53模擬試卷初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)28.2.2第2課時(shí)坡度、坡角,實(shí)際生活問(wèn)題

第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.2應(yīng)用舉例第2課時(shí)坡度、坡角,實(shí)際生活問(wèn)題基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)3解直角三角形的應(yīng)用——坡度、坡角問(wèn)題9.(2022湖南邵陽(yáng)模擬)如圖,攔水壩的橫斷面為梯形ABCD,其中AD∥BC,迎水坡AB的坡角∠ABC=45°,背水坡CD的坡比為1∶3,迎水坡AB的長(zhǎng)為8m,則背水坡CD的長(zhǎng)為()A.62mB.83mC.46mD.82m10.(2023廣東汕頭金平三模)如圖,斜坡AB的坡度i1=1∶3,現(xiàn)需要在不改變坡高AH的前提下將坡度變緩,調(diào)整后的斜坡AC的坡度i2=1∶2.4,已知斜坡AB=10米,那么斜坡AC=米.(M9228005)

11.(2023四川綿陽(yáng)游仙模擬)如圖,某水上樂(lè)園在一平地推出了“急流勇進(jìn)”的項(xiàng)目,項(xiàng)目有兩條斜坡滑道(BC、AD)以滿足不同的難度需求,游客可以乘坐垂直升降電梯沿AB自由上下選擇項(xiàng)目難度.其中斜坡滑道BC的坡度為i=5∶12,BC=13米,CD=16米,∠D=32°(其中點(diǎn)A、B、C、D均在同一平面內(nèi)),則垂直升降電梯的升降高度AB約為米.(參考數(shù)據(jù):sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625)(M9228005)

(2022湖南株洲中考)如圖1所示,某登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者由山坡①的點(diǎn)A處沿線段AC行至山谷點(diǎn)C處,再?gòu)狞c(diǎn)C處沿線段CB行至山坡②的點(diǎn)B處.如圖2所示,將直線l視為水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,AM=0.6千米,山坡②的坡度i=1∶1,BN⊥l于N,且CN=2千米.(1)求∠ACB的度數(shù);(2)求在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程.知識(shí)點(diǎn)4解直角三角形在其他實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用13.(2022福建中考)如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44cm,則高AD約為(參考數(shù)據(jù):sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)()A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm14.(2023河南鄭州金水二模)如圖,一個(gè)鐘擺的擺長(zhǎng)OB為1.5米,當(dāng)鐘擺向兩邊擺動(dòng)時(shí),擺角∠BOD為2α,且兩邊的擺動(dòng)角度相同,則它擺至的最高位置與最低位置的高度之差A(yù)C為(M9228005)()A.(1.5-1.5cosα)米B.1.5cosC.(1.5-1.5sinα)米D.1.5sin15.(2023內(nèi)蒙古赤峰中考)為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì),建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,某鄉(xiāng)村對(duì)A地和B地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造,把原來(lái)A地去往B地需要繞行到C地的路線,改造成可以直線通行的公路AB.如圖,經(jīng)測(cè)量,AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,則改造后的公路AB的長(zhǎng)是千米(精確到0.1千米;參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73).(M9228005)

16.【教材變式·P84T9】(2022內(nèi)蒙古通遼中考)某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AB的長(zhǎng)度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位,3≈1.7).(M9228005)能力提升全練17.(2023湖北十堰中考,7,★☆☆)如圖所示,有一天橋高AB為5米,BC是通向天橋的斜坡,∠ACB=45°,市政部門(mén)啟動(dòng)“陡改緩”工程,決定將斜坡的底端C延伸到D處,使∠ADB=30°,則CD的長(zhǎng)度約為(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732)(M9228005)()A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米18.(2022廣東深圳福田三模,8,★★☆)某學(xué)校安裝了紅外線體溫檢測(cè)儀(如圖1),其紅外線探測(cè)點(diǎn)O在垂直于地面的支桿CP上(如圖2).已知最大探測(cè)角∠OBC=67°,最小探測(cè)角∠OAC=37°.若要使測(cè)溫區(qū)域AB的長(zhǎng)度為2m,則OC應(yīng)調(diào)整為精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin67°≈1213,cos67°≈513,tan67°≈125,sin37°≈35,cos37°≈45,tan37°≈A.2.4mB.2.2mC.3.0mD.2.7m19.【方程思想】(2022黑龍江牡丹江中考改編,10,★★☆)如圖,小明去爬山,在山腳B處看山頂A的仰角為30°,沿著坡比為5∶12的山坡走1300米到達(dá)E點(diǎn),此時(shí)小明看山頂A的仰角為60°,則山高AC為(M9228005)()A.(600-2505)米B.(6003-250)米C.(350+3503)米D.5003米20.【中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化】(2022湖南岳陽(yáng)中考,15,★★☆)喜迎二十大,“龍舟故里”賽龍舟.丹丹在汨羅江國(guó)際龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)的點(diǎn)P處觀看200米直道競(jìng)速賽.如圖所示,東西方向的賽道AB的起點(diǎn)A位于點(diǎn)P的北偏西30°方向上,終點(diǎn)B位于點(diǎn)P的北偏東60°方向上,AB=200米,則點(diǎn)P到賽道AB的距離約為米(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):3≈1.732).(M9228005)

