物質世界的非線性效應

物質世界的非線性效應

人類對物質世界的認識經(jīng)歷了一個從蒙昧、理性到科學的漫長的歷史過程。宇宙之大，微觀粒子之小。天地萬物、自然之復雜，物質世界的奧妙是無窮的，人類對物質世界的探索也是無窮的。本講座將介紹物理學對宇宙世界的基本認識。提綱：物質世界的層次、形態(tài)與基本相互作用物理學與宇宙觀物質世界的對稱性與統(tǒng)一性物質世界的非線性效應物理學與數(shù)學的關系及物理學認識的真理性

第4講物質世界的非線性效應

什么是非線性呢？數(shù)學上，把函數(shù)對自變量的比例關系稱為線性關系如y=ax+b。如果y與x不呈比例關系，如y=ax2+bx+c或其它復雜的函數(shù)關系，則y與x的關系是非線性的。線性關系只有一種，非線性關系則無法窮舉。另外反映物質運動與變化的微分方程也有線性和非線性之分。線性方程與非線性方程的本質差別在于：線性方程的任何兩個解可以加在一起構成一個新解即服從線性疊加原理，而非線性方程的兩個解（如果有解的話）不能線性相加在一起構成另一個新解。

自然界一些非線性因素將導致一些特殊但卻普遍存在的變化、運動和現(xiàn)象，如自組織、混沌和孤子現(xiàn)象。本節(jié)將對此作簡要介紹。

4.1物質世界的自組織現(xiàn)象耗散結構

熱力學第二定律指出，一切自然過程都是不可逆的。不可逆過程的后果是使一部分能量不能再用于做有用功，這種現(xiàn)象叫做能量的耗散。

從微觀上理解，不可逆過程意味著,孤立系統(tǒng)中的自發(fā)過程將使系統(tǒng)的分子運動向無序性增加的方向進行，最后達到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，初始的某種有序或差異（非平衡態(tài)）將逐漸消失過渡到最終無序的狀態(tài)（平衡態(tài)）。如果將此結論推廣到宇宙，宇宙最終將走向除了只有分子熱運動外而沒有任何宏觀差異和宏觀運動的死亡狀態(tài)。

各種生物都是由各種細胞按精確的規(guī)律組成的高度有序的機構。

事實上，我們所看到的現(xiàn)實宇宙充滿了由無序向有序的發(fā)展與變化，展現(xiàn)在人們面前的是一幅千差萬別、生機勃勃的景象。一種觀點認為宇宙是無限的，不是孤立系統(tǒng)，孤立系統(tǒng)的演變規(guī)律不能推廣到宇宙。

如人的大腦就是由150億個神經(jīng)細胞組成的極其精密有序的裝置，樹葉、花朵、動物皮毛等呈現(xiàn)出漂亮的圖案，這些都是生物體的空間有序的例子。

生物體的時間有序特征也是十分明顯的，表現(xiàn)為隨時間作周期性變化的振蕩行為或者生物鐘有節(jié)奏的變化。例如，生物體有規(guī)律的新陳代謝、“日出而作，日落而息”，候鳥的冬去春來，對蝦每年按季節(jié)在渤海沿岸巡游，中華鱘秋季到長江上游產卵、幼魚返回長江下游生活。

另外，生物體的生長和進化則更明顯地體現(xiàn)從無序到有序的發(fā)展。生物體的生長發(fā)育都是從少數(shù)細胞發(fā)展成為各種有序的器官，而細胞則是由許多無序的原子組成的。

地球上的各種各樣的物種都是經(jīng)過漫長的年代由簡單到復雜、由低級到高級或者說由較為有序向更加有序、精確有序發(fā)展進化而形成的。

在無生命世界中，也常?？梢姷皆S多自發(fā)形成的有序結構。如，云彩可排列成帶狀或魚鱗狀，高空中的水氣可凝結成六角形雪花，皮蛋上出現(xiàn)漂亮的松花。實驗中也能見到有序結構的自發(fā)形成。如，在一定條件下的某些化學反應，會出現(xiàn)有規(guī)律的沉淀區(qū)，有的反應介質會出現(xiàn)顏色的周期性變化，稱為B-Z反應。

貝納特于1900年發(fā)現(xiàn)，在盤中加熱一薄層液體時，當溫度梯度超過某臨界值時，原來靜止的液體中會出現(xiàn)許多像蜂窩的六角形對流格子，此時液體的內部運動轉向宏觀的對流有序化。激光現(xiàn)象是一種典型的從無序到有序的過程，當激光器的輸入功率小于某一臨界值時，其發(fā)光是混亂無序的，像普通燈泡一樣。當輸入功率大于臨界值時，各原子似乎“集體組織”起來，朝一個方向發(fā)出頻率、相位都相同且亮度極高的光波。

