tài)變得不可預(yù)測(cè)，系統(tǒng)又會(huì)進(jìn)入一種無(wú)序態(tài)。這種無(wú)序態(tài)（宏觀的）與熱力學(xué)無(wú)序態(tài)（分子級(jí)別的）有本質(zhì)的區(qū)別，稱之為混沌態(tài)（后面介紹混沌概念）。

生命是存在于上述兩種無(wú)序態(tài)中的一種有序，生命系統(tǒng)處于遠(yuǎn)離平衡的狀態(tài)但又不能過(guò)于遠(yuǎn)離，否則混沌無(wú)序?qū)⑼耆茐纳锏挠行颉?/p>

耗散結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)有賴于漲落。漲落是系統(tǒng)的狀態(tài)在局部上與宏觀平均態(tài)的暫時(shí)偏離，代表著一種結(jié)構(gòu)和組織的“胚芽”。漲落的出現(xiàn)是偶然的，只有適應(yīng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的那些漲落才能得到系統(tǒng)中絕大部分分子的響應(yīng)而波及整個(gè)系統(tǒng)，將系統(tǒng)推進(jìn)到一種宏觀有序狀態(tài)—耗散結(jié)構(gòu)。

自組織與耗散結(jié)構(gòu)理論在物理學(xué)、宇宙學(xué)、氣象學(xué)、生物與生命科學(xué)、環(huán)境與生態(tài)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)與管理科學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域已有廣泛的應(yīng)用。

4.2混沌現(xiàn)象

1.混沌的概念

在牛頓力學(xué)中，只要物體的受力和初始條件已知，物體任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就完全確定了，并且可以預(yù)測(cè)。這種認(rèn)識(shí)稱作決定論的可預(yù)測(cè)性。

根據(jù)牛頓定律，可以求出物體的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，從而使運(yùn)動(dòng)完全可以預(yù)測(cè)。

牛頓力學(xué)這種決定論的可預(yù)測(cè)性，曾在天體運(yùn)行觀測(cè)（如哈雷彗星在預(yù)定的時(shí)間回歸，海王星在預(yù)言的方位上被發(fā)現(xiàn)等）、宇宙探測(cè)器的發(fā)射、軌道設(shè)計(jì)和其它技術(shù)中得到了成功應(yīng)用，從而使人們對(duì)自然現(xiàn)象的決定論可預(yù)測(cè)性深信不疑。

然而，這種傳統(tǒng)的思想信念在20世紀(jì)60年代遭遇了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)。

原來(lái)牛頓力學(xué)顯示的決定論的可預(yù)測(cè)性只在那些受力與位置及速度有線性關(guān)系的物體才具有，這樣的系統(tǒng)叫線性系統(tǒng)。而對(duì)于受力較復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，情況則大不相同。

下面以彈簧振子的強(qiáng)迫振動(dòng)為例來(lái)說(shuō)明決定論的不可預(yù)測(cè)性。圖是一個(gè)與框架相連的彈簧振子，框架上下振動(dòng)時(shí)，將迫使振子上下振動(dòng)。

在理想情形下，彈力符合胡克定律、空氣阻力與速度正比，振子是線性系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可由牛頓定律求出。它的振動(dòng)曲線（圖）在開始有些起伏，但很快達(dá)到振幅、頻率都穩(wěn)定的狀態(tài)，這種運(yùn)動(dòng)是完全可以預(yù)測(cè)的。

但如果在振子平衡位置放一質(zhì)量較大的砧塊（圖）,使振子撞擊后以同樣速率反跳，振子受的撞擊力不再與位移成正比，因而系統(tǒng)是非線性的。此時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)雖然受牛頓決定論的支配，但數(shù)學(xué)上已不能給出一個(gè)確定的解析解，但可以用實(shí)驗(yàn)描繪其振動(dòng)曲線。

當(dāng)框架振動(dòng)頻率為某些值時(shí)，振子的振動(dòng)最后能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)（圖），但框架振動(dòng)頻率為其它一些值時(shí)，振子的振動(dòng)則變得雜亂而無(wú)法預(yù)測(cè)了。這時(shí)的振子就進(jìn)入了隨機(jī)混亂運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即混沌狀態(tài)（圖）。

而且還會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果初始條件（如振子初位置）略有不同，振動(dòng)情況將明顯地不同。圖是5次振子初位置有微小差別時(shí)的混沌振動(dòng)曲線。最初幾次反跳振動(dòng)基本一樣，但隨著時(shí)間的推移，它們的差別越來(lái)越大。這說(shuō)明混沌運(yùn)動(dòng)具有不可預(yù)測(cè)性和對(duì)初值的極端敏感性。

