第六章 數(shù)列（測(cè)試）（含答案解析）

第六章數(shù)列（測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，則，矛盾，故設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項(xiàng)和要滿(mǎn)足，又因?yàn)?，所?故選：B2．已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得極大值，則，由等差數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D3．正整數(shù)的倒數(shù)的和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒(méi)有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)很大時(shí)，.其中稱(chēng)為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，，至今為止都不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù).設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，用上式計(jì)算的值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，可知?shù)列為遞增數(shù)列，且，，可知，所以.故選：C.4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由得，即，因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故選：D.5．已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，若，，則d的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由實(shí)數(shù)a，b，c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以設(shè)，，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)單調(diào)遞增，所以的最小值為，當(dāng)b趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)b從負(fù)方向趨近于時(shí)，也趨近于，所以，所以．故選：A．6．已知，則數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列中，，則，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，即，同理當(dāng)時(shí)，，即，而當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為.故選：D7．如圖所示的一系列正方形圖案稱(chēng)為“謝爾賓斯基地毯”，在4個(gè)大正方形中，著色的小正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng).記，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不能確定【答案】C【解析】由圖分析可知，，，，依次類(lèi)推，，所以.故選：.8．給定函數(shù)，若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列.已知為的牛頓數(shù)列，，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為．則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得，，，則兩邊取對(duì)數(shù)可得.即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，，，是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．當(dāng)p，q均為正整數(shù)且時(shí)，【答案】BCD【解析】對(duì)于A(yíng)，令，則，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，，不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)的公差為d，則（定值），所以是公比為的等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，故是公差為的等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，，，所以，故D正確．故選：BCD．10．記數(shù)列的前項(xiàng)和為為常數(shù).下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．存在常數(shù)A、B，使數(shù)列是等比數(shù)列 D．對(duì)任意常數(shù)A、B，數(shù)列都是等差數(shù)列【答案】ABC【解析】對(duì)于A(yíng)，若，則，A正確；對(duì)于B，若，則，B正確；對(duì)于C，由得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D，由上知，當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)積為，公比為．若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，取最大值 D．使成立的最大自然數(shù)是4046【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，，故或，當(dāng)時(shí)，由可知，所以，但，互相矛盾，舍去，當(dāng)時(shí)，又，所以，故滿(mǎn)足要求，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，取最大值，C正確；D選項(xiàng)，由于，故當(dāng)時(shí)，，，，使成立的最大自然數(shù)是4046，D正確.故選：ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知在遞增的等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，解得，又，所以有，由是遞增的等比數(shù)列，解得，所以，即有.故答案為：.13．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，該數(shù)列中個(gè)位數(shù)字為0的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，則被7除所得的余數(shù)是.【答案】【解析】因?yàn)?，所以?dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)字為時(shí)，的個(gè)位數(shù)為，則在數(shù)列中，每連續(xù)10項(xiàng)中就有6項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字為0，而，由此推斷數(shù)列中的第2017項(xiàng)相當(dāng)于數(shù)列中的第3361項(xiàng)，即，而，所以除以7余數(shù)為1，而，，所以除以7余數(shù)也為1，而它們的差一定能被7整除，所以被7除所得余數(shù)為0.故答案為：0.14．已知數(shù)表，，，其中分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱(chēng)是，的生成數(shù)表．若數(shù)表，，且是的生成數(shù)表，則．【答案】【解析】由題意，得，，，，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，（3分）化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以．所以．綜上．（6分）（2）由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，（10分）所以.綜上.（13分）16．（15分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明．【解析】（1）由得，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（6分）（2）由（1）知，，所以所以，（10分）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故．（15分）17．（15分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.試求:(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求滿(mǎn)足條件的最小整數(shù).【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（3分）因?yàn)?，兩式相減得，，因?yàn)?，所以，?分）所以，均為等差數(shù)列，，．所以；（7分）（2）由題意得，，所以，（10分）因?yàn)?，所以，解得．所以滿(mǎn)足條件的最小整數(shù)為9．（15分）18．（17分）已知是等差數(shù)列，公差，，且是與的等比中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式(2)數(shù)列滿(mǎn)足，且.（?。┣蟮那皀項(xiàng)和.（ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等差數(shù)列，若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以．又是與的等比中項(xiàng)，所以，即．化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以．（5分）（2）（i）由，得，所以（），又，當(dāng)時(shí)，，又也適合上式，所以，則，所以．（9分）（ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，顯然是25的正約數(shù)，又，則或，當(dāng)，即時(shí)，與矛盾；當(dāng)，即時(shí)，，符合題意，所以存在正整數(shù)使得，，成等差數(shù)列，此時(shí)，．（17分）19．（17分）如果n項(xiàng)有窮數(shù)列滿(mǎn)足，，…，，即，則稱(chēng)有窮數(shù)列為“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫(xiě)出數(shù)列的每一項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為(且)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，且滿(mǎn)足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值?②若，且，求的最小值.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，所以，又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，其公差，…所以數(shù)列的7項(xiàng)依次為1，3，5，7，5，3，1；