以上這些例子說明，無論是有生命還是無生命世界，都有一種系統(tǒng)的內部由無序變?yōu)橛行蚴蛊渲写罅糠肿影匆欢ǖ囊?guī)律運動的現(xiàn)象，稱之為自組織現(xiàn)象。

生命過程實際上是生物體持續(xù)進行的自組織過程(系統(tǒng)內不平衡的表現(xiàn))。自組織使系統(tǒng)從簡單無序發(fā)展到復雜有序，系統(tǒng)從較高對稱性自發(fā)過渡到相對較低的對稱性，實際上是對稱性自發(fā)破缺的表現(xiàn)。

值得注意的是，發(fā)生自組織現(xiàn)象的系統(tǒng)都不是孤立系統(tǒng)（與外界環(huán)境無任何聯(lián)系的系統(tǒng)），而是封閉系統(tǒng)（與外界只有能量交換的系統(tǒng)）或開放系統(tǒng)（與外界既有能量交換也有物質交換的系統(tǒng)）。

對于非孤立系統(tǒng)，熵的變化由兩部分構成，一是系統(tǒng)內部不可逆因素引起的熵變（叫熵產生，用diS表示），二是系統(tǒng)與外界交換能量或物質引起的熵變（叫熵流，用deS表示），總熵變dS=diS+deS。系統(tǒng)的熵產生總有diS≥0。對孤立系統(tǒng)有deS=0，所以dS≥0。對于非孤立系統(tǒng)，熵流deS有不同的符號，如果deS＜0且︱deS︱＞diS,就會有dS＜0，表示系統(tǒng)的熵減少，系統(tǒng)將進入更加有序的狀態(tài)。因此，對于封閉或開放系統(tǒng)存在著由無序轉化到有序的可能。

為了找出從無序到有序的轉化規(guī)律，需要研究系統(tǒng)在外界影響下偏離平衡的行為。

如果外界影響不大，系統(tǒng)對平衡態(tài)的偏離很小，外界影響與系統(tǒng)不可逆響應呈線性關系，這樣的狀態(tài)叫做線性非平衡態(tài)。

研究表明，要產生自組織現(xiàn)象，系統(tǒng)必須處于遠離平衡的狀態(tài)。此時，外界的影響劇烈，以致于在系統(tǒng)內部引起非線性響應。

一般來說，遠離平衡的狀態(tài)不能再用熵來描述，其過程發(fā)展方向已不能用純粹的熱力學方法來確定，必須考慮系統(tǒng)的動力學行為。當外界的影響和系統(tǒng)偏離平衡的程度達到某臨界值時（如激光器收入功率超過某定值），一個很小的擾動就可引起系統(tǒng)的突變，系統(tǒng)將躍遷到兩個穩(wěn)定的分支方向上。

這兩個分支方向上的每一個點可能對應某種時空有序狀態(tài)。由于這種有序狀態(tài)是在不可逆耗散響應足夠強烈的情況下發(fā)生的，因而稱這種狀態(tài)叫耗散結構。

耗散結構對應于某種時空有序，從而破壞了原有的對稱性即出現(xiàn)對稱性破缺。隨著系統(tǒng)對平衡態(tài)的繼續(xù)遠離，原來的兩個耗散結構分支方向又將出現(xiàn)更多的越來越多的新的分支方向，出現(xiàn)很多不同的可能的耗散結構，系統(tǒng)處于那種結構完全是隨機的，體系的瞬時狀態(tài)變得不可預測，系統(tǒng)又會進入一種無序態(tài)。這種無序態(tài)（宏觀的）與熱力學無序態(tài)（分子級別的）有本質的區(qū)別，稱之為混沌態(tài)（后面介紹混沌概念）。

生命是存在于上述兩種無序態(tài)中的一種有序，生命系統(tǒng)處于遠離平衡的狀態(tài)但又不能過于遠離，否則混沌無序將完全破壞生物的有序。

耗散結構的出現(xiàn)有賴于漲落。漲落是系統(tǒng)的狀態(tài)在局部上與宏觀平均態(tài)的暫時偏離，代表著一種結構和組織的“胚芽”。漲落的出現(xiàn)是偶然的，只有適應系統(tǒng)動力學性質的那些漲落才能得到系統(tǒng)中絕大部分分子的響應而波及整個系統(tǒng)，將系統(tǒng)推進到一種宏觀有序狀態(tài)—耗散結構。