21.【新素材】(2022山西太原二模,14,★★☆)圖1是勞動(dòng)課上同學(xué)們組裝的一個(gè)智能機(jī)器臂.水平操作臺(tái)為l,底座AB固定,AB⊥l,AB的長(zhǎng)度為24cm,連桿BC的長(zhǎng)度為30cm,手臂CD的長(zhǎng)度為28cm,點(diǎn)B,C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn),且AB,BC與CD始終在同一平面內(nèi).如圖2,轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC和手臂CD,當(dāng)∠ABC=135°,∠BCD=165°時(shí),端點(diǎn)D離操作臺(tái)l的距離DE為cm.(M9228005)

22.(2023遼寧本溪中考,22,★★☆)暑假期間,小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山.他們需要登頂600m高的山峰,由山底A處先步行300m到達(dá)B處,再由B處乘坐登山纜車到達(dá)山頂D處.已知點(diǎn)A,B,D,E,F在同一平面內(nèi),山坡AB的坡角為30°,纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°(換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)).(1)求登山纜車上升的高度DE;(2)若步行速度為30m/min,登山纜車的速度為60m/min,求從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要多少分鐘(結(jié)果精確到0.1min).(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)23.【真實(shí)情境】(2023浙江嘉興中考,22,★★☆)圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)(整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別),其示意圖如圖2,攝像頭A的仰角、俯角均為15°,攝像頭高度OA=160cm,識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離OB=150cm.(M9228005)(1)身高208cm的小杜,頭部高度為26cm,他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處,那么小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別?(2)身高120cm的小若,頭部高度為15cm,踮起腳尖可以增高3cm,但仍無(wú)法被識(shí)別,社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°(如圖3),此時(shí)小若能被識(shí)別嗎?請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明.(精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)素養(yǎng)探究全練24.【應(yīng)用意識(shí)】(2023四川綿陽(yáng)三臺(tái)模擬)小麗測(cè)量了斜坡上一棵垂直于地面的大樹(shù)的高度.如圖,小麗先在坡角為30°的斜坡AB上的點(diǎn)A處,測(cè)得樹(shù)尖E的仰角為15°,然后沿斜坡走了10米到達(dá)坡腳B處,又在水平路面上行走20米到達(dá)大樹(shù)所在斜坡CD的坡腳C處,大樹(shù)所在斜坡CD的坡度i=3∶4,且大樹(shù)的底端與坡腳的距離CD為15米,則大樹(shù)ED的高度約為.(結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,3≈1.73)(M9228005)

25.【應(yīng)用意識(shí)】(2023湖南常德中考)今年“五一”小長(zhǎng)假期間,小陳、小余和家長(zhǎng)去沙灘公園游玩.坐在如圖1所示的椅子上休息時(shí),小陳感覺(jué)很舒服,這激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心,就想出個(gè)問(wèn)題考考小余.小陳先進(jìn)行測(cè)量,并根據(jù)測(cè)量結(jié)果畫(huà)出了圖1的示意圖(如圖2).在圖2中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,座板CD與地面MN平行,△EBC是等腰三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°,靠背FC=57cm,支架AN=43cm,扶手的一部分BE=16.4cm.這時(shí)她問(wèn)小余:“你能算出靠背頂端F點(diǎn)距地面(MN)的高度是多少嗎?”請(qǐng)你幫小余算出結(jié)果(最后結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin65.8°≈0.91,cos65.8°≈0.41,tan65.8°≈2.23)