圖8-4-7

單體運(yùn)動(dòng)和兩體運(yùn)動(dòng)（如日、地或月、地運(yùn)動(dòng)）一般可得到精確的解析解，不會(huì)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

龐家萊曾研究過(guò)三個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)，一直得不到解析解。目前用計(jì)算機(jī)可得到數(shù)值解。兩個(gè)質(zhì)量M1=M2的大天體繞兩者的質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量M3的小天體（比M1小得多）相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，小天體的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。

我們不可能預(yù)測(cè)M3何時(shí)繞M1或M2運(yùn)動(dòng)，也不能確定M3何時(shí)由M1附近轉(zhuǎn)向M2附近。這表明M3的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)混沌態(tài)。

1994年7月，蘇梅克-列維9號(hào)彗星與木星相撞的罕見奇觀很可能是混沌運(yùn)動(dòng)的一種表現(xiàn)。

在太陽(yáng)系內(nèi)火星與木星之間分布有一個(gè)小行星帶，它們都圍繞太陽(yáng)運(yùn)行。由于它們離木星較近，而木星是最大的行星，所以木星對(duì)它們的引力不能忽略，木星的影響可能導(dǎo)致小行星進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，后果是小行星可能從原軌道中甩出。有人提出，6500萬(wàn)年前，曾有一顆小行星因混沌運(yùn)動(dòng)脫離小行星帶，高速撞擊到地球，產(chǎn)生大量塵埃而引起地球氣候大變。地球上大量的植物消失，使得以植物為食的恐龍及其它動(dòng)物滅絕。

又如單擺，其振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程是非線性的：

如果擺幅較小（小于50），則可把sin

改成

，上式就變成線性方程（角加速度與角位移φ是比例關(guān)系,），將擺球偏離平衡位置釋放，單擺運(yùn)動(dòng)方程在小幅擺動(dòng)時(shí)，可以證明單擺運(yùn)動(dòng)是可重復(fù)的、可預(yù)測(cè)的。

然而，每次實(shí)驗(yàn)的初值都不可能完全相同（只能在誤差范圍內(nèi)相同），而各次運(yùn)動(dòng)都依賴其初值，那么各次運(yùn)動(dòng)之間也并非完全重復(fù)，只不過(guò)測(cè)量精度有限，不被察覺罷了。如果擺幅較大（達(dá)到一定程度），且考慮空氣阻尼，再對(duì)擺施加一個(gè)周期性驅(qū)動(dòng)力（例如將擺球用鐵磁材料制成，放到交變外磁場(chǎng)中），系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程則是非線性的。此時(shí)，雖然初值差別極?。ūM管在精度范圍內(nèi)無(wú)法區(qū)分），但這種差別在一段時(shí)間后將放大出來(lái)，明顯地依賴于初值，實(shí)驗(yàn)所觀察的各次運(yùn)動(dòng)便不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)，有隨機(jī)性，這就是混沌運(yùn)動(dòng)。

現(xiàn)在我們可以給混沌下一個(gè)定義：混沌是決定論系統(tǒng)所表現(xiàn)出來(lái)的隨機(jī)行為的總稱（通俗地說(shuō)，指雜亂無(wú)章的混亂狀態(tài)，英文chaos）。它的根源在于非線性相互作用。所謂決定論系統(tǒng)是表述該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不包含任何隨機(jī)因素的完全確定的系統(tǒng)。例如地球在太陽(yáng)的引力作用下的公轉(zhuǎn)，動(dòng)力學(xué)方程是完全確定的。

對(duì)初值的敏感性是混沌運(yùn)動(dòng)的最基本的特性，初值的微小差別（初值是不能準(zhǔn)確給定的，因?yàn)樾枰o出無(wú)窮多位的數(shù)值），導(dǎo)致非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)的差別隨時(shí)間的推移越來(lái)越大。

在任何實(shí)際的初值下，我們對(duì)混沌運(yùn)動(dòng)的演變的可預(yù)測(cè)性會(huì)迅速降低，以致于在稍長(zhǎng)時(shí)間后的運(yùn)動(dòng)變?yōu)椴豢深A(yù)測(cè)。這樣，決定論和可預(yù)測(cè)性的聯(lián)系就被完全切斷?；煦邕\(yùn)動(dòng)雖然是決定論的，但同時(shí)又是不可預(yù)測(cè)的，所以，混沌就是決定論的混亂。

對(duì)牛頓力學(xué)已成功地處理過(guò)的線性系統(tǒng)，不同初值的諸運(yùn)動(dòng)之間的差別隨著時(shí)間的擴(kuò)大是極為緩慢的，表現(xiàn)出的是對(duì)初值微小差別的不敏感性，因而實(shí)際上是可以預(yù)測(cè)的。但如果要預(yù)測(cè)非常遙遠(yuǎn)的將來(lái)，也是不可能的。在自然界中，決定與混亂（或隨機(jī)）并存而且有緊密的聯(lián)系。