自組織與耗散結構理論在物理學、宇宙學、氣象學、生物與生命科學、環(huán)境與生態(tài)科學、經(jīng)濟與管理科學、社會學等領域已有廣泛的應用。

4.2混沌現(xiàn)象

1.混沌的概念

在牛頓力學中，只要物體的受力和初始條件已知，物體任意時刻的運動狀態(tài)就完全確定了，并且可以預測。這種認識稱作決定論的可預測性。

根據(jù)牛頓定律，可以求出物體的嚴格的數(shù)學運動方程，從而使運動完全可以預測。

牛頓力學這種決定論的可預測性，曾在天體運行觀測（如哈雷彗星在預定的時間回歸，海王星在預言的方位上被發(fā)現(xiàn)等）、宇宙探測器的發(fā)射、軌道設計和其它技術中得到了成功應用，從而使人們對自然現(xiàn)象的決定論可預測性深信不疑。

然而，這種傳統(tǒng)的思想信念在20世紀60年代遭遇了嚴重的挑戰(zhàn)。

原來牛頓力學顯示的決定論的可預測性只在那些受力與位置及速度有線性關系的物體才具有，這樣的系統(tǒng)叫線性系統(tǒng)。而對于受力較復雜的非線性系統(tǒng)，情況則大不相同。

下面以彈簧振子的強迫振動為例來說明決定論的不可預測性。圖是一個與框架相連的彈簧振子，框架上下振動時，將迫使振子上下振動。

在理想情形下，彈力符合胡克定律、空氣阻力與速度正比，振子是線性系統(tǒng)，其運動規(guī)律可由牛頓定律求出。它的振動曲線（圖）在開始有些起伏，但很快達到振幅、頻率都穩(wěn)定的狀態(tài)，這種運動是完全可以預測的。

但如果在振子平衡位置放一質量較大的砧塊（圖）,使振子撞擊后以同樣速率反跳，振子受的撞擊力不再與位移成正比，因而系統(tǒng)是非線性的。此時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)雖然受牛頓決定論的支配，但數(shù)學上已不能給出一個確定的解析解，但可以用實驗描繪其振動曲線。

當框架振動頻率為某些值時，振子的振動最后能達到穩(wěn)定狀態(tài)（圖），但框架振動頻率為其它一些值時，振子的振動則變得雜亂而無法預測了。這時的振子就進入了隨機混亂運動狀態(tài)即混沌狀態(tài)（圖）。

而且還會發(fā)現(xiàn)，如果初始條件（如振子初位置）略有不同，振動情況將明顯地不同。圖是5次振子初位置有微小差別時的混沌振動曲線。最初幾次反跳振動基本一樣，但隨著時間的推移，它們的差別越來越大。這說明混沌運動具有不可預測性和對初值的極端敏感性。

圖8-4-7

單體運動和兩體運動（如日、地或月、地運動）一般可得到精確的解析解，不會產生混沌現(xiàn)象。

龐家萊曾研究過三個天體的運動，一直得不到解析解。目前用計算機可得到數(shù)值解。兩個質量M1=M2的大天體繞兩者的質心做圓周運動，質量M3的小天體（比M1小得多）相對于質心運動，小天體的運動軌跡如圖所示。

我們不可能預測M3何時繞M1或M2運動，也不能確定M3何時由M1附近轉向M2附近。這表明M3的運動呈現(xiàn)混沌態(tài)。

1994年7月，蘇梅克-列維9號彗星與木星相撞的罕見奇觀很可能是混沌運動的一種表現(xiàn)。

在太陽系內火星與木星之間分布有一個小行星帶，它們都圍繞太陽運行。由于它們離木星較近，而木星是最大的行星，所以木星對它們的引力不能忽略，木星的影響可能導致小行星進入混沌運動，后果是小行星可能從原軌道中甩出。有人提出，6500萬年前，曾有一顆小行星因混沌運動脫離小行星帶，高速撞擊到地球，產生大量塵埃而引起地球氣候大變。地球上大量的植物消失，使得以植物為食的恐龍及其它動物滅絕。