答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練9.D如圖,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC,垂足為F,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E.∵AD∥BC,∴AF=DE.在Rt△ABF中,∠ABF=45°,AB=8m,∴AF=AB·sin45°=8×22=42(m),∴DE=AF=42m.在Rt△DEC中,tan∠DCE=DE10.13解析∵i1=1∶3,∴tan∠ABH=13=33,∴∠ABH=30°,∴AH=12AB=12×10=5(米),∵坡度i2=1∶2.4,∴11.12.5解析如圖,延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)E,由BC的坡度為i=5∶12,得BE∶CE=5∶12.設(shè)BE=5x米,CE=12x米,在Rt△BCE中,由勾股定理,得BE2+CE2=BC2,即(5x)2+(12x)2=132,解得x=1(負(fù)值舍去),即BE=5米,CE=12米,∴DE=DC+CE=16+12=28(米),∵tanD=AEDE∴AE=DE·tanD=28tan32°(米).∴AB=AE-BE=28tan32°-5≈12.5(米).12.解析(1)∵山坡②的坡度i=1∶1,∴CN=BN,∴∠BCN=45°,∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,∴AC=2AM=1.2千米,在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN=2千米,∴BC=CNcos∴該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程為1.2+2=3.2(千米).答:該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程為3.2千米.13.B∵AB=AC,BC=44cm,AD⊥BC,∴BD=CD=22cm.∵∠ABC=27°,∴tan∠ABC=ADBD≈0.51,∴AD≈14.A由題意,得OA⊥BD,∠BOC=12∠BOD=12·2α=α,OB=OA=1.5米,在Rt△BOC中,OC=OB·cosα=1.5cosα米,∴15.9.9解析如圖,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,在Rt△ADC中,AC=6千米,∠CAD=60°,cos∠CAD=ADAC,sin∠CAD=CD∴AD=AC·cos∠CAD=6cos60°=3(千米),CD=AC·sin∠CAD=6sin60°=33(千米).在Rt△CDB中,∠CBD=37°,CD=33千米,tan∠CBD=CD∴DB=∴AB=AD+DB=3+43≈3+4×1.73≈9.9(千米),即改造后的公路AB的長(zhǎng)約是9.9千米.16.解析如圖,∠BDE=90°-45°=45°,在Rt△BDE中,DE=BE=14m.∵CM=BE=14m,在Rt△ACM中,∠ACM=60°,∴AM=3CM=14∴AB=BM-AM=CE-AM=20+14-143≈10.2(m).答:AB的長(zhǎng)約為10.2m.能力提升全練D在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5米.在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ADB=30°,∴∠ABD=60°,∴ADAB=tan∠ABD=tan60°=3,∴AD=3AB,B設(shè)BC=xm,∵AB=2m,∴AC=(x+2)m.∵OC=BC·tan∠OBC=BC·tan67°≈125OC=AC·tan∠OAC=AC·tan37°≈3∴125x=319.B如圖,作EF垂直CB于點(diǎn)F,EN垂直AC于點(diǎn)N,∵斜坡BE的坡度為5∶12,∴設(shè)EF=5x米,則BF=12x米,由勾股定理得(5x)2+(12x)2=13002,解得x=100(舍負(fù)),則EF=500米,BF=1200米.由題意可知,四邊形NCFE為矩形,∴NC=EF=500米,NE=CF.在Rt△ANE中,tan∠AEN=tan60°=ANNE,∵tan60°=3,∴CF=NE=ANtan60°=33AN.在Rt△ACB中,tan∠ABC=tan30°=ACBC,20.87解析如圖,過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C,設(shè)PC=x米,在Rt△APC中,∠APC=30°,∴AC=PC·tan30°=33x(米).在Rt△BCP中,∠CPB=60°,∴BC=CP·tan60°=3x(米).∵AB=200米,∴AC+BC=200米,∴33x+3x=200,解得x=50321.(38+152)解析如圖,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE于F,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF于G,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H,則四邊形ABFE、四邊形CGFH都是矩形,∴AB=EF=24cm,CG=HF,∠BGC=∠ABF=∠GCH=90°.∵∠ABC=135°,∴∠CBG=∠ABC-∠ABF=45°,∴∠BCG=90°-∠CBG=45°.∵∠BCD=165°,∴∠DCH=∠BCD-∠BCG-∠GCH=30°.在Rt△BCG中,BC=30cm,∴CG=BC·sin45°=30×2∴HF=CG=152cm,在Rt∴DH=CD·sin30°=28×1∴DE=DH+FH+EF=14+1522.解析(1)如圖,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AF于點(diǎn)M,由題可知,∠A=30°,∠DBE=53°,DF=600m,AB=300m,在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300m,∴BM=12AB=150m,∴EF=BM=150∴DE=DF-EF=600-150=450(m).答:登山纜車上升的高度DE為450m.(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450m,∴BD=DEsin∴需要的時(shí)間=步行時(shí)間+乘坐纜車時(shí)間=30030+答:從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要19.4分鐘.23.解析(1)如圖,過(guò)C作OB的垂線分別交仰角線、俯角線于點(diǎn)E、D,交水平線于點(diǎn)F,在Rt△AEF中,tan∠EAF=EFAF∴EF=AF·tan15°≈130×0.27=35.1(cm),∴CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm),∴小杜最少需要下蹲208-195.1=12.9厘米才能被識(shí)別.(2)小若能被識(shí)別.理由:如圖,過(guò)B作OB的垂線分別交仰角線、俯角線于M、N,交水平線于P,在Rt△APM中,tan∠MAP=MPAP∴MP=AP·tan20°≈150×0.36=54.0(cm),∵∠MAP=∠NAP,AP=AP,∠APM=∠APN=90°,∴△AMP≌△ANP(ASA),∴PN=MP=54.0cm,∴BN=160-54.0=106.0(cm),∵120-15=105(cm),106.0cm>105cm,∴小若必須踮起腳尖.∵小若踮起腳尖后頭頂距地面的高度為120+3=123(cm),∴小若踮起腳尖后頭頂超出點(diǎn)N的高度為123-106.0=17.0(cm)>15cm,∴小若能被識(shí)別.素養(yǎng)探究全練24.7.0米