牛頓力學(xué)長(zhǎng)期以來(lái)，只是對(duì)理想世界作了理想的描述，向人們灌輸?shù)氖橇W(xué)現(xiàn)象所存在的決定論的可預(yù)測(cè)的思想。

混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識(shí)到這樣的理想世界只是自然界中實(shí)際的力學(xué)系統(tǒng)的很小一部分。牛頓力學(xué)反映了低速宏觀領(lǐng)域物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)高速物體和微觀粒子的運(yùn)動(dòng)需要相對(duì)論和量子力學(xué)，然而即使是低速宏觀物體的運(yùn)動(dòng)，牛頓力學(xué)也未必能解決所有的問(wèn)題?；煦绺拍钸M(jìn)入現(xiàn)代科學(xué)語(yǔ)匯是在1975年，數(shù)學(xué)家李天巖和約克發(fā)表了一篇題為《周期3意味著混沌》的論文。其實(shí)在此之前就有很多科學(xué)家研究了混沌現(xiàn)象。

早在19世紀(jì)末，法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家龐加萊就指出，我們只能近似地知道大自然的規(guī)律，也只能近似地預(yù)測(cè)其未來(lái)，能做到這一點(diǎn)就應(yīng)當(dāng)很滿足了，因?yàn)橛袝r(shí)候連這一點(diǎn)也難做到。常常發(fā)生這樣的情況，開始時(shí)差別很小，但后來(lái)差別卻越來(lái)越大，竟面目全非了，于是預(yù)測(cè)成為不可能的事。這就是龐加萊的猜想。雖然他當(dāng)時(shí)沒有使用混沌這個(gè)詞，但卻把混沌的基本特征刻畫得十分清楚。應(yīng)該說(shuō)，龐加萊是了解混沌現(xiàn)象的第一人。

2.混沌的主要特性1961年冬天，美國(guó)氣象學(xué)家羅倫茲(EdwardLorenz)在一個(gè)大氣熱對(duì)流對(duì)天氣影響的簡(jiǎn)化模型中發(fā)現(xiàn)了對(duì)初值十分敏感的非周期性運(yùn)動(dòng)。

一天，他在計(jì)算機(jī)上已算得一個(gè)解，但他還想知道此解隨時(shí)間變化的長(zhǎng)期行為。為了省時(shí)，他不再?gòu)念^算起，而是把前次計(jì)算機(jī)打印出來(lái)的中間數(shù)據(jù)作為初始值輸入，然后走出工作室去喝咖啡?；貋?lái)后看到的計(jì)算結(jié)果卻令他大吃一驚！

原本指望計(jì)算機(jī)會(huì)重復(fù)給出上次計(jì)算的后半段結(jié)果，意想不到的是這次計(jì)算的結(jié)果只有一小段與上次計(jì)算結(jié)果是重復(fù)的，隨后出現(xiàn)越來(lái)越大的偏離，以致面目全非(圖)。

他很快意識(shí)到，并非計(jì)算機(jī)出了故障，問(wèn)題可能出在輸入的初值數(shù)據(jù)上。他的計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存的是六位數(shù)0.506127，打印出來(lái)的只有三位數(shù)0.506，喝咖啡前輸入的正是0.506。

原以為這千分之一的誤差無(wú)關(guān)緊要，但結(jié)果卻因?yàn)槌踔递斎氲奈⑿〔顒e引起輸出結(jié)果的大相徑庭。也就是說(shuō)，兩次不同的差別很小的初值輸入，結(jié)果一個(gè)是晴空萬(wàn)里，一個(gè)是傾盆大雨。憑數(shù)學(xué)的直觀，他感到這里出現(xiàn)了違背經(jīng)典概念的新現(xiàn)象，意義可能是重大的。他的結(jié)論是，長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)是不可能的。羅倫茲將這種對(duì)初值的敏感性做了一個(gè)形象的比喻，取名“蝴蝶效應(yīng)”，意思是說(shuō)：巴西的一只蝴蝶，今天扇動(dòng)一下翅膀，使大氣的狀態(tài)產(chǎn)生微小的變化，過(guò)一段時(shí)間可能會(huì)引起德克薩斯的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。

羅倫玆不僅捕作到了在他的氣象模型中的貌似隨機(jī)的對(duì)初值細(xì)微變化的敏感性，而且還看到模型解中有一定的幾何結(jié)構(gòu)。

他把注意力轉(zhuǎn)向了非線性系統(tǒng)，簡(jiǎn)化了描述對(duì)流的方程組，只剩下三個(gè)無(wú)量綱變量（x、y、z），得到著名的羅倫玆方程組，該方程組含有非線性項(xiàng)，須用計(jì)算機(jī)求解。