又如單擺，其振動動力學方程是非線性的：

如果擺幅較小（小于50），則可把sin

改成

，上式就變成線性方程（角加速度與角位移φ是比例關系,），將擺球偏離平衡位置釋放，單擺運動方程在小幅擺動時，可以證明單擺運動是可重復的、可預測的。

然而，每次實驗的初值都不可能完全相同（只能在誤差范圍內相同），而各次運動都依賴其初值，那么各次運動之間也并非完全重復，只不過測量精度有限，不被察覺罷了。如果擺幅較大（達到一定程度），且考慮空氣阻尼，再對擺施加一個周期性驅動力（例如將擺球用鐵磁材料制成，放到交變外磁場中），系統(tǒng)的動力學方程則是非線性的。此時，雖然初值差別極?。ūM管在精度范圍內無法區(qū)分），但這種差別在一段時間后將放大出來，明顯地依賴于初值，實驗所觀察的各次運動便不可重復、不可預測，有隨機性，這就是混沌運動。

現(xiàn)在我們可以給混沌下一個定義：混沌是決定論系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的隨機行為的總稱（通俗地說，指雜亂無章的混亂狀態(tài)，英文chaos）。它的根源在于非線性相互作用。所謂決定論系統(tǒng)是表述該系統(tǒng)的數(shù)學模型不包含任何隨機因素的完全確定的系統(tǒng)。例如地球在太陽的引力作用下的公轉，動力學方程是完全確定的。

對初值的敏感性是混沌運動的最基本的特性，初值的微小差別（初值是不能準確給定的，因為需要給出無窮多位的數(shù)值），導致非線性系統(tǒng)的運動的差別隨時間的推移越來越大。

在任何實際的初值下，我們對混沌運動的演變的可預測性會迅速降低，以致于在稍長時間后的運動變?yōu)椴豢深A測。這樣，決定論和可預測性的聯(lián)系就被完全切斷。混沌運動雖然是決定論的，但同時又是不可預測的，所以，混沌就是決定論的混亂。

對牛頓力學已成功地處理過的線性系統(tǒng)，不同初值的諸運動之間的差別隨著時間的擴大是極為緩慢的，表現(xiàn)出的是對初值微小差別的不敏感性，因而實際上是可以預測的。但如果要預測非常遙遠的將來，也是不可能的。在自然界中，決定與混亂（或隨機）并存而且有緊密的聯(lián)系。

牛頓力學長期以來，只是對理想世界作了理想的描述，向人們灌輸?shù)氖橇W現(xiàn)象所存在的決定論的可預測的思想。

混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，使人們認識到這樣的理想世界只是自然界中實際的力學系統(tǒng)的很小一部分。牛頓力學反映了低速宏觀領域物體的運動規(guī)律，對高速物體和微觀粒子的運動需要相對論和量子力學，然而即使是低速宏觀物體的運動，牛頓力學也未必能解決所有的問題。混沌概念進入現(xiàn)代科學語匯是在1975年，數(shù)學家李天巖和約克發(fā)表了一篇題為《周期3意味著混沌》的論文。其實在此之前就有很多科學家研究了混沌現(xiàn)象。

早在19世紀末，法國著名的數(shù)學家、物理學家龐加萊就指出，我們只能近似地知道大自然的規(guī)律，也只能近似地預測其未來，能做到這一點就應當很滿足了，因為有時候連這一點也難做到。常常發(fā)生這樣的情況，開始時差別很小，但后來差別卻越來越大，竟面目全非了，于是預測成為不可能的事。這就是龐加萊的猜想。雖然他當時沒有使用混沌這個詞，但卻把混沌的基本特征刻畫得十分清楚。應該說，龐加萊是了解混沌現(xiàn)象的第一人。

2.混沌的主要特性1961年冬天，美國氣象學家羅倫茲(EdwardLorenz)在一個大氣熱對流對天氣影響的簡化模型中發(fā)現(xiàn)了對初值十分敏感的非周期性運動。

一天，他在計算機上已算得一個解，但他還想知道此解隨時間變化的長期行為。為了省時，他不再從頭算起，而是把前次計算機打印出來的中間數(shù)據(jù)作為初始值輸入，然后走出工作室去喝咖啡?；貋砗罂吹降挠嬎憬Y果卻令他大吃一驚！

原本指望計算機會重復給出上次計算的后半段結果，意想不到的是這次計算的結果只有一小段與上次計算結果是重復的，隨后出現(xiàn)越來越大的偏離，以致面目全非(圖)。

他很快意識到，并非計算機出了故障，問題可能出在輸入的初值數(shù)據(jù)上。他的計算機儲存的是六位數(shù)0.506127，打印出來的只有三位數(shù)0.506，喝咖啡前輸入的正是0.506。