把x、y、z作為三維坐標(biāo)，構(gòu)成三維空間。不管初始條件如何，在這個(gè)三維空間中，方程組的解所對(duì)應(yīng)的曲線總是呈現(xiàn)出一種奇特的形狀。

我們也無(wú)法預(yù)料它將在何時(shí)從一邊跳到另一邊，而且軌線不會(huì)冒出環(huán)套邊界，也不會(huì)自相重復(fù)，結(jié)構(gòu)很復(fù)雜。因而既顯示出無(wú)序，又意味著一種新的有序（總體形狀有一定特征）。

就像蝴蝶的兩只翅膀，它由兩個(gè)相連的環(huán)套或螺線組成，軌線由外向內(nèi)繞到一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)附近，又突然跳到另外一邊由外向內(nèi)繞到另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)附近，如此隨機(jī)地反復(fù)。

由于這種軌線的集合，形體奇異且向著不動(dòng)點(diǎn)靠攏，故稱為奇異吸引子或混沌吸引子。奇異吸引子是混沌的另一特征。所有的混沌現(xiàn)象，雖然軌線集合的總體形狀有別，但都被吸引在某個(gè)區(qū)域附近。

研究表明，非線性系統(tǒng)并非在任意條件下都做混沌運(yùn)動(dòng)，通常存在一些控制參量。當(dāng)參量達(dá)到某一臨界值時(shí)，系統(tǒng)才逐漸過(guò)渡到混沌態(tài)。如阻尼擺在振幅較大時(shí)是非線性的，但必須要有周期性驅(qū)動(dòng)力，而且驅(qū)動(dòng)力的幅度逐漸加大到一定數(shù)值才會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

目前研究得較透徹的進(jìn)入混沌的道路有兩大類，即非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)從倍周期分支走向混沌、遠(yuǎn)離平衡的非線性熱力學(xué)系統(tǒng)由陣發(fā)性混沌走向完全混沌。

對(duì)于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，當(dāng)控制參量值較小時(shí)，呈現(xiàn)的是單一頻率或周期的有序的周期性運(yùn)動(dòng)，參量達(dá)到閾值時(shí)，周期性運(yùn)動(dòng)的頻率或周期突變?yōu)棣?/n或nΤ0(n為整數(shù))即出現(xiàn)分頻（或周期倍化）現(xiàn)象，稱之為倍周期分支，再由分支逐漸進(jìn)入混沌態(tài)。

例如，一個(gè)非線性電路，當(dāng)輸入電壓較低時(shí)，輸出電壓與輸入電壓頻率相同。當(dāng)輸入電壓逐漸加大時(shí)，輸出電壓將經(jīng)過(guò)二分頻（具有υ0和υ0/2兩個(gè)頻率）、四分頻、八分頻、十六分頻……最后進(jìn)入混沌。周期性驅(qū)動(dòng)力作用下的阻尼擺在驅(qū)動(dòng)幅度逐漸加大時(shí)，也出現(xiàn)倍周期分支現(xiàn)象，最后演化進(jìn)入混沌。諸如此類的演化進(jìn)入混沌的例子很多。

對(duì)于遠(yuǎn)離平衡的非線性熱力學(xué)系統(tǒng)，當(dāng)控制參量變化到某一臨界值后，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)分支現(xiàn)象，最后發(fā)展成為混沌狀態(tài)（前面在自組織與耗散結(jié)構(gòu)中已介紹過(guò)）。此外還有一些進(jìn)入混沌的道路，此處不再介紹。

若將分支圖放大，可以看到在一定程度上局部的形態(tài)是整體形態(tài)的再現(xiàn)或縮影，在越來(lái)越小的尺度上重復(fù)出現(xiàn)（圖），也就是呈現(xiàn)無(wú)窮崁套的自相似結(jié)構(gòu)即分形結(jié)構(gòu)?；煦纾菜茻o(wú)序則有序，但反映的是另一種序，看來(lái)混亂一片，實(shí)為章法井然，這種序或章法就是分形。

（1）系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)以確定論為基礎(chǔ)，且含有非線性項(xiàng)，非線性作用達(dá)到某臨界值時(shí)，就出現(xiàn)混沌隨機(jī)行為。這種確定論系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)行為又有別于概率論性的隨機(jī)行為；（4）具有無(wú)窮崁套的自相似結(jié)構(gòu)綜上所述，混沌有如下特性：

（2）系統(tǒng)單個(gè)的運(yùn)動(dòng)軌道極端敏感地