原以為這千分之一的誤差無關緊要，但結果卻因為初值輸入的微小差別引起輸出結果的大相徑庭。也就是說，兩次不同的差別很小的初值輸入，結果一個是晴空萬里，一個是傾盆大雨。憑數(shù)學的直觀，他感到這里出現(xiàn)了違背經(jīng)典概念的新現(xiàn)象，意義可能是重大的。他的結論是，長期的天氣預報是不可能的。羅倫茲將這種對初值的敏感性做了一個形象的比喻，取名“蝴蝶效應”，意思是說：巴西的一只蝴蝶，今天扇動一下翅膀，使大氣的狀態(tài)產生微小的變化，過一段時間可能會引起德克薩斯的一場龍卷風。

羅倫玆不僅捕作到了在他的氣象模型中的貌似隨機的對初值細微變化的敏感性，而且還看到模型解中有一定的幾何結構。

他把注意力轉向了非線性系統(tǒng)，簡化了描述對流的方程組，只剩下三個無量綱變量（x、y、z），得到著名的羅倫玆方程組，該方程組含有非線性項，須用計算機求解。

把x、y、z作為三維坐標，構成三維空間。不管初始條件如何，在這個三維空間中，方程組的解所對應的曲線總是呈現(xiàn)出一種奇特的形狀。

我們也無法預料它將在何時從一邊跳到另一邊，而且軌線不會冒出環(huán)套邊界，也不會自相重復，結構很復雜。因而既顯示出無序，又意味著一種新的有序（總體形狀有一定特征）。

就像蝴蝶的兩只翅膀，它由兩個相連的環(huán)套或螺線組成，軌線由外向內繞到一個不動點附近，又突然跳到另外一邊由外向內繞到另一個不動點附近，如此隨機地反復。

由于這種軌線的集合，形體奇異且向著不動點靠攏，故稱為奇異吸引子或混沌吸引子。奇異吸引子是混沌的另一特征。所有的混沌現(xiàn)象，雖然軌線集合的總體形狀有別，但都被吸引在某個區(qū)域附近。

研究表明，非線性系統(tǒng)并非在任意條件下都做混沌運動，通常存在一些控制參量。當參量達到某一臨界值時，系統(tǒng)才逐漸過渡到混沌態(tài)。如阻尼擺在振幅較大時是非線性的，但必須要有周期性驅動力，而且驅動力的幅度逐漸加大到一定數(shù)值才會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

目前研究得較透徹的進入混沌的道路有兩大類，即非線性動力學系統(tǒng)從倍周期分支走向混沌、遠離平衡的非線性熱力學系統(tǒng)由陣發(fā)性混沌走向完全混沌。

對于非線性動力學系統(tǒng)，當控制參量值較小時，呈現(xiàn)的是單一頻率或周期的有序的周期性運動，參量達到閾值時，周期性運動的頻率或周期突變?yōu)棣?/n或nΤ0(n為整數(shù))即出現(xiàn)分頻（或周期倍化）現(xiàn)象，稱之為倍周期分支，再由分支逐漸進入混沌態(tài)。

例如，一個非線性電路，當輸入電壓較低時，輸出電壓與輸入電壓頻率相同。當輸入電壓逐漸加大時，輸出電壓將經(jīng)過二分頻（具有υ0和υ0/2兩個頻率）、四分頻、八分頻、十六分頻……最后進入混沌。周期性驅動力作用下的阻尼擺在驅動幅度逐漸加大時，也出現(xiàn)倍周期分支現(xiàn)象，最后演化進入混沌。諸如此類的演化進入混沌的例子很多。

對于遠離平衡的非線性熱力學系統(tǒng)，當控制參量變化到某一臨界值后，系統(tǒng)會出現(xiàn)分支現(xiàn)象，最后發(fā)展成為混沌狀態(tài)（前面在自組織與耗散結構中已介紹過）。此外還有一些進入混沌的道路，此處不再介紹。

若將分支圖放大，可以看到在一定程度上局部的形態(tài)是整體形態(tài)的再現(xiàn)或縮影，在越來越小的尺度上重復出現(xiàn)（圖），也就是呈現(xiàn)無窮崁套的自相似結構即分形結構。混沌，貌似無序則有序，但反映的是另一種序，看來混亂一片，實為章法井然，這種序或章法就是分形。

（1）系統(tǒng)的動力學以確定論為基礎，且含有非線性項，非線性作用達到某臨界值時，就出現(xiàn)混沌隨機行為。這種確定論系統(tǒng)的內在隨機行為又有別于概率論性的隨機行為；（4）具有無窮崁套的自相似結構綜上所述，混沌有如下特性：

（2）系統(tǒng)單個的運動軌道極端敏感地